7第七讲 典型模型方程差分格式_bugers方程
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
求解Burgers方程的差分格式比较
求解Burgers 方程的差分格式比较姓名学号 班级一、实验目的1、 了解求解Bugers 方程的多种差分格式。
2、 进行数值实验，比较各种差分格式的实际计算效果。
3、 熟悉matlab 编程。
二、实验问题给定Burgers 方程:00(,0)()t x u uu u x u x +=⎧⎨=⎩式中01,0,()0,0.x u x x >⎧=⎨≤⎩ 01,1/2,()0,1/21/2,1,1/2.x u x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪≤-⎩用多种差分格式求解至t = 0.3s ，并比较数值结果。
三、实验原理数值差分格式可以改写为 11122n nn njjj j uu g g λ++-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭其中()1122,,,nn n nj l j l j l j g g u u u -+-+++=称为数值通量。
为了满足差分格式与守恒律相容，必须满足.),,,,()(R g f ∈∀=ωωωωω此时称数值格式为守恒型差分格式。
下面介绍几种求解Burgers Equation 的差分格式。
1. Upwind 格式 ()()2211/2n n n n j j j j u u u u λ+-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦此时令()()112,nn n nj j j j g g u u f u ++==，我们可以得到UpwindScheme 是一种守恒型差分格式。
2. Engquist-Osher 格式在守恒律中，令 1,'()0()0,'()0.if f u u if f u κ>⎧=⎨<⎩并定义()00()()'()()1()'()uuf u s f s dsf u s f s dsκκ+-==-⎰⎰那么，Engquist-Osher 格式定义为1()()n n n nj j j j u u f u f u λ++--+⎡⎤=-∆+∆⎣⎦式中11,j j j j j j f f f f f f ++--∆=-∆=-。
差分方程模型
差分方程模型
周家全
对连续型变化的问题而言, 常常可建立微分方程模型. 而对离散状态转移的问题, 则可建立差分方程模型. 差分方 程与常微分方程有很多类似的性质和结论．首先引入差分的 概念．
1 差分定义及其性质
定义 设函数 y = y(x) 在等距节点 xi = x0 + ih ( i = 0,1, , n)
对于一般的差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = f 来讲, 其平衡 点的稳定性问题可以同样给出. 二阶方程的上述结果可以推
广到 n 阶线性差分方程, 即稳定平衡点的条件是特征根： n
次代数方程的根 λi (i = 1, 2, , n) 均有| λi |< 1.
4 经济学中的蛛网模型
1. 提出问题 在自由竞争的社会中, 很多领域会出现循环波动的现象. 在经济领域中, 可以从自由集市上某种商品的价格变化看到 如下现象：在某一时期, 商品的上市量大于需求, 引起价格 下跌, 生产者觉得该商品无利可图, 转而经营其它商品；一
解
Δf (0) = f (0.5) − f (0) = 0.75 ,
-2-
洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
Δf (0.5) = f (1) − f (0.5) = 1.25
周家全
Δ2 f (0)= Δ(Δf (0)) = Δf (0.5) − Δf (0) = 1.25 − 0.75 = 0.5
计算较多点的差分可按差分表进行, 容易看出表中每一 个需要计算的差分值分别等于其左侧的数减去左上侧的 数．每个点 xi 处的各阶差分位于与主对角线平行的斜线上．
(I) 先求解对应的特征方程
a0λn + a1λn−1 + + a0 = 0
burgers方程的两种crank-nicolson差分格式
burgers方程的两种crank-nicolson差分格式Crank-Nicolson方法是一种数值求解偏微分方程的方法，常用于求解Burgers方程。
Burgers方程是用来描述可压缩流体流动的非线性偏微分方程，具有广泛的应用。
Crank-Nicolson方法是一种隐式差分格式，将时间和空间上的离散化结合起来。
通过将方程中的时间导数用向前和向后的差分表示，可以得到Burgers方程的两种Crank-Nicolson差分格式。
第一种Crank-Nicolson差分格式：假设Burgers方程为：∂u/∂t+u*∂u/∂x=ν*∂²u/∂x²其中u是速度场，t是时间，x是空间，ν是动力学粘度。
为了应用Crank-Nicolson方法进行离散化，我们需要将方程表示为差分形式，即在时间和空间上离散化。
首先，在时间上进行差分化。
将时间t离散化为t_n=n*Δt，其中n 是时间步数，而Δt是时间间隔。
