复习第三章求解导热问题的有限差分法
传热学第3章非稳态导热
（1）两个阶段的过程是有区别的；
（2）与热流方向向垂直的截面上热流量处处不等。
◆对于非稳态导热一般不能用热阻的方法来做问题的定量分析。
2020/5/3 - 5 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
6、非稳态导热问题的求解 (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t
tf
tf
h
h
0
x
t
tf
h
0
x
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第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
(3) 第三类边界条件下Bi数对平板内温度分布的影响
Bi r h
rh
1h
无量纲数
无量纲数的简要介绍：
基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉
及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物 理过程的主要特征，并且没有量纲。
Bi r h
rh 1 h
当 Bi 时， 当 Bi 时0，
，r因此，r可h 以忽略对流换热热阻 ，r因 此，可rh以忽略导热热阻
0 Bi
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
§3-2 零维问题的分析法——集中参数法
3.2.1 集中参数法温度场分布的解析解
]
J
s
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第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
即与 1/
的量纲相同，当
Vc
hA
时，则
hA 1 Vc
此时，
e1 36.8% 0
传热学课件第三章稳态导热
重点与难点
重点： 平壁、圆筒壁的一维稳态导热 难点： 肋片的导热
内容精粹
§1 通过平壁的导热
§2 通过圆筒壁 的导热
§3 通过球壁的导热
§4 接触热阻
§5 通过肋片的导热
第一节
通过平壁的导热
一、第一类边界条件下的平壁导热
当平壁的两表面分别维持均匀恒定 的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。
1. 单层平壁的稳态导热
圆球型导热仪示意图
在导热过程达到稳态后，通过被测材料层的
热流量Ф 就等于电加热功率P，忽略球壳的导热
热阻，被测材料层的内、外径即为内球壳外径d1 和外球壳内径d2，内外两侧的温度分别等于内、 外球壁的平均壁温tw1、tw2
。则所测材料在tw1～
tw2温度范围内的平均热导率为：
（d 2 d1） m 2d1d（ 2 t w1 t w 2）
2. 多层平壁的稳态导热
多层平壁由多层不同材料组成，当两表面分别维 持均匀恒定的温度时，其导热也是一维稳态导热。 以三层平壁为例，假设 （1）各层厚度分别为1、2、3， 各层材料的导热系数分别为1、2、 3 , 且分别为常数； （2）各层之间接触紧密, 相互 接触的表面具有相同的温度； （3）平壁两侧外表面分别保持 均匀恒定的温度tw1、tw4。 显然，通过此三层平壁的导热为 稳态导热, 各层的热流量相同。
tw1 tw 4 l Rl1 Rl2 Rl3 tw1 tw 4 d3 1 d2 1 1 d4 ln ln ln 21 d1 22 d 2 23 d3
对于 n层不同材料组成的多层圆筒壁的稳态导热 , 单位 长度的热流量为
l
tw1 tw n 1
三层平壁稳态导热的总导热热阻为各层导热热阻 之和，由单层平壁稳态导热的计算公式可得 tw1 tw 4 tw1 tw 4 3 1 2 R1 R 2 R 3 A1 A2 A3
高等传热学复习题带答案
高等传热学复习题1．简述求解导热问题的各种方法和傅立叶定律的适用条件。
