2023年中考数学二轮专题复习——专题 三角形、四边形中的常用模型 学案(含答案)
2024年中考数学常见几何模型(全国通用)：三角形中的重要模型等积模型(原卷版)
专题07三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S △△；反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB //CD 。
图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S A ．4B ．例2．（河北省石家庄市2023-2024的边BD 上的中线，BF 是例4．（浙江省杭州市2023-2024 E为BC边上一点且BE例5．（2023春·江西萍乡如图1，AD是ABC理由：因为AD是又因为12ABDS BD所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图(1)如图2，延长ABC 的边BC 到点D ，使CD BC ，连接DA 含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB ，连接FD ，积为3S ，则3S（用含a 的代数式表示）；作CE AB ∥，连接AE 、BE模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
四川省渠县崇德实验学校2020年中考第二轮九年级数学三角形、四边形压轴题专题复习(无答案)
四川省渠县崇德实验学校2020年中考第二轮九年级数学三角形、四边形压轴题专题复习一、选择题1、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C D．2、如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A(4，4)，点C在边AB上，且ACBC＝13，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．(2，2) B．(52，52) C．(83，83) D．(3，3)3、如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝12BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝4AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③④二、填空题4、在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______5、如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走个小立方块．6、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）7、如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC 边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD＝12AC时，tanα1＝34；如图2，当CD＝13AC时，tanα2＝512；如图3，当CD＝14AC时，tanα3＝724；…依此类推，当CD＝1n1＋AC（n为正整数）时，tanαn＝．8、在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．三、解答题9、如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM⊥MG，并求MBMG的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．10、【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为；【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．11、如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．（1）求证：CE＝EF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求△BEF面积的最大值．12、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN＝AM．13、如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．14、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD 垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D 出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15、如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．16、如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝6，AD＝3，求△PDE的面积．17、如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此时HD：GC：EB 的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．18、问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2 2×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体．19、如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．20、如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．（1）如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE＝CF；②求证：DP垂直平分EF；（2）当AE＝1时，求PQ的长．。
中考数学几何模型大汇总
中考数学几何模型大汇总
当涉及到中考数学几何模型时，以下是一些常见的模型大汇总：
1. 三角形模型：
-等边三角形：三边长度相等的三角形。
-等腰三角形：两边长度相等的三角形。
-直角三角形：一个角度为90度的三角形。
-平面内角和为180度。
2. 四边形模型：
-正方形：四边相等且角度为90度的四边形。
-长方形：相对边相等且角度为90度的四边形。
-平行四边形：对边平行的四边形。
-梯形：有一对平行边的四边形。
-菱形：四边相等的四边形。
3. 圆模型：
-圆的面积和周长计算。
