最新相似三角形全章导学案(正式)
2023年人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的性质》导学案
新人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形的性质》导学案【明确目标】1．经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中树立学生积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性．2．理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题．3．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想．【自主预习】一、新课引入 回顾相似三角形的概念及判定方法．二、预习导学阅读教材P37～38，自学“探究”与“思考”，理解相似三角形对应的三条重要线段的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．并完成自主预习区．1．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于__________，一般地，相似三角形对应线段的比等于__________．2．相似三角形面积的比等于相似比的__________.3．一个三角形的各边缩小为原来的2倍，这个三角形的对应高，对应中线也缩小为原来的__________倍.4．若△ABC ∽△A'B 'C'，相似比为1：2，则△ABC 与△A'B'C'的面积的比为( )A ．1：2B ．2：1C ．1：4D ．4：1【合作探究】活动1 新知探究：两个三角形相似，它们的对应高，对应中线，对应角平分线及周长之比等于相似比．(1)提出问题：如果两个三角形相似，它们的对应高，中线，角平分线和周长之间有什么关系?(2)小组合作完成所出问题．(3)知识归纳，得出结论．新知运用例1 如图所示，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则S △DMN ：S 四边形ANME 的值为多少?活动2 新知探究：相似三角形的面积比等于相似比的平方(1)提出问题：相似三角形的面积比与相似比有什么关系?(2)小组合作，爹别对相似三角形进行探究．(3)知识归纳，得出结论，教师点评．活动3 应用新知(1)独立思考并解决教材P38例3．(2)交流解决例3的方法．(补充)例2 如图所示，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD交于点F ，DE ＝21CD ． ①求证：△ABF ∽△CEB ；②若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积．【当堂反馈】教材P39练习题第1、2、3题知识点一 相似三角形对应线段的比等于相似比1．已知△ABC ∽△DEF ，相似比为1：2，且△ABC 的边AC 上的高为8，则△DEF 的边DF 上的高为__________．2．已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为1：2，则△ABC 与△DEF 的周长的比为__________．3．两个相似三角形对应高之比为1：2，那么它们对应中线之比为( )A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：84．已知，△ABC ∽△A'B'C'，AB=3cm ，A'B'=4cm ，△ABC 的高AE=3.3cm ，求△A'B'C'中对应高A'E'的长．知识点二 相似三角形面积的比等于相似比的平方5．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，AD=1，BC=4，则△AOD 与△BOC 的面积比等于( )A ．12B ．14C ．18D ．116第5题图 第6题图 第7题图6．如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=( )A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：27．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则AD AB_______.【拓展提升】1．(1)如图所示，在△ABC 中，BC=48，高AD=16．它的内接矩形的两邻边EF ：FM ＝5：9，长边MF 在BC 边上，求矩形EFMN 的面积.(2)如图所示，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．①当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；②当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；③在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长．2．如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．(1)求证：BC EF AD AH =； (2)设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值．【课后检测】一、选择题1．如图，点D 是△ABC 的边BC 上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为( )A ．aB ．12aC ．13aD ．25a第1题图 第2题图2．如图，四边形ABCD 、四边形CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ．设AB=a ，CG=b(a>b)．下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③CEGO GC DG =；④(a －b)2·S △EFO ＝b 2·S △DGO . 其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题3．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，AB 被一平行于BC 的矩形截成三等份，则图中阴影部分的面积为__________．第3题图 第4题图4．如图，在□ABCD 中，BE ＝2AE ，若S △AEF ＝4cm 2，则S △ACD ＝__________．三、解答题5．如图，在△ABC 和△A'B'C'中，AB ＝3A'B'，AC=3A'C'，∠A ＝∠A'，若△ABC 的边BC 上的高AD 为9cm ，面积为362cm 2，求△A'B'C'的边B'C'上的高和面积．6．如图，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连接EF ．(1)求证：EF ∥BC ；(2)若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.7．如图，在△ABC 和△A 'B'C'中，AD ，BE 是△ABC 的中线，A'D'，B'E'是△A'B'C'的中线，且AB ＝23A'B'，BC ＝23B'C'，∠ABC ＝∠A'B'C'，求证：''''E B BE D A AD ．教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。
