九年级数学等腰三角形与直角三角形复习学案
三角形的复习学案
三角形的复习学案
———等腰三角形
【活动1】 知识梳理
1 等腰三角形的定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
（1）矩形沿对角线翻折 (2)已知直角三角形ABC 中，BE 平分
∠ABC 交AC 于点E ，A D ⊥BC 于点D 【活动3】典例分析
已知△ABC 中，AB=AC,BO 、CO ∠ABC 和∠ACB ，EF 经过O 点且EF 则BE 、CF 与EF 的数量关系是什么？ 变式1若A B ≠AC, BE 、CF 与EF 的
数量关系是什么？
变式2 若CO 为∠ACB 外角的角平分线
BE 、CF 与EF
【活动4】综合提升
如图，已知等腰直角三角形ABC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC ， BE 平分∠AB Ｃ，交AC 于Ｅ，交AD 于N 。
易证变式1
将 △ABE 绕点A 逆时针旋转90°,判断BE 与CF 的关系，并说明理由。
变式2
（1）将 △ABE 沿BE 翻折，点A 落在点M 处， 连接NM ，试探究四边形ANME 的形状， 并说明理由
(2)点N 是AD 的中点吗？ 若是，请说明理由；
若不是，求AN ：ＤN 的值。
变式3
若CD=2，若点P 是AC 上的动点，
当CP 为何值时，△CDP 是等腰三角形。
初三数学复习教案-特殊三角形
初三数学复习教案课 题：特殊三角形（2）教学目标：熟练运用等腰三角形概念、性质和判定及勾股定理、及其逆定理解决证明题、阅读题、条件和结论探索题等大量新颖题。
教学说明：本单元的热点是等腰三角形的有关概念、性质和判定；等边三角形的有关概念、性质和判定；勾股定理及其逆定理及相关的新颖题。
教学过程：一．典型例题：例1．已知：如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE=BD ，连结CE 、DE ，求证：EC=ED例2．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为边在△ABC 外作三个正方形，S 1、S 2、S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3=225，则S 2=例3．如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，图（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1） 画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（2） 用这个图形证明色股定理；（3） 假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中的所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图，并能简单说明理由。
D例4．在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm、宽为16cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）。
请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积。
例5．四年一度的国际数学家大会于20XX年8月在北京召开，我校的孙海洋、陈晓莹两同学有幸参加了此次盛会。
大会的会徽如图（1），它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。
（1）若大正方形的面积是13，每个直角三角形两直角边的和为5，求中间小正方形的面积。
（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。
九年级数学《解直角三角形-复习课》教案
第28章解直角三角形（单元复习课）教学任务分析问题1：在Rt △ABC 中，∠C=90°则（1）∠A 、∠B 的关系是_________， （2）_____,,的关系是c b a（3）边角关系是________________________________________________________________________________问题2：你能根据上述边角关系得到30°、45°、60°角的三角函数值吗？填写下表。
问题3：同角的三角函数之间有什么关系？互余的两角呢？问题4：锐角的正弦值是怎样随着角度数的变化而变化的？余弦、正切呢？其锐角三角函数值的范围分别是什么？ 2、组织交流，总结要点；3、板书教师总结知识结构图（多媒体展示）。
【学生活动】 1、学生反思回顾知识点，回答和完成导学案中的问题及三个表格；2、绘制出自己总结的知识结构图；3、交流展示自己总结的知识结构图及自主学习的成果；4、看听记教师的总结。
用数学的意识。
帮助学生学会用数学的思考方法解决实际问题，引发认知冲突，激发学生学习兴趣。
【媒体应用】1、展示反思回顾的问题；2、展示导学案中提出的问题；3、展示师生共同总结的本章本章要点和本章知识结构图。
活动三 基础训练，查补缺漏： 【基础闯关】1、Rt △ABC 中，∠C=90°若SinA= 时，tanA= 。
2、Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=3BC ，则CosA= 。
3、菱形ABCD 中对角线AC 交BD 于点O ，且AC=8，BD=6，则下列结论中正确的为（ ）A 、Sin ∠ADB=B 、Cos ∠DAB=C 、tan ∠DBA =D 、tan ∠ADB=4、计算： （1）（2）丨Sin45°- 1丨-【教师活动】 1、操作多媒体出示问题。
2、组织学生交流和点评，得出正确答案。
【学生活动】 1、尝试完成练习，有困难的同学可以合作完成； 2、参与交流展示及点评。
中考一轮复习教案：等腰三角形与直角三角形
中考一轮复习教案：等腰三角形与直角三角形一、教学目标1、学生能够掌握等腰三角形和直角三角形的定义、性质和判定定理。
2、能够运用等腰三角形和直角三角形的相关知识解决简单的几何问题。
3、培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
二、教学重难点1、重点（1）等腰三角形的性质和判定。
（2）直角三角形的性质和判定。
2、难点（1）等腰三角形和直角三角形的综合应用。
（2）运用相关定理进行推理和证明。
三、教学方法讲授法、练习法、讨论法四、教学过程（一）知识回顾1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两腰相等。
（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。
