数学物理方法-第五章-傅里叶变换 课件
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数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
从物理上看 , 显然有 ∞
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
第五章 第一节 傅里叶变换
bk
1 l
l l
f sin k
l
d ,...... 5.1.5
练习解答
解：计算傅立叶系数有
a0
1
2
f (x)dx 1
2
0
xdx
1
2
x2
2
0
4
1
1
an
f (x) cos nxdx
x cos nxdx
0
1 x sin nx
n 0
1
n2
cos
nx 0
1
n 0 sin nxdx
幂函数没有周期性，所以周期函数展开为幂级数后，周期性就很 难体现出来。这样在研究函数的周期性的时候，幂级数展开并不 适用，需要采用其他函数作为基本函数族。
在科学技术的各个领域里广泛存在振动和波这类周期现象如弹性 振子、机械振动、声振动和声波、交变电流、电磁振荡和电磁波。 我们以前接触较多的是正弦和余弦函数所描写的振动和波。实际 情况千变万化，如锯齿波、矩形波(开关)。可能的复杂振动方式 不计其数，经过研究发现，这些复杂的振动可以分解为一系列各 种频率的谐振动的叠加。在数学上，这就是把周期函数分解为傅 里叶级数。
f
x
a0
k 1
a
k
cos
kx
l
bk
sin
kx
l
..........
..5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
k 2.......k 0 k 1.......k 0
bk
1 l
l l
f
sin k
l
d ,...... 5.1.5
f
数学物理方法 第五章 傅里叶变换
将上式改写成
f (x) 0 C() cos[x ()]d
其中
1
C() [ A()]2 [B()]2 2
称为f (x)的振幅谱
() arctan[B() / A()] 称为f (x)的相位谱
与傅里叶级数的情形类似，奇函数f (x)的傅里叶积分
是傅里叶正弦积分。
A
2N
0 0
[cos( 0 )t cos( 0 )t]dt
N 2
A
sin( 0 0
)t
sin( 0 )t 0
0 0
A sin( N 2 )[ 1 1 ]
0
0 0
解：f (t)是偶函数，可按余弦展开。
f (t) 0 A() costd
其中：
A() 2
f ( ) cos d
0
2
T
0
h cos d
2h
sin T
例2 由2N个（N是正整数）正弦波组成的有限正弦波列：
f
(t
)
A
sin
0t
l
cos
l
k x
l
cos n x
l
dx
0
(k n)
l
sin
l
k x sin
l
n x
l
dx
0
(k n)
l
cos
l
k x sin
l
《傅里叶变换经典》PPT课件
F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
精品课件-数学物理方法傅里叶变换法
定理 ftiFf t iF()
（2）积分定理
F F
t
f
t
dt
1 i
ft
（3）相似性定理
Ff(ax)
1 a
F(
a
)
2
（4）延迟性定理
F fx x0 e i x0 F( )
2
2 ax at
例2 求解无限长细杆的热传导问题
uut|t0a2ux(xx)0(x)
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k2a2U 0
U |t0 (k) 此常微分方程的初始问题的解为 U(t,k)(k)ek2a2t
进行傅里叶逆变换可得：
u(x,t)F1[U(t,k)] (k)ek2a2teikdx k
1
[
(
)eikd
]ek2a2teikdx k
2
6
交换积分次序
u (x ,t)1 () [ e k2 a 2 te i( k x )d]d k