-弧长和扇形面积计算。
4. 空间几何模型：
-立体图形的表面积和体积计算：
-立方体：六个面都是正方形。
-直方体：六个面都是矩形。
-圆柱体：底面是圆形，侧面是矩形。
-圆锥体：底面是圆形，侧面是三角形。
-球体：所有点到球心的距离相等。
5. 相似模型：
-相似三角形：具有相同形状但不同大小的三角形。
-相似多边形：具有相同形状但不同大小的多边形。
6. 坐标几何模型：
-直角坐标系：平面上的点通过x轴和y轴的坐标进行定位。
-坐标点之间的距离和斜率计算。
这只是一些中考数学几何模型的大致汇总，其中还有很多其他模型和概念。
掌握这些模型和概念将有助于解决与几何相关的中考数学问题。
2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型 全等模型-半角模型(解析版)
专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7）．【答案】370【分析】延长,AB DC 交于点E ，根据已知条件求得90E ∠=︒,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得,EC EB ，,AE AD ，从而求得AN AM +的长，根据材料可得MN DM BN =+，即可求解．【详解】解：如图，延长,AB DC 交于点E ，连接,CM CN ，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，30A ∴∠=︒，90E ∠=︒，100DC DM ==DCM ∴是等边三角形，60DCM ∴∠=︒,90BCM ∴∠=︒,在Rt BCE 中，100BC =，18030ECB BCD ∠=︒-∠=︒，1502EB BC ==，EC ==100DE DC EC ∴=+=+Rt ADE △中，2200AD DE ==+150AE ==， ∴200100100AM AD DM =-=+=+()AN AB BN AE EB BN =-=--())15050501=--150=，100150250AM AN ∴+=+=+Rt CMB △中，BM =)50501EN EB BN EC =+=+=ECN ∴是等腰直角三角形()1752NCM BCM NCB BCM NCE BCE DCB ∴∠=∠-∠=∠-∠-∠=︒=∠由阅读材料可得))100501501MN DM BN =+=+=，∴路线M N →的长比路线M A N →→的长少)250501200370+=+≈m ．答案：370． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把∠ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '． E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系． ADE ，证明∠AEF EAF ='E AF ∠，先利用圆内接四边形的性质证明为等腰直角三角形，等量代换即得结论．重合，点ADE=180°知，BAD，∠∠BAF=∠EAF=E∠，∠EF=E F'∠ABE绕点腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明） ②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE =求AF 的长．45EAF ∠=︒，45BAE FAD ∴∠+∠=︒，45DAG FAD ∴∠+∠=︒，EAF FAG ∴∠=∠，AF AF =，()EAF GAF SAS ∴∆≅∆，EF FG DF DG ∴==+，EF DF BE ∴=+；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆，EAB MAD ∴∠=∠，AE AM =，90EAM =︒∠，BE DM =，45FAM EAF ∴∠=︒=∠，AF AF =，()EAF MAF SAS ∴∆≅∆，EF FM DF DM DF BE ∴==-=-；②如图3，将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABN ∆，AN AF ∴=，90NAF ∠=︒，45EAF ∠=︒，45NAE ∴∠=︒，NAE FAE ∴∠=∠，AE AE =，()AFE ANE SAS ∴∆≅∆，EF EN ∴=，BE BN NE DF EF ∴=+=+．即BE EF DF =+．故答案为：BE EF DF =+．正方形Rt EFC中，2CF CE+解得：2x=．2DF∴=，226AF AD DF=+=【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时，CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中，AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH∠MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．又AH=AN，AB=AD，∠∠ABH∠∠ADN（SAS），∠DN=BH，∠ABH=∠ADN，∠∠B=60°，且∠EAF=60°．∠∠BAD=120°，∠∠DAF+∠BAE=∠EAF=60°，∠∠BAG+∠BAE=∠EAF，即∠MAH=∠MAN，而AH=AN，AM=AM，∠∠AMH∠∠AMN（SAS），∠MN=MH，∠AMN=∠AMH，∠菱形ABCD，∠B=60°，∠∠ABD=∠ADB=30°，∠∠HBD=∠ABH+∠ABD=60°，∠∠DAF=15°，∠EAF=60°，∠∠ADM中，∠DAM=∠AMD=75°，∠∠AMN=∠AMH=75°，∠∠HMB=180°-∠AMN-∠AMH=30°，∠∠BHM=90°，∠BH2+MH2=BM2，∠DN2+MN2=BM2．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用探究的结论解决新的问题，属于中考压轴题．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE∠∠ADG，再证明△AEF∠∠AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．证得ABE ADG ≌，得出证得AEF AGF ≌，之间的数量关系；（2）同（1）②即可得出，证得ABD ACM ≌，同（证得AEF AGF ≌，在Rt ECM 中，由勾股定理可解得90BAD B D =∠=∠=︒，ABCD 是矩形，又∠AB AD ，∠矩形CD 至点G ，使得DG=BE 90ADG ADF =∠=︒，∠∠，∠ABE ADG ≌，DG ，BAE DAG ∠=∠1BAD ∠，∠BAE DAF ∠+∠∠AEF AGF ≌，∠EF DG EF =∠BE FD +在ABC 中，B ACB ∠=∠∠ABD ACM ≌，同（1）②的证明方法得DE ME =， 2BD =，22+BC AB AC ==DE ME =x -，Rt ECM 中，2EM ，2(2)(32+【点睛】本题考查了特殊的平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定及勾股定理的应用，熟练应用相关定理和性质是解决本题的关键．