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相似三角形复习学案

复习目标：

相似是解决数学中图形问题的重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。

1．会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。

2．能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。

3．能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。

一．知识要点：

1、比例、第四比例项、比例中项、比例线段；

2、比例性质：（1）基本性质：a

c a

d bc a b b2ac b d b c

（2）合比定理：a

c a b c

d b d b d

（3）等比定理：a

c m a c m

a

.(b d n 0) b d n b d n b

3、相似三角形定义：________________________________ ．

4、判定方法：

______________________________________________________________________

5、相似三角形性质：

（1）对应角相等，对应边成比例；

（2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段）

（3）周长之比等于；

（4）面积之比等于．

6、相似三角形中的基本图形．

（1）平行型：（ A 型， X 型）（ 2）交错型：

（3）旋转型：（4）母子三角形：

二、练习：

（一）、自我训练

训练 1：判断

1．两个等边三角形一定相似。（）

2．两个相似三角形的面积之比为1∶ 4，则它们的周长之比为1∶ 2。（）

3．两个等腰三角形一定相似。（）

4．若一个三角形的两个角分别是40°、70°，而另一个三角形的两个角分别是70°、70°，

则这两个三角形不相似。 （

）

训练 2：填空

1．如果 a 3 c 12

，则 a 与 c 的比例中项是

．

，

2．已知，

a

b c ，则 a 2c 2b ．

2

4

5

a c b

3．如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， AD=3，BD=2， EC=1，则 AC= ．

4. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是

．

A ．

B ．

C ．

D ．

5．如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中 △ ABC 相

似的是

．

A

B

C

A ．

B ．

C ．

D ．

6. 在同一时刻， 身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为

0.8 米，一棵大树的影长为

4.8 米，则

树的高度为

．

7．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图

, 点 P 处放一水平的平面镜 , 光线从

点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙

CD 的顶端 C 处，已知 AB ⊥BD ，CD ⊥ BD ，且测得 AB=1.2

米， BP=1.8 米， PD=12米， 那么该古城墙的高度是

．

（二）、大展身手：

1. 已知

a

1

，则

a

的值为 __________

b 2a

b

2．如图，平行四边形

ABCD 中， AE ∶ EB=1∶ 2，若 S △AEF =6，则 S △CDF = ．

3．如图，在平行四边形 ABCD 中， E 是 BC 延长线上一点， AE 交 CD 于点 F ，若 AB ＝ 7cm ， CF

＝3cm ，则 AD ∶ CE ＝

．

4．如图，矩形 ABCD 中， E 是 BC 上的点， AE ⊥ DE ， BE ＝ 4， EC ＝ 1，则 AB 的长为 ．

5．如图，已知D、 E分别是ABC 的 AB、 AC 边上的点，DE BC,并且三角形ADE与四边形

DBCE的面积比为4：5，那么 AE:AC 等于．

6．如图，DE是三角形 ABC的中位线，△ ADE的面积为 3cm2，则梯形 DBCE的面积为．

7．如图，已知△ABC的面积为4 cm2，它的三条中位线组成△DEF，△ DEF的三条中位线组成

△MNP，则△ MNP的面积等于．

8． E 是矩形 ABCD的边 CD上的点， BE交 AC于点 O，已知△ COE与△ BOC的面积分别为2

和 8，则四边形AOED的面积为．

（三）、更上层楼：

1、过三角形边 AB 上的一点， E 为△ ABC边上任一点，且以 APE为顶点的三角形与△ ABC相似，

在图中找出点 E 的位置（你能找出几个）。

2、已知： CD⊥ DB，AB垂直 DB，DC=4， AB=8，DB=18，点 P 在 DB上，且以点 D、C、P 为

顶点的三角形与以点 A、B、 P 为顶点的三角形相似，求 DP的长。

3、如图 , 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB DC AD 6 ，ABC60 o，点E，F分

ＡＥＤ

Ｆ

别在线段AD，DC 上（点E与点 A，D 不重合），且BEF120o，设AE x ，DF y．

⑴求 y 与 x 的函数表达式；

⑵当 x 为何值时， y 有最大值，最大值是多少