3.2一元二次不等式及其解法第二课时+
b {x|x≠ } 2a
R Φ
Φ
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, 先求方程的根
方程的解2x2－3x－2 =0的解 是 1 x1 , x2 2. 2
所以,原不等式的解集是
然后想像图象形状
1 x | x , 或x 2. 2
1 1 3.当0 a 时， 解集为 x x 6或x 6 a ;
1 1 5.当a 时，解集为 x x 或 x 6 6 a .
变式4解关于x的不等式ax 2(a 1) x 4 0
2
注：
解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨
解析：由题意知2,4是方程ax2＋bx＋c＝0的解，且a<0. ∴
b c 6, 8. a a
即b=-6a, c=8a
∴不等式cx2＋bx＋a<0即为8ax2－6ax＋a<0， ∴8x2－6x＋1>0， 解得x> 或x< .
1 1 解集为 x | x 或x 2 4
变式2解关于x的不等式(ax 1)( x 1) 0
变式3.
ax2 + (6a+1)x + 6 > 0
⑴
1 解集为 : x x 或x 6 a
一、当a=0时， 解集为x | x 6 二、当a≠0时，
因式分解，得 ：ax 1x 6 0
1， x≤ 0 f(x)＝ － x＋ 2， x＞ 0
，则不等式 f(x)≥x2 的
B．[－2,2]
C．[－ 2,1]
D． [－1,2]
(－4,0]
3．f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)<0，则a的取值范围是________．
一元二次不等式的解法 【典例剖析】 已知不等式x2－2x－3<0的解集 ） D．3
y>0
△=0
y
y>0
△<0
y
y>0
的图象
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
x1 O
x2 x
y<0
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx1
x
O 没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b x1=x2= 2a
ax2+bx+c>0 (y>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (y<0)的解集 {x|x1< x <x2 }
1 综上所述，当 a<0 时，不等式的解集为 － ∞， ∪ (1，＋ ∞ )；当 a 1 a＝ 0 时，解集为 (1，＋ ∞)；当 0<a<1 时，解集为 1， ；当 a＝ 1 时， a 1 解集为 ；当 a>1 时，解集为 ， 1. a
解答分类讨论问题的方法和步骤：
• (1)确定讨论对象；
• (2)确定分类标准，进行合理分类，不重不漏；
• (3)对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取 阶段性结果；
二次项系数中含有参数时，参数的符号影响 • (4)归纳总结，综合得出结论． 着不等号的方向．
• 【活学活用】
• 解不等式2x2＋4x＋a>0(a∈R)． • 解：∵Δ＝16－8a， • ①当Δ<0时，即a>2时，解集为R； •
1
1
0 ②当a>0时， a
解集为 : x x 6或x a
∴综上，得
2.当a 0时，解集 为x x 1;
1 4.当a 时，解集 为x x R且x 6; 6
1 1.当a 0时，解集为 x 6 x a ;
为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax ＋b<0的解集为A∩B，则a＋b等于（ A．－3 B．1 C．－1
解析：由题意知 A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}， ∴A∩B＝{x|－1<x<2}， ∴方程 x2＋ax＋b＝0 的两根为－1,2.
－1＋2＝－a， ∴ －1×2＝b. a＝－1， ∴ b＝－2，
－2＋ 4－2a 此时由 2x ＋4x＋a＝0 知 x1＝ ， 2 ②当 Δ＝0时，即a＝2时，解集为 { x|x∈R且
2
③当 Δ>0 时，即 a<2，
－2－ x≠ － 1} x2＝ ；
2
4－2a .
－2＋ 4－2a －2－ 4－2a ∴解集为{x|x> 或 x< }. 2 2
一元二次不等式的综合应用及恒成立问题 【典例剖析】 已知不等式mx2－2x－m＋1＜0. ①若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围； ②设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的
5 5 ∴a≥－ ，故 a 的最小值为－ . 2 2
答案是 C
•
1 设函数 f(x)＝x－ ，对任意 x∈[1，＋∞)， x f(mx)＋mf(x)<0 恒成立，则实数 m 的 取值范围是________．
将恒成立问题转化为最值问题， 通过分离参数来解决．
1 设函数 f(x)＝x－ ，对任意 x∈[1，＋∞)， x f(mx)＋mf(x)<0 恒成立，则实数 m 的 取值范围是________．
注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根
若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
1 则不等式的解集为: x 2 注:开口向上,小于0 2
图象为:
zxxkw
解集是大于小根且 小于大根
-2
3
小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式 其方法步骤是: (1)先求出Δ和相应方程的解， (2)再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。
此不等式组无解。 综上可知不存在 m 使 mx2－ 2x－ m＋1<0 恒成立 .
已知不等式mx2－2x－m＋1＜0.