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在∠ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．AB AD =∠ADC =∠B =90°∠则DAG ∠∠F AG =∠F AD理由：AB AD==∠BAE DAG∠=︒，BAD90∠+∠=ADC B在∠AFE和∠AFG∴=EF FG()3将∠ACE∠=BAC又∠∠F AB=∠则在∠ADF∠∠ADF∠∠∠∠C+∠ABD4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，（如图1），易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【答案】(1)BM DN MN +=，理由见解析；(2)DN BMMN -=，理由见解析【分析】（1）把ADN ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE ∆，然后证明得到AEM ANM ∆∆≌，从而证得ME MN =，可得结论；（2）首先证明ADQ ABM ∆∆≌，得DQ BM =，再证明AMN AQN ∆∆≌，得MN QN =，可得结论； （1）解：BM DN MN +=．理由如下：如图2，把ADN ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE ∆，90ABE ADN ∴∠=∠=︒，AE AN =，BE DN =，180ABE ABC ∴∠+∠=︒，∴点E ，点B ，点C 三点共线，90904545EAM NAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，又45NAM ∠=︒，在AEM ∆与ANM ∆中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEM ANM ∴∆∆≌（SAS ），ME MN ∴=， ME BE BM DN BM =+=+，DN BM MN ∴+=；（2）解：DN BM MN -=．理由如下：在线段DN 上截取DQ BM =，在ADQ ∆与ABM ∆中，AD AB ADQ ABM DQ BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADQ ABM ∴∆∆≌（SAS ），DAQ BAM ∴∠=∠，QAN MAN ∴∠=∠．在AMN ∆和AQN ∆中，AQ AM QAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AMN AQN ∴∆∆≌（SAS ），MN QN ∴=，DN BM MN ∴-=．【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)DN BM MN -=，见解析【分析】（1）把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE △，证得B 、E 、M 三点共线，即可得到AEM △∠ANM ，从而证得ME MN =；（2）证明方法与（1）类似；（3）在线段DN 上截取DQ BM =，判断出ADQ△∠ABM ，同（2）的方法，即可得出结论．（1）证明：如图1，∠把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE △，ABE ∴∠ADN △，AE ANM ∴=，ABE D ∠=∠，四边形ABCD 是正方形，90ABC D ∴∠=∠=︒，90ABE ABC ∴∠=∠=︒，∴点E 、B 、M 三点共线．90904545EAM NAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，又45NAM ∠=︒，在AEM △与ANM 中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEM ∴△∠()ANM SAS ，ME MN ∴=，ME BE BM DN BM =+=+，DN BM MN ∴+=，BM DN =，2MN BM ∴=．（2）证明：如图2，把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE △，ABE ∴∠ADN △，AE ANM ∴=，ABE D ∠=∠，四边形ABCD 是正方形，90ABC D ∴∠=∠=︒，90ABE ABC ∴∠=∠=︒，∴点E 、B 、M 三点共线．90904545EAM NAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，又45NAM ∠=︒，在AEM △与ANM 中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEM ∴△∠()ANM SAS ，ME MN ∴=，ME BE BM DN BM =+=+，DN BM MN ∴+=． （3）解：DN BM MN -= 理由如下：如图3，在线段DN 上截取DQ BM =，连接AQ ，在ADQ △与ABM中，AD AB ADQ ABM DQ BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADQ ∴∠()ABM SAS ，DAQ BAM ∴∠=∠，QAN MAN ∴∠=∠．在AMN 和AQN △中，AQ AM QAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AMN ∴∠()AQN SAS ，MN QN ∴=，DN BM MN ∴-=．【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．【答案】（1）EF =BE +DF ，理由见解析；（2）EF =BE +DF ，理由见解析；（3）85海里【分析】（1）延长CD 至点G ，使DG =BE ，连接AG ，可证得∠ABE ∠∠ADG ，可得到AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，再由100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，可证得∠AEF ∠∠AGF ，从而得到EF =FG ，即可求解；（2）延长CD 至点H ，使DH =BE ，连接AH ，可证得∠ABE ∠∠ADH ，可得到AE =AH ，∠BAE =∠DAH ，再由2BAD EAF ∠∠=，可证得∠AEF ∠∠AHF ，从而得到EF =FH ，即可求解；（3）连接CD ，延长AC 、BD 交于点M ，根据题意可得∠AOB =2∠COD ，∠OAM +∠OBM =70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD =AC +BD ，即可求解．