初二数学分式方程应用题典型例题,19年中考数学分式方程及应用真题分类汇编及答案解析
2019年全国各地中考数学真题分类解析：分式与分式方程
分式与分式方程一、选择题1. （ 2018?广西贺州，第2题3分）分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠１B．x=1 C．x≠﹣1 D．x=﹣1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．解答：解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故选A．点评：本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．2. （ 2018?广西贺州，第12题3分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（）A．2B．1C．6D．10考点：分式的混合运算；完全平方公式．专题：计算题．分析：根据题意求出所求式子的最小值即可．解答：解：得到x＞0，得到=x+≥２=6，则原式的最小值为6．故选 C点评：此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．3．（2018?温州，第4题4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠２B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣2≠0，解得x≠2．故选A．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义?分母为零；（2）分式有意义?分母不为零；（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．4.（2018?毕节地区，第10题3分）若分式的值为零，则x的值为（）A．0B．1C．﹣1 D．±1考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x．解答：解：由x2﹣1=0，得x=±1．当x=1时，x﹣1=0，故x=1不合题意；当x=﹣1时，x﹣1=﹣2≠0，所以x=﹣1时分式的值为0．故选C．点评：分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．5.（2018?孝感，第6题3分）分式方程的解为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x=2，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．故选B点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．（2018·浙江金华，第5题4分）在式子11,,x2,x3x2x3中，x可以取2和3的是【】A．1x2B．1x3C．x2 D．x3【答案】C．【解析】试题分析：根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，在式子11,x2x3，7. （2018?湘潭，第4题，3分）分式方程的解为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：解分式方程．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：5x=3x+6，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选C．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8.（2018?呼和浩特，第8题3分）下列运算正确的是（）A．?=B．=a3C．（+）2÷（﹣）=D．（﹣a）9÷a3=（﹣a）6考点：分式的混合运算；同底数幂的除法；二次根式的混合运算．分析：分别根据二次根式混合运算的法则、分式混合运算的法则、同底幂的除法法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A、原式=3?=3，故本选项错误；B、原式=|a|3，故本选项错误；C、原式=÷=?=，故本选项正确；D、原式=﹣a9÷a3=﹣a6，故本选项错误．故选C．点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键9.（2018?德州，第11题3分）分式方程﹣1=的解是（）A．x=1 B．x=﹣1+C．x=2 D．无解考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．故选D．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．二.填空题1. （ 2018?安徽省,第13题5分）方程=3的解是x= 6 ．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x﹣12=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．故答案为：6．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2. （ 2018?福建泉州，第10题4分）计算：+= 1 ．考点：分式的加减法分析：根据同分母分式相加，分母不变分子相加，可得答案．解答：解：原式==1，故答案为：1．点评：本题考查了分式的加减，同分母分式相加，分母不变分子相加．3.（2018·云南昆明，第13题3分）要使分式101x 有意义，则x 的取值范围是 .考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件可以求出x 的取值范围．解答：解：由分式有意义的条件得：10x 10x 故填10x．点评：本题考查了分式有意义的条件：分母不为0.4．（2018·浙江金华，第12题4分）分式方程312x1的解是▲ ．【答案】x 2.【解析】5．（2018?浙江宁波，第14题4分）方程=的根x= ﹣1 ．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．故答案为：﹣1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6. （2018?益阳，第10题，4分）分式方程=的解为x=﹣9 ．考点：解分式方程．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x=3x﹣9，解得：x=﹣9，经检验x=﹣9是分式方程的解．故答案为：x=﹣9．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7. （2018?泰州，第14题，3分）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于﹣3 ．考点：分式的化简求值．分析：将a2+3ab+b2=0转化为a2+b2=﹣3ab，原式化为=，约分即可．解答：解：∵a2+3ab+b2=0，∴a2+b2=﹣3ab，∴原式===﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了分式的化简求值，通分后整体代入是解题的关键．8．（2019年山东泰安，第21题4分）化简（1+）÷的结果为．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形约分即可得到结果．解：原式=?=?=x﹣1．故答案为：x﹣1点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三.解答题1. （ 2018?广东，第18题6分）先化简，再求值：（+）?（x2﹣1），其中x=．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=?（x2﹣1）=2x+2+x﹣1=3x+1，当x=时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．2. （ 2018?广东，第21题7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？考点：分式方程的应用．分析：（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．解答：解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：=9%，解得：x=1200，经检验：x=1200是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．3. （ 2018?珠海，第13题6分）化简：（a2+3a）÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式第二项约分后，去括号合并即可得到结果．解答：解：原式=a（a+3）÷=a（a+3）×=a．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4. （ 2018?广西贺州，第19题（2）4分）（2）先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a=+1，b=﹣1．考点：分式的化简求值.专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=ab（a+1）？=ab，当a=+1，b=﹣1时，原式=3﹣1=2．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. （ 2018?广西贺州，第23题7分）马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．考点：分式方程的应用．分析：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：马小虎走600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟．解答：解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得=+10，解得 x=80．经检验，x=80是原方程的根．答：马小虎的速度是80米/分．点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．6. （ 2018?广西玉林市、防城港市，第20题6分）先化简，再求值：﹣，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=﹣==，当x=﹣1时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．(2019年四川资阳，第17题7分)先化简，再求值：（a+）÷（a﹣2+），其中，a满足a﹣2=0．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=?=，当a﹣2=0，即a=2时，原式=3．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2018?新疆，第17题8分）解分式方程：+=1．考点：解分式方程．分析：根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．解答：解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得3+x（x+3）=x2﹣93+x2+3x=x2﹣9解得x=﹣4检验：把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，∴x=﹣4是原分式方程的解．点评：本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．9．（2019年云南省，第15题5分）化简求值：?（），其中x=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=?=x+1，当x=时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（2019年云南省，第20题6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？考点：分式方程的应用．分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×２可得方程．解答：解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则2×=，解得 x=30经检验，x=30是原方程的根．答：第一批盒装花每盒的进价是30元．点评：本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．11．（2018?舟山，第18题6分）解方程：=1．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x﹣1）﹣4=x2﹣1，去括号得：x2﹣x﹣4=x2﹣1，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．12.（2019年广东汕尾，第23题11分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣=4，解得：x=50经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设至少应安排甲队工作x天，根据题意得：0.4x+×0.25≤8，解得：x≥10，答：至少应安排甲队工作10天．点评：此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．13.（2018?毕节地区，第22题8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a2+a﹣2=0．考点：分式的化简求值；解一元二次方程－因式分解法分析：先把原分式进行化简，再求a2+a﹣2=0的解，代入求值即可．解答：解：解a2+a﹣2=0得a1=1，a2=﹣2，∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a=﹣2，∴原式=÷=?=，∴原式===﹣．点评：本题考查了分式的化简求值以及因式分解法求一元二次方程的解，是重点内容要熟练掌握．14.（2018?武汉，第17题6分）解方程：=．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2x=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15.（2018?襄阳，第13题3分）计算：÷= ．考点：分式的乘除法专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=?=．故答案为：点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.（2018?襄阳，第19题6分）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？考点：分式方程的应用专题：应用题．分析：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解．解答：解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，由题意，得：=，解得：x=90，经检验得：x=90是这个分式方程的解．x+54=144．答：设特快列车的平均速度为90km/h，则动车的速度为144km/h．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同．17.（2018?邵阳，第20题8分）先化简，再求值：（﹣）?（x﹣1），其中x=2．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=?（x﹣1）=，当x=2时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（2018?四川自贡，第21题10分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用专题：应用题．分析：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x 分钟，则王师傅的工作效率为，根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量=1，可得方程，解出即可；（2）根据王师傅的工作时间不能超过30分钟，列出不等式求解．解答：解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x 分钟，则王师傅的工作效率为，由题意，得：20（+）+20×=1，解得：x=80，经检验得：x=80是原方程的根．答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．（2）设李老师要工作y 分钟，由题意，得：（1﹣）÷≤30，解得：y ≥25．答：李老师至少要工作25分钟．点评：本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．19.（2018·云南昆明，第17题5分）先化简，再求值：1)11(22aa a，其中3a .考点：分式的化简求值。
