2017-2018学年广东省东莞市高二第一学期期末考试数学(理)试题(解析版)
【答案】(1) (2)
【解析】 解二次不等式
，其中 解得
，解
得：
，取 再求交集即可；
写出命题所对应的集合，命题 p：
，命题 q：
，由 是 的充
分不必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件，则 ，列不等式组可求解．
【详解】
解：(1)由
，其中 ；
解得
，
又 ，即
，
由
得：
，
又 为真，则
，
得：
，
故实数 x 的取值范围为 ；
，，
则
．
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和
运算能力，属于基础题．
9．已知三棱锥
，点 M，N 分别为边 AB，OC 的中点，P 是 MN 上的点，满足
，
设 ， ， ，则 等于
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量如何得到，再利用向量的加减法法
21．在图所示的五面体中，面 ABCD 为直角梯形，
，平面
ABCD，
，
，
是边长为 2 的正三角形．
平面
证明： 平面 ACF；
若点 P 在线段 EF 上，且二面角
的余弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）详见解析；（2） ． 【解析】 建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 ACF． 求出平面 BCF 的一个法向量和平面 PBC 的一个法向量，利用向量法能求出结果． 【详解】 解： 连结 BE、AC、AF，取 AD 的中点 O，连结 OE，
”为真命题，
当 时，
恒成立可化为：
解得
综上实数 a 的取值范围是 .
故答案为： . 【点睛】 本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相 反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键．
15．已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 的直线 1 交抛物线于 A，B 两点，若
是解答的关键．
2．在
中，若
，，
，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由已知，利用余弦定理可得关于 BC 的方程，解方程可得 BC 的值．
【详解】
解：
，，
，
由余弦定理可得：
，可得：
，可得：
，
解得： 故选：A． 【点睛】
或 舍去 ．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
3．下列结论成立的是
那么，目标函数为
，
，利用截距模
x，y 满足限制条件
即
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，
如图阴影部分
作直线 l：
，
平移直线 l，当直线通过 B 点时，目标函数取得最大值
由
，得
所以点 B 的坐标为
，
此时，
，
所以该公司每月制作 500 把椅子、300 张书桌可获得最大利润 13500 元. 【点睛】 本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出 可行域，利用目标函数的类型，找到最优解.属于中档题．
，
点 A 在双曲线上，则：
，
据此可得：
，
结合
可得双曲线的离心率为
.
本题选择 A 选项.
点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立 e 的关系 式求 e 或 e 的范围；另一种是建立 a，b，c 的齐次关系式，将 b 用 a，e 表示， 令两边同除以 a 或 a2 化为 e 的关系式，进而求解．
，则 的值为
【解析】 等差数列 中，
故答案选
5．若椭圆
的离心率为 ，则双曲线
A．
B．
的渐近线方程为
C．
D．
【答案】C
【解析】
，不妨设
，则
，
对应双曲线的渐近线方程为：
，选 C
x y 1 0
6．如果实数
x、y
满足条件
y 1 0
，那么 2x y 的最大值为（ ）
x y 1 0
是中档题．
12．已知双曲线 E：
上的四点 A，B，C，D 满足
AD 的斜率与直线 AB 的斜率之积为 2，则双曲线 C 的离心率为
，若直线
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【 解 析 】 很 明 显 ， A ， B ， C ， D 四 点 组 成 平 行 四 边 形 ABDC ， 如 图 所 示 ， 设
，则：
若
，求数列 的前 n 项和 ．
【答案】(1)
(2)
．
【解析】 正项数列 是公差 d 为 2 的等差数列，由等差数列的通项公式和等比数列 中项性质，可得首项和公差的方程组，解方程即可得到所求通项公式；
求得 到所求和． 【详解】
，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得
解： 正项数列 是公差 d 为 2 的等差数列，可得
个工作时 又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是 15 元和 20 元，根据以上条件， 怎样安排每月的生产，才能获得最大的利润？ 【答案】每月制作 500 把椅子、300 张书桌. 【解析】先设每天生产桌子 x 张，椅子 y 张，利润总额为 P 千元，根据题意抽象出 x，
y 满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数 型，平移直线找到最优解，即可． 【详解】 解：依题意，设每月生产 x 把椅子，y 张书桌，利润为 z 元
A． 2
B．1 C． 2
D． 3
【答案】B
【解析】解：当直线 2x y t 过点(0，-1)时， t 最大，故选 B
7．若正实数 a，b 满足
，则下列说法正确的是
A．ab 有最小值
B．
有最小值
C． 有最小值 4 D． 【答案】C
有最小值
【解析】根据 a，b 都是正数，以及
即可得出
据基本不等式即可排除选项 B，D，从而只能选 C．
A． 海里 B． 海里
C．
海里
【答案】B
D．20 海里
【解析】分别在
和
理计算 AB 的值． 【详解】 解：连接 AB，如图所示；
中利用正弦定理计算 AD，BD，再在
中利用余弦定
由题意可知
，
，
，
，
，
，
，
在
中，由正弦定理得
在
中，
，
，
，
，
；
在
中，由余弦定理得
海里 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用问题，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是解题的关键，
A．29 B．31 C．33 D．36
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为 q，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，可得
首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求
值．
【详解】
解：等比数列 的公比设为 q，前 n 项和为 ，
，且 与 的等差中项为 ，
可得
，
，
解得
由 得：命题 p：
，命题 q：
，
由 是 的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件，
则，
所以
，即
．
故实数 m 取值范围为： .
