第七章2由差分方程求响应和卷积选编
实验一：线性卷积和求差分方程的单位样值响应
实验一：线性卷积和求差分方程的单位样值响应一、实验目的利用MATLAB写程序，能够完成线性卷积、差分方程的单位冲激（样值）响应和单位阶跃响应、H(z)的零极点图。
二、实验内容1、利用MATLAB计算线性卷积。
2、差分方程单位冲激（样值）响应h（n）。
3、差分方程单位阶跃响应g（n）。
4、画H(z)的零极点图。
三、实验过程1、线性卷积%线性卷积{2 1 3 7}2*{2 7}-1x1=[2 1 3 7];x2=[2 7];N1=length(x1);N2=length(x2);N3=N1+N2-1;n1=2:N1+1;n2=-1:N2-2;n3=1:N3;x3=conv(x1,x2);subplot(3,1,1);stem(n1,x1,'.k');title('x1(n)的图形');xlabel('n1');ylabel('x1(n)');subplot(3,1,2);stem(n2,x2,'.k');title('x2(n)的图形');xlabel('n2');ylabel('x2(n)');subplot(3,1,3);stem(n3,x3,'.k');title('x3(n)的图形');xlabel('n3');ylabel('x3(n)');grid on;2、差分方程单位冲激（样值）响应h（n）%h(z)=y(z)/x(z)=1/(1-(1/2)z^-1)b=[1];a=[1,-0.5];x=[1 zeros(1,100)];hn=filter(b,a,x);n=0:100;stem(n,hn,'.k');3、差分方程单位阶跃响应g（n）g(n)=2*u(n)-(1/2)^n*u(n)%h(z)=y(z)/x(z)=1/(1-(1/2)z^-1)b=[1];a=[1,-0.5];hn=impz(b,a,100);n=0:99;gn=2-hn;stem(n,gn,'.k');1、画H(z)的零极点图系统差分方程为y(n)+5y(n-1)+4y(n-2)=x(n)，x(n)=2^n*u(n)，y(-1)=0，y(-2)=1。
电路原理课件-卷积积分
7) t≥7时,
y(t ) 0
注意：积分上下限应由被 积函数存在的时域范围的 上下限确定。
卷积积分在电路分析中的应用
例1、电路如图所示，uS=15e-0.25t(t)V。采用卷积计算uC。
解：以uC为响应，求单位阶跃响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
uCf 40 1 0.5V 40 40
t t
t t
t 0
d dt t t
卷积积分上下限分析
t
0
r t h t f t f t h t
卷积符合交换律
δ t f t δ f t dτ τ τ
k 0
f (t ) f a (t )
f ( k ) ( t k ) ( t ( k 1) )
k 0 n 1
k 0 n 1
k 0
n 1
(t k ) (t (k 1) ) f (k )
例2、电路如图，R=10，L=1H，激励uS的波形如图 所示，求零状态响应i(t)。
解：以电流i 为响应，求单位阶跃响应为：
R t 1 g( t ) (1 e L ) ( t ) R 0.1(1 e 10 t ) ( t )
则单位冲激响应为：
dg( t ) h (t ) e 10 t ( t ) dt
40 40 RC 0.05 1s 40 40
uC ( t ) uCf (1 e ) ( t ) 0.5(1 e t ) ( t )V
t
单位阶跃响应为：
g(t ) 0.5(1 e t ) (t )
第七章2由差分方程求响应和卷积选编
解：表示成序列 x1(n)=2 1 4 1
x2(n)=3 1 5 （指针表示n＝0处）
x2 (2)
x1 (m) x1(0) x1(1)
x1 (2)
x1(3) m
x2 (0)
0 x2 (n m)
x2 (1)
n由小变大
m
n2 n
0 x2 (2 m)
1
m2
m
5 2 0 2 5 7
n=－1时
x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(1 m) 1
m
3 10
x(m)x(1 m)
1
y(1) x(m)x(1 m) 4
1
m2
m
5 2 0 2 5 7
n=0时
x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(m) 1
x(n)
h(n)
y(n)
零状态响应： yzs (n) ?