①若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围； ②设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解析：②设 f(m)＝ (x2－ 1)m＋ (1－ 2x)， 则其为以 m 为自变量的一次函数，其图象是直线， 由题意知该直线当－ 2≤ m≤ 2 时在 x 轴下方， f－ 2＜ 0 － 2x2－ 2x＋ 3＜ 0 ∴ 即 2 f 2＜ 0 2x － 2x－ 1＜ 0 － 1－ 7 － 1＋ 7 解①得 x＜ 或 x＞ ， 2 2 － 1＋ 7 1＋ 3 由上式求交集得 ＜ x＜ . 2 2 － 1＋ 7 1＋ 3 ∴ x 的取值范围为 {x| ＜ x＜ } 2 2 1－ 3 1＋ 3 解②得 ＜ x＜ . 2 2
1 2
1 4
含参数的一元二次不等式的解法
【典例剖析】
解关于 x 的不等式 ax －(a＋1)x＋1<0.
2
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
解：①当 a＝ 0 时，不等式的解集为 {x|x>1}； 1 ②当 a≠ 0 时，不等式化为 ax－ (x－ 1)<0. a 1 (ⅰ )当 a<0 时，原不等式等价于 x－ (x－ 1)>0，不等式的 a 1 解集为 { x|x>1 或 x< }； a 1 1 (ⅱ )当 0<a<1 时， 1< ，不等式的解集为 { x|1<x< }； a a 1 1 (ⅲ )当 a>1 时， <1，不等式的解集为 { x| <x<1}； a a (ⅳ )当 a＝ 1 时，不等式的解集为 ；
∴a＋b＝－3.
答案：A
• (1)解一元二次不等式时应根据二次不等式 与二次函数、二次方程间的联系，结合图 象求解． • (2)左边能分解因式的一元二次不等式，可 结合韦达定理确定各次项系数。
【活学活用】
• 1.已知不等式ax2＋bx＋c> 0的解集为 {x|2<x<4}，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集 为________．
1 1 当 6, 即a 时 a 6
1 ⑵ 当 6, 即a 时 方程ax 1 x 6 0的两 根 为 ,6 a 6 a 1 解集为 : x x R或x 6 ①当a<0时， 0, a 1 1 1 ⑶ 当 6, 即0 a 时 解集为 x 6 x a 6 a 1 1
【活学活用】 若不等式 x ＋ ax＋ 1≥ 0 对一切 小值为 ( )
2
1 x∈0， 都成立， 则 2
a 的最
5 A．0 B．－ 2 C．－ D．－ 3 2 1 1 解析：由已知得 a≥－x－ 在 x∈0， 上恒成立， x 2
而当
1 1 5 x∈0， 时，－x－ max＝－ . 2 x 2
取值范围．
已知不等式mx2－2x－m＋1＜0.
①若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围； ②设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
①当 m＝ 0 时，原不等式为－2x－ 1<0，不恒成立． 当
m＜ 0 m≠ 0 时，由不等式恒成立，得 Δ＝ 4－ 4m 1－ m＜ 0
②当－3a =－2a 即a =0时， 原不等式为 x2>0
解集为：{x︱x∈R且x≠0}； ③当－3a <－2a 即a >0时， 解集为：{x︱x> －2a 或 x< －3a}. 综上： 当a <0时，解集为：{x︱x> －3a或x< －2a}; 当a =0时，解集为： {x︱x∈R且x≠0}; 当a >0时，解集为：{x︱x> －2a或x< －3a}.