相似三角形导学案
相似三角形导学案班级：小组：姓名：评价：【学习目标】1.了解相似三角形的概念，探索判定三角形相似的常用结论并会用相似求解线段长度；2.在证明和计算中体会转化的思想；3.激情投入，全力以赴，享受271高效课堂。
【使用说明】认真研读教材61-63页，完成导学案，书写认真，解题步骤完整，☆选作。
【重点和难点】1．重点是相似三角形概念的理解;2．难点是在具体问题中找出一组相似三角形及其对应边、对应角，并会写出比例式。
【新知准备】1.平行线分线段成比例：2.相似多边形的定义：【预习自学】1.相似三角形的定义（1）相似三角形是相等，成比例的两个三角形.（2）表示：相似用符号“”来表示，读作“”，记作“△A′B′C′∽△ABC” .注意：在表示三角形相似时，一般把对应顶点的字母写在对应的位置上（3）定义的几何语言表述：在△A′B′C′和△ABC中，如果∠A′＝∠A，∠B′＝∠B,∠C′＝∠C，A′B′AB＝A′C′AC＝C′B′CB，那么△A′B′C′∽△ABC2.相似三角形的性质：相似三角形的对应角，对应边 .3.相似比：（1）叫做相似三角形的相似比（2）全等三角形是相似三角形的特例，它的相似比是【探究新知】在△ABC中，经常出现DE//BC这种情况，那么△ADE和△ABC相似吗？如何证明呢？已知：如图，DE//BC，并分别交AB、AC于点D、E.A求证：△ADE∽△ABCD EB CA B C D E由此我们能得到结论： ☆拓展：如图，DE ∥BC ，与CA 、BA 延长线交于D 、E ，那么△AED 与△ABC 会相似吗?再证明一下。
我们又得到结论：【典型例题】例1.如图，DE ∥BC ，已知AD ∶DB ＝1∶2,BC ＝9cm ，求DE 的长.A B C D E【巩固练习】1. 已知△ABC∽△A'B'C'，且相似比为2．则（）A. ∠A是∠A'的2倍B. ∠A'是∠A的2倍C. AB是A' B'的2倍D. A 'B'是AB的2倍2. 如果一个三角形的三边长分别是5、12、13，与其相似的三角形的最长边是39，那么较大三角形的周长是多少?3.如图，∠A =∠B，AB与CD相交于点O，OB=2,OA=3，BD=4，求AC的长．我的收获与反思：。
相似三角形(导学案)
4.5相似三角形（教、学案）淄川区双沟中学马莹学习目标：1、探索相似三角形的本质特征，初步认识特殊与一般之间的辨证关系。
2、运用相似三角形的本质特征解决问题。
学习重点：相似三角形本质特征的正确运用。
教学过程：一、明确学习目标。
（学生阅读，并注意关键词）二、探索新知。
（一）相似三角形的本质特征：1、什么是相似多边形？什么是相似比？（口答）2、你认为相似多边形与相似三角形有什么关系？（口答）3、的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的叫做相似比。
4、请判断，下列两个三角形是否一定相似？为什么？（1）两个全等三角形（2）两个直角三角形（3）两个等腰直角三角形（4）两个等腰三角形（5）两个等边三角形5、已知△ABC∽△DEF，你会得到哪些结论？DBC E FA6、新知归纳：如图∵ ∴△ABC ∽△DEF ∵△ABC ∽△DEF∴（二）相似三角形本质特征的应用：（1） 例1中有相似三角形吗？若有，它们分别是谁？（2） 它们的相似比400：1是怎么算出来得？（注意长度单位的换算）（3） 例1怎样运用相似比求出草坪其他两边的实际长度的？（4） 例1用到哪些知识点？D BE A三、课堂训练：1、（牛刀小试）在下图中，若△ABC ∽△ADE ，试确定x 、y 的值。
思考：你能找到对应角吗？它们有什么关系？图中有互相平行的线段吗？2、（能力提高）如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE=50cm ，EC=30cm ，BC=70cm ，∠ACB=40°。
（1）求∠AED 的度数。
（2）求DE 的长度。
（3）你还能找到哪些相等的角？图中有互相平行的线段吗？（4）图中有哪些成比例的线段？四、课堂小结：谈谈这节课的收获。
x B D 33 E C 22 30 A 48 y BCE D A五、达标测试：（请独立完成）1、已知⊿ABC ∽⊿DEF ，AB=3cm ，BC=4cm ，CA=2cm ，EF=6cm 。
线段DE= ，DF= 。
相似三角形的性质 导学案(含答案)
4.7相似三角形的性质 导学案 第1课时 相似三角形的性质定理(一)1、预习目标 1．三角形中除三条边外的主要线段有角平分线、高、中线．2．相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比． 2、课堂精讲精练【例1】如图，某同学拿着一把12 cm 长的尺子，站在距电线杆30 m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60 cm ，则电线杆的高度是(D)A ．2.4 mB ．24 mC ．0.6 mD ．6 m【跟踪训练1】若△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知BD ∶B ′D ′＝5∶2，AC ＝10 cm ，则A ′C ′＝4_cm ．【跟踪训练2】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为4∶3，若△ABC 中∠A 的平分线AM ＝8，则△DEF 中∠D 的平分线DN ＝6．【例2】如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HGBC ；(2)求矩形EFGH 的周长．解：(1)证明：∵四边形EFGH 为矩形，∴EF ∥GH.∴∠AHG ＝∠ABC ，∠AGH ＝∠ACB.∴△AHG ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ，∴AM ⊥HG. ∴AM AD ＝HG BC. (2)设HE ＝x cm ，则MD ＝x cm ，HG ＝2x cm.∵AD ＝30 cm ，∴AM ＝(30－x)cm. ∵AM AD ＝HG BC ，∴30－x 30＝2x 40. 解得x ＝12.∴矩形EFGH 的周长为2(x ＋2x)＝72 cm.【跟踪训练3】如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是127．3、课堂巩固训练1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，AD 与A ′D ′分别是△ABC 与△A ′B ′C ′的角平分线，则AD ∶A ′D ′等于(A)A ．