任意离散序列：x(n) x(m) (n m)
离散时间LTI系统：
m
(n) LTI h(n)
(n m) LTI h(n m)
x(m) (n m) LTI x(m)h(n m)
x1(0)x2 (2) x1(1)x2 (2) x1(2)x2 (2) x1(3)x2 (2) x1(0) x2 (1) x1(1)x2 (1) x1(2)x2 (1) x1(3)x2 (1) x1(0)x2(0) x1(1) x2 (0) x1(2)x2 (0) x1(3)x2 (0)
一、迭代法
例题：差分方程为 y(n)－ay(n 1) x(n)
第七章2由差分方程求响应和卷积(1)
差分方程的解是否稳定，决定了线性时不变系统 的稳定性。稳定的系统对于有限能量的输入会产 生有限能量的输出。
线性时不变系统稳定性分析
直接观察法
通过观察差分方程的系数，可以判断系统的稳定性。若差分方程的系数满足一定条件，则系统是稳定的。
特征根法
求解差分方程的特征根，若所有特征根的模均小于1，则系统是稳定的；若存在模等于或大于1的特征根，则系统是 不稳定的。
第七章2由差分方程 求响应和卷积
汇报人：XX
目录
• 差分方程基本概念 • 线性时不变系统与差分方程 • 由差分方程求响应方法 • 卷积运算及其性质 • 实例分析：由差分方程求响应和卷积 • 总结与展望
01
差分方程基本概念
差分方程定义
差分方程是包含未知函数及其差分（ 或差商）的方程，用于描述离散时间 系统的动态行为。
反变换求解响应
通过反变换将变换域中的解转换回时域，得到差分方程的响应。
状态空间法求解差分方程响应
状态空间模型建立
根据差分方程，建立相应的状态空间模型， 包括状态方程和输出方程。
状态转移矩阵求解
利用状态空间模型，求解状态转移矩阵，得 到系统状态的演化规律。
响应计算
根据状态转移矩阵和初始条件，计算系统在 不同时刻的响应。
差分方程可以表示为一阶、二阶或高 阶形式，具体取决于方程中差分的最 高阶数。
差分方程分类
线性差分方程
未知函数及其差分（或差商）的系数均为常数的差分方程。
非线性差分方程
包含未知函数及其差分（或差商）的非线性项的差分方程。
齐次差分方程
等号右侧为零的差分方程。
非齐次差分方程
等号右侧不为零的差分方程。
差分方程与微分方程关系
差分方程求单位样值响应
差分方程求单位样值响应差分方程是一种描述离散时间系统行为的数学工具。
它能够用来计算单位样值响应，即系统对单位冲激函数的响应。
单位样值响应反映了系统对单位冲激输入的输出。
为了理解差分方程和单位样值响应的概念，我们首先需要了解离散时间系统。
离散时间系统是指系统在离散的时间点上对信号进行处理和转换的系统。
离散时间系统可以使用差分方程进行建模和分析。
差分方程由差分方程的一阶递归形式表示，具有以下形式：y[n] = a0 x[n] + a1 x[n-1] + a2 x[n-2] + ... + ak x[n-k] -b1 y[n-1] - b2 y[n-2] - ... - bl y[n-l]其中，y[n]表示输出信号，x[n]表示输入信号，a0、a1、a2、..、ak表示输入信号的系数，b1、b2、..、bl表示输出信号的系数，n表示当前时间点。
我们希望计算的是单位样值响应，也就是输入信号x[n]为单位冲激函数δ[n]时系统的输出信号y[n]。
单位冲激函数在n=0时取值为1，其他时间点取值为0。
因此，当输入信号为单位冲激函数时，差分方程变为：y[n] = a0 δ[n] + a1 δ[n-1] + a2 δ[n-2] + ... + ak δ[n-k] - b1 y[n-1] - b2 y[n-2] - ... - bl y[n-l]单位样值响应的计算可以通过递推的方式进行。
假设我们已经知道了y[0]、y[1]、..、y[n-1]的值，那么根据差分方程的递归形式，可以计算出y[n]的值。
逐步递推之后，我们就能够得到完整的单位样值响应序列。
以下我们通过一个具体的例子来演示如何计算单位样值响应。