【详解】解：（1）EF =BE +DF ，理由如下：如图，延长CD 至点G ，使DG =BE ，连接AG ，∠90ABC ADC∠=∠=︒，∠∠ADG=∠ABC=90°，∠AB=AD，∠∠ABE∠∠ADG，∠AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠100BAD∠=︒，50EAF∠=︒，∠∠BAE+∠DAF=50°，∠∠F AG=∠EAF=50°，∠AF=AF，∠∠AEF∠∠AGF，∠EF=FG，∠FG=DG+DF，∠EF=DG+DF=BE+DF；（2）EF=BE+DF，理由如下：如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，∠180ABC ADC∠+∠=︒，∠ADC+∠ADH=180°，∠∠ADH=∠ABC，∠AB=AD，∠∠ABE∠∠ADH，∠AE=AH，∠BAE=∠DAH，∠2BAD EAF∠∠=∠∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∠∠EAF=∠HAF，∠AF=AF，∠∠AEF∠∠AHF，∠EF=FH，∠FH=DH+DF，∠EF=DH+DF=BE+DF；（3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意得：∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB，∠∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，∠OA=OB，∠由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，∠AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∠CD=40+45=85海里．即此时两舰艇之间的距离85海里．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．小明发现，将∠ABD 绕点A 按逆时针方向旋转90º，得到∠ACF ，联结EF （如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE ＝45°，可证△F AE ∠△DAE ，得FE ＝DE ．解△FCE ，可求得FE （即DE ）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE 的度数是 ，DE 的长为 ．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°．E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．猜想线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并说明理由． ）根据旋转的性质，可得ADB AFC ≌，勾股定理解按逆时针方向旋转，使AB 与AD 重合，FG ＝DG ＋FD ＝BE ＋按逆时针方向旋转90º，得到∠ACF ∠ADB AFC ≌ACF ∴∠,90AB AC BAC ∠==45ACF ABD ∴∠=∠=在Rt FCE 中，BD 2EF CF ∴=+(2)猜想：EF =BE 如图，将∠ABE8．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【分析】（1）延长CB 到G 使BG DN=，连接AG ，先证明AGB AND ≅△△，由此得到AG AN =，GAB DAN ∠=∠，再根据45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，可以得到45GAM NAM ∠=∠=︒，从而证明AMN AMG △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN +=；（2）在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，先证明AGB AND ≅△△，由此得到AG AN =，GAB DAN ∠=∠，由此可得90GAN BAD ∠=∠=︒，再根据45MAN ∠=︒可以得到45GAM NAM ∠=∠=︒，从而证明AMN AMG △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN -=；（3）在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，先证明ABM ADG ≌，再证明AMN AGN △≌△，设DG BM x ==，根据DC BC =可求得2x =，由此可得6AB BC CD CN ====，最后再证明ABP NCP △≌△，由此即可求得答案．【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN BG DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，∠45DAN BAM BAD MAN ∠+∠=∠-∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM ∴∠=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∠BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，∠GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，∠90GAN BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAM GAN MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∠BM BG GM -=，BG DN =，∠BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM ADG SAS ∴△≌△，AM AG ∴=，MAB GAD ∠=∠，∠MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠，∠90MAG BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AGN SAS ∴△≌△，10MN GN ∴==，设DG BM x ==，∠6CN =，8MC =，∠1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+，8BC MC BM x =-=-， ∠DC BC =，∠48x x +=-，解得：2x =，∠6AB BC CD CN ====，∠//AB CD ，∠BAP CNP ∠=∠，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABP NCP AAS ∴△≌△，9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM∠EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；∠BAD，（3）如图2，将Rt∠ABC沿斜边AC翻折得到Rt∠ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=12连接EF，过点A作AM∠EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB上，作射线CP （0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD∠CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)作图见解析．(2)结论：AD+BE=DE．证明见解析．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）结论：AD+BE=DE．延长DA至F，使DF=DE，连接CF．利用全等三角形的性质解决问题即可．（1）解：如图所示：（2）结论：AD+BE=DE．理由：延长DA至F，使DF=DE，连接CF．∠AD∠CP，DF=DE，∠CE=CF，∠∠DCF=∠DCE=45°，∠∠ACB=90°，∠∠ACD+∠ECB=45°，∠∠DCA+∠ACF=∠DCF=45°，∠∠FCA=∠ECB，在∠ACF和∠BCE中，CA CB ACF BCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACF ∠∠BCE （SAS ），∠AF =BE ，∠AD +BE =DE ．【点睛】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
中考数学常用模型和定理总结
中考数学常用模型和定理总结中考数学是学生们重要的考试之一，为了更好地备战中考，学生们需要总结常用模型和定理。
本文将为学生们提供一份中考数学常用模型和定理的总结，帮助大家更好地备考。
一、常用模型1.三角形模型三角形是初中数学中最重要的图形之一，它具有稳定性，是解决许多数学问题的关键。
在解决与三角形有关的数学问题时，学生们需要掌握三角形的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的勾股定理等。
2.矩形模型矩形是初中数学中另一个重要的图形，它具有对角线相等、四个角都是直角的性质。
在解决与矩形有关的数学问题时，学生们需要掌握矩形的性质、矩形的面积和周长的计算等。
3.函数模型函数是初中数学中的一个重要概念，它是描述变量之间关系的一种方式。
在解决与函数有关的数学问题时，学生们需要掌握函数的定义、函数的图像和性质等。
4.坐标系模型坐标系是描述点和位置的一种方式，它是初中数学中另一个重要的概念。
在解决与坐标系有关的数学问题时，学生们需要掌握坐标系的建立、点的坐标的确定等。
二、常用定理1.梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理是指任何一条直线截三角形的各边或其延长线，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角比关系来证明，梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。
2.托勒密定理托勒密定理是指圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于其对边之积的和，即对角线乘积的一半。
古希腊哲学家毕达哥拉斯和他的学派在单位正方形上以直径为边作正多边形，然后把这个多边形分割为四个小的相似多边形，并将相似多边形的边换算成等量线段。
这样，他们就得到一个“倍长”过程，即用一组线段拼成另一组线段，用一组线段的长度表示另一组线段长度的比例中项。
如果把一条边看作是某个正偶数（4除外）的正弦，则另一条边可以被表示为同一个偶数的余弦。
3.西姆松定理西姆松定理是指一个三角形中，如果有三条平行于基底的直线通过另外两个顶点，那么这三条直线一定相交于基底的中点。
2023中考数学必备模型
2023中考数学必备模型
数学作为一门基础学科，是中考的重点考察科目之一。
以下是2023中考数学必备模型：
1. 函数模型
函数是数学中重要的概念，许多数学问题都可以用函数模型来
描述和解决。
掌握函数的基本概念和性质，能够有效地解决函数的
应用问题。
2. 几何模型
几何是数学中的一个非常重要的分支，中考中经常考察几何模
型的应用题。
掌握平面几何和立体几何的基本知识和基本计算方法，能够有效地解决几何问题。
3. 统计模型
统计是现代数学中一个非常重要的分支，中考中也会考察一些统计模型的应用题。
掌握统计的基本概念和统计图的绘制方法，能够有效地解决统计问题。
4. 代数模型
代数是数学中的一个非常基础的分支，掌握代数的基本概念和代数式的计算方法，可以解决很多与代数有关的问题。
5. 三角函数模型
三角函数是数学中的一个重要分支，也是中考中常考察的一个知识点。
掌握三角函数的定义、性质和计算方法，能够有效地解决三角函数问题。
掌握以上五种模型，并熟练运用到数学中的应用问题中去，就能更好地备战2023中考数学科目。
中考数学题中的几何模型
有关“中考数学题”中的几何模型
有关“中考数学题”中的几何模型如下：
1.直角三角形模型：直角三角形是初中数学中常见的几何模型之一，它涉及到勾股定
理、直角三角形的性质等知识点。
在中考数学题中，直角三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。
2.相似三角形模型：相似三角形是初中数学中另一个重要的几何模型，它涉及到相似三
角形的性质、相似三角形的判定条件等知识点。
在中考数学题中，相似三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。
3.梯形模型：梯形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到梯形的性质、梯形的面
积计算等知识点。
在中考数学题中，梯形模型通常会出现在与四边形、圆等相关的题目中。
4.圆与扇形模型：圆与扇形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到圆的性质、扇
形的面积计算等知识点。
在中考数学题中，圆与扇形模型通常会出现在与圆、扇形、三角形等相关的题目中。
中考数学常见的11种几何模型