【点睛】 本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题．
18．已知正项数列 是公差为 2 的等差数列，且 是 与 的等比中项． 求数列 的通项公式．
20．已知数列 的前 n 项和
．
若三角形的三边长分别为 ， ， ，求此三角形的面积；
探究数列 中是否存在相邻的三项，同时满足以下两个条件： 此三项可作为三角
形三边的长； 此三项构成的三角形最大角是最小角的 2 倍 若存在，找出这样的三项，
若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】 数列 的前 n 项和
【详解】
解：在
中，
， ，且
，又
，
,
，即
,
由正弦定理，
,
,
,
故答案为：
．
【点睛】 本题考查了正弦定理、三角形边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题 17．设命题 p：实数 x 满足
，其中 ；命题 q：
．
若 ，且 为真，求实数 x 的取值范围；
若 是 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
C．
D．1
【答案】A
【解析】∵ = + + ， ∴ = + + +2 ⋅ +2 ⋅ +2 ⋅ , ∵⊥,⊥， ∴ ⋅ =0, ⋅ =0，
⋅ =| || |cos120∘ =− ×1×2=−1. ∴ =1+1+4−2×1=4， ∴| |=2， 故选：A. 11．如图所示，为了测量 A，B 两处岛屿间的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏西 、北偏东 方向，再往正东方向行驶 20 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的 正北方向，A 在 C 处的北偏西 方向，则 A，B 两处岛屿间的距离为
2017-2018 学年广东省东莞市高二第一学期期末考试数学 （理）试题
一、单选题 1．命题“ ，
“的否定是
A． ，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】根据特称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．
广东省东莞市高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 18 页 2020-2021学年广东省东莞市高二上学期期末数学试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边c ＝（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．√62．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为c =糖的质量b 克糖水的质量a 克(a ＞b)，向糖水（不饱和）中再加入m 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（ ）A ．b a ＞b+m a+mB ．b a ＜b+m a+mC ．b a ＞b+m aD ．b a ＜b+m a 3．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（ ） A ．y =±12x B ．y =±√2x C ．y ＝±2x D ．y =±√3x4．已知数列{a n }是等差数列，且a 3+a 13＝50，a 6＝19，则a 2＝（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 5．已知a ，b 为实数，则“0＜ab ＜2”是“a ＜2b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（ ）A ．96里B ．48里C ．24里D ．12里 7．已知实数a ＞0，b ＞0，且1a +2b ＝2，则b a 的最大值为（ ）A ．49B ．12C ．23D ．√228．已知双曲线C ：x 216−y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 上一点，直线l分别与以F 1为圆心、F 1P 为半径的圆和以F 2为圆心、F 2P 为半径的圆相切于点A ，B ，则|AB |＝（ ）A ．2√7B ．6C ．8D ．10第 2 页 共 18 页二．多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9．四边形ABCD 内接于圆O ，AB ＝CD ＝5，AD ＝3，∠BCD ＝60°，下列结论正确的有（ ）A ．四边形ABCD 为梯形B ．圆O 的直径为7C ．四边形ABCD 的面积为55√34D ．△ABD 的三边长度可以构成一个等差数列10．我们通常称离心率为√5−12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，A 1，A 2，B 1，B 2为顶点，F 1，F 2为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．|A 1F 1|，|F 1F 2|，|F 2A 2|为等比数列B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 211．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（ ）A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则△ABC 为钝角三角形C ．若a ＝5，b ＝10，A =π4，则符合条件的三角形不存在D ．若b cos C +c cos B ＝a sin A ，则△ABC 为直角三角形12．已知数列{a n }的首项为4，且满足2（n +1）a n ﹣na n +1＝0（n ∈N *），则（ ）A ．{an n }为等差数列 B ．{a n }为递增数列C ．{a n }的前n 项和S n =(n −1)⋅2n+1+4。
广东省东莞市高二上册期末数学试题与答案
广东省东莞市高二上册期末数学试题与答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. 请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A将一元二次不等式因式分解，再结合二次函数的图像即可求解.因为，所以，所以或，即原不等式的解集为本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题型.2.在等差数列中，，，则公差为( )A. B. C. D.【答案】C由等差数列的性质即可求解.因为在等差数列中，，，所以，所以.本题主要考查等差数列的性质，属于基础题型.3.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B由特称命题的否定，直接写出结果即可.命题“”的否定是“”.本题主要考查特称命题的否定，属于基础题型.4.实数满足，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C先由不等式组作出其所表示的平面区域，再将目标函数化为，结合图像即可确定结果.由不等式组作出平面区域如下：由题意求目标函数的最小值即是求在y轴截距的最小值问题，由图像可得，直线过点时，截距最小为1.本题主要考查简单线性规划问题，属于基础题型.5.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案】D由题意先求出m，进而可求出结果.因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以离心率.本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型.6.在中，内角满足，则的形状为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形【答案】B先由得，化简整理即可判断出结果.因为，所以，所以，所以，故，所以三角形是等腰三角形.本题主要考查三角恒等变换，属于基础题型.7.若点在曲线上，则的最小值为（）A. 8B. 9C. 16D. 18【答案】D由在曲线得到关系式，结合基本不等式即可求解.因为点在曲线上，所以，因此,当且仅当，即时，取最小值18.本题主要考查基本不等式，属于基础题型.8.已知实数满足，，则下列选项一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C结合条件，逐项判断即可。
广东省东莞市高二上学期期末数学试卷(理科)
广东省东莞市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·武邑模拟) 已知点F2 ， P分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若2 |，且，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·白山模拟) 若命题p：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题q：在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为，则下列命题是真命题的是（）A . p∧qB . （¬p）∧qC . p∧（¬q）D . ¬q4. （2分）将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交成60°角D . 异面且成60°角5. （2分）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·綦江期末) 已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且,则下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则7. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A . 3B .C . 4D .8. （2分）设分别是双曲线的左右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使，且的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 59. （2分）在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A1B1 ， C1D1 ， AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·铜仁) 椭圆的左、右焦点分别为，弦AB过，若的内切圆周长为， A,B两点的坐标分别为和，则的值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·上海期中) 两直线l1 ， l2的方程分别为x+y +b=0和xsinθ+y﹣a=0（a，b为实常数），θ为第三象限角，则两直线l1 ， l2的位置关系是（）A . 相交且垂直B . 相交但不垂直C . 平行D . 