2有限差分法及热传导数值计算
热传导方程的求解
热传导方程的求解热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
求解热传导方程有多种方法，下面将介绍两种常用的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是一种常见且简单的求解热传导方程的方法。
它基于热传导方程的偏微分方程特性，将变量分离并进行独立的求解。
1. 问题设定假设需要求解的热传导问题为一维情况，物体的长度为L，初始时刻温度分布为u(x,0)=f(x)，物体两端保持恒温边界条件u(0,t) = A，u(L,t) = B。
2. 分离变量假设u(x,t)可表示为u(x,t) = X(x)T(t)，将u(x,t)代入热传导方程中，可得到两个方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)，其中α为热扩散系数。
由于左侧只依赖于x，右侧只依赖于t，所以二者必须等于一个常数λ。
3. 求解分离后的方程将上述得到的分离变量方程代入边界条件，可得到两个常微分方程，分别是X''(x)/X(x) = λ 和T'(t)/αT(t) = -λ。
这两个常微分方程可以求解得到X(x)和T(t)。
4. 求解系数通过使用初始条件u(x, 0) = f(x)，可以求解出常数λ的值，进而求解出X(x)和T(t)。
5. 求解问题最终将X(x)和T(t)重新结合，即可得到热传导问题的解u(x, t)。
二、有限差分法有限差分法是一种数值求解热传导方程的常用方法，它通过将连续的空间和时间离散化，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
1. 空间和时间离散化将物体的空间进行网格划分，时间进行离散化，并在网格节点上计算温度的近似值。
2. 差分方程将热传导方程中的偏导数进行近似，得到差分方程。
例如，可以使用中心差分法来近似偏导数。
3. 迭代求解根据差分方程，通过迭代计算每个网格节点的温度值，直到达到收敛条件。
4. 求解问题最终，根据求解的温度值，在空间和时间通过插值或者线性拟合等方法得到热传导问题的解。
有限差分法-导热模拟
有限差分法-导热模拟有限差分法（Finite Differential Method ）是基于差分原理的一种数值计算法。
其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数ϕ的泊松方程的问题转换为求解网格节点上ϕ的差分方程组的问题。
一、利用有限差分法离散三维傅立叶热传导微分方程：T z T y T xT t T 2222222∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂αα （1-1）解：将三维温度场域划分为足够小的正方体网格，网格之间距离为h ，图一显示为节0(i,j,k)及其周围的节点1(i-1,j,k)、2(i+1,j,k)、3(i,j-1,k)、4(i,j+1,k)、5(i,j,k-1)、6(i,j,k+1)。
节点上的电位分别用6543210T T T T T T T ，，，，，，表示由有限差分法得：2220122)1()(2)1(2)(0hk j i T k j i T k j i T h T T T x T x x ，，，，，，++--=+-≈∂∂= （1-2） 同理：2240322)1()(2)1(2)(0hk j i T k j i T k j i T h T T T y T y y ，，，，，，++--=+-≈∂∂=（1-3） 2260522)1()(2)1(2)(0hk j i T k j i T k j i T h T T T z T z z ++--=+-≈∂∂=，，，，，，（1-4） 将时间t 划分为足够小的时间段，时间节点之间的距离为g ，则采用有限差分法的后向差分法得：g T T dt dT n n 1--≈ （1-5） Z YX 1(i-1,j,k)0(i,j,k)2(i+1,j,k)3(i,j-1,k)4(i,j+1,k) 5(i,j,k-1) 6(i,j,k)图1 三维节点图将式（1-2）、（1-3）、（1-4）、（1-5）代入式（1-1）得：()2121)()1()1()1()1()1()1()(61)](6)1()1()1()1()1()1([)()(h gr k j i T k j i rT k j i rT k j i rT k j i rT k j i rT k j i rT k j i T r k j i T k j i T k j i T k j i T k j i T k j i T k j i T hg k j i T k j i T n n n n n n n n n n n n n n n n n αα==+---+---+---+⇒-++-+++-+++-=---其中：，，，，，，，，，，，，，，，，传导差分公式上式整理可推出三维热，，，，，，，，，，，，，，，，，，求解完毕。
有限差分法及热传导数值计算
有限差分法及热传导数值计算有限差分法（finite difference method）是一种常用的数值计算方法，可以用于求解热传导问题。