答：导热问题的分类及求解方法：按照不同的导热现象和类型，有不同的求解方法。
求解导热问题，主要应用于工程之中，一般以方便，实用为原则，能简化尽量简化。
直接求解导热微分方程是很复杂的，按考虑系统的空间维数分，有0维，1维，2维和3维导热问题。
一般维数越低，求解越简单。
常见把高维问题转化为低维问题求解。
有稳态导热和非稳态导热，非稳态导热比稳态导热多一个时间维，求解难度增加。
有时在稳态解的基础上分析非稳态稳态，称之为准静态解，可有效地降低求解难度。
根据研究对象的几何形状，又可建立不同坐标系，分平壁，球，柱，管等问题，以适应不同的对象。
不论如何，求解导热微分方程主要依靠三大方法：甲．理论法乙．试验法丙．综合理论和试验法理论法：借助数学、逻辑等手段，根据物理规律，找出答案。
它又分：分析法；以数学分析为基础，通过符号和数值运算，得到结果。
方法有：分离变量法，积分变换法(L a p l a c e变换，F o u r i e r变换)，热源函数法，G r e e n函数法，变分法，积分方程法等等，数理方程中有介绍。
近似分析法：积分方程法，相似分析法，变分法等。
分析法的优点是理论严谨，结论可靠，省钱省力，结论通用性好，便于分析和应用。
缺点是可求解的对象不多，大部分要求几何形状规则，边界条件简单，线性问题。
有的解结构复杂，应用有难度，对人员专业水平要求高。
数值法：是当前发展的主流，发展了大量的商业软件。
方法有：有限差分法，有限元法，边界元法，直接模拟法，离散化法，蒙特卡罗法，格子气法等，大大扩展了导热微分方程的实用围，不受形状等限制，省钱省力，在依靠计算机条件下，计算速度和计算质量、围不断提高，有无穷的发展潜力，能求解部分非线性问题。
缺点是结果可靠性差，对使用人员要求高，有的结果不直观，所求结果通用性差。
比拟法：有热电模拟，光模拟等试验法：在许多情况下，理论并不能解决问题，或不能完全解决问题，或不能完美解决问题，必须通过试验。
传热学第七版知识点总结
传热学第七版知识点总结●绪论●热传递的基本方式●导热（热传导）●产生条件●有温差●有接触●导热量计算式●重要的物理量Rt—热阻●热对流●牛顿冷却公式●h—表面传热系数●Rh—既1➗h—单位表面积上的对流传热热阻●热辐射●斯蒂芬—玻尔茨曼定律●黑体辐射力Eb●斯蒂芬—玻尔茨曼常量（5678）●实际物体表面发射率（黑度）●传热过程●k为传热系数p5●第一章：导热理论基础●基本概念●温度场●t=f（x，y，z，t）●稳态导热与非稳态导热●等温面与等温线（类比等高线）●温度梯度●方向为法线●gradt●指向温度增加的方向●热流（密度）矢量●直角坐标系●圆柱坐标系●圆球坐标系●傅里叶定律●适用条件：各向同性物体●公式见p12●热导率●注意多孔材料的导温系数●导热微分方程式●微元体的热平衡●热扩散率●方程简化问题p19●有无穷多个解●导热过程的单值性条件●几何条件●物理条件●导热过程的热物性参数●时间条件●也叫初始条件●边界条件●第一类边界条件●已知温度分布●第二类边界条件●已知热分布●第三类边界条件●已知tf和h●第二章：稳态导热●通过平壁的导热●第一类边界条件●温度只沿厚度发生变化，H和W远大于壁厚●第三类边界条件●已知tf1和2，h1和2●通过复合平壁的导热●具有内热源的平壁导热●通过圆筒壁的导热●公式见p37●掌握计算公式及传热过程●掌握临界热绝缘直径dc●通过肋壁的导热●直肋●牛顿冷却公式●环肋●肋片效率●通过接触面的导热●了解接触热阻Rc●二维稳态导热●了解简化计算方法●形状因子S●第三章：非稳态导热●非稳态导热过程的类型和特点●了解过程●了解变化阶段●无限大平壁的瞬态导热●加热或冷却过程的分析解法●表达式及物理意义●傅立叶数Fo●毕渥准则Bi●集总参数法●应用条件●见课本p69●物理意义●见课本p70●半无限大物体的瞬态导热●其他形状物体的瞬态导热●周期性非稳态导热●第四章：导热数值解法基础●建立离散方程的方法●有限差分法●一阶截差公式p91●控制容积法●根据傅立叶定律表示导热量●稳态导热的数值计算●节点方程的建立●热平衡法●勿忽略边界节点●非稳态导热的数值计算●显式差分●勿忽略稳定性要求●隐式差分●第五章：对流传热