不确定12. （2分）函数f（x）=lgx﹣sinx在（0，+∞）的零点个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一下·太康开学考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14. （1分） (2016高二下·海南期末) 具有线性相关的两个随机变量x，y可用线性回归模型y=bx+a+e表示，通常e是随机变量，称为随机误差，它的均值E（e）=________．15. （1分）(2020·随县模拟) 已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点 .若以为圆心、为半径的圆与抛物线相交于点，，则 ________.16. （2分）(2017·朝阳模拟) 已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F．设这两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点P的横坐标是________；该双曲线的渐近线方程为________．三、解答题 (共5题；共55分)17. （15分） (2018高一下·抚顺期末) 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;（2）计算甲班的样本方差;（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学,求身高为176 cm的同学被抽中的概率.18. （5分） (2017高三下·武威开学考) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．（Ⅰ）求证：平面PA B⊥平面PCB；（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．19. （10分） (2015高二上·城中期末) 已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．20. （15分） (2015高二下·湖州期中) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求直线AC与PB所成角的余弦值；（3）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．21. （10分） (2018高二上·寿光月考) 已知函数在处取得极值为 .（1）求、的值；（2）若有极大值，求在上的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。
广东省东莞市2017-2018学年高二(下)期末数学(理科)答案
广东省东莞市2017-2018学年高二（下）期末数学（理科）试题参考答案1．D 【思路点拨】直接由实部为0且虚部不为0列式求解. 【解析】21(1)z a a i =-++为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，即1a =.故选：D .【名师指导】本题考查复数的基本概念，是基础的计算题.2．C 【思路点拨】求得函数2y x x =+的导数，由导数的几何意义，可令1x =，计算可得所求切线的斜率.【解析】解：2y x x =+的导数为21y x =+′， 可得曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为2113⨯+=. 故选：C.【名师指导】本题考查导数的运用：求切线的斜率，熟练掌握导数的运算性质是解题的关键，是一道基本题.3．B 【思路点拨】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，得到曲线关于5x =对称，根据(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，结合曲线的对称性列方程，从而解出常数c 的值得到结果.【解析】随机变量ξ服从正态分布()5,9N ，∴曲线关于5x =对称，(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，2210c c ∴++-=， 5c ∴=，故选：B .【名师指导】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题.4．D 【思路点拨】利用导数的运算法则即可得出. 【解析】22()(1)21f x x x x =+=++()22f x x ∴'=+，故选：D .【名师指导】本题考查了导数的运算法则，属于基础题.5．D 【思路点拨】由x 与y 的线性回归方程中x 系数的正负可判断选项A ；把 20x =代入回归直线方程算出ˆ y 的值可判断选项B ；先根据表格中的数据求出样本中心点(),x y ，再将其代入线性回归方程，解之即可得m 的值，从而判断C ，D ． 【解析】解：由x 与y 的线性回归方程可知，0.70-<，∴变量x ，y 之间呈现负相关关系，即A 错误；当20x时，ˆ0.72010.3 3.7y=-⨯+=-，即B 错误； 由表中数据可知，68101294x +++==，6321144m my ++++==，根据样本中心点必在线性回归方程上， 有110.7910.34m+=-⨯+，解得5m =，即C 错误； 5m =，1144my +∴==， ∴ 样本中心点为()9,4，即D 正确.故选：D.【名师指导】本题考查结尾回归直线方程，线性回归直线必定数据的中心点(,)x y ，用回归直线方程可对结论进行预测，要注意预测值不是确定的结果． 6．A 【思路点拨】利用分子有理化即可比较.【解析】a ==1b ==，c ==，1>>b ac ∴>>，故选：A .【名师指导】本题考查了不等式的大小比较，属于基础题.7．C 【思路点拨】利用5(1)x -展开式的一次项与2x +的一次项相乘，展开式的二次项与2x +的常数项相乘，即可得到5(1)(2)x x -+的展开式中含2x 项的系数.【解析】5(1)x -展开式通项515(1)r r r r T C x -+=-，令52r可得3r =，令51r -=可得4r =；∴含2x 项的系数为：5543215C C -=-.故选：C .【名师指导】本题考查二项式定理的运用，考查利用展开式确定指定项的系数，解题的关键是正确写出展开式.8．A 【思路点拨】根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．【解析】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：3，1 ，1三组；②5名插班生分成：2，2，1三组，当5名插班生分成：3，1 ，1三组时，共有3135231602C C A =种方案； 当5名插班生分成：2，2，1三组时，共有22112425322290C C C C A A ⋅⋅⋅⋅=种方案； 所以，共有6090150+=种不同的安排方案. 故选：A.【名师指导】本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.9．A 【思路点拨】求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）2=，即可得解【解析】.3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)0f f ==，f （1）2=，13m ∴≤≤.故选：A.【名师指导】本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.10．B 【思路点拨77x ++⋯=7x x +=，然后转化为一元二次方程，解出x 的值，并排除不正确的值，即可得到结果.77x ++⋯=7x x +=，整理，得270x x --=， 解得1292x -=，或1292x =0x ，1292x +∴=， ∴129772++⋯=.故选：B .【名师指导】本题主要考查类比推理的能力，考查了转化与化归思想，一元二次方程的求解，以及类比推理能力和数学运算能力，本题属基础题.11．C 【思路点拨】利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A 发生的概率P (A )和事件A ，B 同时发生的概率P (AB )，再利用条件概率公式加以计算，即可得到(|)P B A 的值.【解析】（方法一）取出两个颜色不同的球的取法共有11111112323111C C C C C C ++=种,而取出一个红球,一个黄球的取法共有11236C C =种，故所求概率为611， （方法二）因为盒子中有红球3个，黄球2个，蓝球1个，所以取出的两个球颜色不同的概率为11111111336222C C C C C C 11()C 15P A ++==， 而取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个黄球的概率112326C C ()C 62155P AB ===， 所以2()6(|)11(5)1115P AB P B A P A ===， 故选：C.【名师指导】本题主要考查条件概率的计算，古典概型公式，关键在于准确地运用条件概率公式，属于基础题.12．A 【思路点拨】由题意可得，ln y x x =与1y kx =-在(]0,e 上恰有两个交点，即ln 1x x kx =-在(]0,e 上恰有2个解，分离参数后构造函数，结合导数及函数的性质计算即可得解.【解析】由题意可得，ln y x x =与1y kx =-在(]0,e 上恰有两个交点， 即ln 1x x kx =-在(]0,e 上恰有2个解， 所以1ln k x x=+在(]0,e 上恰有2个解， 令1()ln g x x x =+，(]0,x e ∈，则21()x g x x'-=， 当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x e <≤时，()0g x '>，函数单调递增， 因为(1)1g =，1()1g e e=+，0x →，()g x →+∞， 故111k e<≤+. 故选：A .【名师指导】本题主要考查了由函数零点求解参数范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于常考题. 13．0【思路点拨】由已知结合复数的基本运算即可直接求解. 【解析】解：因为41i =，所以4414243231n n n n i i i i i i i ++++++=+++，110i i =+--=.故答案为：0.【名师指导】本题主要考查了复数的基本运算的简单应用，属于基础试题. 14．310【思路点拨】由已知确定曲线关于x ＝1对称，可知P （X ＜1）＝12，利用P （X ＞2）得P （X ＜0），可求P （0＜X ＜1）．【解析】随机变量X ～N （1，σ2），可知随机变量服从正态分布且X ＝1是图象的对称轴，可知P （X ＜1）＝12，又1(2)5P X >=可知P （X ＜0）＝15， 则P （0＜X ＜1）＝12﹣15＝310．故答案为310．【名师指导】本题考查正态分布的简单性质的应用，属于基本知识的考查．15．12【思路点拨】根据概率的性质11ni i p ==∑和分布列均值()1E X =解出a ，b ，再利用方差公式求解.【解析】由题意知：114()12a b E X a b⎧+=-⎪⎨⎪==+⎩，解得11,24a b ==， 所以222111()(01)(11)(21)424D X =⨯-+⨯-+⨯-111442=+=. 故答案为：12. 【名师指导】本题主要考查离散型随机变量的均值与方差的计算，还考查了运算求解的运算能力，属于基础题.16．3【思路点拨】令二项式中的1x =得展开式中各项系数和，根据二项式系数和公式得到二项式系数和为2n ，列出方程求解即可.