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高中数学 第三章 3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时 一元二次不等式的应用课件 新人教A版必修5
6 ∴只需 m<7即可．
本例中，是否存在实数m，使f(x)≥0恒成立？ 解：假设存在实数m，使f(x)≥0恒成立．
∵f(x)＝mx2－mx－1，且 f(x)≥0 恒成立，
m>0， ∴ Δ≤0. m>0， 即 2 m ＋4m≤0， m>0， ∴ －4≤m≤0，
1 －3＋2 b 1 1 5 －c＝ c ＝ 1 ＝ 1 ＋2＝－2， －3×2 －3 a 1 ∴x1＝ 1 ＝－3，x2＝2， －3 ∴不等式 cx2＋bx＋a<0(c>0)的解集为 1 {x|－3<x<2}. 1
b －a
[研一题]
[例2] (2011· 抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
b 5 ∴a＝－3. c 2 又a＝－3， 5 2 ∴b＝－3a，c＝－3a. 2 2 5 ∴不等式变为(－3a)x ＋(－3a)x＋a<0，
即 2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 1 所求不等式的解集为{x|－3<x<2}．
1 b 1 c 法二： 由已知得 a<0 且(－3)＋2＝－a， (－3)×2＝a知 c>0， 设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1，x2， b a 则 x1＋x2＝－ c，x1· x2＝ c， a 其中 c＝ 1 3 ＝－2， 1 －3×2
1 2 1 所以不等式 qx ＋px＋1>0 即为－6x ＋6x＋1>0，整理
2
得 x2－x－6<0，解得－2<x<3. 即不等式 qx2＋px＋1>0 的解集为{x|－2<x<3}．
[悟一法]
求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx
高中数学3.2第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)课件新人教A版必修5
第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)
1．如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方 程之间的关系？
略 2．判别式 Δ 的值对一元二次不等式的解集有何影响？ 略
简单的分式不等式
[例 1] 解下列不等式： (1)x1＋－2x<0；(2)xx＋－12≤2. [解] (1)由x1＋－)(x－1)>0， ∴原不等式的解集为{x|x<－2 或 x>1}．
不等式中的恒成立问题 [例 2] 关于 x 的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1 对 x∈R 恒成
立，求实数 m 的取值范围． [解] 原不等式等价于 mx2＋mx＋m－1＜0， 对 x∈R 恒成立， 当 m＝0 时，0·x2＋0·x－1＜0 对 x∈R 恒成立． 当 m≠0 时，由题意，得
1．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝xx－x 2
≤0，则 A∩B
等于
()
A．{x|－1≤x＜0}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
答案：B
(1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2%， 试确定 x 的取值范围．
5.探究不等式恒成立的问题
[典例] 已知 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对一切 x∈R，f(x) ＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
[随堂即时演练]
m＜0， Δ＝m2－4mm－1＜0
⇔m3m＜2－0，4m＞0
m＜0， ⇔m＜0，或m＞43
⇔m＜0. 综上，m 的取值范围为 m≤0.
1．如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方 程之间的关系？
略 2．判别式 Δ 的值对一元二次不等式的解集有何影响？ 略
简单的分式不等式
[例 1] 解下列不等式： (1)x1＋－2x<0；(2)xx＋－12≤2. [解] (1)由x1＋－)(x－1)>0， ∴原不等式的解集为{x|x<－2 或 x>1}．
不等式中的恒成立问题 [例 2] 关于 x 的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1 对 x∈R 恒成
立，求实数 m 的取值范围． [解] 原不等式等价于 mx2＋mx＋m－1＜0， 对 x∈R 恒成立， 当 m＝0 时，0·x2＋0·x－1＜0 对 x∈R 恒成立． 当 m≠0 时，由题意，得
1．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝xx－x 2
≤0，则 A∩B
等于
()
A．{x|－1≤x＜0}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
答案：B
(1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2%， 试确定 x 的取值范围．
5.探究不等式恒成立的问题
[典例] 已知 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对一切 x∈R，f(x) ＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
[随堂即时演练]
m＜0， Δ＝m2－4mm－1＜0
⇔m3m＜2－0，4m＞0
m＜0， ⇔m＜0，或m＞43
⇔m＜0. 综上，m 的取值范围为 m≤0.
第1篇 第3章 3.2 第2课时
第三章 不等式
创新大课堂
经典题型· 讲方法
高分突破· 提能力
课时作业
由图象可知，此时 a
f－3＜0， 应该满足 f1＜0，
25 a＞ 6 ， 25－6a＜0， 即 解得 1＋2a＜0， a＜－1， 2 这样的实数 a 是不存在的，所以不存在实数 a 满足：对任 意 x∈[－3,1]，f(x)＜0 恒成立．
课时作业
一元二次方程根的分布与二次函数之间的关
[例 2] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2mx＋2m＋1＝0.若 方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内， 求 m 的取值范围．
思路分析：根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的 图象(画出草图)，求出 m 的取值范围．
课时作业
解：原函数可化为 g(a)＝2xa＋x2－4x＋4，是关于 a 的一元 一次函数． 要 使 对 任 意 a ∈ [ － 3,1] ， y ＜ 0 恒 成 立 ， 只 需 满 足
g1＜0， g－3＜0，
2 x －2x＋4＜0， 即 2 x －10x＋4＜0.
第三章 不等式
创新大课堂
x＋1 (2)法一：移项得 －2≤0， x－2
经典题型· 讲方法
高分突破· 提能力
课时作业
－x＋5 x－5 左边通分并化简有 ≤0，即 ≥0， x－2 x－2
x－2x－5≥0， 它的同解不等式为 x－2≠0，
∴x＜2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．
解：令 f(x)＝x2－2tx＋t2－1. ∵x2－2tx＋t2－1＝0 的两实根介于(－2,4)之间，
2 2 Δ ＝ － 2 t － 4 t －1≥0， －2＜t＜4， ∴ f－2＞0， f4＞0，
3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 课件
第八页，编辑于星期日：一点 四十七分。
第三章 不等式
解析：由题设条件知： ①Δa－＝2[2<0a，－2]2－4a－2×－4<0. ∴a－<22<，a<2. ∴－2<a<2. ②当a－2＝0时，原不等式恒成立．∴a＝2. 综合①②可得a的取值范围为：(－2,2]．故选A.