将u用中心差分表示，即：u_i^n+1-u_i^n=-(Δt/2)*((u_i^n+u_i^n+1)/2)*(u_i^n+1-u_i^n)/Δx+(νΔt/2)*(u_i+1^n+1-2u_i^n+1+u_i-1^n+1)/Δx²这里，u_i^n表示速度场u在位置x_i和时间t_n的值。
将上述差分方程整理后，可以得到：(u_i^n+1-u_i^n)/(Δt/2)+(u_i^n+u_i^n+1)*(u_i^n+1-u_i^n)/(2Δx)-(νΔt/2)*(u_i+1^n+1-2u_i^n+1+u_i-1^n+1)/Δx²=0这就是Burgers方程的第一种Crank-Nicolson差分格式。
第二种Crank-Nicolson差分格式：第二种Crank-Nicolson差分格式是基于二次插值，可以更好地保持数值解的容积性。
它的表达式如下：(u_i^n+1-u_i^n)/(Δt/2)+(u_i^n+u_i^n+1)*(u_i^n+1-u_i^n)/(4Δx)-(νΔt/2)*(u_i+1^n+1-2u_i^n+1+u_i-1^n+1)/(2Δx²)=(u_i+1^n-2u_i^n+u_i-1^n)/(4Δx)这里，u_i^n表示速度场u在位置x_i和时间t_n的值。
差分方程马尔可夫化
差分方程马尔可夫化全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：差分方程马尔可夫化是指利用马尔可夫链模型来描述和分析差分方程系统的动态演化过程。
差分方程是描述在离散时间点上系统变化的数学模型，而马尔可夫链是描述情景之间的概率转移关系的随机过程。
将这两种数学工具结合起来，可以更好地理解系统的演化规律、预测未来的发展趋势，对于许多领域的研究和应用具有重要意义。
我们来了解一下差分方程和马尔可夫链的基本概念。
差分方程是指在离散时间内，描述一个变量如何随时间变化的数学方程。
通常用来描述一些动态系统的演化规律，如人口增长、物种繁衍、金融市场波动等。
而马尔可夫链则是一种随机过程，具有“无记忆性”的特点，即下一个状态只与当前状态有关，与之前的状态无关。
在马尔可夫链中，各个状态之间的转移概率是已知的，通过这些概率我们可以描绘出整个系统的动态演化过程。
将差分方程系统转化为马尔可夫链可以帮助我们更好地理解和分析系统的演化过程。
在实际应用中，我们往往会遇到一些连续性的情况，如生态系统的演化、金融市场的波动等。
此时，我们可以将连续性的状态空间离散化，转化为一个离散的马尔可夫链模型，通过这种方式，我们可以更好地研究系统的演化规律。
差分方程马尔可夫化的过程主要包括以下几个步骤：我们需要确定系统的状态空间和状态转移概率。
状态空间是指系统中可能出现的各种状态的集合，而状态转移概率则是描述系统在不同状态之间的转移概率。
我们需要构建差分方程模型，描述系统在不同时间点上各个状态的变化规律。
然后，将差分方程转化为离散状态的马尔可夫链模型，并通过状态转移矩阵来描述系统在不同状态间的转移关系。
通过对马尔可夫链模型的分析和计算，可以得到系统在未来的演化过程，并进行一些预测和决策。
差分方程马尔可夫化在许多领域有着广泛的应用，如经济学、生态学、金融学等。
在经济学中，差分方程马尔可夫化可以帮助我们分析宏观经济系统的演化规律，预测未来经济走势，制定相应的政策措施。
差分方程模型PPT课件
回到全国竞赛题。这里提出了新的问题： (1)潜伏期病人如何描述？ (2)死亡病人在模型中的描述。 (3)需要考虑人口的迁移影响，如何描述？ (4)如何控制疾病的蔓延？
问题的图示
b O
a
d
d
利用简单的几何关系即得到 yk1 f ( yk ), y1 b
例2：按年龄分组的种群增长模型。
问题考虑两个要点：增长和人口分布 人口分布：对于连续问题，可以利用分布函数和 密度函数描绘。
我们也可以利用离散的方法描述人口分布。把t时
刻人口从小到大分为n组，第k 组人数xk(t)，则离 散人口分布可以利用向量
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发， 参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和 补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型， 并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出 预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》 附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部 分数据）及其说明
差分方程建模：设第k天病人所占比例为i(k)，健 康人数量为s(k)，则第k天病人数量变化为
Ni(k 1) Ni(k) s(k)Ni(k) Ni(k)
第k天健康人数量变化为
Ns(k 1) Ns(k) s(k)Ni(k)
把两个式子化简即得到差分方程组。
差分方程和微分方程的建模过程没有差异，差别 在于：变化率和的意义不同。
一阶线性差分方程组的稳定性： 设一阶线性差分方程组的解为{Xk}, 而受扰动解为 {Yk}。记扰动误差为