初二数学分式方程试题答案及解析
初二数学分式方程试题答案及解析1.已知关于的方程的解是正数，则m的取值范围为．【答案】【解析】本题主要考查了分式方程的解. 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．解：原方程整理得：2x+m=3x-6解得：x=m+6因为x＞0，所以m+6＞0，即m＞-6．①又因为原式是分式方程，所以，x≠2，即m+6≠2，所以m≠-4．②由①②可得，则m的取值范围为m＞-6且m≠-4．2.在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳下，则可列关于的方程为．【答案】【解析】本题考查了分式方程的应用．如果设小林每分钟跳x下，那么小群每分钟跳（x+20）下．题中有等量关系：小林跳90下所用的时间=小群跳120下所用的时间，据此可列出方程．解：由于小林每分钟跳x下，所以小群每分钟跳（x+20）下．根据相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下，可知3.甲、乙制作某种零配件，甲每天比乙多做5个，甲制作75个零件所用的天数与乙制作50个零件的天数相等，则甲、乙每天制作的零件数分别为________________.【答案】15个和10个【解析】本题考查了分式方程的应用．由甲每天做x个零件，甲每天比乙多做5个，可知乙每天做（x-5）个零件．根据关键描述语“甲做75个所用的天数与乙做50个所用的天数相等”得到等量关系：甲做75个零件所用的时间=乙做50个零件所用的时间，据此列出方程．解：设甲每天做x个零件，则乙每天做（x-5）个零件．由题意，有．解得：x=15则15-5=10（个）4.解方程：（1）（2）【答案】（1）（2）x=2是增根，原方程无解【解析】本题主要考查了解分式方程.根据方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程．（1）方程两边都乘(x-2)（x+2），得x(x+2)+6(X-2)= (x-2)（x+2）解得：x=1经检验是原方程的解．∴方程的解为x=1（2）方程两边都乘3(x-2)，得3(5x-4) = 4X+10-3(x-2)解得：x=2经检验x=2是增根．∴原方程无解5.某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务，求引进新设备前平均每天修路多少米？【答案】60米【解析】本题主要考查了分式方程的应用.求的是新工效，工作总量为3000，一定是根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“一共用30天完成了任务”；等量关系为：600米所用时间+剩余米数所用时间=30．解：设引进新设备前平均每天修路x米．根据题意，得：解得：x=60．经检验：x=60是原方程的解，且符合题意．6.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？【答案】（1）90天（2）乙队单独完成该工程省钱【解析】本题主要考查了分式方程的应用. （1）根据甲、乙合做24天可完成列方程求解（2）分别求出各个条件的工程款进行比较.解：设乙队单独完成这项工程需要x天根据题意得：解得：x=90（2）甲队工程款:60 3.5=210万元, 乙队工程款:902=180万元设甲乙两队全程合作完成该工程需要y天解得：y=36合作工程款: (3.5+2) 36=198万元故乙队单独完成该工程省钱7.跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【答案】（1）每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元（2）方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个【解析】本题主要考查了分式方程的应用.（1）关键语是“用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同”可根据此列出方程．（2）题中“根据进两种零件的总数量不超过95个”可得出关于数量的不等式方程，根据“使销售两种零件的总利润（利润=售价-进价）超过371元”看俄得出关于利润的不等式方程，组成方程组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x-2）元．由题意得：解得：x=10．检验：当x=10时，x（x-2）≠0∴x=10是原分式方程的解．x-2=10-2=8∴每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．（2）设购进乙种零件个，则购进甲种零件个由题意得解得．∵y为整数，或．共有2种方案．分别是：方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个8.当______时，的值等于．【答案】3【解析】本题主要考查了解分式方程. 由题意可得分式方程=，方程两边同乘以2（5+x），去分母，化为整式方程求解．解：由题意可得分式方程：=，方程两边同乘以2（5+x），得2（1+x）=5+x，整理得x=3，经检验，原方程的解为x=3．9.下列说法中错误的是（）A．分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解B．解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程C．检验是解分式方程必不可少的步骤D．能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解．【答案】A【解析】本题考查对解分式方程基本思想的理解．去分母，转化为整式方程求解，检验是解分式方程的常规方法．而分式方程的解有可能是0．解：A、方程的解为0，不等于分母为0，所以说法是错误的．而B、C、D都围绕解分式的基本思想和步骤来说明的，所以是正确的．故选A．10.解分式方程，下列说法中错误的是（）A．方程两边分式的最简公分母是B．方程两边乘以，得整式方程C．解这个整式方程，得D．原方程的解为【答案】D【解析】本题主要考查了解分式方程.本题的最简公分母是，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程．解：方程两边都乘，得解得：x=1经检验原方程无解．故选D11.面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？（1）设购买电视机台，依题意填充下列表格：项目家电种类（2）列出方程（组）并解答．【答案】（1）见解析（2）冰箱、电视机分别购买20台、10台【解析】本题主要考查了分式方程的应用.首先依据题意得出等量关系即每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，列出方程为－从而解出方程，最后检验并作答．（1）或5200或或或（2）解:设购买电视机x台，则购买冰箱2x台依题意得－解得经检验是原分式方程的解则2x=20．12.某中学组织学生到离学校15千米的某景区旅游，活动组织人员和学生队伍同时出发，行进速度是学生队伍的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做好准备工作．求组织人员和学生队伍的速度各是多少？设学生队伍的速度为x千米/小时，根据题意可列方程．【答案】【解析】本题考查了分式方程的应用.等量关系为路程=速度×时间．由题意可知学生队伍用的时间-组织人员用的时间=．解：设学生队伍的速度是x千米/时，组织人员的速度是1.2x千米/时，由题意得13.“十一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额p（元）的范围200≤p＜400400≤p＜500500≤p＜700700≤p＜900……根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0．8=360（元），获得优惠额为：450×0．2+30=120（元）．设购买商品的优惠率=．试问：（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？【答案】（1）优惠率为32．5%；（2）标价750元【解析】本题考查了分式方程的应用.（1）由800元×80%得出消费金额，再根据表中规定应享受100元优惠．则根据题目提供的优惠计算方法即可求出优惠额，从而得到优惠率；（2）因为西服标价低于850，所以其消费额最大为850×0.8=680（元），低于700元，因此获得的奖券金额为100元，设西服标价x元，根据题意可列出方程，解方程即可解：（1）消费金额为800×0.8=640（元），获得优惠额为：800×0.2+100=260（元），所以优惠率为：=0.325=32.5%；（2）设西服标价x元，根据题意得，解之得x=750经检验，x=750是原方程的根．∴该套西装的标价是750元14.小王做90个零件所需要的时间和小李做120个零件所用的时间相同，又知每小时小王与小李两人共做35个机器零件．求小王、小李每小时各做多少个零件？设小王每小时做x个零件，根据题意可列方程．【答案】【解析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程.要求的未知量是工作效率，有工作总量，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“甲做90个机器零件所用的时间和乙做120个所用的时间相等”；等量关系为：甲做90个机器零件所用的时间=乙做120个所用的时间．解：甲做90个机器零件所用的时间为：，乙做120个所用的时间为：所列方程为：15.“五一”期间，东方中学“动感数学”活动小组的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“动感数学”活动小组有x人，则所列方程为（）A. B．B. D．【答案】B【解析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程.未知量是数量，有总价，一定是根据单价来列等量关系的．关键描述语是：“每个同学比原来少摊了3元车费”；等量关系为：原来每个同学需摊的车费-现在每个同学应摊的车费=3，根据等量关系列式．解：原来每个同学需摊的车费为：，现在每个同学应摊的车费为．所列方程为：故选B16.某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林公顷，根据题意列方程正确的是（）A. B．B. D．【答案】B【解析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程.有工作总量240，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前5天完成任务”．等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=5．解：原计划用的时间为：时间用的时间为：那么根据等量关系方程为故选B17.如果的值与的值相等，则___________．【答案】-1【解析】本题主要考查了解分式方程.根据题意列方程得：=，去分母后化为整式方程求解．解：根据题意列方程得：=去分母得：4-2x=5-x，解得x=-1．经检验是原方程的解．∴x的值为为-1．18.若分式方程的解为，则的值为__________．【答案】5【解析】本题主要考查了解分式方程.根据题意把代入方程，求关于a的分式方程解：把x=3代入原方程得，，解得a=519.解分式方程，去分母后所得的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题主要考查了解分式方程.本题的最简公分母是2x，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程．解：方程两边都乘2x，得1-2（3x+1）=6x．故选C20.下列说法中，错误的是（）A．分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解B．解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程C．检验是解分式方程必不可少的步骤D．能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解【答案】A【解析】本题考查对解分式方程基本思想的理解．去分母，转化为整式方程求解，检验是解分式方程的常规方法．而分式方程的解有可能是0．解：A、方程的解为0，不等于分母为0，所以说法是错误的．而B、C、D都围绕解分式的基本思想和步骤来说明的，所以是正确的．故选A．。
专题03 分式方程及其应用-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)
专题03 分式方程及其应用一、基础知识1.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法:（1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值;（3）验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).二、本专题典型题考法及解析【例题1】解方程：2-x 12x 24-x x 2=++. 【例题2】遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为（ ）A ．36369201.5x x +-= B ．3636201.5x x-= C ．36936201.5x x +-= D ．36369201.5x x ++= 【例题3】某绿色食品有限公司准备购进A 和B 两种蔬菜，B 种蔬菜每吨的进价比A 中蔬菜每吨的进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A 种蔬菜的吨数与用6万元购进的B 种蔬菜的吨数相同，请解答下列问题：（1）求A ，B 两种蔬菜每吨的进价；（2）该公司计划用14万元同时购进A ，B 两种蔬菜，若A 种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B 种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W （万元）与购买A 种蔬菜的资金a （万元）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，要求A 种蔬菜的吨数不低于B 种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2100元，乙种电脑每台2700元，请直接写出有几种购买电脑的方案．三、分式方程问题训练题及其答案和解析1．解方程：．2．分式方程=1的解是（ ）A ．x=1B ．x=﹣1C ．x=3D ．x=﹣3 3.解方程：+=1；4．关于x 的分式方程﹣=0无解，则m= ． 5.2019年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？ （2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？6．若关于x 的分式方程=2的解为非负数，则m 的取值范围是（ ）A ． m ＞﹣1B ． m ≥1C ． m ＞﹣1且m ≠1D ． m ≥﹣1且m ≠17．关于x 的方程x 2﹣4x+3=0与=有一个解相同，则a= ． 8．若关于x 的分式方程=2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ）A ．1，2，3B ．1，2C ．1，3D ．2，39. xx -=--13211 解上面给出的分式方程去分母得 （ ）A.1-2（x-1）=-3B.1-2（x-1）=3C.1-2x-2=-3D.1-2x+2=310.解分式方程：2311x x x x +=--． 11．方程=1的解是 ．12．甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x 个零件，依题意下面所列方程正确的是（ ）A ．=B ． =C ． =D ． =13．济南与北京两地相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．14.为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是________.15．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两类玩具，其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同．设A 类玩具的进价为m元/个，根据题意可列分式方程为（）A． B．C． D．16.在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是（）A．11538x x=- B．11538x x=+ C．1853xx=- D．1853xx=+17.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？18．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？。
