【学案】人教版数学九年级下册27.2.3 相似三角形的应用举例
人教版初中数学九年级下册 27.2.3 相似三角形应用举例课件1 【经典初中数学课件】
1 .8 x 3 60
？
x 6 0 1 .8
3
1.8
x 36
60米
3米
答:楼高36米.
1.小明测得旗杆的影长为12米，同一时刻把１ 米每的个标星秆期竖一立上在午地学上校，内它的全影体长师为生1.都5米要。参于加升 是旗小仪明式很，快想就不算想出测了量旗咱杆们的旗高杆度的。高你度知呢道？他是 怎么计算的吗？
因为 ∠ACB＝∠DCE ,
A
B
∠CAB＝∠CDE=90°,
所以 △ABC∽△DEC ，
D
E
那么AB AC DE DC C
解 A 得 B D A E C 4 ( 0 3 3 0) 0 8(米 0 ) DC 30
答： 池塘的宽大致为80米．
3.皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房 顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时，其他人测 出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请 你帮他算出楼房的高度。
∴ △ABO∽△DEF．
B
BO OA EF FD
BO OA EF 202 1134
O
FD 3
E A(F) D
因此金字塔的高为134m．
例2.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在 某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某 一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
解:设高楼的高度为x米，则
A
解：作DE⊥AB于E
？
D
E
1.4
B 6.4 c
1.5 1.2
得 1.5 x
1.2 6.4
∴AE=8
∴AB=8+1.4=9.4米
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
人教版数学九年级下册 27.2.3 相似三角形应用举例
第二十七章 27.2相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
教学目标
1.利用相似三角形的性质解决高度测量问题；（重点） 2.将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题．判断方法
1.定义 2.定理(平行法) 3.判定定理一(边边边)
4.判定定理二(边角边) 5.判定定理三(角角)
相似三角形的性质
1.对应边成比例 2.对应角相等
3.周长比等于相似比 4.面积比等于相似比的平方
新知探究
例1：如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3m，测得OA为 201m，
求金字塔的高度BO.
解：太阳光线是平行光线，因此∠___B_A_O_ =__∠__D__.
又∠__A__O_B=∠___D_F__E =90.
课堂小测
2.小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时, 要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明 有轻微的抖动,致使准星A偏离到A'.若OA=0.2米,OB=40米,AA'=0.0015米, 则小明射击到的点B'偏离目标点B的长度BB'为 ( B )
解:设高楼的高度为x米，则
1.8 x 3 60 x 601.8
3 x 36
答:楼高36米.
新知探究
2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降 0.5m时,长臂端点升高 8 m.
B
C
┏
┛O
D
A
新知探究
例2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定 一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线 PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当 的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R．如果测 得QS = 45 m，ST = 90m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
27.2.3 相似三角形应用举例
3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标 作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后， 再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果 测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB（精确到
0.1米）.
A
C
B
D
E
解：∵ AB⊥BC， EC⊥BC
DP=12米，那么该古城墙的高度是（ B ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
二 利用相似三角形测量宽度
学案29页交流1
例2 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,
在河的这一边取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接
着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q 且垂直PS的直线b的交点为R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m, 求河的宽度PQ.
想一想
还可以有其他方法测量吗？
B E
┐
平面镜
F
A
△ABO∽△AEF
OB
OA
=
EF
AF
┐ O
OA ·EF OB =
AF
测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以
用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
B E
平面镜
F
A
△ABO∽△AEF
O
OB = OA
EF
AF
练一练
3. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚 好射到古城墙的顶端C处，已知AB=2米，且测得BP=3米，
学案30页交流2
分析:如图,设观察者眼睛的位置(视点)为点F(EF近似为人的身
人教版数学九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例
5．如图，一圆柱形油桶高 1.5 m，用一根 2 m 长的木棒从桶盖小口斜插至桶底另一端的小口处， 抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为 1.2 m，求 桶内油面高度．
解：∵DE∥BC， ∴ AE = AD，即 AE = 1.2 .
AC AB 1.5 2 ∴AE＝0.9 m. ∴E C＝1.5－0.9＝0.6(m )． 即桶内油面高度为 0.6 m.
由题意得 DE＝10－4＝6(m)，
EC＝(x－2.2) m．
∴
x x－2.2
10 6
.解得
x
＝5.5.∴AB＝5.5
m.