它基于热传导方程，通过将连续的热传导问题离散化成离散网格上的代数方程组，然后利用数值迭代方法求解方程组，得到热传导问题的数值解。
热传导方程描述了热量在物体内部传导的过程，它可以写成以下形式：∂T/∂t=α∇²T其中，T是温度场的分布，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。
为了使用有限差分法求解热传导问题，我们需要将时间和空间进行离散化。
时间上，我们将连续的时间区间[0,T]分成N个子区间，每个子区间的长度为Δt，表示为t_i=iΔt，其中i=0,1,2,...,N。
空间上，我们将研究区域Ω划分为M个离散节点，每个节点的坐标为x_j，表示为x_j=jΔx，其中j=0,1,2,...,M。
在离散化后，我们可以用差分近似的方式来近似热传导方程。
对于时间上的导数，我们可以使用前向差分，即∂T(x_j,t_i)/∂t≈(T(x_j,t_{i+1})-T(x_j,t_i))/Δt对于空间上的二阶导数，我们可以使用中心差分，即∇²T(x_j,t_i)≈(T(x_{j-1},t_i)-2T(x_j,t_i)+T(x_{j+1},t_i))/Δx²将上述差分近似带入热传导方程中，我们可以得到如下的差分方程：(T(x_j,t_{i+1})-T(x_j,t_i))/Δt=α*(T(x_{j-1},t_i)-2T(x_j,t_i)+T(x_{j+1},t_i))/Δx²重新整理得到：T(x_j,t_{i+1})=T(x_j,t_i)+α*Δt*(T(x_{j-1},t_i)-2T(x_j,t_i)+T(x_{j+1},t_i))/Δx²这个差分方程可以用于迭代求解热传导问题。
我们可以根据初始条件和边界条件，从t=0的初始时刻开始，按照时间步长Δt进行迭代计算。
热传导方程的建立、数值解法及应用
推导物体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的
Fourier定律：
热传导的Fourier定律定律(用自己的语言组织)：
d t 时间内，沿某面积元d s 的外法线方向流过的热量d q 与该面积元两
u 侧的温度变化率 n 成正比，比例系数为k .自然条件下温度趋于减少，所
以等式右边有个负号d.即q： k
2u y2 xix
ui, j1
2ui, j y2
ui, j1
O(y2 )
y jy
上式误差之所以为x2的高阶无穷小可以通过泰勒公式来证明。
泰勒公式展开为佩亚诺余项形式：
u ui1, j =ui, j + x
xix
x
1 2!
2u x2
xix
x2 O(x2 )
y jy
y jy
同理：ui1, j =ui, j
uin, j,k (1 2rx
2ry
2rz ) rx (uin1, j,k
un i 1,
j,k
)
ry
(uin,
j 1,k
uin, j1,k ) rz (uin, j,k 1 uin, ) j,k 1
这样的处理还没有完，由于边界的情况未知，所以我们需要对边界进行 特殊处理。 边界条件一般分为三类：边界温度已知、边界温度的法向梯度已知、两 者的线性组合已知。 • 第一种最简单，只要设定一个初始温度ui0, j ，之后的每一次迭代过程
热传导方程的数值 解法及应用
主讲人: 陈鹏
主要内容
1.热传导方程的建立 2.用有限差分法建立热差分模型 3.双层玻璃中的一维热传导 4.利用PDE工具箱设计面包烤盘 5.利用差分模型研究浴缸水温的变化规律
热传导现象的数值计算与模拟
热传导现象的数值计算与模拟热传导是物理学中一个重要的研究领域，涉及到热量在物质中的传递和分布。
在很多工程和科学应用中，需要对热传导进行准确的计算和模拟，以优化设计和预测物体的温度分布。
数值计算和模拟方法在热传导研究中扮演了至关重要的角色。
在过去，研究者通常使用解析方法来计算热传导问题。
然而，解析方法往往只适用于简单的几何形状和边界条件，并且在复杂的情况下很难求得准确的解析解。
因此，数值计算和模拟方法逐渐成为研究热传导问题的主要手段。
数值计算方法可以通过离散化热传导方程来求解。
其中最常用的是有限差分法和有限元法。
有限差分法将连续的物理方程转化为离散的差分方程，通过迭代求解差分方程来得到数值解。
有限元法则将问题分割成无穷个小单元，然后通过整合每个单元的局部方程来得到整个问题的数值解。
这两种方法在热传导问题中广泛使用，能够得到较为准确的结果。
在进行数值计算之前，我们需要对待求区域进行合适的网格划分。
网格划分的细致程度将直接影响到数值计算的准确性和计算效率。
通常，简单的几何形状可以使用规则网格，而复杂的几何形状则需要使用非结构化网格或自适应网格。
在选择网格时，要考虑到具体问题的特点和计算资源的限制。
除了数值计算方法外，热传导现象还可以通过数值模拟方法来研究。
数值模拟方法通过建立物理模型和数学模型，通过计算机仿真得到物体的温度分布和热流动态。
数值模拟方法通常需要考虑物体的几何形状、边界条件、材料属性等因素，并通过适当的数值计算方法来解决模型方程。
近年来，随着计算机硬件和算法的不断发展，数值计算和模拟方法的应用越来越广泛。
在工业领域，热传导的数值计算和模拟可以应用于热管设计、电子器件散热、焊接过程等方面。
在科学研究中，数值计算和模拟也被广泛应用于地热、天气气象、核聚变等领域。
然而，数值计算和模拟方法也存在一定的局限性。