【解析】1)nx的展开式20121)n n n a a x xa x a x =++++令二项式中的1x =得到展开式中的各项系数的和为4n p =，又各项二项式系数的和012nnn n n C C C C q ++++=，为2n q =，根据题意得248q p =-即44822n n -=⨯， 解得28n =或26n =- (负值舍)， 故3n =. 故答案为：3.【名师指导】本题考查了求二项展开式的系数和与二项式系数和问题，是基础题. 17．【思路点拨】（1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由共轭复数的概念求得z ，由题意列关于m 的方程求解；（2）利用复数模的计算公式列式，求解关于m 的不等式得答案. 【解析】解：（1）由(1)z i m i +=-，得()(1)111(1)(1)22m i m i i m m z i i i i ----+===-++-， ∴1122m m z i -+=+， 由题意，117022m m -++-=，解得7m =；（2）由||1z 1， 解得：11m -.∴实数m 的取值范围[1-，1].【名师指导】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.18．【思路点拨】（1）根据已知完善列联表，计算出2K 的值，由此判断在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别.（2）设抽到的观众“非常满意”的人数为X ，X 服从二项分布3~(3,)2X B ，由此能求出X 的分布列和数学期望.【解析】（1）依题意得22⨯列联表为：()22100302035151000.1 3.841653545551001K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别. （2）从A 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为23P =， 随机抽取3人，X 的可能取值为0，1，2，3，3~(3,)2X B ，311(0)()327P X ===，1232162(1)()()33279P X C ====，22321124(2)C ()()33279P X ====，328(3)()327P X ===，X ∴的分布列为：()323E X =⨯=. 【名师指导】本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，考查概率的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 19．（1）2d y c x =+更适宜；（2）2205y x=+；（3）01x <或4x .【思路点拨】（1）根据散点图，即可判断出； （2）先建立中间量21w x=，建立y 关于w 的线性回归方程，根据最小二乘法求出系数c ，d ，问题得以解决；（3）根据预报值求出z ，再根据题意列不等式即可得求出答案. 【解析】解：（1）2dy c x=+更适宜作销量y 关于单价x 的回归方程类型； （2）设21w x=，则y c dw =+， 由最小二乘法求系数公式可得：1011021()()16.2200.81()ˆiii ii w w y y dw w ==--===-∑∑， ·20.ˆˆ6200.785c y d w =-=-⨯=，所以所求回归方程为2205y x =+； （3）设销售额为z ， 则205,(0)z xy x x x ==+>， 20525z xy x x==+，即2540x x -+，解得01x <或4x ，当单价x 范围为01x <或4x 时，该商品的销售额不小于25.【名师指导】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题.20．【思路点拨】（1）由题知，1x =与13x =-是2()3210f x ax bx '=++=的两根，再利用韦达定理即可得解；（2）原问题可转化为2()max f x c <；由（1）知，()(31)(1)f x x x +'=--，令()0f x '=，则1x =或13-，然后列表写出()'f x 和()f x 随x 在[1-，2]上的变化情况，求得最大值后，解关于c 的不等式即可. 【解析】解：（1）32()f x ax bx x c =+++，2()321f x ax bx ∴=++'，()f x 在1x =与13x =-处都取得极值，1x ∴=与13x =-是2()3210f x ax bx '=++=的两根，即12133111()33b a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪⨯-=⎪⎩， 解得1a =-，1b =.（2）由（1）知，32()f x x x x c =-+++，2()321(31)(1)f x x x x x =-=-+'++-，令()0f x '=，则1x =或13-，()f x '∴和()f x 随x 在[1-，2]上的变化情况如下表所示：(1)1f c ∴-=+，极大值为f （1）1c =+， ()f x ∴在[1x ∈-，2]上的最大值为1c +，对任意[1x ∈-，2]，都有2()f x c <成立，21c c ∴+<，解得c >c <. 故实数c 的取值范围为(-∞⋃，)+∞. 【名师指导】本题考查利用导数研究函数的极值和恒成立问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题. 21．【思路点拨】（1）求导得21()ax f x ax -'=，由题可知，f '（1）12=，解出a 的值即可； （2）不妨设12x x >，由1212()()1f x f x x x -<-可推出函数()()g x f x x =-在(0，1]上单调递减，即21()10ax g x ax--'=在(0，1]上恒成立，然后分1x =和(0,1)x ∈两类讨论，其中当(0,1)x ∈时，需要运用参变分离法和配方法来求新函数的最小值.【解析】解：（1）1()ln x f x x ax-=+，222(1)11()ax x a ax f x a x x ax ----∴=+='，定义域为(0,)+∞， 由题可知，f '（1）112a a -==，解得2a =， ()f x ∴的解析式为1()ln 2x f x x x -=+. （2）不妨设12x x >，1212()()1f x f x x x -<-等价于1212()()f x f x x x -<-，即1122()()f x x f x x -<-，令()()g x f x x =-，则()g x 在(0，1]上单调递减，21()10ax g x ax-∴=-'， 若1x =，有110a a--<，符合题意，即0a >满足条件； 若(0,1)x ∈，不等式可转化为21a x x --， 而当(0,1)x ∈时，函数2211411()24y x x x =-=----，当且仅当12x =时，等号成立， 4a ∴.综上所述，正实数a 的取值范围为(0，4].【名师指导】本题考查利用导数研究函数的切线方程､证明不等式，先采用构造法将原问题转化为函数的单调性问题，进而利用参变分离法将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化与化归思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.22．【思路点拨】（1）先求导，分0a ，0a <两种情况讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）由（1）中结论可得单调性，即可判定零点所在区间12012x x <<<<，证得121()()0f x f x -<，再根据函数的单调性即可证明. 【解析】（1）解：2()(1)(4)x f x x ae -'=-+.①当0a 时，240x ae -+>，所以当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>， 即()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数；②当0a <时，由2()(1)(4)0x f x x ae -'=-+=，解得1x =或42()x ln a=--. 当42()1ln a -->时，即4a e <-，()f x 在(1，42())ln a--上为增函数，在(,1)-∞和4(2()ln a--，)+∞上为减函数； 当42()1ln a --<时，即40a e >>-，()f x 在4(2()ln a--，1)上为增函数，在(-∞，42())ln a--和(1,)+∞上为减函数； 当42()1ln a --=时，即4a e =-，()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. 综上，当0a 时，()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数； 当4a e <-，()f x 在(1，42())ln a --上为增函数，在(,1)-∞和4(2()ln a --，)+∞上为减函数； 当40a e >>-，()f x 在4(2()ln a --，1)上为增函数，在(-∞，42())ln a --和(1,)+∞上为减函数； 当4a e=-，()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. （2）证明：由（1）可知()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，又f （1）0ae =>，(0)20f =-<，f （2）220a =-<，所以函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，不妨设1(0,1)x ∈，2(1,2)x ∈，12()()0f x f x ==，222222()2(1)0x f x ax e x -=--=，得222222(1)x ax e x -=-，12211()()()f x f f x x -=- 212222112(1)x a e x x -=-+- 212222222(1)1x x a e x x --=-+ 2212222221x x ax e a e x x --=-+ 221222()x x a e e x --=--， 又2(1,2)x ∈，22122x x ->-，22122x x e e -->， 所以121()()0f x f x -<，即121()()f x f x <， 又()f x 在(,1)-∞上为增函数，1(0,1)x ∈，2(1,2)x ∈，211(2x ∈，1)， 所以121x x <，即12·1x x <. 【名师指导】本题考查了导数和函数的单调性的关系，考查了转化和化归思想，分析和解决问题的能力，运算能力，属于难题.。
广东省东莞市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科)(b卷) Word版含解析