分析●对流传热概述●流动的起因和状态●起因●自然对流●受迫对流●流速快强度大h高●状态●层流●紊流●采用较多●流体的热物理性质●热物性●比热容●热导率●液体大于气体●密度●黏度●大了不利于对流传热●液体●温度越高黏度越低●气体●温度越高黏度越大●定性温度●流体温度●主流温度●管道进出口平均温度●容积平均温度●壁表面温度●流体温度与壁面温度的算数平均值●流体的相变●相变传热●传热表面几何因素●壁面形状●长度●定型长度l●粗糙度●流体的相对位置●外部流动●外掠平板●外掠圆管及管束●内部流动●管内流动●槽内流动●对流传热微分方程组●对流传热过程微分方程式●见课本p116公式5-2●第一类边界条件●已知壁温●第二类边界条件●已知热流密度q●连续性方程●质量流量M的概念●p117公式5-3●二维常物性不可压缩流体稳态流动连续性方程●动量守恒微分方程式●动量守恒方程式●p118公式5-4●N- S方程●注意各项的含义●能量守恒微分方程式●四种热量●导热量●热对流传递的能量●表面切向应力对微元体做功的热（耗散热）●内热源产生的热●方程式p119公式5-5●边界层对流传热微分方程组●流动边界层●层流边界层●紊流边界层●层流底层（黏性底层）●会画分布规律●热边界层●也称温度边界层●会画分布规律●数量级分析与边界层微分方程●普朗特数Pr的概念●外掠平板层流传热边界层微分方程式分析解简述●熟记雷诺准则●努谢尔特数Nu含义●动量传递和热量传递的类比●两传类比见p132内容较多●动量传递●掌握雷诺类比率●热量传递●掌握柯尔朋类比率●相似理论基础●三个相似原理●同类物理现象●同名的已定特征数相等●单值性条件相似●初始条件●边界条件●几何条件●物理条件●对流传热过程的数值求解方法简介p145 ●第六章：单相流体对流传热●会用准则关联式计算h●p162例题●确定定性温度，定型尺寸●查物性参数计算Re●附录2●选择准则关联式●p160公式6-4●第七章：凝结与沸腾传热●凝结传热●形成和传热模式的不同●珠状凝结●膜状凝结●了解影响因素●了解关联式的应用●沸腾传热●了解换热机理●掌握大空间沸腾曲线●影响因素●计算方法●热管●了解工作原理●第八章：热辐射的基本定律●基本概念●理解●热辐射的本质●热辐射的特点●掌握概念●黑体●灰体●漫射体●发射率●吸收率●热辐射的基本定律●重点掌握●维恩位移定律●斯蒂芬-玻尔兹曼定律●基尔霍夫定律●漫灰表面发射率等于吸收率●第九章：辐射传热计算●任意两黑表面之间的辐射换热量●角系数●用代数法进行计算●空间热阻●封闭空腔法●三个黑表面之间的辐射换热●掌握热阻网格图●灰表面间●辐射换热●基尔霍夫定律计算●掌握三个灰表面●有效辐射●掌握概念●表面热阻●绝热面重辐射面●遮热板工作原理及应用●气体辐射特点●第十章：传热和换热器●通过肋壁的传热●了解计算方法●复合传热时的传热计算●传热的强化和削弱●了解措施●换热器的形式和基本构造●了解分类●平均温度差●掌握LMTD方法●换热器计算●对数平均温差法●掌握传热单元数法p305 ●换热器性能评价简述。
传热学推导题总结
传热学推导题总结传热学是一门研究热量传递规律的科学，其在能源、化工、建筑等领域有着广泛的应用。
在传热学的学习过程中，推导题是检验学生对传热学理论掌握程度的重要题型。
本文将对传热学中的一些常见推导题进行总结，以帮助学生更好地理解和掌握传热学的知识。
一、导热问题的数学描述对于一维稳态导热问题，其数学描述通常采用傅里叶定律和初始条件、边界条件。
傅里叶定律表述为：在导热过程中，单位时间内通过给定截面的热量与该截面处的温度变化率和截面面积成正比。
初始条件表述为：在导热开始时，物体内的温度分布；边界条件表述为：物体与周围介质之间的换热情况。
二、导热问题的求解方法导热问题的求解方法主要有分离变量法、有限差分法、有限元法和有限体积法等。
其中，分离变量法是求解一维稳态导热问题的常用方法，它将偏微分方程转化为多个常微分方程，从而简化求解过程。
有限差分法和有限元法则是求解非稳态导热问题的常用方法，它们将连续的求解域离散化，通过代数方法求解离散后的方程组。
有限体积法则是求解对流换热问题的常用方法，它将求解域划分为一系列控制体积，通过对控制体积上的积分来建立离散方程。