首先，数值计算方法需要进行离散化，可能会引入一定的误差。
虽然可以通过减小网格尺寸和增加计算精度来减小误差，但也会增加计算的复杂性和耗时。
稳态热传导问题的数值模拟
稳态热传导问题的数值模拟热传导是热能从高温区向低温区传递的过程，在自然界和工程应用中有广泛的应用。
当材料或物体的长度，面积和体积足够大以至于其中的热量可以被视为连续分布时，稳态热传导方程可以用来描述热传导现象。
本文将讨论如何通过数值模拟来解决稳态热传导问题。
1. 稳态热传导方程首先，我们来看一下稳态热传导方程。
稳态热传导方程最常用的形式是二维热传导方程和三维热传导方程。
对于二维情况，可以表示为：$$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0 $$对于三维情况，可以表示为：$$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partialy^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}=0 $$其中，T表示温度。
2. 数值模拟方法由于稳态热传导方程在大多数情况下很难用解析方法求解，因此数值模拟方法成为了解决该问题的主要方法之一。
这里我们主要介绍两种数值模拟方法：有限差分法和有限元法。
2.1 有限差分法有限差分法是一种基于迭代计算的数值模拟方法，它将区域离散化为小的网格，并通过有限差分来逼近上述方程。
具体来说，它将偏微分方程近似为差分方程，然后用迭代方法来逼近和求解问题。
在应用有限差分法时，需要将连续的区域离散化为小的网格。
然后，用相邻两个网格点的温度差来逼近该点处的温度。
具体来说，对于二维情况，可以用以下公式来表示：$$ \frac{T(i+1,j)+T(i-1,j)+T(i,j+1)+T(i,j-1)-4T(i,j)}{h^2}=0 $$其中，h表示网格尺寸，i和j分别表示网格的横向和纵向坐标。
通过递归求解该方程，可以得到整个区域内的温度分布。
2.2 有限元法有限元法是一种更通用的数值模拟方法，可以用于解决各种类型的偏微分方程。
偏微分方程的数值求解方法
偏微分方程的数值求解方法偏微分方程是描述自然现象的重要工具，例如描述热传导、电磁波传播、流体运动等。
然而大多数情况下，这些方程很难通过解析方式求解，因此需要数值求解方法。
本文将介绍偏微分方程的数值求解方法及其应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常见的偏微分方程数值求解方法。
它将原本连续的区域离散化，将偏微分方程转化为差分方程。
例如对于一维热传导方程：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$其中 $u(x, t)$ 是温度，$\alpha$ 是热扩散系数。
我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，时间分成 $M$ 个步骤。
则有：$$u_i^{m+1} = u_i^m + \frac{\alpha\Delta t}{\Deltax^2}(u_{i+1}^m - 2u_i^m + u_{i-1}^m)$$其中 $u_i^m$ 表示在位置 $i\Delta x$，时间 $m\Delta t$ 时的温度值。
这是一个显式求解方程，可以直接按照时间步骤迭代计算。
不过由于它的误差可能会增长，因此需要小心选择时间步长和空间步长，以保证误差不会过大。
二、有限元法有限元法是一种更加通用的偏微分方程数值求解方法。
它将连续区域离散化成一些小段，称为单元。
然后针对每个单元，将其上的偏微分方程转化为局部插值函数的方程求解。
例如对于一维波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，用有限元方法将每个网格分成若干个单元。
则对于每个单元 $i$，我们可以得到一个局部插值函数 $u^i(x, t)$ 来近似解该单元上的偏微分方程。
这里不再赘述该函数的形式。
另外，我们还需要满足界面上的连续性和斜率匹配条件，以保证整体解是连续的。
热传导与有限差分
(6)
研究生课程《高等工程热力学与传热学》电子教案
三类边界条件
第 1 类边界条件： 给定边界上的温度。 第 2 类边界条件： 给定边界上的法向热流密度。 第 3 类边界条件： 给定外部介质的温度和给定边界上的对流换热面的对流 换热系数。
3
研究生课程《高等工程热力学与传热学》电子教案
偏微分方程的求解
) (
)]
(22)
该差分格式称之为 Crank-Nicholson 格式，它的精度要高于显 式格式和隐式格式，其截断误差为 O[( Δt ) 2 + ( Δx ) 2 ] 。
9
研究生课程《高等工程热力学与传热学》电子教案
常见差分格式的稳定性分析
所谓稳定性问题，是指：若定义第 n 步第 j 个节点的数值求解 误差为 ε n j ，如果定义误差放大倍数 ω 满足
13
研究生课程《高等工程热力学与传热学》电子教案
常见差分方程求解
1) 显式差分方程： 直接求解。 2) 隐式差分方程或者 Crank-Nicholson 差分方程： 一维问题：追赶法； 二维问题：高斯消元法或者迭代法（如高斯－赛德尔法） 。 快速算法－交替方向法（俞昌铭，1981）