2017-2018学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项B．第14项C．第15项D．第16项2．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=x D．y=x3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．135°或45°D．135°4．“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n05．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积不为0的是（）A．B． C． D．6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形7．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为，该椭圆的方程为（）A．B．C．D．9．南沙群岛自古以来都是中国领土，南沙海域有A、B两个岛礁相距100海里，从A岛礁望C岛礁和B岛礁成60°的视角，从B岛礁望C岛礁和A岛礁成75°的视角，我国兰州号军舰航在A岛礁处时候B岛礁处指挥部的命令，前往C岛礁处驱赶某国入侵军舰，则我军舰此时离C岛礁距离是（）A．100（+1）海里B．50（）海里C．50海里D．50海里10．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在11．已知{a n}是首项为9的等比数列，S n是前n项和，且=，则数列{log3a n}前9项和为（）A．54 B．﹣18 C．18 D．﹣3612．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||=3||，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．已知数列{a n}的前n项和，则a n=．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为．15．直线y=x﹣2与抛物线y2=8x交于A，B两点，则|AB|=．16．下列四种说法：①垂直于同一平面的所有向量一定共面；②在△ABC中，已知，则∠A=60°；③在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，则A=④若a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2≥2；正确的序号有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知p：x2﹣6x+5≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若m=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2cosA=．（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．19．东莞某家具生产厂家根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产书桌、书柜、电脑椅共120张，且书桌至少生产20张．已知生产这些家（以千元为单位）20．设数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和T n，求使得成立的n的最小值．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．22．已知椭圆E：过点，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项B．第14项C．第15项D．第16项【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列51、47、43，…，得到等差数列的通项公式，让通项小于0得到解集，求出解集中最小的正整数解即可．【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=x D．y=x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±x，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：由双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，双曲线的a=2，b=4，可得渐近线方程为y=±2x．故选：A．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．135°或45°D．135°【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可解得：sinA=，从而A=45°或135°，由a＜b从而确定A=45°．【解答】解：由正弦定理知：，∵a=，b=，∠B=60°，代入上式，∴，故可解得：sinA=，从而A=45°或135°，∵a＜b，∴A＜B，∴A=45°．故选：B．4．“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【考点】的否定．【分析】根据全称的否定是特称即可得到结论．【解答】解：为全称，则的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积不为0的是（）A．B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立空间直角坐标系，求出各向量的坐标，计算数量积进行验证．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则=（0，1，1），=（0，1，﹣1），=（0，1，0），=（1，0，0），=（﹣1，1，1），=（1，1，0），∴=0；=0；=1，=0．故选：C．6．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【考点】正弦定理．【分析】首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【解答】解：已知：acosA=bcosB利用正弦定理：解得：sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B所以：2A=2B或2A=180°﹣2B解得：A=B或A+B=90°所以：△ABC的形状一定是等腰或直角三角形故选：D7．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当a＞b＞0时，a2＞b2成立，当a=﹣3，b=﹣1时，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，即“a2＞b2”是“a＞b＞0”d的必要而不充分条件，故选：B．8．已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为，该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆的右焦点坐标，进一步得到c值，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），∴所求椭圆的右焦点为F（1，0），则c=1，又，得．∴，则椭圆方程为：．故选：A．9．南沙群岛自古以来都是中国领土，南沙海域有A、B两个岛礁相距100海里，从A岛礁望C岛礁和B岛礁成60°的视角，从B岛礁望C岛礁和A岛礁成75°的视角，我国兰州号军舰航在A岛礁处时候B岛礁处指挥部的命令，前往C岛礁处驱赶某国入侵军舰，则我军舰此时离C岛礁距离是（）A．100（+1）海里B．50（）海里C．50海里D．50海里【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据∠A和∠B求出∠C，进而根据正弦定理求得AC．【解答】解：∠C=180°﹣60°﹣75°=45°根据正弦定理得，∴AC=50（+1），故选：B．10．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【分析】数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，可得=a m•a n，化简可得m+n=6．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：数列{a n}是公比为2的等比数列，且4a1为a m，a n的等比中项，∴=a m•a n=，∴16=2m+n﹣2，∴m+n=6．则=（m+n）≥≥=，当且仅当n=2m=4时取等号．故选：A．11．已知{a n}是首项为9的等比数列，S n是前n项和，且=，则数列{log3a n}前9项和为（）A．54 B．﹣18 C．18 D．﹣36【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列前n项和公式求出q=，从而得到a n=（）n﹣3，进而log3a n==3﹣n，由此能求出数列{log3a n}前9项和．【解答】解：∵{a n}是首项为9的等比数列，S n是前n项和，且=，∴=1+q3=，解得q=，∴a n==（）n﹣3，∴log3a n==3﹣n，∴数列{log3a n}前9项和S9=9×3﹣（1+2+3+4+5+6+7+8+9）=﹣18．故选：B．12．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||=3||，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由点到直线的距离公式可得||=b，则||=3b，cos∠F1OM=﹣，由此利用余弦定理可得a，b的关系，进而得到a，c的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由F2（c，0）到渐近线y=x的距离为d==b，即有||=b，则||=3b，在△MF1O中，||=a，||=c，cos∠F1OM=﹣，由余弦定理可知=﹣，又c2=a2+b2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，即有e==．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．已知数列{a n}的前n项和，则a n=4n﹣1．【考点】数列递推式．（n≥2）求得数列的通项公式．【分析】由数列的前n项和求得首项，再由a n=S n﹣S n﹣1【解答】解：由，得a1=S1=3；当n≥2时，=4n﹣1．验证n=1时，上式成立，∴a n=4n﹣1．故答案为：4n﹣1．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．15．直线y=x﹣2与抛物线y2=8x交于A，B两点，则|AB|=16．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直线y=x﹣2与抛物线y2=8x联立，求出A，B的坐标，即可求得|AB|．【解答】解：直线y=x﹣2与抛物线y2=8x联立，消去x可得y2﹣8y﹣16=0∴y=4±4∴x=6±4∴|AB|==16故答案为：1616．下列四种说法：①垂直于同一平面的所有向量一定共面；②在△ABC中，已知，则∠A=60°；③在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，则A=④若a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2≥2；正确的序号有①②④．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由共面向量的定义判断①；利用正弦定理结合已知判断②；由正弦定理和余弦定理求出A值判断③错误；利用基本不等式的性质判断④．