3∶4B ．4∶3C ．9∶16D ．16∶92．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BM ⊥CE ，则Rt △BEM 与Rt △BCM 斜边上的高的比为(C)A ．1∶3B ．2∶3C ．1∶2D ．3∶53．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，两腰BA 与CD 的延长线交于点P ，PF ⊥BC 于点F ，交AD 于点E.若AD ＝2，BC ＝5，EF ＝3，则PF ＝5．4．如图，在△ABC 中，BC ＝12，AD 是BC 边上的高，AD ＝8，P ，N 分别是AB ，AC 边上的点，Q ，M 是BC 上的点，连接PQ ，PN ，MN ，PN 交AD 于点E.若四边形PQMN 是矩形，且PQ ∶PN ＝1∶2，求PQ ，PN 的长．解：设PQ ＝y ，则PN ＝2y. ∵四边形PQMN 是矩形，∴PN ∥QM.∴∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C. ∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD ，即2y 12＝8－y 8. 解得y ＝247.∴PQ ＝247，PN ＝487.第2课时 相似三角形的性质定理(二)1、预习目标1．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．2．上述性质可推广到相似多边形，即相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 2、课堂精讲精练【例1】如图，点D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 上的一点，且DE ∥BC ，S △ADE ＝4，S 四边形DBCE ＝5，则△ADE 与△ABC 的相似比为(D)A ．5∶9B ．4∶9C ．16∶81D ．2∶3【跟踪训练1】如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是(D)A.32B.33C.62D.3－62【跟踪训练2】如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 与BD 相交于点F.若△DEF 的面积为2，则▱ABCD 的面积为24．【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且MD ＝CM ，DE ⊥AB 于点E ，连接AD ，BD.(1)求证：△MED ∽△BCA ；(2)当S △BDM ＝13S △ABC 时，求S △BED ∶S △MED 的值．解：(1)证明：∵MD ∥BC ， ∴∠DME ＝∠CBA. ∵∠DEM ＝∠ACB ＝90°， ∴△MED ∽△BCA.(2)∵∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，∴MB ＝12AB.∵MC ＝MD ，∴MD ＝12AB.∵△MED ∽△BCA ，∴S △MED S △ABC ＝(DM AB )2＝14.∵S △BDM ＝13S △ABC ，∴S △MED S △BDM ＝34.又∵S △MED ＋S △BED ＝S △BDM ， ∴S △BED ∶S △MED ＝1∶3.【跟踪训练3】如图所示，在▱ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，且DE ＝12CD ，BE 与AD交于点F.(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB ＝CD. ∴∠ABF ＝∠E. ∴△ABF ∽△CEB. (2)∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB.∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2.∵DE ＝12CD ，AB ＝CD ，∴DE CE ＝13，DE AB ＝12.∴S △DEF S △ABF ＝14，S △DEF S △CEB ＝19. ∴S △ABF ＝8，S △CEB ＝18.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3、课堂巩固训练1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是(C)A ．6B ．12C ．18D ．242．已知△ABC 与△DEF 相似且周长的比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比为(D)A ．2∶3B ．16∶81C ．9∶4D ．4∶93．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，△BEF的面积为4，则▱ABCD 的面积为(A)A．30 B．27 C．14 D．324．如果两个相似三角形的周长比为1∶2，那么它们某一组对应边上的高之比为1∶2．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，两腰的延长线相交于点P.若S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，且BC＝26，求AD的长．解：∵S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，∴S△PAD∶S△PBC＝1∶3.∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC.∴ADBC＝33.∴AD＝2 2.。
相似三角形导学案(1)
课题 27.1 图形的相似 1班级：____________ 姓名：____________导学目标知识点：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比．课时：1课时导学方法：整理、分析、归纳法导学过程：一、自主探究（课前导学）1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念．相似图形3 、思考：如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?观察思考，小组讨论回答：二、合作探究（课堂导学）实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 成比例线段：对于四条线段,,,a b c d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是一个没有单位的正数； （2）四条线段,,,a b c d 成比例，记作a cb d=或::a b c d =； （3）若四条线段满足a cb d=，则有ad bc =． 