三、对流传热的分类和特点对流传热是指流体与固体表面之间的热量传递现象。
根据流体的流动状态，对流传热可以分为强制对流和自然对流两类。
强制对流是指流体在外力作用下产生运动，从而与固体表面进行热量交换；自然对流则是指流体因密度差而产生运动，从而与固体表面进行热量交换。
对流传热的传热系数一般较大，但传热过程受流体流动状态的影响较大。
四、辐射传热的计算方法辐射传热是指物体通过电磁波传递能量的方式。
辐射传热的计算方法主要包括光谱吸收比和发射率、灰体模型和全辐射模型等。
光谱吸收比和发射率是指物体对不同波长光线的吸收和发射能力；灰体模型则是指将物体视为对所有波长光线都有相同吸收和发射能力的模型；全辐射模型则是指将物体视为能够完全吸收和发射所有波长光线的模型。
在计算辐射传热时，需要根据具体情况选择合适的模型和方法。
1-有限差分法的基本知识汇总
x x 2u( x, t ) u( x x, t ) u( x, t ) T xg x F ( , t )dx 2 x x x t
等号两边用中值定理：并令 x 0
2u ( x, t ) 2u ( x, t ) T g F ( x, t ) 2 2 x t
Q1 Q2
2
M
S
热场
k TdV dt
2 t1 V
t2
t2
t1
T c dVdt t V
三维热传导方程
T k T c t
T k 2 T a 2 2T t c
T a 2 2T f t
Q3
t2
t1
FdV dt
二维波动方程：
2 2 2u u u 2 a 2 2 f ( x, y , t ) 2 t y x
三维波动方程：
2 2 2 2u u u u 2 a 2 2 2 f ( x, y , z , t ) 2 t z x y
V
有热源三维热传导方程
☆ 一维浓度扩散方程
☆ 动量输运方程
抛物型 方程
C 2C 2 F x, t t x
C为物质浓度，λ为扩散系数。
u 2u f t x 2 x
u为速度，fx为流体体积力，ν 为流体粘性系数。
显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同
☆ 一维波动方程 最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。 一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、 L两点，当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小横向 振动时，求这根弦上各点的运动规律。
第三章 非稳态导热
► 蓄热系数
综合衡量材料蓄热和导热能力的物理量 b c J/(m2·℃·S1/2 )
a qw b
(tw t0 ) W/m , Qw
2
2b
(tw t0 ) J/m 2
冬天用手握铁棍和木棍，尽管它们温度相同，但 总是感觉铁棍比较凉。这是因为铁的蓄热系数比 木材的约大30倍，铁从手中取走的热量远大于木 材的缘故
t qw (tw t0 ) x x 0 a
W/m2
以外都是常量，则整段时间内消耗于加热每平方米 半无限大物体的热量Qw(累计热量） 1 d Qw qwd (tw t0 ) 2 (tw t0 ) 0 a 0 a
各个准则反映了与现象有关的物理量间的内在联系。 应该掌握其定义式和物理意义，以及定义式中各个参 数的意义。 在对流换热分析中也有大量应用。 毕渥准则Bi可表示成(δ/λ) /(1/h),分子是厚度为δ的 平壁内的导热热阻，分母则是壁面外的对流换热热阻， 所以Bi准则具有对比热阻的物理意义。
傅里叶准则Fo可表示成τ /(δ2/a),分子是时间， 分母也具有时间的量纲，它反映热扰动透过平壁 的时间，具有对比时间的物理意义。Fo越大，热 扰动就能越快地传播到物体的内部。 平板中推导获得的无量纲化解的形式，同样适用 于圆柱和球体。 诺模图的应用。
作业
► 1，2，3，5，9
b(tw t0 ) d d L c(t p tw )
► 在0~τ范围内积分，得到凝固层厚度ξ