【解答】解：①垂直于同一平面的所有向量一定共面，①正确；②在△ABC中，由，得==，即tanA=tanB=tanC，则∠A=60°，②正确；③在△ABC中，由sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，得a2=b2+c2+bc，故cosA==﹣，则A=，③错误；④若a＞0，b＞0，a+b=2，则a2+b2≥（）2=2，④正确；故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知p：x2﹣6x+5≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若m=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】复合的真假．【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简p，q，然后利用p∧q为真，取交集求得实数x 的取值范围；（2）求解一元二次不等式化简q，结合p是q充分不必要条件，可得[1，5]⊊[1﹣m，1+m]，转化为关于m的不等式组得答案．【解答】解：（1）由x2﹣6x+5≤0，得1≤x≤5，∴p：1≤x≤5；当m=2时，q：﹣1≤x≤3．若p∧q为真，p，q同时为真．，则，即1≤x≤3；（2）由x2﹣2x+1﹣m2≤0，得q：1﹣m≤x≤1+m．∵p是q充分不必要条件，∴[1，5]⊊[1﹣m，1+m]，∴，解得m≥4．∴实数m的取值范围为m≥4．18．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2cosA=．（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式两边平方后整理可解得cosA=，而由已知及余弦定理可得=，从而解得m的值．（2）由（1）可求得sinA=，结合余弦定理可求得bc≤a2，即可由三角形面积公式求最大值．【解答】（本题满分为15分）解：（1）由2cosA=，两边平方可得：4cos2A﹣4cosA+1=0，解得：cosA=．…4分而a2﹣c2=b2﹣mbc可以变形为：=，即cosA==，所以m=1．…7分（2）由（1）知cosA=，则sinA=，又=．…9分所以bc=b2+c2﹣a2≥2bc﹣a2，即bc≤a2…12分故S△ABC=bcsinA≤•=．…15分19．东莞某家具生产厂家根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产书桌、书柜、电脑椅共120张，且书桌至少生产20张．已知生产这些家（以千元为单位）【考点】简单线性规划．【分析】设每周生产书桌x张、书柜y张，则生产电脑椅120﹣x﹣y张，产值为z千元，由题意列出关于x，y的不等式组，再求出线性目标函数z=4x+3y+2=2x+y+240，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设每周生产书桌x张、书柜y张，则生产电脑椅120﹣x﹣y张，产值为z千元，则依题意得z=4x+3y+2=2x+y+240，由题意得x，y满足，即，画出可行域如图所示．解方程组，得，即M（20，60）．做出直线l0：2x+y=0，平移l0过点M（20，60）时，目标函数有最大值，z max=2×20+60+240=340（千元）．答：每周应生产书桌20张，书柜60张，电脑椅40张，才能使产值最高，最高产值是340千元．20．设数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和T n，求使得成立的n的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n＞1），即a n=2a n﹣1（n＞1）．由a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）．解出即可得出．（2）利用等比数列的前n项和公式及其不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵S n=2a n﹣a1，∴a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n＞1），即a n=2a n﹣1（n＞1）．从而a2=2a1，a3=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）．∴a1+4a1=2（2a1+1），解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故．（2）由（1）得．∴．由，得，即2n＞2016．∵210=1024＜2016＜2048=211，∴n≥11．于是，使成立的n的最小值为11．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥平面AMN．（2）求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【解答】证明：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，∴以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，由SA=AB，设AB=AD=AS=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（，0，），=（），=（﹣1，﹣1，1），•=﹣=0，∴，∴SC⊥⊥AM，又SC⊥AN，且AN∩AM=A，∴SC⊥平面AMN．解：（2）∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量，且=（0，0，1），设平面ACM的法向量为=（x，y，z），=（1，1，0），=（），则，取x=﹣1，得=（﹣1，1，1），cos＜＞===，由图形知二面角D﹣AC﹣M为锐二面角，∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．22．已知椭圆E：过点，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和A在椭圆上，满足椭圆方程，解方程即可得到所求椭圆的方程；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由，可得x1x2+y1y2=0，代入化简整理，再由直线和圆相切的条件，即可得到满足条件的圆存在；运用弦长公式，化简整理，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意得：e=，a2﹣b2=c2，且+=1，解得，a=2，b=1，所以椭圆E方程为；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，由得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4=0，令P（x1，y1），Q（x2，y2），可得，，∵，∴x1x2+y1y2=0∴，∴5m2=4k2+4，由直线PQ与圆相切，则，所以存在圆．当直线PQ的斜率不存在时，也适合．综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意．由弦长公式可得：==，又，代入上式可得：，令4k2+1=t，即，则，当时，即时，，当直线l的斜率k不存在时，，所以．2016年7月31日。
2017-2018学年广东省广州市高二(上)期末数学试卷(理科)附解析
2017-2018学年广东省广州市高二（上）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={-1，0，1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）A. 0，B.C.D.2.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.3.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A. B. C. D.4.已知cos（-x）=，则sin2x=（）A. B. C. D.5.椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（）A. B. C. D.6.在某项体育比赛中，七位裁判为一个选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93去掉一个最高分和一个最低分，所剩分数的平均值和方差为（）A. 92，2B. 92，C. 93，2D. 93，7.若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0，且a≠1）．满足0＜f（x）≤1，则函数y=log a||的图象大致是（）A. B.C. D.8.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）A. B. C. D.9.若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N≡r（modm），例如10≡2（mod 4）．下面程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图，输出的i等于（）A. 8B. 16C. 32D. 4110.已知椭圆C的中心在原点，左焦点F1右焦点F2均在x轴上，A为椭圆的有顶点，B为椭圆的上端点，P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是（）A. B. C. D.11.已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A. B.C. D.12.如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，E、F分别为棱DD1、AB上的点，则下列判断正确的个数有（）①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是______．14.已知向量||=1，||=2，且，，则向量，的夹角为______．15.函数f（x）=A sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）的值为______．16.设函数f（x）=x+，记函数g（x）=，求函数g（x）在区间[-2，-]上的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知锐角△ABC内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且2a sin B=b，（1）求角A的大小；（2）若a=，b=2，求cos C．18.已知公比大于1的等比数列{a n}中，a2=2且6是a1+3与a3+4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1+2b2+3b3+••+nb n=a n，求数列{b n}的通项公式．19.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B是边长为2的正方形，四边形BB1C1C是以∠BB1C1=60°的菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，AC1=2（1）求证：B1C⊥AC1；（2）求平面AB1C1与平面BB1C1C所成二面角的正切值．