例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）例2一张桌面的长 1.25a m =，宽0.75b m =，那么长与宽的比是多少？（1）如果125a cm =，75b cm =，那么长与宽的比是多少？（2）如果1250a mm =，750b mm =，那么长与宽的比是多少？小结：上面分别采用,,m cm mm 三种不同的长度单位，求得的ab的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____．三、讨论交流（展示点评）四、课堂检测（当堂训练）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？分析：根据比例尺=实际距离图上距离，可求出北京到上海的实际距离．拓展延伸（课外练习）：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a ～f 中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？3、下列说法正确的是（ ）A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B ．商店新买来的一副三角板是相似的.C ．所有的课本都是相似的.D ．国旗的五角星都是相似的. 4、填空题形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的。
最新相似三角形全章导学案
27.1.图形的相似（一）一、学习目标1.理解并掌握两个图形相似的概念。
2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比。
二、新知链接1．（1）请同学们先观察第27章章头图，他们的形状、大小有什么关系。
（2）相似图形概念：______________________________________________。
（3）让同学们再举几个相似图形的例子．2．两条线段的比：两条线段的比，就是__________________________________。
3．成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中____________________相等，如dcb a =（即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位； （2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作dcb a =或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足dcb a =，则有ad=bc ．三、合作探究例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）例2一张桌面的长a=1.25m ，宽b=0.75m ，那么长与宽的比是多少？（1）如果a=125cm ，b=75cm ，那么长与宽的比是多少？ （2）如果a=1250mm ，b=750mm ，那么长与宽的比是多少？例3已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？分析：根据比例尺=实际距离图上距离，可求出北京到上海的实际距离．解：答：北京到上海的实际距离大约是___________km ． 四、课堂练习1．观察下列图形，指出哪些是相似图形：相似图形： _____和______； _____和______； _____和______。
2．下列说法正确的是（ ）A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B ．商店新买来的一副三角板是相似的.C ．所有的课本都是相似的.D ．国旗的五角星都是相似的. 3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_______cm ，宽是_______cm ； （大）长是_______cm ，宽是_______cm ；（2）（小）=长宽 ；（大）=长宽 ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？5．AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5cm ，那么这张平面地图的比例尺是多少？27.1 图形的相似（二）一、学习目标1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．二、新知链接1．如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．2．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．3．【结论】：（1）相似多边形的特征：反之，（2）相似比：问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：三、合作探究例1下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似例2（教材P39例题）．例3已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．解：四、课堂练习1．△ABC与△DEF相似，且相似比是32，则△DEF 与△ABC与的相似比是（）．A．32B．23C．52D．942．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A．3个B．4个C．5个D．6个3．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm 和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？4．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．※3．如图，一个矩形ABCD的长AD= a cm，宽AB= b cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:b的值．27.2.1 相似三角形的判定（一）一、学习目标1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 二、新知链接 1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CAC B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比． 反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且A C CAC B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．