假设我们有一个差分方程如下：y[n]=0.5x[n]+0.2x[n-1]-0.3y[n-1]这是一个一阶差分方程，其中系数分别为a0=0.5、a1=0.2、b1=-0.3、我们要计算的是该差分方程的单位样值响应。
首先，将输入信号替换为单位样值响应函数：y[n]=0.5δ[n]+0.2δ[n-1]-0.3y[n-1]然后，根据递推关系式计算y[n]的值。
实验二差分方程的求解和离散系统频率响应的描述
实验二 差分方程的求解和离散系统频率响应的描述一、 实验目的1、掌握用MATLAB 求解差分方程的方法。
2、掌握绘制系统的零极点分布图和系统的频率响应特性曲线的方法。
3、 观察给定系统的冲激响应、阶跃相应以及系统的幅频特性和相频特性二、 实验内容1、已知描述离散新天地差分方程为：y(n+2)-0,25y(n+1)+0.5y(n)=x(n)+x(n-1)，且知该系统输入序列为)()2/1()(n u n x n =，试用MATLAB 实现下列分析过程：画出输入序列的时序波形；求出系统零状态响应在0～20区间的样值；画出系统的零状态响应波形图。
2、一离散时间系统的系统函数：5731053)(2323-+-+-=z z z zz z z H ，试用MA TLAB 求出系统的零极点；绘出系统的零极点分布图；绘出响应的单位阶跃响应波形。
三、 实验报告要求1、求出各部分的理论计算值， 并与实验结果相比较。
2、绘出实验结果波形（或曲线），并进行分析。
3、写出实验心得。
附录：本实验中所要用到的MATLAB 命令1、系统函数H(z)在MATLAB 中可调用函数zplane （），画出零极点分布图。
调用格式为： zplane （b,a ） 其中a 为H （z ）分母的系数矩阵，b 为H(z)分子的系数矩阵。
例2－1：一个因果系统：y （n ）－0.8y(n －1)＝x(n)由差分方程可求系统函数 8.0,8.011)(1>-=-z z z H零极点分布图程序：b=[1,0];a=[1,-0.8];zplane(b,a)2、求解差分方程在MA TLAB中，已知差分方程的系数、输入、初始条件，调用filter（）函数解差分方程。
调用filter（）函数的格式为：y=filtier(b,a,x,xic)，参数x为输入向量（序列），b,a分别为（1-30）式中的差分方程系数，xic是等效初始状态输入数组（序列）。
确定等效初始状态输入数组xic（n），可使用Signal Processing toolbox中的filtic（）函数，调用格式为：y=filtic(b,a,y,x) 。
74常系数线性差分方程的求解
当n 0时，则有：
y+(0)= 1 y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*1=4
y+(2…)=..u.(2) +3y+(1)=1+3+32=13
y+(n)=
u(n)
+3y+(n-1)=1+3+32+……+3n
1 2
3n1
1
则方程的解为： y(n)= 1 3n1 1u(n)
为边界条件。
若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态，指的是 系统的起始样值y-(n)=0，即： y-(-1)、 y-(-2) …... y-(-N) 为 0，而不是指y (-1)、 y(-2) …... y(-N) 为0。
如果已知y(-1)、 y(-2)、…... y(-N)，欲求y(0)、y(1)、 …... y(N)，则根据因果系统在n<0， y-(n)=y+(n)；利用迭 代法求得。
D
Dan (a不是差分方程的特征根)
an
（ D1n+ D2）an (a是差分方程的单特征根)
（ D0nk+ D1nk-1+ ……+Dk-1n+ Dk ）an (a是差分方程的k阶重特征根)
ean
Dean
ejan
Dejan
注意：当差分方程的特征方程有M阶重根1时，则对 应于nk形式的激励信号的特解应修正为： nM（D0nk+ D1nk-1+ ……+Dk-1n+ Dk）
现在，我们给出几种典型信号之特解的一般形式：
线性时不变系统激励与响应有相同的形式
卷积积分及零状态响应的卷积计算法.