2b(tw t0 ) K L c(t p tw )
K称为凝固系数
b(tw t0 ) d 1 K m/s d L c(t p tw ) 2
有限差分法及热传导数值计算
其中式(4-20)是绝热边界的一种离散方式，在确定t1(i+1)之值时需要用到t-1(i) 。根据对称性该值等于t2(i)。这样，从已知的初始分布t0出发，利用式(4-17)及(4-19)可以依次求得第二时层、第三时层直到 i 时层上的温度值(见图4-8)。至于空间步长Δx及时间步长Δτ的选取，原则上步长越小，计算结果越接近于精确解，但所需的计算机内存及计算时间则大大增加。此外，Δx及Δτ之间的关系还受到显式格式稳定性的影响。下面我们从离散方程的结构来分析，说明稳定性限制的物理意义。
理论解 在规定的边界条件下积分，有很大局限性； 数值解 借助计算机，前景广阔。
2.1 导热问题数值解法的基本思想——离散化
以有限差分 无限微分 无限划分 实质 达到精度 以差分代数方程 微分方程 计算机帮助 （当离散点足够多时可以满足要求）
据导热问题的控制方程 ( 导热微分方程 ) 若 △x=△y 则有 得
x
y
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若边界上有向该元体传递的热流密度为q ，据能量守恒定律对该元体有： 边界节点离散方程的建立： 平直边界上的节点 2.3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 傅里叶定律
02
设有一三元方程组：
其中 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及 是已知的系数（均不为零）及常数。
采用高斯——赛德尔迭代法的步骤： （1）将三元方程变形为迭式方程：
假设一组解（迭代初场），记为：
并代入迭代方程求得第一 次解 每次计算均用最新值代入。 以新的初场 重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止。
小结： 导热问题数值求解的基本思想
基本概念 ： 有限差分法
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n Tm Tw
（n＝0，1，2，…）
⑥式
12
第一节 差分格式 将④，⑤，⑥式联立，得完整差分格式：
n n n Ti n1 f Ti ( 1 2 f ) T f T 1 i i 1
⑦式
（n＝1，2，…；i＝2，3，…，m－1）
Ti 0 T0 (i 2,3,...,m 1)
内容 （1）显式差分格式 1、差分格式 （2）完整隐式差分格式 （3）六点差分格式 （1）内节点法 （2）外节点法
2、直接差分法
1
第一节 差分格式 一 . 概述 1. 差分格式 实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法 中它们也必须差分化。 因此，我们需要研究的不仅是差分方程本身，而 且是包括全部内部区域和所有边界上的差分方程所组 成的代数方程组。又称为差分格式。 2. 非稳态导热方程的完整的差分格式（步骤）
二. 显式差分格式
Ti n1 Ti n t
a
n n Ti n 2 T T 1 i i 1
( x ) 2
即显式差分方程。 ④式 由②式离散得：Ti 0
T0 (i 2,3,, m 1) ⑤式
11
第一节 差分格式 注意边界节点在初始时刻的温度值应由边界条件来提供。 由③式所示的边界条件在离散区域内表示为给定边 界节点在时刻t＝0，1，2，…的温度值，即：
t ( ) 2
(T
n 1 i 1
2Ti
n1
n 1
T
n1 i 1
n 1 i 1
)
t 令f ( 2 ，则： )
Ti Ti
n
f (T
n1 i 1
2Ti
T
)
n1 n1 Ti n Ti n1 (1 2 f ) f Ti f T 1 i 1
(n 1,2,...;i 2,3,...m 1)
同样：
Ti 0 T0 (i 2,3,...m 1)
n T1n Tw , Tm Tw (n 0,1,2,...)