20.2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（1）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（2）设该城市郊区和城区的居民户数比为1：5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．21.已知函数f（x）=．（1）用函数单调性的定义证明f（x）为R上的增函数；（2）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＞的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当＜时，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A={-1，0，1}，B={x|x2-2x-3≤0}=[-1，3]，则A∩B={-1，0，1}，故选：A．根据题意和交集的运算直接求出A∩B．本题考查交集及其运算，以及不等式的解法，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：解方程组，得，x=k+6，y=k+2∵直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，∴x=k+6＞0，y=k+2＜0，∴-6＜k＜-2．故选：A．解方程组，得，x=k+6，y=k+2，由直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，知x=k+6＞0，y=k+2＜0，由此能求出实数k 的取值范围．本题考查两条直线的交点坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．3.【答案】A【解析】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A．根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案本题考查等可能事件的概率，涉及用列举法列举基本事件，注意按一定的顺序，做到不重不漏．4.【答案】B【解析】解：由cos（-x）=，可得cos cosx+sinxsin=即（sinx+cosx）=．∴sinx+cosx=．那么（sinx+cosx）2=．即1+2sinxcosx=．∴sin2x=-故选：B．利用和与差公式化简，在平方即可求解；本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：设左右焦点为F1、F2，上顶点为A，正方形边长=2，∴|AF|=|AF2|=a=2，|F1F2|=2，c=b=，1则椭圆E的标准方程为：+=1．故选：C．用正方形的正方形边长为2，得|AF1|=|AF2|=a=2，|F1F2|=2，c=b即可本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+（3+4+3）=92；方差为（22×2+12×2+22）=2.8，故选：B．平均数就将剩余5个数的和除以5即可得到；方差就是将数据代入方差公式s2=[（x 1-）2+（x2-）2+（x3-）2+…+（x n-）2]即可求得．本题考查平均数与方差的求法，属基础题．7.【答案】A【解析】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1，易知函数y=log a||为偶函数，当x＞0时，y=log a||=-log a x，此时函数为增函数，∴当x＜0时，函数y=log a||，此时函数为减函数，只有A符合，故选：A．根据题意可得0＜a＜1，再根据函数的奇偶性和单调性即可判断本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B．相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．本题考查了几何体的三视图，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得N=11，i=1i=2，N=13不满足条件“N=2（mod 3）”，i=4，N=17，满足条件“N=2（mod 3）”，不满足条件“N=1（mod5）”，i=8，N=25，不满足条件“N=2（mod 3）”，i=16，N=41，满足条件“N=2（mod 3）”，满足条件“N=1（mod5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：B．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可得出答案．本题考查了程序框图的应用问题，当循环的次数不多，或有规律时，采用模拟循环的方法解答，是基础题．10.【答案】D【解析】解：如图，设椭圆方程为，∴x=-c时，y2=，∴P（-c，），F2（c，0）；又A（a，0），B（0，b），PF2∥AB；∴；∴-=-；∴b=2c；a==c；∴=；即椭圆的离心率为：．故选：D．先画出图形，设椭圆方程为，求出P，F2，A，B四点的坐标，从而根据PF2∥AB即可得kPF2=kAB，从而可得到b=2c，根据a2=b2+c2即可得出a=c，从而得到该椭圆的离心率．考查椭圆的标准方程，根据椭圆标准方程可表示椭圆的焦点及顶点坐标，根据椭圆的方程，已知椭圆上点的横坐标能求其纵坐标，根据两点坐标求直线斜率，以及两平行直线的斜率关系，椭圆离心率的概念及计算．11.【答案】D【解析】解：设BC中点是D，∵圆心角等于圆周角的一半，∴∠BOD=60°，在直角三角形BOD中，有OD=OB=，故中点D的轨迹方程是：x2+y2=，如图，由角BAC的极限位置可得，x＜，故选：D．将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得OD=，从而得BC中点的轨迹方程．本题主要考查求轨迹方程，解决与平面几何有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，这样会使问题的解决简便些．12.【答案】B【解析】解：如图对于①A1C⊥平面B1EF，不一定成立，因为A1C⊥平面AC1D，而两个平面面B1EF与面AC1D不一定平行．对于②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB1，而E点在面上的投影到此棱BB1的距离是定值，故正确；对于③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，此结论不对，与两者都有关系，可代入几个特殊点进行验证，如F与A重合，E与D重合时的二面角与F与B重合，E与D重合时的情况就不一样．故此命题不正确综上，②③是正确的故选：B．由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可本题考点是棱柱的结构特征，考查对正方体的几何特征的了解，以及线面垂直，线面平行等位置关系的判定，二面角的求法等知识，涉及到的知识点较多，综合性强．13.【答案】∃x∈R，x2+x+1＜0【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．14.【答案】【解析】解：+=（1，），可得|+|=，即有2+2+2•=3，即为1+4+2•=3，即有•=-1，则cos＜，＞==-，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=．故答案为：．由向量模的公式及向量的平方即为模的平方，可得•=-1，再由夹角公式计算即可得到所求值．本题考查向量的夹角的求法，考查向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：：（1）由题设图象知，A=2，周期T=（-），解得：T=π．∴ω==2．∵点（，2）在函数图象上，∴2sin（2×+φ）=2，即sin（+φ）=1．∵0＜φ＜π，∴φ=．故得f（x）=2sin（2x），那么f（）=2sin（2×）=故答案为：．根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f（x）的解析式；可求f（）的值本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．16.【答案】2【解析】解：当x＞0时，g（x）=f（x）=x+，当x＜0时，g（x）=f（-x）=-x-，导数为g′（x）=-1+，可得-2＜x＜-1时，g′（x）＜0，g（x）递减；-1＜x＜-时，g′（x）＞0，g（x）递增，可得x=-1处g（x）在区间[-2，-]上取得最小值，且为2．故答案为：2．分别求得x＞0，x＜0时g（x）的解析式，运用导数判断单调性，可得最小值．本题考查分段函数的运用：求解析式，考查导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力和推理能力，属于基础题．17.【答案】（本题满分为10分）解：（1）∵2a sin B=b，∴2sin A sin B=sin B，∴由sin B≠0，可得：2sin A=，sin A=，∵△ABC为锐角三角形，∴∠A=…5分（2）∵a=，b=2，∠A=，∴由余弦定理可得：7=22+c2-2×，可得：c2-2c-3=0，解得：c=3或-1（舍去），∴cos C===…10分【解析】（1）利用正弦定理把已知等式转化，求得sinA的值，进而求得A．（2）利用余弦定理求得c，进而根据余弦定理求得cosC的值．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的转化和化归，属于基础题．18.【答案】解：（1）公比q大于1的等比数列{a n}中，a2=2且6是a1+3与a3+4的等差中项，可得a1q=2，12=（a1+3）+（a3+4），即有12=（a1+3）+（a1q2+4），解得a1=1，q=2，（q=舍去），则a n=a1q n-1=2n-1，n∈N*；（2）数列{b n}满足b1+2b2+3b3+••+nb n=a n，①可得n=1时，b1=a1=1；由n≥2时，b1+2b2+3b3+••+（n-1）b n-1=a n-1，②①-②可得nb n=a n-a n-1=2n-1-2n-2=2n-2，则b n=，可得b n=，，．【解析】（1）由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得公比q，进而得到所求通项公式；（2）令n=1，可得首项b1，将n换为n-1，相减可得b n，n≥2，即可得到所求通项公式．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式，数列递推式的应用，考查化简运算能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明：连接BC1，∵BB1C1C是菱形，BC1，B1C是菱形的对角线，∴BC1⊥B1C，∵AA1B1B是正方形，∴AB⊥BB1，∵平面AA1B1B⊥平面BB1C1C且平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1，∴AB⊥平面BB1C1C，∵B1C⊂平面BB1C1C，∴AB⊥B1C，又AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1，∴B1C⊥平面ABC1，则B1C⊥AC1；（2）解：连接AB1，取B1C1的中点E，∵四边形AA1B1B是边长为2的正方形，∴，又∵AC1=2，∴△AB1C1是等腰三角形，则AE⊥B1C1，又四边形BB1C1C是以∠BB1C1=60°的菱形，E是B1C1的中点，∴，则∠BEB1=90°，即BE⊥B1C1．