2
积分公式： e 2k2ekd k( /a )e2/4 2
u
|t
0
0 0
( (
x x
0) 0)
(x 0) (x 0)
则 ut a2uxx0
u|t020(x)( - x )
u|t020(x)
引用例2结果可得
u(x,t)
20()2a1t
e(x4a2t)2
d
2
2a ik
B(k) 1 (k) 1 1 (k)
2
2a ik
（2）积分定理
F F
t
f
t
dt
1 i
ft
（3）相似性定理
Ff(ax)
1 a
F(
a
)
2
（4）延迟性定理
F fx x0 e i x0 F( )
2
2 ax at
例2 求解无限长细杆的热传导问题
uut|t0a2ux(xx)0(x)
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k2a2U 0
U |t0 (k) 此常微分方程的初始问题的解为 U(t,k)(k)ek2a2t
进行傅里叶逆变换可得：
u(x,t)F1[U(t,k)] (k)ek2a2teikdx k
1
[
(
)eikd
]ek2a2teikdx k
2
6
交换积分次序
u (x ,t)1 () [ e k2 a 2 te i( k x )d]d k
2
积分公式： e 2k2ekd k( /a )e2/4 2
u
|t
0
0 0
( (
x x
0) 0)
(x 0) (x 0)
则 ut a2uxx0
u|t020(x)( - x )
u|t020(x)
引用例2结果可得
u(x,t)
20()2a1t
e(x4a2t)2
d
2
2a ik
B(k) 1 (k) 1 1 (k)
2
2a ik
数学物理方法第五章傅里叶变换
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。
数学物理方法5傅里叶变换
图像压缩。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
傅里叶变换课件
快速傅里叶变换的算法原理
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算DFT的算法，其基本思想是将DFT运算分解为一系列简单 的复数乘法和加法运算。
FFT算法可以分为基于分治策略的递归算法和基于蝶形运算的迭代算法。其中，递归算法将DFT运算 分解为两个子序列的DFT运算，迭代算法则通过一系列蝶形运算逐步逼近DFT的结果。
，实现图像的压缩。
解压缩
通过插值或重构算法，可以恢复 压缩后的图像，使其具有原始的
质量和细节。
压缩与解压缩算法
常见的压缩与解压缩算法包括 JPEG、PNG等。这些算法在压 缩和解压缩过程中都利用了傅里
叶变换。
06
傅里叶变换在通信系统中的应用
调制与解调技术
调制技术
利用傅里叶变换对信号进行调制，将 低频信号转换为高频信号，以便在信 道中传输。
在频域中，可以使用各种滤波器 对图像进行滤波操作，以减少噪 声、平滑图像或突出特定频率的
细节。
边缘增强
通过在频域中增强高频成分，可以 突出图像的边缘信息，使图像更加 清晰。
对比度增强
通过调整频域中的频率系数，可以 改变图像的对比度，使图像更加鲜 明。
图像的压缩与解压缩
压缩
通过减少图像的频域表示中的频 率系数，可以减少图像的数据量
快速傅里叶变换的应用
• FFT在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过FFT将时域信号转换为频域 信号，从而对信号进行频谱分析、滤波等操作。在图像处理中，可以通过FFT将图像从空间域转换到频域，从而对图像进行 去噪、压缩等操作。在语音处理中，可以通过FFT对语音信号进行频谱分析，从而提取语音特征、进行语音合成等操作。
分析、系统优化等。
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然后再对g ( x)作傅里叶级数展开，其级数和在区间(0, l ) 上代表f (x).