10．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河 的南岸边每隔 5 米有一棵树，在北岸边每隔 50 米有一 根电线杆，小丽站在离南岸岸边 15 米的点 P 处看北岸， 发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮 住，并且这两棵树之间还有三棵树，则河的宽度为
∴ OE = 2 . OE + 1.6 2.1
∴OE＝32 米． 答：楼的高度 OE 为 32 米．
14．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大 爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量， 小凯便在楼前地面上选择了一条直线 EF，通过在 直线 EF 上选点观测， 发现当他位于 N 点时， 他的视线从 M 点通过
知识点二 测量距离或宽度
6．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚
AC 和 BD 交叉构成，利用它可比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方(即
同时使 OA＝3OC，OB＝3OD)，然后张开两脚，使 A，B 两个
尖端分别在线段 a 的两个端点上，当 CD＝1.8 cm 时，则 AB 的
解：如图，过 A 作 AG⊥DE 于 G，交 BC 于 F.
人教版数学九年级下册27.2.3《相似三角形应用举例》教学设计1
人教版数学九年级下册27.2.3《相似三角形应用举例》教学设计1一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.3《相似三角形应用举例》一节，是在学生学习了相似三角形的性质和判定之后，进一步探讨相似三角形在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，使学生了解相似三角形在实际生活中的重要性，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似三角形的性质和判定，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在解决实际问题时，往往缺乏将数学知识与实际问题相结合的能力。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生将所学知识应用于实际问题，提高他们的数学应用能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.增强学生对数学学科的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形在实际问题中的应用。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，运用相似三角形的性质和判定解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究相似三角形在实际问题中的应用。
2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示实际问题，提高学生的空间想象能力。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.注重个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到有效的训练和提高。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生运用相似三角形知识解决。
2.准备多媒体课件，展示实际问题及解题过程。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如建筑物的设计、尺子测量等，引导学生思考这些实际问题与数学知识的联系。
从而引出本节课的主题——相似三角形在实际问题中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示一个实际问题：在同一平面内，有两座建筑物，一座高度为30米，另一座高度为18米。
请问，在离这两座建筑物等距离的地点，如何测量出两座建筑物的高度比？教师引导学生分析问题，并提出解决方法：利用相似三角形。
人教版数学九年级下册27.2.3《相似三角形应用举例》教学设计2
人教版数学九年级下册27.2.3《相似三角形应用举例》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.3《相似三角形应用举例》是本节课的主要内容。
相似三角形在实际生活中的应用非常广泛，是解决实际问题的重要工具。
本节课通过具体的例子让学生了解相似三角形的性质，学会运用相似三角形解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的定义和性质，具备了一定的数学思维能力。
但部分学生在解决实际问题时，仍存在运用不当的情况，需要通过本节课的学习加以巩固。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能够运用到实际问题中。
2.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.提高学生对数学的兴趣，增强学生的自信心。
四. 教学重难点1.掌握相似三角形的性质。
2.学会如何运用相似三角形解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究相似三角形的性质。
2.通过具体的例子，让学生学会运用相似三角形解决实际问题。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示具体的例子。
2.准备一些实际问题，用于课堂练习。
3.准备黑板，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考如何运用相似三角形解决问题。
2.呈现（15分钟）通过PPT展示相似三角形的性质，让学生了解相似三角形的定义和性质。
3.操练（20分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）对学生的解答进行讲评，引导学生总结相似三角形的性质和解决实际问题的方法。
5.拓展（10分钟）给学生一些较复杂的问题，让学生尝试解决。
教师提供必要的指导。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调相似三角形的性质和解决实际问题的方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师在黑板上板书相似三角形的性质和解决实际问题的方法。
人教版九年级数学下册：27.2.3《相似三角形应用举例》教案1
人教版九年级数学下册：27.2.3《相似三角形应用举例》教案1一. 教材分析《相似三角形应用举例》是人教版九年级数学下册第27章的一部分。