∴∠AEB是平面AB1C1与平面BB1C1C所成二面角的平面角，由（1）知AB⊥平面BB1C1C，BE⊂平面BB1C1C，∴AB⊥BE，可得△ABE是直角三角形．∵BE=，AB=2，∴tan∠AEB=．【解析】（1）连接BC1，由已知可得BC1⊥B1C，AB⊥BB1，再由平面AA1B1B⊥平面BB1C1C结合面面垂直的性质得AB⊥平面BB1C1C，则AB⊥B1C，由线面垂直的判定可得B1C⊥平面ABC1，则B1C⊥AC1；（2）连接AB1，取B1C1的中点E，由已知可得∠AEB是平面AB1C1与平面BB1C1C所成二面角的平面角，然后求解三角形可得平面AB1C1与平面BB1C1C所成二面角的正切值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，是中档题．20.【答案】解：（1）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：（19，25），（19，28），（19，32），（19，34），（25，28），（25，32），（25，34），（28，32），（28，34），（32，34），共10个，其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件（19，25），（19，28），（25，28），共3个，∴从郊区的这5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨的概率：P=．（2）设该城市郊区的居民用户数为a，则其城区的居民用户数为3a，依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：=＞80%，故此方案符合国家保“基本”政策．【解析】（1）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，利用列举法求出其年人均用水量构成的所有基本事件和其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件，由此能求出从郊区的这5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨的概率．（2）设该城市郊区的居民用户数为a，则其城区的居民用户数为3a，依题意，求出该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率，从而得到此方案符合国家保“基本”政策．本题主要考查古典概率、茎叶图等知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．21.【答案】解：（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-=[（e-e）+（-）]=[（e-e）（1+）]=，∵x1＜x2，∴e＜e，∴e-e＜0，e+1＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）为R上的增函数．（2）x∈R，∵f（-x）==-=-f（x），∴f（x）是奇函数．又∵f（x）为R上的增函数，∴不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0⇔f（mt2+1）＞f（mt-1），∴mt2+1＞mt-1对任意的t∈R都成立，即mt2-mt+2＞0对任意的t∈R都成立，①m=0时，不等式化为2＞0恒成立，符合题意；②m≠0时，有△ ，即0＜m＜8，综上所述：实数m的取值范围是：[0，8）．【解析】（1）用单调性定义证明即可；（2）先判断函数奇偶性，再利用函数奇偶性和单调性将不等式化为mt2+1＞mt-1，最后对m分两种情况讨论．本题考查了函数的奇偶性和单调性、分类讨论思想，属中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴a2=4b2，则椭圆方程为，即x2+4y2=4b2．设N（x，y），则=，当y=-1时，|NQ|有最大值为，解得b2=1，∴a2=4，椭圆方程是；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x-3），由，整理得（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0．由△=242k4-16（9k2-1）（1+4k2）＞0，得＜，，．∴，，，则，．由点P在椭圆上，得，化简得36k2=t2（1+4k2）①，又由＜，即＜，将x1+x2，x1x2代入得＜，化简得（8k2-1）（16k2+13）＞0，则＞，＞，∴＜＜②，由①，得，联立②，解得3＜t2＜4，∴＜＜或＜＜．【解析】（Ⅰ）由离心率e=及a2=b2+c2可得关于a，b的方程，由此可简化椭圆方程，设N（x，y），则|NQ|可表示为关于y的函数，据此可求得其最大值为4，解得b，进而求得a；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x-3），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，由△＞0得，由韦达定理及可用k、t表示出点P的坐标，代入椭圆方程得36k2=t2（1+4k2）①，由弦长公式及可得，故②，联立①②可求得t的范围；本题考查直线方程、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算，考查学生的运算能力、解决问题的能力，综合性较强．。
广东省东莞市2017-2018学年高二下学期期末考试理科数学试题(A卷)Word版含答案.pdf
（ 2 ） 设 正 项 数 列 an 满 足 a1 1 ， an ln(an 1 1)(n 2) ， 求 证 ：
1 an
3 (n N * ) .
n
n2
22. （本小题满分 12 分）
设 f ( x) ex ax2 ， g( x) kx 1(a R, k R), e 为自然对数的底数 .
D
． 10.5
kl （ k 为弹性系数） 计算 , 且 10N的压力能
使弹簧压缩 10cm；为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置
8cm 处，则克服弹力所
做的功为（
）
A ． 0.28J B.0.12J
C.0.26J D.0.32J
8．若 (3x
1n ) (n
N * ) 的展开式中各项系数的和为
小学
2
7
9
20
12
中学
x
y
18
12
8
（备注：“☆”表示评分等级的星级，如“☆☆☆”表示
3 星级 . ）
（1）从评分等级为 1 星级的学校中随机选取两所学校， 恰有一所学校是中学的概率为 3 ， 5
求整数 x ， y 的值；
（2）规定：评分等级在 4 星级及以上（含 4 星级）为满意，其它星级为不满意．完成下
i1 n
， a? y b?x ， 其中 x ， y 表示样本均值 .
2
2
xi nx
i1
随机变量 K 2
n(ad bc) 2
其中 n a b c d 为样本容量 .
(a b)(c d)(a c)(b d)
P(K 2 k)
0.10
2017-2018年广东省东莞市高二第一学期数学期末试卷(理科A卷)及-解析
y=± x，
双曲线
的 a=2，b=4，
可得渐近线方程为 y=±2x．
故选：A．
3．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，a= ，b= ，B=60°，
那么角 A 等于（ ）
A．30°
B．45°
C．135°或 45° D．135°
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【解答】解：由正弦定理知：
，
∵a= ，b= ，∠B=60°，代入上式，
∴
，故可解得：sinA= ，从而 A=45°或 135°，
∵a＜b， ∴A＜B， ∴A=45°． 故选：B． 4．（5 分）命题“∀n∈N+，f（n）≤n 的否定形式是（ ）
A．∀n∈N+，f（n）∉N+且 f（n）＞n B．∀n∈N+，f（n）∉N+或 f（n）＞n C．∃n0∈N+，f（n0）∉N+且 f（n0）＞n0 D．∃n0∈N+，f（n0）∉N+或 f（n0）＞n0 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N+，f（n）≤n” 的否定形式是：∃n0∈N+，f（n0）∉N+或 f（n0）＞n0 故选：D． 5．（5 分）已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积不为 0 的是（ ）
中项，则 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
【解答】解：∵正项等比数列{an}满足：a5﹣a4﹣2a3=0，4a1 为 am，an 的等比中 项，
∴
，且 q＞0，
解得 q=2，m+n=6，
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∴ =（ ）[
]
= ≥ （5+
2017-2018学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。
在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）1．（5分）若复数z＝i•（1+2i）（i为虚数单位），则|z|的值为（）A．1B．C．2D．52．（5分）数列1，4，10，19，x，46，…中的x的值为（）A．26B．27C．31D．323．（5分）若双曲线mx2﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．4．（5分）已知x和y之间的一组数据如下：根据最小乘法原理得到y与x的线性回归直线＝x+必过点（）A．（2，2）B．（）C．（1，2）D．（）5．（5分）已知△ABC中∠A＝45°，∠B＝75°，AB＝2，则边BC的长为（）A．B．C．D．6．（5分）设实数a＝，b＝﹣1，c＝，则（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜a＜c7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n满足S3＝9，且a1•a5＝6a3﹣9，则数列{a n}的公比q的值为（）A．B．1C．D．1或8．（5分）如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，14，则输出的a为（）A．0B．2C．4D．149．（5分）直线l：y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为3，则|AB|的值为（）A．8B．8C．6D．610．（5分）若等差数列{a n}的前n项和S n＝An2+Bn（A＜0），且S n≤S8，S9＜S7，则使An+B ＞0成立的最大正整数n的值为（）A．13B．14C．15D．14或15 11．（5分）若关于x，y的不等式组表示的区域为三角形，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（1，+∞）12．（5分）若函数f（x）＝x2+（1﹣a﹣lnx）x+b（a，b∈R）在（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则下列说法错误的是（）A．a＞1+ln2B．x1+x2＞1C．x1•x2D．f′（x）在（0，+∞）上有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，