14
研究生课程《高等工程热力学与传热学》电子教案
+1 εn j ω = n ≤1 εj
(23)
则称该数值解法是稳定的，反之则为不稳定。常见的稳定性分 析方法是傅里叶级数法。一般来说，稳态问题的差分方法不存在稳 定性问题。 1) 显式格式 假设误差函数 ε ( Δx , Δt ) 可以展开成傅里叶级数的形式： ∞ ε ( Δx , Δt ) = ∑ Am cos β m Δx (24)
(7) (8) (9)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dt t dx x
物
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
理
问
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
题
的 数
求解代数方程
改进初场
值
求
是否收敛 否
解
过
是
程
解的分析
2.2 内节点离散方程的建立方法 下面先对稳态导热问题中位于计算区域内部的节点(简称
内节点)介绍其离散方程的建立方法，而位于边界上的节点及 非稳态导热中的非稳态项的离散将在以后讨论。
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的
温度tm-1,n
t x2 2t x3 3t x4 4t
tm1,n tm,n x x m,n
2
x2 m,n
6
x3 24 x4 L m,n
将上两式相加可得
tm1,n
tm1,n
2tm,n 2t
x2
2t x2
m,n
x4 12
4t x4
1 ）高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算， 均是使用节点温度的最新值。 2 ）用雅可比迭代法：每次迭代计算，均用 上一次迭代计算出的值。
设有一三元方程组：
a11t1 a12t2 a13t3 b1 a21t1 a22t2 a23t3 b2 a31t1 a32t2 a33t3 b3
其中 ai, j（ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及 是bi
对于每个节点写出上式，然后联立求解方程组，即可求解。
（如边界温度已知，可逐步递推求解）
泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n
来表示节点(m+1,n)而温度tm+1,n
tm1,n
tm,n
x
t x
m,n
x2 2
2t x2
m,n
x3 6
3t x3
m,n
x4 24
4t x4
L
其余节点类推。（举例）
三种基本差分格式：[以节点(m，n)为例]
（1）向前差分：
t x
m,n
tm1,n tm,n , t x y
m,n
tm,n1 tm,n y
（2）向后差分：
t x
m,n
tm,n tm1,n , t x y
m,n
tm,n tm,n1 y
t （3）中心差分： x
m,n
tm1/ 2,n tm1/ 2,n , t
m,n1/ 2
tm,n tm,n1 y
所以： 2t x2
t m,n x
m1/ 2,n
t x
x
m1/ 2,n
tm1,n 2tm,n tm1,n (x)2
2t y 2
m,n
t y
m,n1/ 2
t y
y
m,n1/ 2
tm,n1
2tm,n (y)2
tm,n1
最终得：
2t x 2
2t y 2
3x2&
2
2x2qw )
qw
y x
讨论关于边界热流密度的三种情况：
（1）绝热边界 即令上式 qw 即0 可。
（2） qw值不为零
流入元体， qw 取正，流出元体，
述公式
取qw 负使用上
（3）对流边界
此时qw h(t f ，tm,将n ) 此表达式代入上述方程，并将
此项中的 与等tm,号n 前的
2t y 2
0
得
tm1,n
2tm,n x2
tm1,n
tm,n1
2tm,n y2
tm,n1
0
若 △x=△y 则有
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1)
y x
2.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
1. 边界节点离散方程的建立：
(1) 平直边界上的节点
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若边界上有向 该元体传递的热流密度为q ，据能量守恒定律对该元体有：
非稳态项 的离散有三种不同的格式。如果将函数在节 点(n，i+1)对点(n，i)作泰勒展开，可有
于是有
由式(b)可得在点(n，i)处一阶导数的一种差分表示式 , 的向前差分:
类似地，将t在点(n，i-1)对点(n，i)作泰勒展开，可得 的向后差分的表达式：
如果将t在点(n，i+1)及(n，i-1)处的展开式相加，则可得 一阶导数的中心差分的表达式：
合并t。m,n对于
的情形x有 y
（a）平直边界
2
hx
2
tm,n
2tm1,n
tm,n1
tm,n1
x2
g
m,n
2hx
tf
（b）外部角点
g
2
hx
1 tm,n
tm1,n
tm,n1
x2 m,n
2
2hx
tf
（c）内部角点
g
2
hx