k X k Yk 则扰动误差满足
k1 A k
对任意初始扰动0，k0的充分必要条件为
( A) 1
这就是差分方程的稳定性条件。
热传导方程的差分格式讲解
热传导方程的左分格式—上机卖习报告二零一gg年五月一维抛物方程的初边值问题分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题:du d2u”(兀0) = sin兀X、0 <x <1w(0,O = z/(l，O = 0, r >0在f = 0.05,0.1和0.2时刻的数值解，并与解析解u^t) = e-7：l sm(^x)进行比较。
1差分格式形式设空间步长h = l/N，时间步长r>0, T=M T,网比r = r/h2.(1)向前差分格式向前差分格式，即Z = /C\) ‘“；=0 =心),必=吆=0其中，丿= 1,2,…,N —1,R = 1,2,…,M—l. ^r^at/h2表示网比。
(1)式可改写成如下:M*+1 = + (i-2r)Uj + rw*_! + tfj此格式为显格式。
其矩阵表达式如下：Q-2r r)r l-2r(j、r 1一2广rl吐7、厂1一2、用丿加(2)向后差分格式(1)向后差分格式，即=0=久形)上：=WN =a其中j = 12・・\N_l,k = H,M_L (2)式可改写成- rw ：［： + (l+2r )叶' -中；；=0 + 叭此种差分格式被称为隐格式。
其矩阵表达式如下：rl + 2r -r( j \ I”-r l + 2r-r l + 2r -rW.V-1-r 1 + 2广丿MJ< UN >(3) 六点对称格式六点差分格式：喟-0 _ a加:-2喟+唸;唏- 2”； +吃,—T2L戸 戸 J眄=0产久XJM=H ；=O.将(3)式改写成-g 唸;+ (1 + 时-1 昭=g 略 + (1 - 诃 * * 咯 + /其矩阵表达式如下：(1 + r -r/2<l-r r/2 ) ( j\ -r/2 l + rr/2 1-rui-r/2 l + r -r/2r/2 1-r r/2X-r 1+2匚M丿r/2 l-2r ；E >2利用MATLAB 求解问题的过程对每种差分格式依次取N = 40., r=l/1600, r=l/3200, el/6400,用 MATLAB 求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的Z?误差。
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模型方程差分格式（2）
高阶格式没有表现出比5点格式或9点格式更好的优点。
5点格式最常用。
B.C.
,
99×A is very sparse
Can be solved
u x p y
u v x u u t u 21∇+∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂νρ
特征线的交叉间断解本质区别：非线性波动方程的特征线会相交，而线性波动方程的特征线不会相交
线性方程
a a
图
非线性方程，
波动方程
非线性波动方程
守恒形式
其中，
Weak solution
（a）
（b）
故，（b）（微分方程）的任何连续可微解（古典解）都满足（a ）（弱解积分关系式），因而也是弱解；反之，任何连续可微的弱解也是古典解。
因此，在连续可微的区域G上，古典解和弱解是
完全一致的，但弱解允许在一些线段（或点）上间断。
间断线上的关系式
由（a ）（弱解积分关系式）得：
＝
（c）
故，若分片连续可微函数U（x，t）是微分方程（b）的弱解，则，它一定在连续区满足微分方程（b），而在间断线x=x（t）上满足间断关系式（c）；反之，若分片连续可微函数U（x，t）在连续区满足微分方程（b），而在间断线上满足关系式（c），则它一定满足（a），即它是弱解。
弱解的两种定义：
1、满足积分守恒型方程（a）
2、在连续区满足微分方程（b），且在间断处满足间断关系（c）
弱解的不唯一性
中的每一个函数都是初值问题的弱解。
间断点
处间断点满足：
熵条件：
熵条件
满足熵条件的弱解是唯一的
but
即，在具有间断的问题中，
1、只有1阶精度的差分格式，解才具有单调性；高于1解精度的差分格式，解不具有单调性。
2、单调性的解，具有很强的耗散性。
x A x F A j Δ ⎝
⎛−⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+21？？
前差
前差
See from Fig. 4.37 and 4.36, under the same condition
与Rusanov相似（精度相同，三阶）
非线性项()1
2+n u
展开
代入4.175
格式无耗散，震荡较剧烈
在差分方程（4.176）右端加
不改变差分方程的精度
①
Let
②
有粘性项的Burgers方程仅比无粘性项的Burgers方程多出了u对x的二阶导数，在无粘性的Burgers方程的差分方程中添加u对x二阶导数的中心差分格式，即得到了粘性Burgers方程的差分方程。
不相容于原方程
稳定的必要条件：
即：
：：
：
解的震荡性
差分格式引起的耗散要大于方程
本身的耗散，解失真。
可以通过观察修正的
差分方程，可用。