e
t T
t
e RC
ε(t)
➢卷积积分的图解
求f(t)与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数
f()h(t)在 由0到t的区间内的定积分。根据定积分的 几何意义，函数在0到t区间内的定积分值，决定于被积 函数f()h(t)的曲线在该区间内与 轴之间所限定的面
积。
设 f (t) ε(t)
h(t ) etε(t )
计算。
解： 当 0<t <1 时
r(t ) te(t )ε(t )d 0 t e(t )d 1 et 0
当 t >1 时
r(t ) e1 (t )ε(t )d 0 1 e(t )d e(t1) et 0
注意：积分上下限应由被 积函数存在的时域范围的 上下限确定，用作图的方 法可方便地确定出积分上 下限。
δt
f
t
t
0
δ
f
t
d
0δ f 0
t d
f
t
δt f t f t
f tδt f t
δt
t0
f
t
t
0
δ
t 0
f
t
d
δ t0
t0
t0
f
t
d
f t t0
例1 求卷积 [e tε(t)] ε(t)
解： [e tε(t)] ε(t) t e ε( )ε(t )d 0
t ed 0
h(t)
1
t
e RC ε(t )
RC
零状态响应电压为
t
uC (t)
u( )h(t ) d
0
t 0
u0e T
ε(
)
1 RC
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x(n)* (n) x(n)
一.卷积和的运算过程：变量替换、反褶、平移、相 乘、求和。
举例：求解图示序列的自卷积。
x(n) 1 n
5 210 1 2 3 5 7
变量替换、反褶
x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(n m)
则所求单位函数响应为：h(n) h1(n) 3h1(n 2)
与连续时间系统相对应，离散时间系统同样可以 利用卷积的方法，求解系统的零状态响应。
连续时间LTI系统：
e(t)
h(t)
r(t)
零状态响应：
rzs (t) e(t) * h(t) h(t) *e(t)
离散时间LTI系统：
1
m1
m
5 21 0 1 2 3 5 7
n=2时
x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(2 m) 1
2
y(2) x(m)x(2 m) 3 m0
5
m
2 0 2
x(m)x(2 m) 1
m
21 0 1 2 3 5 7
n=3时
x(m) 1
(1)若边界条件y(-1)=0，求系统的完全响应 (2)若边界条件y(-1)=1，求系统的完全响应
7.5 离散时间系统单位样值响应
x(n)
y(n)
离散时间系统
单位样值响应：单位样值 (n)作为激励而产生的
系统零状态响应h(n)
单位样值响应也称为单位冲激响应
单位样值响应的响应形式？
单位样值响应具有零输入响应的形 式，也就是具有齐次解的响应形式
求卷积y(n)=x1(n)*x2(n)
解：表示成序列 x1(n)=2 1 4 1
x2(n)=3 1 5 （指针表示n＝0处）
x2 (2)
x1 (m) x1(0) x1(1)
x1 (2)
x1(3) m
x2 (0)
0 x2 (n m)
x2 (1)
n由小变大
m
n2 n
0 x2 (2 m)
h(n)求解：单位样值 (n)作用等效起始条件h(0)
求解齐次方程 h(n)的闭式解
因果系统的充要条件： h(n) 0, n 0
稳定系统的充要条件： h(n) M n
例题：系统的差分方程为：
y(n) - 5y(n -1) + 6y(n - 2) = x(n)
m
5 3
1
y(3) x(m)x(3 m) 2 m2
0 x(m)x(3 m)
1
m
5 2 0 2 5 7
n=－2时
x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(2 m) 1
m
4 2 0
x(m)x(2 m)
0
y(2) x(m)x(2 m) 3
2、特解
特解由差分方程右边自由项函数的形式决定
激励x(n) A常数 n
nk ean n sinwn
响应特解y(n) D常数
D1n+D2 D0nk+D1nk-1+…+Dk D ean D n D1sinwn+D2 coswn
例：求解6y(n) 5y(n 1) y(n 2) x(n) 若 y(0) 15 y(1) 9 x(n) 10 求y(n)
y(n)
N 1
anm
m0
an[1 aN ] 1 a1
2.卷积和的求解过程可以 仿照连续信号求解卷积积
分的解析方法求解
二.对位相乘求和法计算有限长序列的卷积和
已知x1(n)=2 n n 1 4 n 2 n 3, x2(n)=3 n n 1 5 n 2,