中考数学常见的11种几何模型一、三角形的不等关系模型：A字型、K字型、X字型1. 三角形两边之和大于第三边；2. 三角形两边之差小于第三边；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半；5. 三角形三个内角之和等于180度。
二、全等、相似模型模型：A字型全等、A字型相似、8字型全等、8字型相似、蝴蝶型全等、蝴蝶型相似、平行型全等、平行型相似、等积模型等。
三、平行四边形模型模型：平行四边形ABCD中，E为AB中点，则：AC、DE互相平分；模型：平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，则：AO=CO，BO=DO；模型：平行四边形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
四、梯形模型模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BE=FE；模型：梯形ABCD中，A、B在直线EF上，则：延长DC交AB延长线于F，则：梯形ABCD面积等于三角形面积的2倍；模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
五、矩形模型模型：矩形ABCD中，E为BC中点，则：AE平分角BAD；模型：矩形ABCD中，E为AD中点，则：AF平分角ABC；模型：矩形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
六、多边形模型模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BF=FE；模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
七、燕尾模型模型：在三角形ABC中，BD平分角ABC，CE平分角ACB，则：点D、E在BC同旁，则：三角形ADE的面积等于三角形ABC面积的一半。
八、风筝模型模型：在三角形ABC中，点D、E在BC上，且AD平分角BAE，则：三角形ABC与三角形ADE的面积相等。
九、铅笔模型模型：在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，则：EF平行于AD，则：矩形ABFE与矩形EFCD相似。
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专题二三角形、四边形中的重要模型一、手拉手模型图示说明已知△AOB∽△COD，连接AC，BD，当△AOB与△COD都是等腰三角形，OA=OB，OC=OD时，△AOC≌△BOD；当△AOB与△COD不是等腰三角形时，△AOC∽△BOD.例1 （2021•湖北）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB=AC，DE=DC，∠BAC=∠EDC=n°.（1）若n=60，①如图1-①，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：；②如图1-②，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）若n=90，①如图1-③，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；②当BE∥AC，AB=32，AD=1时，请直接写出DC的长.①②③图1解析：（1）①因为AB=AC，DE=DC，∠BAC=∠EDC=60°，所以△ABC和△DEC都是等边三角形.所以AC=BC，DC=EC.所以AC-DC=BC-EC，即AD=BE.故填AD=BE.②AD=BE.理由：由①，得△ABC和△DEC都是等边三角形.所以AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°.所以∠ACD=60°-∠DCB，∠BCE=60°-∠DCB，即∠ACD=∠BCE.所以△ACD≌△BCE.所以AD=BE.（2）①BE2AD.理由：因为∠BAC=∠EDC=90°，AB=AC，DE=DC，所以∠ABC=∠ACB=45°，∠DEC=∠DCE=45°.所以sin 45°=ACBC=DCEC=22.因为∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°，∠DCE=∠ACE+∠DCA=45°，所以∠ECB=∠DCA.所以△DCA∽△ECB.所以22ADBE=，即BE2AD.②DC的长为513当点D在△ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图2-①所示.因为AB=32AD=1，所以AC=AB=32BE22因为BE∥AC，所以△EFB∽△CF A，∠EBF=∠CAB=90°.所以21332EF BF BECF AF AC====.所以AF=3BF，CF=3EF.因为AB=BF+AF=32BF=14×ODCA BODCA BODCA B32=324.在Rt △EBF 中，EF =()223224⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=524.所以CF =3EF =3×524=1524.所以EC =EF +CF =524+1524=52.在等腰直角三角形DEC 中，DC =EC •cos45°=52×22=5. 当点D 在△ABC 内部时，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，如图2-②所示.因为BE ∥AC ，所以∠CBE =∠ACB =45°.由（2）①可得∠CAD =∠CBE =45°.因为AC =32，AD =1，所以AH =DH =22.所以CH =AC ﹣AH =522.所以DC =22DH CH +=2225222⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13.综上，DC 的长为5或13.① ② 图2 二、对角互补模型图 示① ② 说 明如图，∠AOB+∠DCE =180°，①构造垂直，过点C 分别作OA ，OB 的垂线，构造直角三角形，如图①；②构造相等的角，∠OCF=∠DCE ，如图②.若OC 是∠AOB 的平分线，则图①中△CMD ≌△CNE ，图②中△CEF ≌△CDO ；若OC 不是∠AOB 的平分线，则图①中△CMD ∽△CNE ，图②中△CEF ∽△CDO .【探究发现】（1）如图3-①，若∠BAD =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AD +AB =AC ； 【拓展迁移】（2）如图3-②，若∠BAD =120°，∠ABC +∠ADC =180°. ①猜想AB ，AD ，AC 三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC =10，求四边形ABCD 的面积.MA BD COE N ABDCOE①②图3解析：（1）因为AC平分∠BAD，∠BAD=120°，所以∠DAC=∠BAC=60°.