3
tm,n
2
tm1,n tm,n1
tm1,n
tm,n1
这一条件数学上称主对角线占优（对角占 优）；
a12 a13 1，a21 a23 1，a31 a32 1
a11
a22
a33
3 ）采用热平衡法导出差分方程时，若每一 个方程都选用导出该方程中心节点的温度作 为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定 收敛。
当计算区域中出现曲线边界或倾斜的边界时，常常用阶 梯形的折线来模拟真实边界，然后再用上述方法建立起边界 节点的离散方程。例如，如要用数值方法确定如图4-6a所示 二维区域的形状因子，显然，根据对称性我们只要考虑四分 之一的计算区域即可。图4-6a中的内圆边界可以来用图4-6b 所示的阶梯形的折线边界来近似。只要网格取得足够密，这 种近似处理方法仍能获得相当准确的结果。处理不规则边界 的更好的方法要用到坐标变换，这里不做介绍。
tm1,n 2tm,n tm1,n (x)2
tm,n1
2tm,n (y)2
tm,n1
如果取正方形网格，即取 x y ，则上式为：
tm+1,n+tm-1,n+tm,n+1+tm,n-1-4tm,n=0
上式说明：在导热系数为常量时，热量的转移可用温度差来表达； 在稳态下，流向任何节点的热量的总和必须为零。
3x2 m,n
2
2hx
t
f
2. 代数方程的求解方法
1） 直接解法：通过有限次运算获得精确 解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。
2） 迭代法：先对要计算的场作出假设（设 定初场），在迭代计算中不断予以改进，直 到计算前的假定值与计算结果相差小于允许 值为止的方法，称迭代计算收敛。
迭代法目前应用较多的是：
L
将上式改写成 x2的m,n表达式，有
2t tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
表示未明确写出的
级数余项中的ΔX
的最低阶数为2
根据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 )
2t x2
图4-6 不规则区域的处理
2.4 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热与稳态导热的主要差别在于控制方程中多了 一个非稳态项，而其中扩散项的离散方法与稳态导热是一样的。 因此，本节讨论重点将放在非稳态项的离散以及扩散项离散时 所取时间层的不同对计算带来的影响上。
1.泰勒展开法
首先以一维非稳态导热为例讨论时间—空间区域的离散 化。如图4-8所示，x为空间坐标，我们将计算区域划分为(N-1) 等份，得到N个空间节点；τ为时间坐标，我们将时间坐标上 的计算区域划分为(I-1)等份，得到I个时间节点。从一个时间 层到下一个时间层的间隔Δτ称为时间步长。空间网格线与时 间网格线的交点，如(n，i)，代表了时间—空间区域中的一个 节点的位置，相应的温度记为tn(i)。
个以 x、为y边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热
流密度为 ，则qw据能量守恒定律得其热平衡式为：
x y
tm1,n tm,n y tm,n1 tm,n x
x 2
y 2
xyΦ&m,n 4
x
2
y
qw
0
tm,n
1 2 tm1,n
tm,n1
x2Φ&m,n
2
2xqw
qw
y x
(3) 内部角点
求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件 下的积分求解，从而获得分析解。近100年来,对大量几何 形状及边界条件比较简单的问题获得了分析解,但对于工程 技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题,由 于数学上的困难目前还无法得出其分析解.随着计算机技术 的迅速发展，并得到日益广泛的应用.对物理问题进行离散 求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以 下几种：
x
y
m,n
t t m,n1/ 2 m,n1/ 2 y
对无内热源、稳态、二阶导热微分方程，有：
2t x 2
2t y 2
0
用中心差分格式
因为：t x
m1/ 2,n
tm1,n tm,n x
, t x
m1/ 2,n
tm,n tm1,n x
t y
m,n1/ 2
tm,n1 tm,n y
,
t y
（1）有限差分法
（2）有限元方法
（3）边界元方法
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括
为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的 场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的 值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的 关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理 量的值。该方法称为数值解法。