5
m
2 0 2
x(m)x(4 m) 1
m
21 0 1 2 3 5 7
n>4时 y(n)=0 y(n)的波形如图所示:
5 y(n)
1n 5 2 0 2 5 7
图解过程和连续信号卷积的过程完全类似！
例：系统单位样值响应h(n) anu(n), 0 a 1 激励 x(n) u(n) u(n N )
一、迭代法
例题：差分方程为 y(n)－ay(n 1) x(n)
若已知 x(n) (n) y(1) 0, 求 y(n)
y(n) ay(n 1) (n)
y(n) anu(n)
利用迭代法可以很容易得到一些离散点的数值 解，但是得到一个解析解不是很容易。实际中 经常利用迭代法求出系统的边界值。
1 n由小变大
m
n2 n2
0
平移、相乘、求和
n<-4时 y(n)=0 n=-4时
5
6
y(4) 1
5
x(m) 1
m
210 1 2 3 5 7 x(4 m)
1
m
2 0
x(m)x(4 m) 1
2 0 2
m
57
n=－3时
x(m) 1
m
5 210 1 2 3 5 7 x(3 m) 1
x(m) (n m) LTI x(m)h(n m)
m
m
x(n) LTI yzs (n) x(m)h(n m) m
7.6 卷积（卷积和）
卷积和： x1(n) x2 (n) x1(m)x2 (n m) m
离散时间LTI系统：
k 0
r0
N
齐次方程： ak y(n k) 0 k 0
特征方程 a0 N a1 N 1 .... aN 0 N个特征根：1,2 ,...... N
特征方程 a0 N a1 N 1 .... aN 0 N个特征根：1,2 ,...... N
3、完全响应的分解
完全响应的分解：
N
（1）y(n)
Ck
n k
D(n)
（齐次解加特解）
k 1
强迫响应
自由响应
yp(n)
yh(n)
N
N
（2）y(n)
Czik
n k
Czsk
n k
D(n)
k 1
k 1
零输入响应 yzi(n)
零状态响应 yzs(n)
其中Czik是由零输入条件下边界值yzi (k)求得， 由起始状态y(1), , y(N ) yzi (1), , yzi (N ) （直接带入求或解迭零代输入响应） 初始条件yzi (0), , yzi (N 1)；
求：响应 y(n) x(n)*h(n)
1.可以结合图解的方法分区间求和；
(1)n 0，x(m)与h(n m)无交迭 y(n) 0
(2)0 n N 1, m从0至n交迭
y(n)
n
anm
m0
an[1 a(n1) ] 1 a1
(3)n N 1，m从0至N－1交迭
齐次解的形式：
y(n)
c11n
c2
n 2
......
cNN n
(无重根）
若1为K重根
y(n)
(c1nk 1
c2nk 2
...
ck
)1n
c n k 1 k 1
......
cNN n
例：求解齐次差分方程 y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) 0
x2 (2)
x2 (0)
n＝2
x2 (1) m
02
y(2) x1(0)x2 (2) x1(1)x2 (1) x1(2)x2 (0)
y(2) x1(0)x2 (2) x1(1)x2 (1) x1(2)x2 (0)
x1(0)
x1(1) x2 (0)
x1(2) x2 (1)
x1(3) x2 (2)
Czsk是由零状态条件下边界值yzs (k )求得， 由零状态条件yzs (1), , yzs (N ) 0 输入 序列x迭(n代)代入方程 初始条件yzs (0), , yzs (N 1)。
例题：已知系统的差分方程表达式为
y(n) 0.9y(n 1) 0.05u(n)
2 0.7 0.1 0 1 0.5,2 0.2
yg (n) c1(0.5)n c2 (0.2)n
例：求解差分方程 y(n) 2 y(n 1) 2 y(n 2) 2 y(n 3) y(n 4) 0 y(1) 1, y(2) 0, y(3) 1, y(5) 1
7.4 常系数线性差分方程的求解
求解方法：
迭代法
手利算用逐计次算代机入：仅得数值解
代入边界条件
时域经典法：先求齐次解与特解======= 求系数
（求解过程麻烦）
零输入与零状态求法：利用齐次解得零输入响应，
利用卷积和求零状态响应
Hale Waihona Puke 变换域法：利用Z变换法（简便有效）
x(n)
h(n)
y(n)
零状态响应：
yzs (n) x(n) * h(n)
卷积和服从交换律、分配律、结合律
x1(n) * x2 (n) x2 (n) * x1(n) x1(n) *[x2 (n) x3(n)] x1(n) * x2 (n) x1(n) * x3(n)
x1(n)* x2 (n)* x3(n) x1(n)*[x2 (n)* x3(n)] [x1(n)* x2 (n)]* x3(n)