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类(4)——方程的解法和应用(含解析)
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（4）——方程的解法和应用一．选择题（共19小题） 1．（2020•张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x 人，可列方程( )A ．2932x x +=-B ．9232x x -+=C ．9232x x +-=D ．2932x x -=+2．（2019•怀化）一元一次方程20x -=的解是( ) A ．2x = B ．2x =- C ．0x = D ．1x = 3．（2020•益阳）同时满足二元一次方程9x y -=和431x y +=的x ，y 的值为( ) A ．45x y =⎧⎨=-⎩ B ．45x y =-⎧⎨=⎩ C ．23x y =-⎧⎨=⎩ D ．36x y =⎧⎨=-⎩4．（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0~2km ，超过2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则下列方程正确的是( )A ．7161328x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．(72)161328x y x y +-=⎧⎨+=⎩C ．716(132)28x y x y +=⎧⎨+-=⎩D ．(72)16(132)28x y x y +-=⎧⎨+-=⎩5．（2019•长沙）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( ) A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩B ． 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=-⎩6．（2020•邵阳）设方程2320x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为( )A ．3B ．32-C ．32D ．2-7．（2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．2或4 8．（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为( )A ．2352035202600x x x ⨯--+=B ．352035220600x x ⨯--⨯=C ．(352)(20)600x x --=D ．(35)(202)600x x --=9．（2020•怀化）已知一元二次方程240x kx -+=有两个相等的实数根，则k 的值为( ) A ．4k = B ．4k =- C ．4k =± D ．2k =± 10．（2019•湘潭）已知关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则(c = )A ．4B ．2C ．1D ．4- 11．（2019•湘西州）一元二次方程2230x x -+=根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断 12．（2019•郴州）一元二次方程22350x x +-=的根的情况为( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根13．（2019•淄博）若123x x +=，22125x x +=，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是( ) A ．2320x x -+= B ．2320x x +-= C ．2320x x ++=D ．2320x x --=14．（2019•怀化）一元二次方程2210x x ++=的解是( )A ．11x =，21x =-B ．121x x ==C ．121x x ==-D ．11x =-，22x = 15．（2019•衡阳）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得( )A ．9(12)1x -=B ．29(1)1x -=C ．9(12)1x +=D ．29(1)1x += 16．（2020•长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x 万件产品，依题意得( )A ．40050030x x =-B ．40050030x x =+C ．40050030x x =-D ．40050030x x=+ 17．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x 个物件，则可列方程为( )A ．1209020x x =-B ．1209020x x =+C ．1209020x x =-D ．1209020x x =+ 18．（2019•益阳）解分式方程232112x x x+=--时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )A ．23x +=B ．23x -=C ．23(21)x x -=-D ．23(21)x x +=-19．（2019•株洲）关于x 的分式方程2503x x -=-的解为( )A ．3-B ．2-C ．2D ．3 二．填空题（共13小题） 20．（2020•株洲）关于x 的方程38x x -=的解为x = ． 21．（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 名． 22．（2019•湘西州）若关于x 的方程320x kx -+=的解为2，则k 的值为 ． 23．（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，根据题意，可列方程组为 ． 24．（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 次．25．（2020•永州）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ．26．（2020•邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为 ． 27．（2020•娄底）一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ． 28．（2020•郴州）已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ． 29．（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．30．（2019•娄底）已知方程230x bx ++=，则方程的另一根为 ． 31．（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步． 32．（2019•邵阳）关于x 的一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根，则m 的最小整数值是 ． 三．解答题（共8小题）（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？34．（2019•怀化）解二元一次方程组：37,31x y x y +=⎧⎨-=⎩35．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 36．（2019•邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率． 37．（2020•益阳）“你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？ 38．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？39．（2020•郴州）解方程：24111x x x =+--．40．（2020•张家界）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（4）——方程的解法和应用一．选择题（共19小题） 1．（2020•张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x 人，可列方程( )A ．2932x x +=-B ．9232x x -+=C ．9232x x +-=D ．2932x x -=+【解答】解：依题意，得：9232x x -+=．故选：B ． 2．（2019•怀化）一元一次方程20x -=的解是( ) A ．2x = B ．2x =- C ．0x = D ．1x = 【解答】解：20x -=， 解得：2x =． 故选：A ． 3．（2020•益阳）同时满足二元一次方程9x y -=和431x y +=的x ，y 的值为( ) A ．45x y =⎧⎨=-⎩B ．45x y =-⎧⎨=⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．36x y =⎧⎨=-⎩【解答】解：由题意得：9431x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，由①得，9x y =+③，把③代入②得，4(9)31y y ++=，解得，5y =-，代入③得，954x =-=，∴方程组的解为45x y =⎧⎨=-⎩，故选：A ． 4．（2019•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为0~2km ，超过2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则下列方程正确的是( )A ．7161328x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．(72)161328x y x y +-=⎧⎨+=⎩C ．716(132)28x y x y +=⎧⎨+-=⎩D ．(72)16(132)28x y x y +-=⎧⎨+-=⎩【解答】解：设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则所列方程组为(72)16(132)28x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，故选：D ． 5．（2019•长沙）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( ) A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩B ． 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=-⎩【解答】解：由题意可得， 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩， 故选：A ． 6．（2020•邵阳）设方程2320x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为( )A ．3B ．32-C ．32D ．2-【解答】解：由2320x x -+=可知，其二次项系数1a =，一次项系数3b =-，由根与系数的关系：12331b x x a -+=-=-=．故选：A ． 7．（2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．2或4 【解答】解：2680x x -+= (4)(2)0x x --=解得：4x =或2x =，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A ． 8．（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为( )A ．2352035202600x x x ⨯--+=B ．352035220600x x ⨯--⨯=C ．(352)(20)600x x --=D ．(35)(202)600x x --= 【解答】解：依题意，得：(352)(20)600x x --=． 故选：C ． 9．（2020•怀化）已知一元二次方程240x kx -+=有两个相等的实数根，则k 的值为( ) A ．4k = B ．4k =- C ．4k =± D ．2k =±【解答】解：一元二次方程240x kx -+=有两个相等的实数根， ∴△2()4140k =--⨯⨯=， 解得：4k =±． 故选：C ． 10．（2019•湘潭）已知关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则(c = ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．4- 【解答】解：方程240x x c -+=有两个相等的实数根， ∴△2(4)411640c c =--⨯⨯=-=， 解得：4c =． 故选：A ． 11．（2019•湘西州）一元二次方程2230x x -+=根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断 【解答】解：1a =，2b =-，3c =， 244441380b ac ∴-==-⨯⨯=-<， ∴此方程没有实数根． 故选：C ． 12．（2019•郴州）一元二次方程22350x x +-=的根的情况为( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 【解答】解：一元二次方程22350x x --=中， △23429(5)0=-⨯⨯->， ∴有两个不相等的实数根． 故选：B ．13．（2019•淄博）若123x x +=，22125x x +=，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是( ) A ．2320x x -+= B ．2320x x +-=C ．2320x x ++=D ．2320x x --=【解答】解：22125x x +=， 21212()25x x x x ∴+-=， 而123x x +=， 12925x x ∴-=， 122x x ∴=，∴以1x ，2x 为根的一元二次方程为2320x x -+=．故选：A ．14．（2019•怀化）一元二次方程2210x x ++=的解是( ) A ．11x =，21x =- B ．121x x ==C ．121x x ==-D ．11x =-，22x =【解答】解：2210x x ++=， 2(1)0x ∴+=， 则10x +=，解得121x x ==-， 故选：C ． 15．（2019•衡阳）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得( )A ．9(12)1x -=B ．29(1)1x -=C ．9(12)1x +=D ．29(1)1x += 【解答】解：设这两年该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意得： 29(1)1x -=， 故选：B ． 