由于f (x)在(0,l)以外无定义，因此，可以有无数种延拓方式。 从而有无数种展开式，且它们在(0,l)上均代表f (x)。有时，对函 数f (x)在边界上行为提出限制（即满足一定的边界条件），这常 常决定了采用何种延拓。
k x
k x
f (x) a0 (ak cos
k 1
l
bk sin
l
)
(5.1.3)
函数族是正交的，任意两个函数的乘积在一个周期里的
积分等于零。 即：Байду номын сангаас
l
k x
1 cos
l
l
dx
0
l
1 sin
l
k x
l
dx
0
(k 0)
l
cos
l
k x
l
cos n x
l
dx
0
(k n)
l
sin
l
k x sin
A()
1
f ( ) cosd
B()
1
f ( ) sin d
(5.2.5)
式5.2.4称为f(x)傅里叶积分；式5.2.5称为f(x)傅里叶变换式
傅里叶积分定理： 若函数f (x)在区间(, )上满足条件：（1）f (x)在任一有 限区间上满足狄里希利条件；（2）f (x)在区间(, )上绝对可 积（即收敛），则f (x)可表示成傅里叶积分，且 傅里叶积分值＝1 [ f (x 0) f (x 0)]
2
f (x) 0 A() cosxd 0 B()sin xd
将上式改写成
f (x) 0 C() cos[x ()]d
其中
1
C() [ A()]2 [B()]2 2
称为f (x)的振幅谱
() arctan[B() / A()] 称为f (x)的相位谱
与傅里叶级数的情形类似，奇函数f (x)的傅里叶积分
（四）复数形式的傅叶级数
选择一系列的复指数函数
…，ei
k l
x
,…，ei
2 l
x
，e
i
lx，1,ei
lx，ei
2 l
x
，…
作为基本函数族，可将周期函数f(x)展开为复数形式
的傅里叶级数。
i k x
f (x) cke l
(5.1.13)
k
利用复指数函数的正交性，其展开系数为
ck
1 2l
l
i k *
可见，a0及诸ak均等于零，展开式(5.1.3)变为
f
(x)
k 1
bk
sin
k
l
x
(5.1.8)
由于奇函数对称性，其展开系数可写为：
bk
2 l
l f ( ) sin k d
0
l
(5.1.9)
其中正弦级数的和在x 0和x l处为零。
若周期函数f (x)是偶函数，则式(5.1.5)中所有bk均为零， 展开式(5.1.3)变为
狄里希利定理 若函数f (x)满足条件：(1)处处连续，或在每个 周期中只有有限个第一类间断点；（2）在每个周期中只有 有限个极值点，则级数（5.1.3）收敛，且
f (x)
（在连续点x)
级数和＝ 1 2
[
f
(x
0)
f
(x
0)]
(在间断点x)
(5.1.7)
（二）奇函数及偶函数的傅里叶展开
若周期函数f (x)是奇函数，则由傅里叶的计算公式(5.1.5)
可以用上节内容，展开为：
k x
k x
g(x) a0 (ak cos
k 1
l
bk sin
l
)
(5.2.1)
我们研究l 时的极限形式的非周期函数f (x)的傅里叶 级数展开。
引入参数k
k
l
, (k
0,1, 2,…)。k
k
k 1
l
式(5.2.1)变为：
g(x) a0 (ak cosk x bk sin k x) k 1
由
f
(x)
lim
l
g(x)
lim
l
a0
lim
l
k 1
(ak
cos k
x
bk
sin k
x)
有
f (x)
1 [
f ( ) cosd ]cosxd
1 [
f ( ) sin d ]sin xd
0
0
写成形式：
f (x) 0 A() cosxd 0 B() sin xd
其中
(5.2.4)
是傅里叶正弦积分。
l
n x
l
dx
0
(k n)
l
cos
l
k x sin
l
n x
l
dx
0
(5.1.4)
展开系数求解，可利用三角函数族的正交性求出。 得：
ak
1
kl
l f ( ) cos k d
l
l
bk
1 l
l l
f ( ) sin k
l
d
其中：
(5.1.5)
k
2 1
(k 0) (k 0)
由于函数族是完备的，傅里叶级数平均收敛于f (x)。
傅里叶系数为：
(5.2.2)
ak
1
kl
l
l f ( ) cosk d