教材P42的思考，并引导同学们探索与证明． 3．【归纳】三角形相似的预备定理 三、合作探究例1如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA ． （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD 、DC 的长．例2如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．四、课堂练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形2．（选择）如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形一共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 3．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE :BC 的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．4．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE :EA=2:3，EF=4，求CD 的长．27.2.1 相似三角形的判定（二）一、学习目标1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养同学们获得数学猜想的经验，激发同学们探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、新知链接 1．复习提问：(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？ (4) 如图，如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）带领同学们画图探究； （3）【归纳】三角形相似的判定方法1 3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）引领同学们探求证明方法．4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（1）提出问题：由三角形全等的SAS 判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）让同学们画图，自主展开探究活动． （3）【归纳】三角形相似的判定方法2 三、合作探究 例1（教材P46例1） 分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．※例2已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长．四、课堂练习1．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？2．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．※3．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD •AD ， 求证：△ADC ∽△CDP ．B'C'A'ABC27.2.1 相似三角形的判定（三）一、学习目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、新知链接1．复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？（4）【归纳】三角形相似的判定方法2三、合作探究例1（教材P48例2）．例2（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．解：四、课堂练习1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．2．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．3.已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证：FDEFBFAF．4．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：AC•BC=BE•CD；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．课题 27.2.1相似三角形的判定（复习）学习目标：掌握两个三角形相似的判定方法；会用其解决问题。
相似三角形的性质及其应用-导学案
3月16日-相似三角形的性质及其应用-导学案一：知识梳理相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形知识点1：性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
知识点2：性质定理2：相似三角形对应线段（高线、中线、角平分线）的比等于相似比。
实战训练一：1. 两个相似三角形的对应边之比是1:2，那么它们的对应中线之比是1:2 。
2. 两个相似三角形的对应高之比是1:4，那么它们的对应中线之比是1:4 。
3. 两个相似三角形的对应角的平分线的长分别是3cm和5cm，那么它们的相似比是3:5 ，对应高的比是3:5 。
知识点3：性质定理3：相似三角形的周长比等于相似比。
实战训练二：1. 两个相似三角形的相似比是1:2，其中较小三角形的周长为6cm，则较大三角形的周长为12cm 。
2. 如果△ABC ∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、4、5，△DEF的最短边长为6，那么△DEF的周长为24 。
3. 如果两个相似三角形的周长比是2:3，其中小三角形一角的角平分线长是6cm，那么大三角形对应角平分线长是9cm 。
知识点4：性质定理4：相似相似三角形面积的比等于相似比的平方。
实战训练三：1. 若△ABC ∽△A’B’C’且相似比为1:2，则△ABC 与△A’B’C’面积之比为1:4 。
2. 两个相似三角形的面积之比是4: 9，则这两个三角形相似比是2:3 。
3. 判断：两个三角形的面积之比是4: 9，则这两个三角形的周长之比是2：3。
（×）二：典例分析例1：如图，已知△ACE△△BDE，AC＝6，BD＝3，AB＝12，CD＝18，求AE和DE的长。
解：∵△ACE∽△BDE∴ACBD =AEBE即63=AE12−AE解得AE=8△ ACBD =CEDE即63=18−DEDE解得DE=6相似三角形的应用——测量不能到达顶端的物体高度例2: 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高为6m 。
初中数学最新版《相似三角形的性质》精品导学案(2022年版)