16．（2020•长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x 万件产品，依题意得( )A ．40050030x x =-B ．40050030x x =+C ．40050030x x =-D ．40050030x x=+ 【解答】解：设更新技术前每天生产x 万件产品，则更新技术后每天生产(30)x +万件产品，依题意，得：40050030x x =+． 故选：B ． 17．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x 个物件，则可列方程为( )A ．1209020x x =-B ．1209020x x =+C ．1209020x x =-D ．1209020x x =+ 【解答】解：由题意可得， 1209020x x =+， 故选：B ．18．（2019•益阳）解分式方程232112x x x+=--时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )A ．23x +=B ．23x -=C ．23(21)x x -=-D ．23(21)x x +=- 【解答】解：方程两边都乘以(21)x -，得 23(21)x x -=-， 故选：C ．19．（2019•株洲）关于x 的分式方程2503x x -=-的解为( )A ．3-B ．2-C ．2D ．3 【解答】解：去分母得：2650x x --=， 解得：2x =-，经检验2x =-是分式方程的解， 故选：B ．二．填空题（共13小题） 20．（2020•株洲）关于x 的方程38x x -=的解为x = 4 ． 【解答】解：方程38x x -=， 移项，得38x x -=， 合并同类项，得28x =． 解得4x =． 故答案为：4． 21．（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 23 名． 【解答】解：设女生有x 名，则男生人数有(217)x -名，依题意有 21752x x -+=， 解得23x =． 故女生有23名． 故答案为：23． 22．（2019•湘西州）若关于x 的方程320x kx -+=的解为2，则k 的值为 4 ． 【解答】解：关于x 的方程320x kx -+=的解为2， 32220k ∴⨯-+=， 解得：4k =． 故答案为：4． 23．（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，根据题意，可列方程组为 2501030x y x y +=⎧⎨+=⎩ ．【解答】解：依题意，得：2501030x y x y +=⎧⎨+=⎩．故答案为：2501030x y x y +=⎧⎨+=⎩．24．（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次． 【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得： 1015110535x y y +=⎧⎨-⨯+=⎩， 整理得：10530x y y +=⎧⎨=⎩，解得：46x y =⎧⎨=⎩．故答案为：4．25．（2020•永州）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 22x y =⎧⎨=⎩．【解答】解：422x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：36x =，即2x =， 把2x =代入①得：2y =， 则方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩，故答案为：22x y =⎧⎨=⎩26．（2020•邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为 (12)864x x += ． 【解答】解：矩形的宽为x （步)，且宽比长少12（步)， ∴矩形的长为(12)x +（步)． 依题意，得：(12)864x x +=． 故答案为：(12)864x x +=．27．（2020•娄底）一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根，则c = 1 ． 【解答】解：一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根， ∴△224(2)40b ac c =-=--=， 解得1c =． 故答案为1．28．（2020•郴州）已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等的实数根，则c =258． 【解答】解：根据题意得△2(5)420c =--⨯⨯=，解得258c =．故答案为：258．29．（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 4m >- ．【解答】解：由已知得：△224(4)41()1640b ac m m =-=--⨯⨯-=+>， 解得：4m >-． 故答案为：4m >-．30．（2019•娄底）已知方程230x bx ++=【解答】解：设方程的另一个根为c ， (52)3c +=，c ∴． 31．（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 12 步． 【解答】解：设长为x 步，宽为(60)x -步， (60)864x x -=，解得，136x =，224x =（舍去）， ∴当36x =时，6024x -=，∴长比宽多：362412-=（步)， 故答案为：12． 32．（2019•邵阳）关于x 的一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根，则m 的最小整数值是 0 ． 【解答】解：一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根， ∴△440m =+>， 1m ∴>-； 故答案为0；三．解答题（共8小题）（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？ 【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱， 依题意，得：500253514500x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：300200x y =⎧⎨=⎩．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）(3525)300(4835)2005600-⨯+-⨯=（元)． 答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．34．（2019•怀化）解二元一次方程组：37,31x y x y +=⎧⎨-=⎩【解答】解：3731x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得： 28x =，解得：4x =， 则431y -=， 解得：1y =，故方程组的解为：41x y =⎧⎨=⎩．35．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意，得 220000(1)24200x +=解得1 2.1x =-（舍去），20.110%x ==， 答：口罩日产量的月平均增长率为10%． （2）24200(10.1)26620+=（个)．答：预计4月份平均日产量为26620个． 36．（2019•邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．【解答】解：设平均增长率为x ，根据题意列方程得 230(1)36.3x +=解得10.1x =，2 2.1x =-（舍)答：我国外贸进出口总值的年平均增长率为10%． 37．（2020•益阳）“你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？ 【解答】解：（1）设原来生产防护服的工人有x 人，由题意得，800650810(7)x x =-， 解得：20x =．经检验，20x =是原方程的解．答：原来生产防护服的工人有20人；（2）设还需要生产y 天才能完成任务． 8005820=⨯（套)， 即每人每小时生产5套防护服．由题意得，106502051014500y ⨯+⨯⨯， 解得8y ．答：至少还需要生产8天才能完成任务． 38．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？word 可编辑文档11 【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，依题意有 1600960010x x =+， 解得2x =，经检验，2x =是原方程的解，1021012x +=+=．故一次性医用外科口罩的单价是2元，95N 口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有212(2000)10000y y +-，解得1400y ．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．39．（2020•郴州）解方程：24111x x x =+--． 【解答】解：24111x x x =+--， 方程两边都乘(1)(1)x x -+，得(1)4(1)(1)x x x x +=+-+，解得3x =，检验：当3x =时，(1)(1)80x x -+=≠．故3x =是原方程的解．40．（2020•张家界）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．【解答】解：设第一批购进的消毒液的单价为x 元，则第二批购进的消毒液的单价为(2)x -元， 依题意，得：200016002x x =-， 解得：10x =，经检验，10x =是原方程的解，且符合题意．答：第一批购进的消毒液的单价为10元．。
山东数学中考分类汇编--有关分式方程的应用题
有关分式方程的应用题1．（2021•泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？2．（2020•泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？3.（2019•泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？4.（2018年东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．4.（2018年泰安）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．）（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？5（2019•菏泽）列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．6.（2018•菏泽）列方程（组）解应用题：为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？7（2019济南）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．（1）求A和B两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？8济南2021.24．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？9（2021•青岛）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？10．（2019年青岛市）（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？11.（2017年青岛市）（本小题满分10分）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨，下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元日总收入（元）（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变。
2019全国中考数学真题分类汇编之15：分式方程及其应用
一、选择题1．（2019·苏州） 小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本．设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为（ ） A ．15243x x =+ B ．15243x x =- C ．15243x x =+ D ．15243x x=- 【答案】A【解析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．直接利用 “小明243x =+，故选A ． 2．（2019·株洲）关于的分式方程2503x x -=-的解为（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3【答案】B【解析】解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，方程两边同时乘以(-3)得，2（-3)-5=0,解得，=-2，所以答案为B 。
3．（2019·益阳）解分式方程321212=-+-xx x 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A.+2=3 B.-2=3 C.-2=3(2-1) D.+2=3(2-1)【答案】C【解析】两边同时乘以（2-1），得-2=3(2-1) .故选C.4. （2019·济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是（ ） A ．5005004510x x -= B ．5005004510x x -= C ．500050045x x -= D ．500500045x x-= 【答案】A【解析】由题意知：设4G 网络的峰值速率为每秒传输兆数据，则5G 网络的峰值速率为每秒传输10兆数据，4G 传输500兆数据用的时间是500x ，5G 传输500兆数据用的时间是50010x，5G 网络比4G 网络快45秒，所以5005004510x x-=．5. （2019·淄博）解分式方程11222x x x-=---时，去分母变形正确的是（ ） A .112(2)x x -+=--- B .112(2)x x -=--C .112(2)x x -+=+-D .112(2)x x -=---【答案】D . 【解析】方程两边同乘以－2，得112(2)x x -=---，故选D .二、填空题1．（2019·江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的班马线路段A-B-C 横穿双向行驶车道，其中AB ＝BC ＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度.设小明通过AB 时的速度是米/秒，根据题意列方程得： .【答案】112.166=+xx 【解析】设小明通过AB 时的速度是米/秒，则通过BC 的速度是通1.2米/秒，根据题意列方程得112.166=+xx .2. （2019·岳阳）分式方程121x x =+的解为= . 【答案】1【解析】去分母，得：+1=2，解得=1，经检验=1是原方程的解．3. （2019·滨州）方程+1＝的解是____________．【答案】=1【解析】去分母，得－3+－2=－3，解得=1．当=1时，－2=－1，所以=1是分式方程的解．4. (2019·巴中)若关于的分式方程2222x m m x x+=--有增根,则m 的值为________. 【答案】1【解析】解原分式方程,去分母得－2m ＝2m(－2),若原分式方程有增根,则＝2,将其代入这个一元一次方程,得2－2m ＝2m(2－2),解之得,m ＝1.5. （2019·凉山）方程1121122=-+--xx x 解是 . 【答案】=-2【解析】原方程可化为1)1)(1(2112=-+---x x x x ，去分母得（2-1）(+1)-2=(+1)(-1)，解得1=1，2=-2，经检验1=1是增根，2=-2是原方程的解，∴原方程的解为=-2.故答案为=-2.6．（2019·淮安）方程121=+x 的解是 . 【答案】-1【解析】两边同时乘以（+2），得+2=1，解得=-1.7. （2019·重庆B 卷）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的34 和83 .甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是【答案】 1819【解析】设第一车间每天生产的产品数量为12m ，则第五、六车间每天生产的产品数量分别9m 、32m; 设甲、乙两组检验员的人数分别为，y 人；检查前每个车间原有成品为n.∵甲组6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完∴每个甲检验员的速度=1212126m m m n n n x6（）+++++ ∵乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完∴每个乙检验员的速度=1292m m n n y2（）+++ ∵乙再用了4天检验完第六车间的所有成品∴每个乙检验员的速度=324m n y6⨯+ ∵每个检验员的检验速度一样∴1212122(129)632624m m m n n n m m n n m n x y y 6（）++++++++⨯+==∴1819x y =.三、解答题1．（2019山东省德州市，19，8）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣）•（++2），其中+（n﹣3）2＝0． 【解题过程】（﹣）÷（﹣）•（++2）＝÷• ＝••＝﹣．∵+（n ﹣3）2＝0．∴m +1＝0，n ﹣3＝0，∴m ＝﹣1，n ＝3．∴﹣＝﹣＝． ∴原式的值为．2.（2019·遂宁）先化简，再求值ba a ab a b a b ab a +--÷-+-2222222 ，其中a,b 满足01)22=++-b a （ 解：b a a b a a b a b a b a +--÷-+-=2)())(2）（（原式=b a b a b a b a +--⨯+-21=b a +-1 ∵01)22=++-b a （∴a=2,b=-1,∴原式=-13．(2)(2019·泰州,17题,8分)【解题过程】去分母2－5+3(－2)＝3－3,去括号2－5+3－6＝3－3,移项,合并2＝8,系数化为1＝4,经检验,＝4是原分式方程的解.4．（2019山东滨州，21，10分）先化简，再求值：（－）÷，其中是不等式组的整数解．【解题过程】 解：原式＝[－]•＝•＝，………………………………………………………………………………5分解不等式组，得1≤＜3，…………………………………………………………7分则不等式组的整数解为1、2．……………………………………………………8分当=1时，原式无意义；…………………………………………………………9分当＝2，∴原式＝．……………………………………………………………10分5. （2）（2019·温州）224133x x x x x+-++．【解题过程】原式=24-13x x x ++=233x x x ++=3(3)x x x ++=1x .6．（2019山东威海，19，7）列方程解应用题小明和小刚约定周末到某体育公园去打羽毛球.他们到体育公园的距离分别是1200米，300米.小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度.【解题过程】设小明的速度为米/分钟，则小刚的速度为3米/分钟，根据题意，得， 解得＝50经检验，得＝50是分式方程的解，所以，3＝150.答：小明和小刚两人的速度分别是50米/分钟，小刚的速度为150米/分钟.7．（2019山东省青岛市，20，8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天.（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7800元，那么甲加工了多少天？【解题过程】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：60060051.5x x=+ 化简得600 1.56005 1.5x ⨯=+⨯解得40x =1.560x ∴= 经检验，40x =是分式方程的解且符合实际意义．答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．（2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得604030001501207800x y x y +=⎧⎨+⎩①②… 1000300043x x-=由①得75 1.5y x=-③将③代入②得150120(75 1.5)7800x x+-…解得40x…，答：甲至少加工了40天．8．（2019·衡阳）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等.（1）求购买一个A商品和一个B商品各需多少元：（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？解：（1）设买一个B商品为元，则买一个A商品为(+10)元，则30010010x x=+，解得＝5元．所以买一个A商品为需要15元，买一个B商品需要5元．（2）设买A商品为y个，则买B商品（80－y）由题意得4(80) 1000155(80)1050y yy y≥-⎧⎨≤+-≤⎩，解得64≤y≤65；所以两种方案：①买A商品64个，B商品16个；②买A商品65个，B商品15个．9．（2019·黄冈）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆.学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作.行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达.分别求九（l）班、其他班步行的平均速度.【解题过程】10.（2019·自贡)解方程：.解方程两边乘以(-1)得，2-2(-1)=(-1)解得，=2.检验：当=2时，(-1)≠0，∴=2是原分式方程的解.∴原分式方程的解为=2.11. （2019·眉山） 在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？解：（1）设乙队每天能完成的绿化面积为m 2，则甲队每天能完成的绿化面积为2m 2， 根据题意，得：60060062x x-=，解得：=50，经检验，=50是原方程的解，∴2=100. 答：甲队每天能完成的绿化面积为100m 2，乙队每天能完成的绿化面积为50m 2.（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务.由题意得：100a+50b=3600，则a=722b -=1362b -+，根据题意，得：1.2×722b -+0.5b ≤40，解得：b ≥32. 答：至少应安排乙工程队绿化32天.12. （2019·乐山）如图，点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别为2-，1+x x ，且点A 、B 到原点的距离相等.求x 的值.解：根据题意得： 21=+x x ， 去分母，得)1(2+=x x ，去括号，得22+=x x ，解得2-=x B A经检验，2-=x 是原方程的解.13. （2019·达州） 端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子， 节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个，这种粽子的标价是多少？解：设粽子的标价是元，则节后价格为0.6, 根据题意得：276.07296=+x x ,57.6+72=16.2,=8,经检验：=8是原分式方程的解，且符合题意.答：这种粽子的标价是8元.14. (2019·巴中)在”扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲,乙两种物品慰问贫困户,已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同.①请问甲,乙两种物品的单价各为多少?②如果该单位计划购买甲,乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?解：(1)设甲物品元,则乙物品单价为(－10)元,根据题意得50045010x x =-,解之,得＝100,经检验,＝100是原分式方程的解,所以－10＝90,答甲物品单价为100元,乙物品单价为90元.(2)设购买甲种物品a 件,则购买乙种物品(55－a)件,根据题意得5000≤100a+90(55－a)≤5050,解之,得5≤a ≤10,因为a 是整数,所以a 可取的值有6个,故共有6种选购方案.15.(2019·泰安)端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节临之际用3000元购进A,B 两种粽子1100个,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同.已知A 种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍.(1)求A,B 两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B 两种粽子共2600个,已知A,B 两种粽子的进价不变.求A 种粽子最多能购进多少个?解：(1)设B 种粽子单价为元,则A 种粽子单价为1.2元,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同,共花费3000元,故两种粽子都花费1500元,根据题意得1500150011001.2x x+=,解之,得＝2.5,经检验,＝2.5是原分式方程的解,∴1.2＝3,答A 种粽子单价为3元,B 种粽子单价为2.5元;(2)设购进A 种粽子y 个,则购进B 种粽子(2600－y)个,根据题意得3y+2.5(2600－y)≤7000,解之,得y ≤1000,∴y 的最大值为1000,故A 种粽子最多能购进1000个.16. （2019·无锡）解方程：（2）1421+=-x x .解：去分母得+1=4（-2），解得=3，经检验 = 3是方程的解.。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编专题7 分式与分式方程(含解析)
分式与分式方程一.选择题1. （2019•海南•3分）分式方程＝1的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2【分析】根据分式方程的求解方法解题，注意检验根的情况；【解答】解：＝1，两侧同时乘以（x+2），可得x+2＝1，解得x＝﹣1；经检验x＝﹣1是原方程的根；故选：B．【点评】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的方法是解题的关键．2. （2019•河北•2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝又∵x为正整数，∴≤x＜1故表示﹣的值的点落在②故选：B．【解析】：分式的分母整体提取负号，则每一个都要变号【答案】：故选B.4. （2019•江西•3分）计算的结果为 （B ） A.aB. -aC.错误！嵌入对象无效。
D.错误！嵌入对象无效。
【考点】：分式的计算【解析】：分式的分母整体提取负号，则每一个都要变号 【答案】：故选B. 6.（2019•天津•3分）计算1212+++a a a 的结果是 A. 2 B. 22+a C. 1 D.14+a a【答案】A 【解析】21221212=++=+++a a a a a ，故选A.7.（2019•浙江湖州•3分）计算+，正确的结果是（ ）A ．1B ．C ．aD ．【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式＝＝1．故选：A ．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8. （2019•广东省广州市•3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ） A ．＝ B ．＝ C ．＝D ．＝【分析】设甲每小时做x 个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．9. （2019•甘肃省庆阳市•3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：﹣＝﹣＝＝．故从第②步开始出现错误．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．10.二.填空题1.（2019•贵阳•4分）若分式的值为0，则x的值是2．【分析】直接利用分式为零的条件分析得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣2x＝0，且x≠0，解得：x＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．2. （2019•铜仁•4分）分式方程＝的解为y＝．【解答】解：去分母得：5y＝3y﹣6，解得：y＝﹣3，经检验y＝﹣3是分式方程的解，则分式方程的解为y＝﹣3．故答案为：﹣33. （2019•江苏宿迁•3分）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是a＜5且a≠3．【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．【解答】解：去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，解得：x＝5﹣a，5﹣a＞0，解得：a＜5，当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，故a＜5且a≠3．故答案为：a＜5且a≠3．【点评】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．4. （2019•江西•3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，在某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中错误！不能通过编辑域代码创建对象。
2019年全国中考数学试卷分类汇编：分式与分式方程【含解析】(可编辑修改word版)