因为∠ADC=∠ABC=90°，所以∠ACD=∠ACB=30°.所以AD=12AC，AB=12AC.所以AD+AB=AC.（2）①AD +AB=AC .理由：过点C分别作CE⊥AD于点E，CF⊥AB于点F，如图3-②所示.因为AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，所以CE=CF，∠E =∠CFB.因为∠B+∠ADC=180°，∠CDE +∠ADC=180°，所以∠CDE=∠B.所以△CED≌△CFB.所以DE=BF. 所以AD+AB=AD+BF+AF=AD+DE+AF=AE+AF.在四边形AFCE中，由（1），知AE+AF=AC，所以AD+AB=AC.②因为AC平分∠BAD，∠BAD=120°，所以∠DAC=∠BAC=60°.因为AC=10，所以CE=AC•sin∠DAC=10sin 60º=53.因为CF=CE，AD+AB=AC，所以S四边形ABCD=12AD•CE+12AB•CF=12（AD+AB）·CE=12×10×53=253.三、半角模型图示说明如图，在等腰三角形BDC中，∠BDC=120°，∠EDF=60°.将△BDE旋转，使BD与CD重合，可得△DEF≌△DGF，EF=BE+CF.（也可延长AC至点G，使CG=BE）.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°.将△ABD旋转，使AB与AC重合，可得△AED≌△AEF，△CEF是直角三角形，BD2+CE2=DE2.如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将△ADF旋转，使AD与AB重合，可得△AEF≌△AEG，△AGF是等腰直角三角形，EF=BE+DF.（也可延长CB至点G，使BG=DF）动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF，如图4-①.（1）∠EAF=°，写出图中两个等腰三角形：；（不需要添加字母）转一转：将图4-①中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ，如图4-②. （2）线段BP，PQ，DQ之间的数量关系为；（3）连接正方形ABCD的对角线BD，若图4-②中∠P AQ的边AP，AQ分别交对角线BD于点M，N，如图4-③，则CQBM=；剪一剪：将图4-③中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4-④.（4）求证：BM2+DN2=MN2.①②③④图4解析：（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=∠BAD=90°.所以ABC，△ADC都是等腰三角形.因为∠BAE=∠CAE，∠DAF=∠CAF，所以∠EAF=12（∠BAC+∠DAC）=45°.所以∠BAE=∠DAF=22.5°.所以△BAE≌△DAF.所以BE=DF，AE=AF.因为CB=CD，所以CE=CF.所以△AEF，△CEF都是等腰三角形.（2）延长CB到点T，使得BT=DQ，如图5-①所示.因为AB=AD，∠ABT=∠ADQ=90°，BT=DQ，所以△ABT≌△ADQ.所以AT=AQ，∠BAT =∠DAQ. 因为∠P AQ=45°，所以∠P AT=∠BAP+∠BAT=∠BAP+∠DAQ=45°.所以∠P AT=∠P AQ=45°.因为AP=AP，所以△P AT≌△P AQ.所以PT=PQ.因为PT=BP+BT=BP+DQ，所以PQ=BP+DQ.（3）因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACQ=∠ABM=∠BAC=45°，AC=2AB.因为∠P AQ=∠BAC=45°，所以∠CAQ=∠BAM.所以△CAQ∽△BAM.所以CQ ACBM AB=2.（4）将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM，如图5-②所示.因为∠BAD=90°，∠MAN=45°，所以∠DAN+∠BAM=45°.因为∠DAN=∠BAR，所以∠BAM+∠BAR=45°.所以∠MAR=∠MAN=45°.因为AR=AN，AM=AM，所以△AMR≌△AMN.所以MR=MN.因为∠D=∠ABR=∠ABD=45°，所以∠RBM=90°.所以MR2= BM2+BR2.因为DN=BR，MN=MR，所以BM2+DN2=MN2.①②图5四、一线三等角模型图示说明如图，已知△ACP和△BPD，点A，P，B在一条直线上，若∠1=∠2=∠3，则△ACP∽△BPD.当一条直线上有两个等角时，构造第三个等角形成相似三角形；当一条直线上有三个等角时，识别此模型，利用相似三角形解答.例4 【基础巩固】（1）如图6-①，在四边形ABCD中，P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP；【尝试应用】（2）如图6-②，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=60°，E为对角线BD上一点，且BE=2DE，F为AD上一点，∠AEF=30°，求AF的长；【拓展提高】（3）如图6-③，等边三角形DEF内接于矩形ABCD，其中点E，F分别在边AB，BC上.若BE=4，CD=5，求等边三角形DEF的边长．①②③图6解析：（1）因为∠A=∠B=∠DPC=90°，所以∠APD+∠BPC=90°.因为∠APD+∠ADP=90°，所以∠ADP=∠BPC.所以△ADP∽△BPC.所以AD APBP BC=.所以AD•BC=AP•BP．（2）连接AC交BD于点T，如图6-②所示.因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=BC=CD=AD=4，∠ABD=∠DBC=∠ADE=30°，BD⊥AC.所以AT=12AB=2，BT=T D=3所以BD=3因为BE=2DE，所以83，43.所以23.所以22AT ET+222323⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭43.因为∠AEF=∠ADE=30°，∠EAF=∠DAE，所以△AEF∽△ADE.所以AE AFAD AE=，即AE2=AF•AD.所以AF=2434⎝⎭=43.（3）分别延长CB，BC至点M，N，使∠EMB=∠DNC=60°，如图6-③所示.因为△DEF是等边三角形，所以∠EFD=60°，EF=DF.所以∠FEM+∠EFM=∠DFN+∠EFM. 所以∠FEM =∠DFN.所以△FEM≌△DFN. 所以FM=DN.在Rt△BEM中，BM=43tan603EB=︒.在Rt△DCN中，DN=103sin60CD=︒.所以BF=FM-BM=DN-BM=1033-433=23.在Rt △BEF 中，由勾股定理，得EF=22BE BF +=()22423+=27.所以等边三角形DEF 的边长为27.五、十字架模型图 示① ②说 明如图①，在正方形ABCD 中，分别连接两组对边上任意两点，得到线段EF 与GH.