1.3 相似三角形的性质学习目标：1、知道相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比．2、理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．3、能用三角形的性质解决简单的问题．学习重难点：1、重点：相似三角形的性质与运用．2、难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方〞性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比〞的理解．学习过程：一、自学引导1．问题：：∆ABC ∽ ∆A ’B ’C ’，根据相似的定义，我们有哪些结论？问题：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？二、研学指导1、自读文本15页，并思考以下问题：〔1〕如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？写出推导过程．〔2〕如果两个三角形相似，它们的对应边上的高线、中线，对应角的平分线之间有什么关系？写出推导过程．〔3〕如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？写出推导过程．2、结论——相似三角形的性质：性质1 相似三角形周长的比等于 ，对应高的比等于 ，对应中线的比等于 ，对应角平分线的比等于 ．性质2 相似三角形面积的比等于 ．三、固学辅导例 1 ：△ABC ∽ △A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′的长．例2 如图在ΔABC 和ΔDEF 中，AB=2DE ，AC=2DF ，∠A=∠D ，ΔABC 的周长是24，面积是DEF 的周长和面积．解： 四、课堂练习1、填空：〔1〕如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．〔2〕如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________． 〔3〕连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．2、两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，假设较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，那么较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 2．EAC B DF五、自我小结六、当堂检测1、判断题：〔1〕如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍．〔〕〔2〕如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍．〔〕2、蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm，一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是30cm的蛋糕够多少人吃？〔假设两种蛋糕高度相同〕3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm,这次复印的放缩比例是多少?这个多边形的面积发生了怎样的变化?4、△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积．5、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长：△ABC的周长＝．第2课时代数式的值【知识与技能】能熟练地求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或一个算法.【过程与方法】通过感受字母取值的变化与代数式值的变化之间的联系，能利用代数式的值推断一些代数式所反映的规律，提高应用知识的能力.【情感态度】在与他人交流过程中，感受数学活动的生动魅力，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】会求代数式的值并解释代数式值的实际意义.【教学难点】利用代数式求值推断代数式所反映的规律.一、情境导入，初步认识一位医生研究得出由父母身高预测子女成年后身高的公式：儿子身高是由父母身高的和的一半，再乘以1.08；女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2．〔1〕父亲身高a米，母亲身高b米，试用代数式表示儿子和女儿的身高；〔2〕女生小红父亲身高1.75米，母亲身高1.62米；男生小明的父亲身高1.70米，母亲身高1.60米．预测成年以后小红和小明谁个子高?【教学说明】利用学生十分关注的身高问题，调动起学生的兴趣，由此也告知学生数学来源于生活.二、思考探究，获取新知1.求代数式的值问题1 教材第81页的“做一做〞.【教学说明】学生先了解身体质量指数的计算方法，然后列出代数式，再根据给出的数值求出代数式的值，体会求代数式值的方法.【归纳结论】求代数式的值分两步完成；〔1〕代入；〔2〕计算.问题2 教材第81页“议一议〞上面的内容.【教学说明】学生通过计算，掌握求代数式值的方法.【归纳结论】用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出的结果叫代数式的值.代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化.2.认识数值转换机下面是一对“数值转换机〞写出图①的输出结果；写出图②的运算过程及输出结果.【教学说明】使学生感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法.三、运用新知，深化理解1.填空：〔1〕a，b互为相反数，c，d互为倒数，那么2(a＋b)－3cd的值为________.〔2〕当a＝3，b＝1时，代数式22a b的值为________.2.如图是一数值转换机，假设输入的x为-5，那么输出的结果为________．3.教材第84页的“随堂练习〞第1题.4.教材第84页下方的“随堂练习〞第2题.答案：1.-3 〔2〕5 2 .3.〔1〕在6%akg到7.5%akg之间；〔2〕在2.1kg到2.6kg之间；〔3〕略.4.〔1〕〔2〕物体在地球上下落得快；〔3〕把h=20m分别代入ht2和ht2，得t〔地球〕≈2〔s〕，t(月球)=5(s).四、师生互动，课堂小结1.让学生充分发表自己的感受，相互补充．2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?【板书设计】1.布置作业：教材“〞第1、2、5题.2.完成练习册中本课时的相应作业.这节课学生进一步理解了代数式和代数式值的概念，锻炼学生的计算能力，激发学生的兴趣.。