⎩ 分式与分式方程一、选择题1. （2018•四川巴中，第 4 题 3 分）要使式子有意义，则 m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ． m ≥﹣1C ． m ＞﹣1 且 m ≠1D ． m ≥﹣1 且 m ≠1考点：二次根式及分式的意义．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围． 解答：根据题意得：，解得：m ≥﹣1 且 m ≠1．故选 D ．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．2. （2018•ft东潍坊，第 5 题 3 分）若代数式2有意义，则实数 x 的取值范围是()A .x ≥一 1B ．x ≥一 1 且 x ≠3C ．x >－lD ．x >－1 且 x ≠3考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围．⎧x + 1 ≥ 0解答：根据题意得： ⎨x - 3 ≠ 0解得 x≥－1 且 x≠3．故选 B ．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数． 3.（2018 ft 东济南，第 7 题，3 分）化简m -1 ÷ m m -1m2 的结果是 A ． mm -1【解析】 ÷ m -1 = 1B ．m m -1 ⨯ m 2C ． m -1= m ，故选 A ．1D ．m -1m m 2 m m -14. （2018•浙江杭州，第 7 题，3 分）若（ +）•w =1，则 w =（ ）A ．a +2（a ≠﹣2）B ．﹣a +2（a ≠2）C ．a ﹣2（a ≠2）D ．﹣a ﹣2（a ≠﹣2）考 分式的混合运算点： 专 计算题． 题：分 原式变形后，计算即可确定出 W ．析： 解答：解：根据题意得：W = = =﹣（a +2）=﹣a ﹣2．故选：D ．点 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 评： 5. （2018•ft 东淄博,第 2 题 4 分）方程﹣=0 解是（ ）A.x= B ．x= C ．x= D ． x=﹣1x + 1考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x+3﹣7x=0，解得：x=，经检验 x=是分式方程的解．故选 B点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式6.（2018•ft东临沂,第6题3分）当a=2时，÷（﹣1）的结果是（）A．B．﹣C．D．﹣考点：分式的化简求值．分析：通分、因式分解后将除法转化为乘法约分即可．解答：解：原式= ÷= •= ，当a=2 时，原式==﹣．故选 D．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式除法是解题的关键．7.（2018•ft东临沂,第8 题3 分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A 型陶笛比B 型陶笛的单陶笛与用4500 购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，依题意，下面所列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=考点：由实际问题抽象出分式方程分析：设 A 型陶笛的单价为 x 元，则 B 型陶笛的单价为（x+20）元，根据用 2700 元购买 A 型陶笛与用 4500 购买 B 型陶笛的数量相同，列方程即可．解答：解：设 A 型陶笛的单价为 x 元，则 B 型陶笛的单价为（x+20）元，由题意得，=．故选 D．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．8.（2018•四川凉ft州，第8题，4分）分式的值为零，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3D．任意实数考点：分式的值为零的条件分析：分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．解答：解：依题意，得|x|﹣3=0且x+3≠0，解得，x=3．故选：A．点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．9．（2018•福建福州,第8题4分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划设原计划平均每天生产 x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是【】A．600 =450 B．600 =450 C．600 =450 D．600 =450x + 50 x x - 50 x x x + 50 x x -502．（ 20，结果是（）．（A）（B）（C）（D）【考点】分式、因式分解【分析】【答案】B二、填空题1.（2018•上海，第8题4分）函数y=的定义域是x≠1．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分母不等于 0 列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2.（2018•四川巴中，第 12 题 3 分）若分式方程﹣=2 有增根，则这个增根是．考点：分式方程的增根．分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到 x﹣1=0，求出 x 的值，代入整式方程即可求出m 的值．解答：根据分式方程有增根，得到 x﹣1=0，即 x=1，则方程的增根为 x=1．故答案为：x=1点评：此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0 确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3.（2018•ft东烟台，第14 题3 分）在函数中，自变量 x 的取值范围是．考点：二次根式及分式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可以求解．解答：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0 且x+2≠0，解得：x≤1 且x≠﹣2．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．4．（2018•湖南怀化，第12题，3分）分式方程=的解为x=1．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x﹣6=﹣x﹣2，移项合并得：4x=4，解得：x=1，经检验 x=1 是分式方程的解．故答案为：x=1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5.（2018ft东济南，第19题，3分）若代数式1和x - 232x +1的值相等，则x =．【解析】解方程 1 =x - 232x +1，的x = 7 ，应填 7．6.（2018•遵义13．（4分））计算：+的结果是﹣1．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式变形后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．解答：解：原式= ﹣==﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．.7.(2018•年ft东东营,第15题4分)如果实数x，y满足方程组，那么代数式（+2）÷的值为 1 ．考点：分式的化简求值；解二元一次方程组．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程组的解得到 x 与 y 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式= •（x+y）=xy+2x+2y，方程组，解得：，当 x=3，y=﹣1 时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为：1点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.（2018•江苏盐城,第13题3分）化简：﹣=1．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式利用同底数幂的减法法则计算即可得到结果．解答：解：原式==1．故答案为：1．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.（2018•四川宜宾，第10题，3分）分式方程﹣=1的解是x=﹣1.5．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣1=x2﹣4，整理得：x2+2x﹣1=x2﹣4，移项合并得：2x=﹣3解得：x=﹣1.5，经检验x=﹣1.5是分式方程的解．故答案为：x=﹣1.5点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．10．（2018•四川南充，第11题，3分）分式方程=0的解是．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：x+1+2=0，解得：x=﹣3 经检验 x=﹣3 是分式方程的解．故答案为：x=﹣3点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．11.（2018•四川凉ft州，第25题，5分）关于x的方程=﹣1的解是正数，则a的取值范围是a＞﹣1．考点：分式方程的解分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得答案．解答：解：=﹣1，解得 x=，=﹣1 的解是正数，a＞﹣1，故答案为：a＞﹣1．点评：本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出 a 的取值范围．12．（2018•四川内江，第22题，6分）已知+=3，则代数式的值为﹣．考点：分式的化简求值分析：根据+ =3，得出 a+2b=6ab，再把 ab=（a+2b）代入要求的代数式即可得出答案．解答：解：∵+=3，∴a+2b=6a b，∴a b=（a+2b），把 ab 代入原式====﹣，故答案为﹣．点评：本题考查了分式的化简求值，要注意把 ab 看作整体，整体代入才可以．13．（2018•甘肃白银、临夏,第12题4分）化简：=．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．解答：解：+= ﹣==x+2．故答案为：x+2．点评：本题考查了分式的加减法，把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键．14．（2018•广州,第 13 题 3 分）代数式有意义时，应满足的条件为．【考点】分式成立的意义，绝对值的考察【分析】由题意知分母不能为0，即，则【答案】三、解答题1.（2018•上海，第20题10分）解方程：﹣=．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：（x+1）2﹣2=x﹣1，整理得：x2+x=0，即 x（x+1）=0，解得：x=0 或 x=﹣1，经检验 x=﹣1 是增根，分式方程的解为 x=0．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2.（2018•四川巴中，第23题5分）先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．考点：分式的化简，一元二次的解法，分式的意义．分析：通分相加，因式分解后将除法转化为乘法，再将方程的解代入化简后的分式解答．解答：原式= ÷= ÷= •=﹣，解方程x2﹣4x+3=0得，（x﹣1）（x﹣3）=0，x1=1，x2=3．当 x=1 时，原式无意义；当 x=3 时，原式=﹣=﹣．点评：本题综合考查了分式的混合运算及因式分解同时考查了一元二次方程的解法．在代入求值时，要使分式的值有意义．3.（2018•ft东威海，第21题9分）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260 个，其中甲粽子比乙种粽子少用100 元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？考点：分式方程的应用分析：设乙种粽子的单价是 x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元，根据甲粽子比乙种粽子少用 100 元，可得甲粽子用了 300 元，乙粽子 400 元，根据共购 进甲、乙两种粽子 260 个，列方程求解．解答：解：设乙种粽子的单价是 x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元， 由题意得，+=260，解得：x =2.5，经检验：x =2.5 是原分式方程的解， （1+20%）x=3， 则买甲粽子为：=100 个，乙粽子为：=160 个．答：乙种粽子的单价是 2.5 元，甲、乙两种粽子各购买 100 个、160个． 点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找 出合适的等量关系，列方程求解．4. （2018•ft 东枣庄，第 19 题 4 分）（2）化简：（ ﹣ ）÷ ．考点： 分式的混合运算 专题： 计算题． 分析： （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：（2）原式= •（x ﹣1）=• （x ﹣1）=﹣ ．点评：此题考查了实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．5. （2018•ft 东烟台，第 19 题 6 分）先化简，再求值：÷（x ﹣），其中 x 为数据 0，﹣1，﹣3，1，2的极差．考点：分式的化简，极差．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果， 求出数据的极差确定出 x ，代入计算即可求出值．解答：原式=÷=•=，当 x=2﹣（﹣3）=5 时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6. （2018•ft东烟台，第 23 题 8 分）ft 地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的 A 型车去年销售总额为 5 万元，今年每辆销售价比去年降低 400 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%．（1） 今年 A 型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）（2） 该车计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A ，B 两种型号车的进货和销售价格如下表：考点：分式方程 的应用，一次函数的 应用.分析： （1）设今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；A 型车B 型车 进货价格（元） 1100 1400销售价格（元） 今年的销售价格 2000（2）设今年新进 A 行车 a 辆，则 B 型车（60﹣x）辆，获利 y 元，由条件表示出 y 与 a 之间的关系式，由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值．解答：（1）设今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得，解得：x=1600．经检验，x=1600 是元方程的根．答：今年 A 型车每辆售价 1600 元；（2）设今年新进 A 行车 a 辆，则 B 型车（60﹣x）辆，获利 y 元，由题意，得y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），y=﹣100a+36000．∵B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y=﹣100a+36000．∴k=﹣100＜0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=34000元．∴B 型车的数量为：60﹣20=40 辆．∴当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大．点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．7.（2018•湖南张家界，第18题，6分）先化简，再求值：（1﹣）+，其中a=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式= ÷= •= ，当 a= 时，原式= =1+ ．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2018•湖南张家界，第22题，8分）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购买一台可获补贴 500 元．若同样用 11 万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：设该款空调补贴前的售价为每台 x 元，根据补贴后可购买的台数比补贴前前多 20%，可建立方程，解出即可．解答：解：设该款空调补贴前的售价为每台 x 元，由题意，得：×（1+20%）=，解得：x=3000．经检验得：x=3000 是原方程的根．答：该款空调补贴前的售价为每台 3000 元．点评：本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9. （2018•江西抚州，第 16 题，5 分）先化简： x - 3x - 4 x -1 ÷ x - 2x -1 ，再任选一个你喜欢的数 x 代入求值. ⎛ x 2 - x 3x - 4 ⎫ x -1 x 2 - 4x + 4 x -1 ( x - 2)2解析：原式= - x -1 x -1 ⎪x - 2 = x -1 ⋅ = x - 2 x - 2 = x - 2取 x = 10 ⎝ ⎭代入，原式=8 (注： x 不能取 1 和 2）10．（2018•ft 东聊城，第 18 题，7 分）解分式方程：+=﹣1．考点：解分式方程．