(8)式
17
第一节 差分格式 该方程截断误差为O（Δt，Δx2），对Δt有一阶精度。 由于（8）式不能直接独立求解，必须通过求解线性方 程组才能得到各节点在n+1时刻的温度值。因而，这种差 分格式称为隐式差分格式。
T n t i 2T n x 2 i
) ( 0 x L , t 0)
T n t i
2
左边用向前差商近似：
( )
(
T n x 2 i
Tin1 Tin t
n n Ti n 2 T T 1 i i 1
右边用中心ห้องสมุดไป่ตู้商近似：
)
( x ) 2
10
第一节 差分格式
8
第一节 差分格式
T T 2 导热方程： a 2 (〈 0 x L, t 0) t x
初始条件： T ( x,0) T0 边界条件：T (0, t ) T ( L, t ) Tw 目标是求 T ( x, t )
①式 ②式
③式
9
第一节 差分格式 二. 显式差分格式
由（ 1 ）式在x xi，t t n处， ( ) a(
3
图
1-1 区 域 离 散 化
第一节 差分格式 ② 在所有内节点（内单元）上建立差分方程。 建立差分方程的方法：差商代替微商；直接 差分法或单元热平衡法。 ③ 将初始条件与边界条件亦以相应的差分形式来 表示，并与内节点一起组成完整的差分格式。 方程与节点数恰好对应。 ④ 选用适当的数值计算方法求解线性代数方程组， 将求解过程编制成计算机程序，上机运行得到温 度场。
5
第一节 差分格式 3. 区域和时间的离散表示方法
xi 记为i，t n 记为n。而 x i 在 t n 时刻的温度 T ( xi , tn )
则记为 Ti
n
。
6
（1）
Δx－距离步长 Δt－时间步长
xi (i 1)x tn n t
图1-2 区域与时间的离散及其表示方法
第一节 差分格式 （2）不同差分格式的讨论 为简化设计，下面讨论不同的差分格式时以一维非 稳导热方程为例，其中所包含的边值条件则以一组最简 单的情况为代表。 令一维区域的长度为L，材料的各项热物性值均为常 数且已知，初始条件已知为T0，边界条件则为边界上的 温度固定并已知为Tw。这样就构成了下面的方程组：
右边用中心差商近似：
(
T n 1 2 i x
2
)
n1 n1 n1 Ti 1 2Ti Ti 1 2
( x )
Ti
n1
Ti t
n
a(
n1 n1 n1 Ti 1 2Ti Ti 1 2
( x )
)
16
第一节 差分格式
Ti
n 1
Ti
n
n1
2
第一节 差分格式 ① 将物体或计算所涉及的区域进行离散化。 区域离散化的具体处理方法：
有两种，一种是将求解区域划上网格线，如图1 －1所示。网格线的交点即为节点。
另一种是将区域划分成若干单元，以单元体内的 一点作为节点，如图1－1c所示。 无论何种方法，单元与节点总是一一对应的。将 图1－1b与图1－1c重叠在一起（见图1－1d），一般 称落在区域内的节点为内节点，在边界上的节点为边 界节点。
n T1n Tw , Tm Tw (n 0,1,2,...)
式中，
f
at ( x ) 2
或f
t C p ( x ) 2
13
第一节 差分格式 求解⑦式步骤： a. 设过程开始时各节点温度为Ti0（i＝1，2，…，m）， 则T10与Tm0由边界条件提供，其余的Ti0 （i＝2，3…m－1） 由初始条件提供，这样第0排上温度即可全部求得。 b. 利用方程⑦中的第1式，可计算第1排上所有内节点的温 度Ti1（i＝2，3，…，m-1），再利用第3式即边界条件得 到Ti1与Tim ，这样第1排的温度又可全部求得。 c. 依次类推，直至求得所有的Tin值。 每个节点均可单独求解。这种格式称为“显式差分格式”。
14
第一节 差分格式 三. 完整隐式差分格式 将①式应用于节点i时，在tn+1 时刻 ，则：
( )
T n 1 t i
a(
2T n 1 x 2 i
)
左边按温度对时间的一阶向后差商近似，右边为 中心差商，则：
( )
T n 1 t i
Ti
n1
Ti t
n
15
第一节 差分格式