本节内容主要通过具体的例子来介绍相似三角形的应用，帮助学生理解和掌握相似三角形的性质和应用。
教材通过丰富的例题和练习题，使学生能够将相似三角形的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一定程度的代数和几何知识，对相似三角形的性质有一定的了解。
但是，学生可能对相似三角形在实际问题中的应用还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握相似三角形的应用。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质。
2.能够运用相似三角形解决实际问题。
3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质和应用。
2.难点：如何将相似三角形的知识应用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握相似三角形的应用。
同时，运用小组合作和讨论的方式，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
六. 教学准备1.准备相关的例题和练习题。
2.准备教学PPT或者黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容。
例如，一个梯形的对角线长度分别为8cm和12cm，求梯形的面积。
让学生尝试解决这个问题，从而引出相似三角形的性质和应用。
2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现相似三角形的性质和应用的例题。
例如，两个相似三角形的边长比例为2:3，求这两个三角形的面积比例。
引导学生观察和分析例题，理解相似三角形的性质。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，解决一些类似的实际问题。
例如，两个相似三角形的边长比例为3:4，求这两个三角形的面积比例。
通过小组合作和讨论，引导学生运用相似三角形的性质解决问题。
4.巩固（10分钟）提供一些练习题，让学生独立完成。
新人教版九年级数学下册《二十七章相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形应用举例视线遮挡问题》教案_13
到峰顶 A 和标杆顶端 E 在一条直线上。 求山峰的
A
高度 AB及它和标杆 CD的水平距离 BD各是多少？
学生活动：组织学生分组探讨、交流，展示讨论 结果，教师点评。 设计意图： 培养学生的应用相似知识解决实际问 题的能力及合作探究问题的能力。
C
E
K
H
B
DG F
四、检测反馈 【问题 1】我侦察员在距敌方 200 米的地方发现敌人的
①写出题中的已知条
件
。
②思考：什么情况下， 观察者恰好通过小树的
顶端 A 看到大树的顶端 C?这时你能画出简易
示意图吗？
③在上述思考下，你能求出人与小树的距离
吗？
④试讨论何时人刚好看见小树，何时能看见小树，何时看不见小树？
⑤你能写出解题过程吗？看谁写的又对又好？ 解 : 由题意可知， ∵AB⊥ l ,CD⊥ l ,
四、课堂小结
复习回顾—提出问题：
1.
判断两个三角形相似有哪些方法 ?
相似三角形有什么性质 ?
利用相似三角形解决实际问题的一般步骤是么？
六、课后反思： 相似的例子是日常生活中常见的现象，相似图形的性质在实际中应用很多。“相似三 角形应用举例”的内容，给出了一些利用相似三角形的性质和判定方法，来解决生活中不 能直接测量物体长度的问题（测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）。在教学 中，通过这些知识的教学，关键是引导学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解 决实际问题，提高他们应用知识解决问题的能力。本节课的难点是如何将实际问题转化为 相似三角形的数学问题，在这一点的教学设计上还应多下功夫。
设计意图： 提高学生总结归纳的能力及考查学生的学习效果。 五、板书设计
27.2.3 相似三角形应用举例
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27.2.3 相似三角形的应用举例
〔学习设计〕
学习过程 设计意图说明
新课引入： 1． 复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义 2． 回顾相似三角形的概念及判定方法
以旧引新，帮助学生
建立新旧知识间的
联系。
提出问题： 利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论） ↓ “相似三角形对应边的比相等”四条对应边中若已知三条则可求第四条。 一试牛刀： 例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。 如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO。 分析：BF∥ED∠BAO=∠EDF 又∠AOB=∠DFE=900 ∆ABO∽∆DEFBOOAEFFD20123BO 二试牛刀： 例4：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ。
让学生了解：利用三
角形的相似可以解
决一些不能直接测
量的物体的长度的
问题。
通过解决“泰勒斯测
量金字塔的高度”问
题，培养学生学习数
学的兴趣，让学生在
浓厚的数学文化熏
陶中探究解决问题
的方法。
O
B
A(F)
E
D
第 2 页 共 3 页
分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P ∆PQR∽∆PST 81.66.45121.610.4FHFH，即PQQRPQQSST，604590PQPQ， 90(45)60PQPQ。解得PQ=90 三试牛刀： 例5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？ 分析：,ABlCDlAB∥CD，∆AFH∽∆CFK。 FHAHFKCK，即81.66.45121.610.4FHFH，解得FH=8。
让学生在解决实际
问题的过程中学会
建立数学模型，通过
建模培养学生的归
纳能力。
数学建模的关键是
把生活中的实际问
题转化为数学问题，
转化的方法之一是
画数学示意图，在画
图的过程中可以逐
渐明问题中的数量
关系与位置关系，进
而形成解题思路。
a
b
R
Q
P
S
T
第 3 页 共 3 页
运用提高： 1． P41练习题1 2．P41练习题2 让学生在练习中熟悉利用三角形
的相似去解决一些
不能直接测量的物
体的长度的问题。
课堂小结：说说你在本节课的收获. 让学生及时回顾整
理本节课所学的知
识。
布置作业： P43习题27·2题8，9，10. 备选题： 已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。 分层次布置作
业，让不同的学生在
本节课中都有收获。
备选题答案：
x=2