分析：解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 解答：解：去分母得：﹣（x+2）2+16=4﹣x 2，去括号得：﹣x 2﹣4x ﹣4+16=4﹣x 2， 解得：x=2，经检验 x=2 是增根，分式方程无解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 11. (2019 年贵州黔东南 18．（8 分）)先化简，再求值：÷﹣，其中 x =﹣4．考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题．分析： 原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值． 解答： 解：原式= • ﹣=﹣=，当 x=﹣4 时，原式==．点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12.（2018•十堰 17．（6 分）） 化简：（x 2﹣2x ）÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果． 解答：解：原式=x （x ﹣2）•=x ．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13.（2018•十堰 19．（6 分）） 甲、乙两人准备整理一批新到的图书，甲单独整理需要 40 分钟完工；若甲、乙共同整理 20 分钟后，乙需再单独整理 30 分钟才能完工．问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工？考点：分式方程的应用．分析：将总的工作量看作单位 1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可． 解答：解：设乙单独整理 x 分钟完工，根据题意得：+=1，（解得 x=100，经检验 x=100 是原分式方程的解．答：乙单独整理 100 分钟完工．点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．14.（2018•娄底21．（8分））先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的解集，找出解集中的正整数解得到x 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式= ÷= •=，不等式 2x﹣3＜7，解得：x＜5，其正整数解为 1，2，3，4，当 x=1 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15.（2018•娄底24．（8分））娄底到长沙的距离约为180k m，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？考点：分式方程的应用．分析：（1）由题意，设大货车速度为x k m/h，则小轿车的速度为1.5x k m/h，根据“小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，”列出方程解决问题；（2）利用（1）中小张开着大货车的速度，即可求得答案．解答：解：（1）设大货车速度为x k m/h，则小轿车的速度为1.5x k m/h，由题意得﹣=1解得 x=60，则1.5x=90，答：大货车速度为60k m/h，则小轿车的速度为90k m/h．（2）180﹣60×1=120k m答：当小刘出发时，小张离长沙还有 120km．点评：此题考查分式方程的运用，注意题目蕴含的数量关系，设出未知数，列方程解决问题．16.(2019年湖北咸宁17．（8分）)（1）计算：（﹣2）2+4×2﹣1﹣|﹣8|；（2）化简：﹣．考点：实数的运算；分式的加减法；负整数指数幂．分析：（1）本题涉及负整指数幂、乘方、绝对值化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）根据分式的性质，可化成同分母的分式，根据分式的加减，可得答案．1 2 ( )解答： 解：（1）原式=4+2﹣8=﹣2；（2）原式= ．点评： 本题考查了实数的运算，本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类 题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 17. ( ( 2019 年河南) 16.8 分）先化简，再求值：x 2 -1 ÷⎛ x 2 +1 ⎫ x 2 - x 2 + ，其中 x= －1 x ⎝ ⎭ (x +1)(x -1) 解：原式= x x -1 x +1 x ÷ 2x + x 2 +1 x …………………4 分 = x 1= x +1 (x +1)2…………………………………………………………………6 分当 x= －1 时，原式= 2 = = ................................................ 8 分 218.（2018•江苏苏州,第 21 题 5 分）先化简，再求值： ，其中． 考点：分式的化简求值．分析：分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将 ，代入化简后的式子求出即可． 解答： 解：=÷（ + ） =÷ =× =， 把 ，代入原式= = = = ．点评：此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．19．（2018•江苏苏州,第 22 题 6 分）解分式方程：+=3．考点：解分式方程 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x ﹣2=3x ﹣3，2 2 1 2 -1+1 ⎪解得：x=，经检验 x=是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20.（2018•ft东淄博,第18题5分）计算：•．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式约分即可得到结果．解答：解：原式= •= ．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.（2018•江苏徐州,第24题8分）几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．考点：分式方程的应用．分析：设票价为 x 元，根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为：，根据小伙伴的人数不变，列方程求解．解答：解：设票价为 x 元，由题意得，= +2，解得：x=60，则小伙伴的人数为：=8．答：小伙伴们的人数为8 人．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22.（2018•江苏盐城,第19题4分）（2）解方程：=．考点：解分式方程专题：计算题．分析：（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（2）去分母得：3x+3=2x﹣2，解得：x=﹣5，经检验 x=﹣5 是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程．23.(2018•年ft东东营,第23题8分)为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对称取部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在 40 天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2 倍，若甲、乙两工程队合作只需 10 天完成．（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．考点：一次函数的应用；分式方程的应用．分析：（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需2x 天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．解答：解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需2x 天，由题意得=解得：x=15，经检验，x=15 是原分式方程的解，2x=30答：甲工程队单独完成此项工程需 15 天，乙工程队单独完成此项工程需 30 天．（2）方案一：由甲工程队单独完成需要4.5×15=67.5万元；方案二：由乙工程队单独完成需要2.5×30=75万元；方案三：由甲乙两队合作完成4.5×10+2.5×10=70万元．所以选择甲工程队，既能按时完工，又能使工程费用最少．点评：本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．24.（2018•江苏徐州,第19题5分）（2）计算：（a+）÷（1+）．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：（2）原式= ÷= •=a﹣1．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．25.（2018•四川遂宁，第18题，7分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式= •= •= ，当x= ﹣1 时，原式= ．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．（2018•四川宜宾，第 17 题，10 分）（1）计算：|﹣2|﹣（﹣）0+（）﹣1（2）化简：（﹣）•．考点：实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）分别根据0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式= •= •= •=2a+12．点评：本题考查的是实数的运算，熟知 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质是解答此题的关键．27．（2018•四川凉ft州，第19 题，6 分）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中 a2+3a﹣1=0．考点：分式的化简求值分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．解答：解：原式= ÷•=，当 a2+3a﹣1=0，即 a2+3a=1 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2018•四川泸州，第18题，6分）计算（﹣）÷．考点：分式的混合运算．分析：首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．解答：解：原式=（﹣）•=（﹣）•（﹣），。
2019年中考数学复习第八章：分式方程及其应用(附解析)
2019年中考数学复习第八章：分式方程及其应用（附解析）一、选择题1．(2018·白银)若分式x 2－4x 的值为0，则x 的值是( A )A ．2或－2B ．2C ．－2D ．02．(2018·张家界)若关于x 的分式方程m －3x －1＝1的解为x ＝2，则m 的值为( B ) A ．5B ．4C ．3D ．23．(2018·荆州)解分式方程1x －2－3＝42－x时，去分母可得( B ) A ．1－3(x －2)＝4B ．1－3(x －2)＝－4C ．－1－3(x －2)＝－4D ．1－3(2－x )＝44．(2018·哈尔滨)方程12x ＝2x ＋3的解为( D ) A ．x ＝－1B ．x ＝0C ．x ＝35D ．x ＝15．(2018·成都)分式方程x ＋1x ＋1x －2＝1的解是( A ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝3D ．x ＝－36．(2018·昆明)甲、乙两船从相距300 km 的A ，B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180 km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h.若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为( A )A ．180x ＋6＝120x －6B ．180x －6＝120x ＋6 C.180x ＋6＝120x D ．180x ＝120x －67．(2018·通辽)学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10 000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元．若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为( B )A ．10 000x －9000x －5＝100 B.9000x －5－10 000x ＝100 C.10 000x －5－9000x ＝100 D.9000x －10 000x －5＝100 二、填空题8．(2018·无锡)方程x －3x ＝x x ＋1的解是 x ＝－32 . 9．(2018·黄石)分式方程4x ＋1x 2－1－52(x －1)＝1的解为 x ＝12 . 10．(2018·常德)分式方程1x ＋2－3x x 2－4＝0的解为x ＝ －1 . 11．(2018·达州)若关于x 的分式方程x x －3＋3a 3－x＝2a 无解，则a 的值为 1或12 .12．(2018·嘉兴)甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%.若设甲每小时检测x 个，则根据题意，可列出方程： 300x ＝200x －20×(1－10%) . 三、解答题13．(2018·连云港)解方程：3x －1－2x＝0. 解：方程两边同乘x (x －1)，得3x －2(x －1)＝0.解得x ＝－2.经检验，x ＝－2是原分式方程的解．14．(2018·绵阳)解分式方程：x －1x －2＋2＝32－x. 解：去分母，得x －1＋2(x －2)＝－3.解得x ＝23.经检验，x ＝23是原方程的解．15．(2018·宜宾)我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．解：设原计划每月生产智能手机x 万部，则实际每月生产智能手机(1＋50%)x 万部．根据题意，得300x －300(1＋50%)x＝5.解得x ＝20.经检验，x ＝20是原方程的解，且符合题意．∴(1＋50%)x ＝30.答：每月实际生产智能手机30万部．16．(2018·云南)某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？解：设乙工程队每小时能完成x 平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x 平方米的绿化面积．根据题意，得300x －3002x ＝3.解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．一、选择题1．(2018·重庆)若整数a 使关于x 的不等式组⎩⎨⎧ x －12<1＋x 3，5x －2≥x ＋a 有且只有四个整数解，且使关于y 的方程y ＋a y －1＋2a 1－y＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为( C )A ．－3B ．－2C ．1D ．2二、填空题2．(2018·眉山)已知关于x 的分式方程x x －3－2＝k x －3有一个正数解，则k 的取值范围为 k ＜6且k ≠3 .3．(2018·绵阳)已知a ＞b ＞0，且2a ＋1b ＋3b －a＝0，则b a ＝ 2 . 4．(2018·潍坊)当m ＝ 2 时，分式方程x －5x －3＝m 3－x会出现增根． 5．(2018·齐齐哈尔)若关于x 的方程1x －4＋m x ＋4＝m ＋3x 2－16无解，则m 的值为 －1或5或－13 .三、解答题6．(2018·深圳)某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．(1)第一批饮料进货单价为多少元？(2)若两次购进的饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？解：(1)设第一批饮料进货单价为x 元，则第二批饮料进货单价为(x ＋2)元．根据题意，得3×1600x ＝6000x ＋2. 解得x ＝8.经检验，x ＝8是分式方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价为8元．(2)设销售单价为m 元，由(1)知第一批购进饮料的数量为200，第二批购进饮料的数量为600.根据题意，得200(m －8)＋600(m －10)≥1200.解得m ≥11.答：销售单价至少为11元．7．(2018·广东)某公司购买了一批A ，B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元．已知该公司用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等．(1)求该公司购买的A ，B 型芯片的单价各是多少元；(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A 型芯片．解：(1)设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为(x －9)元/条．根据题意，得3120x －9＝4200x . 解得x ＝35.经检验，x ＝35是原方程的解，且符合题意．∴x －9＝26.答：A 型芯片的单价为26元/条，B 型芯片的单价为35元/条．(2)设购买A 型芯片a 条，则购买B 型芯片(200－a )条．根据题意，得26a ＋35(200－a )＝6280.解得a ＝80.答：购买了80条A 型芯片。