若EF ⊥GH ，则EF=GH ；如图②，在矩形ABCD 中，分别连接两组对边上任意两点，得到线段EF ，GH ，分别平移EF ，GH 得到AN ，BM.若EF ⊥GH ，则△ABM ∽△DAN .例5 （2021•达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做如下探究： 【观察与猜想】（1）如图7-①，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 上的两点，连接DE ，CF ，DE ⊥CF ，则DECF的值为 ； （2）如图7-②，在矩形ABCD 中，AD =7，CD =4，E 是边AD 上的点，连接CE ，BD ，且CE ⊥BD ，则CEBD的值为 ；【类比探究】（3）如图7-③，在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°，E 为边AB 上一点，连接DE ，过点C 作DE 的垂线交ED 的延长线于点G ，交AD 的延长线于点F ，求证：DE •AB =CF •AD ； 【拓展延伸】（4）如图7-④，在Rt △ABD 中，∠BAD =90°，AD =9，tan ∠ADB =13.将△ABD 沿BD 翻折，点A 落在点C 处得到△CBD ，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，连接DE ，CF ，DE ⊥CF . ①求DECF的值； ②连接BF ，若AE =1，直接写出BF 的长度.① ②③④图7解析：（1）设DE 与CF 交于点G .因为四边形ABCD 是正方形，所以∠A =∠FDC =90°，AD =CD . 因为DE ⊥CF ，所以∠DGF =90°.所以∠ADE +∠DFC =90°，∠ADE +∠AED =90°.所以∠DFC =∠AED . 所以△AED ≌△DFC.所以DE =CF .所以DECF=1.（2）设BD与CE交于点G.因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠CDE=90°.因为CE⊥BD，所以∠DGC=90°.所以∠CDG+∠DCE=90°，∠ADB+∠CDG=90°.所以∠DCE=∠ADB.因为∠CDE=∠A，所以△DEC∽△ABD.所以CEBD=47DCAD=.（3）过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，如图7-③所示.因为CG⊥EG，所以∠G=∠H=∠A=∠B=90°.所以四边形ABCH是矩形.所以AB=HC，∠HCF+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°.因为∠CFH=∠DFG，∠FDG=∠ADE，所以∠HCF=∠ADE.又∠A=∠H=90°.所以△DEA∽△CFH.所以DECF=ADHC.所以DECF=ADAB.所以DE•AB=CF•AD.（4）①过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，如图7-④所示.因为CF⊥DE，GC⊥AD，所以∠FCG+∠CFG=∠CFG+∠ADE=90°.所以∠FCG=∠ADE，∠CGF =∠BAD =90°.所以△DEA∽△CFG.所以DECF=DACG.在Rt△ABD中，tan∠ADB=13，AD=9，所以AB=3.在Rt△ADH中，tan∠ADH=13，所以AHDH=13.设AH=a，则DH=3a.因为AH2+DH2=AD2，所以a2+（3a）2=92，所以a=±10.所以AH=10，DH.所以AC=2AH因为S△ADC=12AC·DH=12AD•CG，所以12=12×9CG，解得CG=275.所以DECF=DACG=9275=53.②因为AC=5，CG=275，∠AGC=90°，所以AG95.由①知△DEA∽△CFG，所以DECF=AEGF.又DECF=53，AE=1，所以GF=35.所以AF=AG﹣GF=95-35=65.所以BF跟踪训练1. 如图，正方形ABCD的边长为a，E，F分别为边BC，CD上的点，且满足∠EAF=45°，AE，AF分别与对角线BD交于点M，N，AH⊥EF于点H，下列说法：①AH=a；②△CEF的周长是2a；③若BE=2，DF=3，则a=6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE.其中正确的是（）A. ①②③⑤B. ①②④⑤C. ①②③D.①②⑤第1题图（共享鲁中考第46期1-4版）2.（2021·淄博）如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图①所示，求证：AE＝BF；（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图②所示，求∠AFQ的度数；（3）直线l继续向下平移，点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图③所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．①②③第2题图参考答案专题二三角形、四边形中的重要模型1. A2.（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°．因为DE⊥AF，所以∠APD＝90°．所以∠P AD+∠ADE＝90°，∠P AD+∠BAF＝90°．所以∠ADE＝∠BAF．所以△DAE≌△ABF．所以AE＝BF．（2）解：如图①，连接AQ，CQ．因为四边形ABCD是正方形，所以BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°．又BQ＝BQ，所以△ABQ≌△CBQ．所以QA＝QC，∠BAQ＝∠B CQ．因为EQ垂直平分线段AF，所以QA＝QF．所以Q F＝Q C．所以∠QFC＝∠QCF．所以∠QFC＝∠BAQ．因为∠QFC+∠BFQ＝180°，所以∠BAQ+∠BFQ＝180°．所以∠AQF+∠ABF＝180°．因为∠ABF＝90°，所以∠AQF＝90°．所以∠AFQ＝∠F AQ＝45°．①②第2题图（3）解：如图②，过点E作ET⊥CD于点T，则四边形BCTE是矩形．所以ET＝BC，∠BET＝∠AET＝90°．因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝BC＝ET，∠ABC＝90°．因为AF⊥EG，所以∠APE＝90°．因为∠AEP+∠BAF＝90°，∠AEP+∠TEG＝90°．所以∠BAF＝∠TEG．又∠ABF＝∠ETG，AB＝ET，所以△ABF≌△ETG．所以BF＝TG＝x．因为AD∥BC，BE∥DG，所以△PBF∽△PDA，△PBE∽△PDG．所以BF BP BEDA DP DG==．所以2x BEy=，即BE＝CT＝12xy．因为GT＝CG﹣CT，所以x＝2﹣y﹣12xy．所以y＝422xx-+（0≤x≤2）．。