（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、等腰三角形的判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
4、直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
5、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（3）直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
6、直角三角形的判定（1）如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（二）例题讲解例1：已知等腰三角形的一个内角为70°，求另外两个内角的度数。
解：分情况讨论：（1）当70°角为顶角时，底角的度数为：（180°70°）÷2 ＝55°，所以另外两个内角的度数分别为 55°，55°。
1.1等腰三角形复习(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形相关的实际问题，如如何计算等腰三角形的周长和面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸片制作等腰三角形，并测量其相关数据。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
针对本次教学，我总结了以下几点反思：
1.加强课堂互动，提高学生参与度，鼓励大家积极发表自己的观点，培养独立思考能力。
2.注重知识点的实际应用，设计更多与生活相关的案例，让学生在实践中感受数学的魅力。
3.在教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教，帮助每个同学找到适合自己的学习方法。
4.加强课堂小结，通过提问、练习等方式，检验同学们对于课堂内容的掌握程度，及时发现问题并进行针对性指导。
2.发展学生的逻辑推理能力：在探讨等腰三角形的判定方法和性质应用过程中，引导学生运用逻辑推理，培养严谨的思维习惯。
3.增强学生的数学运算能力：让学生在解决等腰三角形周长和面积问题时，掌握相关计算方法，提高运算的准确性和速度。
4.培养学生的数据分析观念：通过对等腰三角形实例的分析，让学生学会从数据中寻找规律，培养数据分析能力，为解决实际问题奠定基础。
3.等腰三角形的底角和顶角：底角相等，顶角为两底角的补角。
4.等腰三角形的周长和面积：周长为底边加上两腰的长度之和；面积可通过底和对应高的乘积除以2计算得出。
二、核心素养目标
《1.1等腰三角形复习（教案）》
本节课的核心素养目标为：
1.培养学生的几何直观：通过复习等腰三角形的性质，使学生能够直观理解和把握等腰三角形的图形特征，提高空间想象能力。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
第1讲等腰三角形与直角三角形-教案
第1讲等腰三角形与直角三角形-教案概述适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域北师版区域课时时长（分钟） 120知识点1.等腰三角形判定与性质2.直角三角形判定与性质1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．教学目标2.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性教学重点特殊三角形的灵活应用教学难点特殊三角形的灵活应用.【教学建议】本节的教学重点是使学生能熟练掌握特殊三角形的性质与判定，这一节在本册书乃至整个初中数学几何部分占据非常重要的地位，在中考中出题的频率和分值都比较高，所以教师在教学过程中要注意结合中考题型进行拓展。
学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：1. 等腰三角形及直角三角形的性质与判定。
2. 结合三角形全等的几何动点。
3.综合性解答题的思路与几何问题中的数学模型。
【知识导图】1等腰三角形与直角三角形等腰三角形判定与性质直角三角形判定与性质教学过程一、导入【教学建议】有关等腰三角形和直角三角形的考题，考查重点是几何动点以及几何类比探究的综合的题型，学生最开始接触时一定要把基础的性质与判定及常见的几何模型整理好，老师在授课过程中要注重方法的指导。
二、知识讲解知识点 1 等腰三角形判定与性质1.提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：（1）两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；（2）两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；（3）两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；（4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（5）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：（1）（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理2进行证明；（2）回忆全等三角形的性质。
2.等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
中考数学 第16讲 等腰三角形与直角三角形复习教案 (新版)北师大版
课题：第十六讲等腰三角形与直角三角形复习目标：1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关概念，掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件.2.掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 教学重点与难点:重点:等腰三角形、直角三角形的性质与判定.难点: 掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件、勾股定理，并会运用勾股定理解决简单问题.教学过程：一、课前热身1.（2014•滨州）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（），2.（2014•泉州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为cm．3．（2014•云南）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD= ．4.（2014•扬州）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．5.