2019年数学中考真题知识点汇编09 分式方程及其应用(含解析).docx
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】一、选择题6．（2019·苏州） 小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本．设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为 （ ）A ．15243x x =+ B ．15243x x =- C ．15243x x =+ D ．15243x x=- 【答案】A【解析】“小明5．（2019·株洲）关于x 的分式方程2503x x -=-的解为（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，方程两边同时乘以x(x-3)得， 2（x-3)-5x=0,解得，x=-2，所以答案为B 。
4．（2019·益阳）解分式方程321212=-+-xx x 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1) 【答案】C【解析】两边同时乘以（2x-1），得x-2=3(2x-1) .故选C.1. （2019·济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（ ） A ．5005004510x x -= B ．5005004510x x -= C ．500050045x x -= D ．500500045x x-= 【答案】A【解析】由题意知：设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则5G 网络的峰值速率为每秒传输10x 兆数据，4G 传输500兆数据用的时间是500x ，5G 传输500兆数据用的时间是50010x，5G 网络比4G 网络快45秒，所以5005004510x x-=．2. （2019·淄博）解分式方程11222x x x-=---时，去分母变形正确的是（ ） A .112(2)x x -+=--- B .112(2)x x -=--C .112(2)x x -+=+-D .112(2)x x -=---【答案】D .【解析】方程两边同乘以x －2，得112(2)x x -=---，故选D .二、填空题 11．（2019·江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的班马线路段A-B-C 横穿双向行驶车道，其中AB ＝BC ＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度.设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得： .【答案】112.166=+xx 【解析】设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，则通过BC 的速度是通1.2x 米/秒，根据题意列方程得112.166=+xx .1. （2019·岳阳）分式方程121x x =+的解为x = . 【答案】1【解析】去分母，得：x +1=2x ，解得x =1，经检验x =1是原方程的解．2. （2019·滨州）方程+1＝的解是____________．【答案】x=1【解析】去分母，得x －3+x －2=－3，解得x=1．当x=1时，x －2=－1，所以x=1是分式方程的解．3. (2019·巴中)若关于x 的分式方程2222xmm x x有增根,则m 的值为________.【答案】1【解析】解原分式方程,去分母得:x －2m ＝2m(x －2),若原分式方程有增根,则x ＝2,将其代入这个一元一次方程,得2－2m ＝2m(2－2),解之得,m ＝1.4. （2019·凉山）方程1121122=-+--xx x 解是 . 【答案】x =-2【解析】原方程可化为1)1)(1(2112=-+---x x x x ，去分母得（2x -1）(x +1)-2=(x +1)(x -1)，解得x 1=1，x 2=-2，经检验x 1=1是增根，x 2=-2是原方程的解，∴原方程的解为x =-2.故答案为x =-2.11．（2019·淮安）方程121=+x 的解是 . 【答案】-1【解析】两边同时乘以（x+2），得x+2=1，解得x=-1.5. （2019·重庆B 卷）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的34 和83.甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是 【答案】1819【解析】设第一车间每天生产的产品数量为12m ，则第五、六车间每天生产的产品数量分别9m 、32m; 设甲、乙两组检验员的人数分别为x ，y 人；检查前每个车间原有成品为n.∵甲组6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完 ∴每个甲检验员的速度=1212126m m m n n nx6（）+++++∵乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完∴每个乙检验员的速度=1292m m n ny2（）+++∵乙再用了4天检验完第六车间的所有成品∴每个乙检验员的速度=324m ny6⨯+∵每个检验员的检验速度一样∴1212122(129)632624m m m n n n m m n n m nx y y 6（）++++++++⨯+==∴1819x y =.三、解答题19．（2019山东省德州市，19，8）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣）•（++2），其中+（n ﹣3）2＝0．【解题过程】（﹣）÷（﹣）•（++2）＝÷•＝••＝﹣．∵+（n ﹣3）2＝0．∴m +1＝0，n ﹣3＝0，∴m ＝﹣1，n ＝3．∴﹣＝﹣＝．∴原式的值为．18.（2019·遂宁）先化简，再求值ba a ab a b a b ab a +--÷-+-2222222 ，其中a,b 满足01)22=++-b a （ 解：b a a b a a b a b a b a +--÷-+-=2)())(2）（（原式=b a b a b a b a +--⨯+-21=b a +-1∵01)22=++-b a （∴a=2,b=-1,∴原式=-117．(2)(2019·泰州,17题,8分)【解题过程】去分母:2x －5+3(x －2)＝3x －3,去括号:2x －5+3x －6＝3x －3,移项,合并:2x ＝8,系数化为1:x ＝4,经检验,x ＝4是原分式方程的解.21．（2019山东滨州，21，10分）先化简，再求值：（－）÷，其中x 是不等式组的整数解．【解题过程】 解：原式＝[－]•＝•＝，………………………………………………………………………………5分解不等式组，得1≤x ＜3，…………………………………………………………7分 则不等式组的整数解为1、2．……………………………………………………8分 当x=1时，原式无意义；…………………………………………………………9分当x ＝2，∴原式＝．……………………………………………………………10分17. （2）（2019·温州）224133x x x x x +-++．【解题过程】原式=24-13x x x ++=233x x x ++=3(3)x x x ++=1x .19．（2019山东威海，19，7）列方程解应用题小明和小刚约定周末到某体育公园去打羽毛球.他们到体育公园的距离分别是1200米，300米.小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度. 【解题过程】设小明的速度为x 米/分钟，则小刚的速度为3x 米/分钟， 根据题意，得， 解得x ＝50经检验，得x ＝50是分式方程的解， 所以，3x ＝150.答：小明和小刚两人的速度分别是50x 米/分钟，小刚的速度为150米/分钟. 20．（2019山东省青岛市，20，8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天. （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7800元，那么甲加工了多少天？ 【解题过程】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：60060051.5x x=+ 化简得600 1.56005 1.5x ⨯=+⨯ 解得40x = 1.560x ∴=经检验，40x =是分式方程的解且符合实际意义． 答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件． （2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得 604030001501207800x y x y +=⎧⎨+⎩①②由①得75 1.5y x =-③将③代入②得150120(75 1.5)7800x x +- 解得40x ，答：甲至少加工了40天． 24．（2019·衡阳）某商店购进A 、B 两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等. （1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需多少元：（2）商店准备购买A 、B 两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A 、B 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？1000300043x x-=解：（1）设买一个B 商品为x 元，则买一个A 商品为(x +10)元，则30010010x x=+，解得x ＝5元．所以买一个A 商品为需要15元，买一个B 商品需要5元． （2）设买A 商品为y 个，则买B 商品（80－y ） 由题意得4(80)1000155(80)1050y y y y ≥-⎧⎨≤+-≤⎩，解得64≤y ≤65；所以两种方案：①买A 商品64个，B 商品16个 ；②买A 商品65个，B 商品15个．20．（2019·黄冈）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆.学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作.行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达.分别求九（l ）班、其他班步行的平均速度. 【解题过程】1. （2019·自贡)解方程：xx−1−2x =1. 解：方程两边乘以x (x -1)得， x 2-2(x -1)=x (x -1) 解得，x =2.检验：当x =2时，x (x -1)≠0， ∴x =2是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x =2.2. （2019·眉山） 在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？解：（1）设乙队每天能完成的绿化面积为xm 2，则甲队每天能完成的绿化面积为2xm 2，根据题意，得：60060062x x-=，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，∴2x=100. 答：甲队每天能完成的绿化面积为100m 2，乙队每天能完成的绿化面积为50m 2.（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务.由题意得：100a+50b=3600，则a=722b-=1362b -+，根据题意，得：1.2×722b-+0.5b ≤40，解得：b ≥32.答：至少应安排乙工程队绿化32天.3. （2019·乐山）如图，点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别为2-，1+x x，且点A 、B 到原点的距离相等.求x 的值.解：根据题意得：21=+x x， 去分母，得)1(2+=x x ， 去括号，得22+=x x ，解得2-=x经检验，2-=x 是原方程的解.4. （2019·达州） 端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子， 节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个，这种粽子的标价是多少？ 解：设粽子的标价是x 元，则节后价格为0.6x, 根据题意得：276.07296=+x x ,57.6+72=16.2x,x=8,经检验：x=8是原分式方程的解，且符合题意. 答：这种粽子的标价是8元.5. (2019·巴中)在”扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲,乙两种物品慰问贫困户,已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同. ①请问甲,乙两种物品的单价各为多少?②如果该单位计划购买甲,乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?解：(1)设甲物品x 元,则乙物品单价为(x －10)元,根据题意得:50045010x x ,解之,得x ＝100,经检验,x ＝100是原分式方程的解,所以x －10＝90,答:甲物品单价为100元,乙物品单价为90元.(2)设购买甲种物品a 件,则购买乙种物品(55－a)件,根据题意得5000≤100a+90(55－a)≤5050,解之,得5≤a ≤10,因为a 是整数,所以a 可取的值有6个,故共有6种选购方案.6.(2019·泰安)端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B 两种粽子1100个,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同.已知A 种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍. (1)求A,B 两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B 两种粽子共2600个,已知A,B 两种粽子的进价不变.求A 种粽子BA最多能购进多少个? 解：(1)设B 种粽子单价为x 元,则A 种粽子单价为1.2x 元,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同,共花费3000元,故两种粽子都花费1500元,根据题意得:1500150011001.2x x+=,解之,得x ＝2.5,经检验,x ＝2.5是原分式方程的解,∴1.2x ＝3,答:A 种粽子单价为3元,B 种粽子单价为2.5元;(2)设购进A 种粽子y 个,则购进B 种粽子(2600－y)个,根据题意得:3y+2.5(2600－y)≤7000,解之,得:y ≤1000,∴y 的最大值为1000,故A 种粽子最多能购进1000个.7. （2019·无锡）解方程：（2）1421+=-x x .解：去分母得x +1=4（x -2），解得 x =3，经检验 x = 3是方程的解.中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。