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D．所有的正方形都相似
例 3 已知四边形 ABCD 与四边形 A 1B1C1D 1 相似， 且 A 1B1: B1C1: C1D 1: D1 A 1=7: 8: 11: 14，若四边形 ABCD 的周长为 40，求四边形 ABCD 的各边的长．
分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．
四、课堂练习
1．△ ABC 与△ DEF 相似，且相似比是 2 ，则△ DEF 与△ ABC 与的相似比是（
）．
3
2 A．
3
3 B．
2
2 C．
5
4 D．
9
27.2.1 相似三角形的判定（一）
年
月
日
一、学习目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展同学们的探究、交 流能力．
）
欢迎下载
答：北京到上海的实际距离大约是 ___________km ． 四、课堂练习 1．观察下列图形，指出哪些是相似图形： 相似图形： _____和 ______； _____和 ______； _____和 ______。
2．下列说法正确的是（
）
A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似
优秀教案
2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）—— 相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三
角形与原三角形相似） ．
3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 二、新知链接
解：
欢迎下载
2．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（
）
（ 1）两个半径不相等的圆； （ 2）所有的正方形； （ 3）所有的等腰三角形； （ 4）所有的等边三角形； （ 5）
所有的等腰梯形； （ 6）所有的正六边形．
A ． 3个 B ． 4个 C． 5个 D． 6个 3．已知四边形 ABCD 和四边形 A 1B1C1D1 相似，四边形 ABCD 的最长边和最短边的长分别是 如果四边形 A 1B1C1D 1 的最短边的长是 6cm，那么四边形 A 1B1C1 D1 中最长的边长是多少？
（ 2）如果 a=1250mm ， b=750mm ，那么长与宽的比是多少？
例 3 已知：一张地图的比例尺是 1: 32000000，量得北京到上海的图上距离大约为
的实际距离大约是多少 分析：根据比例尺
km ？
图上距离 =
，可求出北京到上海的实际距离．
实际距离
解：
3.5cm ，求北京到上海
5． AB 两地的实际距离为 2500m，在一张平面图上的距离是 5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？
1．复习引入 （ 1）相似多边形的主要特征是什么？
（ 2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ ABC 与△ A ′ B′ C′中， 如果∠ A= ∠ A ′ , ∠ B= ∠ B′ , ∠C=∠ C′ , 且 AB BC CA k ．
10cm 和 4cm，
4．如图， AB ∥ EF∥ CD ， CD=4 ，AB=9 ，若梯形 CDEF 与梯形 EFAB 相似，求 EF 的长． ※ 3．如图，一个矩形 ABCD 的长 AD= a cm，宽 AB= b cm， E、 F 分别是 AD 、 BC 的中点，连接 E、 F，所得新矩形 ABFE 与原矩形 ABCD 相似，求 a: b 的值．
宽 ；（大）
．
长
长
（ 3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？
4．在比例尺是 1: 8000000 的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时 海之间的实际距离是多少？
7.5cm ，那么福州与上
例 2 一张桌面的长 a=1.25m，宽 b=0.75m ，那么长与宽的比是多少？
（ 1）如果 a=125cm ， b=75cm，那么长与宽的比是多少？
27.1.图形的相似（一）
优பைடு நூலகம்教案
年月日
一、学习目标
1.理解并掌握两个图形相似的概念。
2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比。 二、新知链接
1．（ 1）请同学们先观察第 27 章章头图，他们的形状、大小有什么关系。 （ 2）自学教材。
（ 3）相似图形概念： ______________________________________________ 。
【注意】
（ 1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；
（ 2）线段的比是一个没有单位的正数；
（ 3）四条线段 a,b,c,d 成比例，记作 a
c 或 a:b=c:d；
bd
（ 4）若四条线段满足
a
c ，则有 ad=bc．
bd
三、合作探究
例 1 如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（
27.1 图形的相似（二）
年月
日
优秀教案
一、学习目标
1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算． 二、新知链接
1． 如图的左边格点图中有一个四边 形，请在右边的格点图中画出一个
与该四边形相似的图形．
2． 问题：对于图中两个相似的四边 形，它们的对应角， 对应边的比是
否相等．
3．【结论】： （ 1）相似多边形的特征：
反之，
（ 2）相似比： 问题：相似比为 1 时，相似的两个图形有什么关系？
结论：
三、合作探究
例 1 下列说法正确的是（
）
A ．所有的平行四边形都相似
B．所有的矩形都相似
C ．所有的菱形都相似 例 2（教材 P39 例题）．
（ 4）让同学们再举几个相似图形的例子．
2．两条线段的比：两条线段的比，就是 3．成比例线段：对于四条线段 a,b,c,d
__________________________________ 。 a
，如果其中 ____________________ 相等，如 b
c （即 ad=bc），
d
我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
.
B ．商店新买来的一副三角板是相似的 .
C．所有的课本都是相似的 . D．国旗的五角星都是相似的 .
3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （ 1）（小）长是 _______cm，宽是 _______cm ；
（大）长是 _______cm ，宽是 _______cm；
（ 2）（小） 宽