（2014•呼和浩特）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为．6．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是97.（2014•襄阳）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=O C．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．处理方式：本环节的习题学生课前已完成，课上利用7分钟的时间让学生以“教师的身份”展示讲解，其余学生与教师补充、纠错．设计意图：鼓励每一位学生敢于亲自体验，敢于展示讲解，更好训练学生解题能力和口头表达能力，从而形成会做不如会写的，会写的不如会讲的．必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性，提高教学的实效性.二、考点聚焦考点1 等腰三角形的概念与性质考点2 等腰三角形的判定考点3 等边三角形处理方式：先让学生通过查阅课本或小组合作解决知识回顾，再让学生分组展示，在学生展示同时，教师引出相应考点，生回答师强调补充完善.设计意图：通过知识回顾，考点聚焦达到以下目的：1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关概念，掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件.2.掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.三、典例分析例1 若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．处理方式：学生读题独立思考，必要时教师给予引导分析：题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．方法总结：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．例2 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）处理方式：学生读题独立思考，必要时教师给予引导分析：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．学生完成解答．方法总结：此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．例3 如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为．处理方式：学生读题独立思考，必要时教师给予引导分析：利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．学生完成解答．方法总结：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．设计意图：围绕考点，挑选部分中考题作为典型例题，一让学生知道中考对等腰三角形与直角三角形考什么？怎么考？二让学生通过典型例题解答，在复习回扣考点同时掌握一些解题方法和处理技巧.四、回声嘹亮师:同学们经历了这节课的探索学习，你在知识上和方法上什么收获呢？请说说看.处理方式：同桌对讲，畅谈自己的感受和体会，学生发言，老师总结与归纳.设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.五、考点达标已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业必做题：复习指导丛书 P 82 强化训练 1—13题．选做题：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD =2∠ACB ．若DG =3，EC =1，则DE 的长为（ ）A ． 22B ． 10C ． 32D ．6 设计意图：“必作题”可以巩固本节课所学内容，“选作题”可以培养学生对数学学习内容的兴趣．板书设计：。
九下第一轮复习等腰三角形与直角三角形的存在性问题
探索等腰三角形及直角三角形的存在性问题考点分析：中考中对于等腰三角形及直角三角形的存在性问题的考查多以压轴题形式出现,题目的设计多与几何图形中的动点问题、坐标系中的抛物线相结合，综合性很强，对学生分析问题、解决问题的能力提出较高的要求。
思想：等腰三角形直角三角形存在性问题都是对分类讨论、数形结合、方程思想的考察方法：等腰三角形与直角三角形存在性问题第一步学会做图。
第二步根据图形特征进行计算题型：等腰三角形已知点的情况主要分为“两定一动型”和“一定两动型”，直角三角形已知一边求另一顶点。
教学目标：1.探索并总结等腰三角形和直角三角形的存在性问题的解决方法与步骤；2.在研究等腰三角形和直角三角形存在性问题中，进一步发展空间观念，经历等腰三角形和直角三角形思考问题的过程，建立几何直观；3.在多种形式的数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力；能独立思考，体会数学的分类思想、数形结合思想、方程思想等。
4.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
重点、难点分析：重点：等腰三角形和直角三角形存在性问题的解决方法与步骤。
难点：1.问题中条件或结论的不确定性、答案的多样性；2.针对问题正确分类画图后寻找等量关系。
教学过程：一．主要知识回顾：（课前完成）1.若ABC∆是等腰三角形，则可能有下列线段相等：①②③2.等腰三角形的性质：3直角三角形ABC中，可能是直角的有①②③4直径所对的圆周角。
二．中考中的题目分类：等腰三角形（一）两定一动型1.只找点不计算（以选择题或填空题的形式出现，只需按照“两圆一线”的方法作出图形即可求解）例1.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,3)在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个针对性练习1. 如图所示，在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ABC=90°,AD=AB=6,BC=14,点M是线段BC上一定点，且MC=8,动点P从C点出发沿C D A B→→→的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有个．2.计算题目（解这类题目的方法可以分为几何法与代数法）。
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第16课时等腰三角形与直角三角形
复习目标1.理解掌握等腰三角形的性质定理和判断定理并能灵活运用。
2.理解掌握等边三角形的性质定理和判断定理。
3.理解掌握线段的垂直平分线定理及应用。
4.理解掌握直角三角形的性质和判定定理。