bk
1 l
l l
f ( ) sin kd
(5.2.3)
f
(x)
lim
l
g(x)
lim
l
a0
lim
l
k 1
(ak
cos
k
x
bk
sin
k
x)
其中lim l
a0＝llim
1 2l
l f ( )d＝0
l
lim
l
k 1
ak
cos k
第五章 傅利叶变换
5.1 傅里叶级数
（一） 周期函数的傅里叶展开
若函数f (x)以2l为周期， 即
f (x 2l) f (x) 则可取三角函数族
1, cos x , cos 2 x ,…，cos k x ，…
l
l
l
sin x ,sin 2 x ,…，sin k x ，…
l
l
l
作为基本函数族， 将f (x)展开为级数
x＝lim l
[
k 1
1 l
l l
f ( ) cosk d ]cosk x
＝lim [ 1
l k 1
l
l f ( ) cosk d ]cosk x k
1 [
f ( ) cosd ]cosxd
0
同样有：lim l
k 1
bk
sin k
x＝
1 [
0
f ( ) sin d ]sin xd
f
(x)
a0
k 1
ak
cos
k
l
x
其展开系数也可写成
(5.1.10)
ak
2
kl
l f ( ) cos k d
0
l
(5.1.11)
注意到，余弦级数的和的导数在x 0及x l处为零。
（三）定义在有限区间上的函数的傅里叶展开 对于只在有限区间，例如在(0,l)上有定义的函数f (x)，
或以采用延拓的方法，使其成为某种周期函数g ( x)，而在 (0,l)上有g(x) f (x)。
l
f
( ) e
l
d
对于实函数f (x)，有ck ck*
(5.1.16) (5.1.17)
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
本节所研究的是将非周期函数作傅里叶展开、傅里叶
变换及其有关性能。
（一）实数形式的傅里叶变换
设f (x)这定义在区间 x 上的函数。我们试将f (x)
看成是某个周期函数g(x)在周期2l 时的极限情形。对于g(x),
由于f (x)在(0,l)以外无定义，因此，可以有无数种延拓方式。 从而有无数种展开式，且它们在(0,l)上均代表f (x)。有时，对函 数f (x)在边界上行为提出限制（即满足一定的边界条件），这常 常决定了采用何种延拓。
k x
k x
f (x) a0 (ak cos
k 1
l
bk sin
l
)
(5.1.3)
函数族是正交的，任意两个函数的乘积在一个周期里的
积分等于零。 即：Байду номын сангаас
l
k x
1 cos
l
l
dx
0
l
1 sin
l
k x
l
dx
0
(k 0)
l
cos
l
k x
l
cos n x
l
dx
0
(k n)
l
sin
l
k x sin
A()
1
f ( ) cosd
B()
1
f ( ) sin d
(5.2.5)
式5.2.4称为f(x)傅里叶积分；式5.2.5称为f(x)傅里叶变换式
傅里叶积分定理： 若函数f (x)在区间(, )上满足条件：（1）f (x)在任一有 限区间上满足狄里希利条件；（2）f (x)在区间(, )上绝对可 积（即收敛），则f (x)可表示成傅里叶积分，且 傅里叶积分值＝1 [ f (x 0) f (x 0)]
2
f (x) 0 A() cosxd 0 B()sin xd
将上式改写成
f (x) 0 C() cos[x ()]d
其中
1
C() [ A()]2 [B()]2 2
称为f (x)的振幅谱
() arctan[B() / A()] 称为f (x)的相位谱
与傅里叶级数的情形类似，奇函数f (x)的傅里叶积分
（四）复数形式的傅叶级数
选择一系列的复指数函数
…，ei
k l
x
,…，ei
2 l
x
，e
i
lx，1,ei
lx，ei
2 l
x
，…
作为基本函数族，可将周期函数f(x)展开为复数形式
的傅里叶级数。
i k x
f (x) cke l
(5.1.13)
k
利用复指数函数的正交性，其展开系数为
ck
1 2l
l
i k *
可见，a0及诸ak均等于零，展开式(5.1.3)变为
f
(x)
k 1
bk
sin
k
l