知识全面梳理
知识点一等腰三角形
等腰三角形：有______相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性质
（1）等腰三角形两条腰_______，两个底角_____，简称：等边对等角。
（2）等腰三角形顶角的_______、底边上的_____、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
（3）等腰三角形是轴对称图形，有_____条对称轴。
等腰三角形的判定
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）有两个______相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边。
知识点二等边三角形
等边三角形：三条边均相等的三角形是等边三角形。
等边三角形的性质
（1）等边三角形的三条边________，每个角都等于____
（2）等边三角形是轴对称图形，有_____条对称轴。
等边三角形的判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角等于60°的__________是等边三角形。
（4）有两个角等于______的三角形是等边三角形。
知识点三线段的垂直平分线
线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______
线段垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_____________
知识点四直角三角形
勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
（2）逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角______
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____
（3）直角三角形中30°所对的直角边等于_______
（4）直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于______
直角三角形的判定
（1）有一个角是______的三角形是直角三角形。
（2）有两个角________的三角形是直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（4）如果三角形一边上的______等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点全面突破
知识考点一 等腰三角形的性质与判定
在△ABC 中，已知AB=AC ，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB. （1）请问图中有多少个等腰三角形？说明理由。
（2）过点O 作直线EF//BC 交AB 于E ，交AC 于F.此时图中有多少个等腰 三角形，请说明理由；
（3）线段EF 和线段EB ，FC 之间有没有关系?若有是什么关系？
【拓展】如右图，若AB ≠AC ，其余条件不变，试问EF 与EB 、FC 的关系是否改变？请说明理由。
学以致用
如图，在△ABC 中,AB=AC ，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E 。
求证: BD = CE.
B
O
A
C F E
O
B
C
A
D
E B
A
C D
E
B
A
C F G
D
E B
A
C F
变式1：已知：在△ABC 中，AB=AC.点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：DE ＝DF
变式2：已知：在△ABC 中，AB=AC.点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. BG ⊥AC 于G ， 试问：DF 、DE 、BG 有何关系，请证明你的结论。
知识考点二 等边三角形的性质与判定
如图：在△ABC 中,BD 平分∠ABC,CE=CD,DB=DE,∠E=30°. 求证：△ABC 是等边三角形
【变式】如图：已知△ABC 是等边三角形，D 是AC 边上的中点，连结 BD ，EC ⊥BC 于点C ，CE=BD. 求证：△ADE 是等边三角形。
学以致用
如图，在等边△ABC 中，AE=CD.（1）求证：△ABD ≌△BCE ；（2）求∠APE 的度数；
知识考点三 勾股定理及其逆定理
例3、如图，矩形ABCD 中，DC=10，BC=6，过点C 折叠矩形ABCD 使点D 落在AB 上的点F 处。
（1）求AF 的长度；（2）求DE 的长度；
A
B C
D
E A
B
C
D
E
C A
B
D
E
P
学以致用
在ΔＡＢＣ中，ＡＣ＝10
2，ＢＣ边上的高ＡＤ＝６，则另一边ＢＣ等于（ ） Ａ．１０ Ｂ．８ Ｃ．６或１０ Ｄ．８或１０ 知识考点四 直角三角形的性质
例4、（２０１８泰安）如图，⊙Ｍ的半径为２，圆心Ｍ的坐标为（３，４），点Ｐ是⊙Ｍ上的任意一点，ＰＡ⊥ＰＢ，且ＰＡ、ＰＢ与ｘ轴分别交于Ａ、Ｂ两点，若点Ａ、Ｂ关于原点Ｏ对称，则ＡＢ的最小值为（ ） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８
学以致用
如图，在ＲｔΔＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ的中点，若ＢＣ＝２，则ＥＦ的长为（ ） A.21 B.1 C.2
3
D.3 F E
D
C
B
真题体验
F
E A
B
C
D
1、（2019东营）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，分别以点B 和点C 为圆心，大于
2
1BC 的长为半径作弧，两弧相交于D 、E 两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连结CF ，若AC=3，CG=2，则CF 的长为（ ） A ．
25 B ．3 C ．2 D ．2
7
2、（2018淄博）如图，在Rt △ABC 中，CM 平分∠ACB 交AB 于点M ，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，且MN 平分∠AMC ，若AN =1，则BC 的长为（ ） A. 4
B. 6
C. 43
D. 8
3、（2019东营市）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为32，则它的周长是 ．
4、（2018天津）如图，在边长为4的等边ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，
EF AC 于点F ，G 为EF 的中点，连接DG ，则DG 的长为__________．。