x
(5.1.8)
由于奇函数对称性，其展开系数可写为：
bk
2 l
l f ( ) sin k d
0
l
(5.1.9)
其中正弦级数的和在x 0和x l处为零。
若周期函数f (x)是偶函数，则式(5.1.5)中所有bk均为零， 展开式(5.1.3)变为
狄里希利定理 若函数f (x)满足条件：(1)处处连续，或在每个 周期中只有有限个第一类间断点；（2）在每个周期中只有 有限个极值点，则级数（5.1.3）收敛，且
f (x)
（在连续点x)
级数和＝ 1 2
[
f
(x
0)
f
(x
0)]
(在间断点x)
(5.1.7)
（二）奇函数及偶函数的傅里叶展开
若周期函数f (x)是奇函数，则由傅里叶的计算公式(5.1.5)
可以用上节内容，展开为：
k x
k x
g(x) a0 (ak cos
k 1
l
bk sin
l
)
(5.2.1)
我们研究l 时的极限形式的非周期函数f (x)的傅里叶 级数展开。
引入参数k
k
l
, (k
0,1, 2,…)。k
k
k 1
l
式(5.2.1)变为：
g(x) a0 (ak cosk x bk sin k x) k 1
由
f
(x)
lim
l
g(x)
lim
l
a0
lim
l
k 1
(ak
cos k
x
bk
sin k
x)
有
f (x)
1 [
f ( ) cosd ]cosxd
1 [
f ( ) sin d ]sin xd
0
0
写成形式：
f (x) 0 A() cosxd 0 B() sin xd
其中
(5.2.4)
是傅里叶正弦积分。
l
n x
l
dx
0
(k n)
l
cos
l
k x sin
l
n x
l
dx
0
(5.1.4)
展开系数求解，可利用三角函数族的正交性求出。 得：
ak
1
kl
l f ( ) cos k d
l
l
bk
1 l
l l
f ( ) sin k
l
d
其中：
(5.1.5)
k
2 1
(k 0) (k 0)
由于函数族是完备的，傅里叶级数平均收敛于f (x)。
傅里叶系数为：
(5.2.2)
ak
1
kl
l
l f ( ) cosk d
bk
1 l
l l
f ( ) sin kd
(5.2.3)
f
(x)
lim
l
g(x)
lim
l
a0
lim
l
k 1
(ak
cos
k
x
bk
sin
k
x)
其中lim l
a0＝llim
1 2l
l f ( )d＝0
l
lim
l
k 1
ak
cos k
第五章 傅利叶变换
5.1 傅里叶级数
（一） 周期函数的傅里叶展开
若函数f (x)以2l为周期， 即
f (x 2l) f (x) 则可取三角函数族
1, cos x , cos 2 x ,…，cos k x ，…
l
l
l
sin x ,sin 2 x ,…，sin k x ，…
l
l
l
作为基本函数族， 将f (x)展开为级数
x＝lim l
[
k 1
1 l
l l
f ( ) cosk d ]cosk x
＝lim [ 1
l k 1
l
l f ( ) cosk d ]cosk x k
1 [
f ( ) cosd ]cosxd
0
同样有：lim l
k 1
bk
sin k
x＝
1 [
0
f ( ) sin d ]sin xd
f
(x)
a0
k 1
ak
cos
k
l
x
其展开系数也可写成
(5.1.10)
ak
2
kl
l f ( ) cos k d
0
l
(5.1.11)
注意到，余弦级数的和的导数在x 0及x l处为零。
（三）定义在有限区间上的函数的傅里叶展开 对于只在有限区间，例如在(0,l)上有定义的函数f (x)，
或以采用延拓的方法，使其成为某种周期函数g ( x)，而在 (0,l)上有g(x) f (x)。
l
f
( ) e
l
d
对于实函数f (x)，有ck ck*
(5.1.16) (5.1.17)
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
本节所研究的是将非周期函数作傅里叶展开、傅里叶
变换及其有关性能。
（一）实数形式的傅里叶变换
设f (x)这定义在区间 x 上的函数。我们试将f (x)
看成是某个周期函数g(x)在周期2l 时的极限情形。对于g(x),