答案：A
人 教 A 版 ·数
[解] 因为A∩B＝A，所以A⊆B.
B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}．
因为x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a2)(x－a)<0，
所以x介于a与a2之间．
当a<a2，即a>1或a<0时，A＝{x|a<x<a2}．
若A⊆B，则需满足
如图1所示，
人 教 A 版 ·数
第二十七页，编辑于星期日：一点 四十七分。
C．(13)x＋1>0
D.1x－2<1x
()
人 教 A 版 ·数
第五页，编辑于星期日：一点 四十Байду номын сангаас分。
第三章 不等式
解析：∵x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，∴A不正确； ∵ x2＝|x|≥0，∴B不正确； ∵(13)x>0，∴(13)x＋1>1>0(x∈R)，故C正确 ； 1x－2<1x⇒x>0或x<0，∴D不正确，故选C. 答案：C
∴x<3或x>4.故选B.
答案：B
人 教 A 版 ·数
第七页，编辑于星期日：一点 四十七分。
第三章 不等式
3．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解为一切实数，
则a的取值范围为
高一数学一元二次不等式及其解法2
新知探究
例3、某摩托车生产企业，上年度投
入的成本为1万元/辆，出厂价为1.2 万元/辆，年销售量为1000辆.本年度 为适应市场需要，计划提高产品档次. 若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比 例为0.75x，同时预计销售量增加的 比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－ 投入成本)×年销售量.
高一数学必修5第三章《不等式》 3.2 一元二次不等式及其解法 第二课时
新知探究
例1、某同学要把自己的计算机接入 因特网，现有甲、乙两家公司可供选 择.甲公司每小时收费1.5元(不足1小 时按1小时计算)；乙公司的收费原则 为:上网的第一小时内(含1小时，下 同)收费1.7元，第二小时内收费1.6 元，以后每小时减少0.1元(若用户一 次上网超过17小时，按17小时计算).
2
新知探究
2.如何根据上网时间选择到甲、乙两 家公司上网？
35 x x 2 1.5 x x 5 x 0 0 x 5 20 答：一次上网时间在5小时以内，去甲公 司上网；超过5小时，去乙公司上 网； 恰好5小时，去两家公司均可.
2
典例讲评
例2 在一个限速40km/h的弯道上，甲、 乙两汽车相向而行，发现情况不对同时 刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲 车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距 离略超过10m，已知甲、乙两种车型的刹 车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如 下关系： ＝0.05x＋ S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙 0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？ 乙超速行驶应负主要责任.
课堂练习
2. 某台风中心从A处以20km/h的速 度向东北方向移动，离台风中心 30km以内(含30km)的地区为危险区. 城市B在A处的正东方向40km处，那 么城市B处于台风危险区内的持续时 间是几小时？ C 持续时间是1小不等式的应用性问 题，关键在于构造一元二次不等式 模型.其基本思路是：将题中的某个 主变量设为x→用x表示其他相关变 量→根据题中的不等关系列出不等 式→解不等式得结论.
高中数学《一元二次不等式及其解法习题课》课件
(1)求矩形 ABCD 的面积 S 关于 x 的函数解析式；
(2)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米，则
AB 的长度应在什么范围内？
30
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解
(1)根据题意，得△NDC
与△NAM
相似，所以DC＝ AM
ND，即 x ＝20－AD，解得 NA 30 20
∵x∈[－2,2]，x－212＋34max＝7，
∴x2－6x＋1min＝67，∴m<67.
25
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升
有关不等式恒成立问题的等价转化方式
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)
的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
23
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
(2)将 f(x)<－m＋5 变换成关于 m 的不等式：m(x2－x＋ 1)－6<0.则命题等价于：m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1) －6<0 恒成立．
∵x2－x＋1>0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增． ∴只要 g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，即 x2－x－2<0， ∴－1<x<2.∴x 的取值范围为－1<x<2.
①式的解集为 x≤－2 或 0≤x≤3.由②式知 x≠3， ∴原不等式的解集为{x|x≤－2 或 0≤x<3}．
18
课前自主预习
课堂互动探究
3.2一元二次不等式及其解法第二课时》1
第5页，共24页。
题型一 分式不等式及高次不等式的解法
【例1】 解下列不等式： (1)xx－＋32<0； (2)2xx＋－13≤1； 2x＋1 (3) 1－x <0.
第6页，共24页。
解 (1)xx－ ＋32<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)∵2xx＋－13≤1，∴2xx＋－13－1≤0， ∴－2xx－＋34≤0，即xx－ －234≥0. 此不等式等价于(x－4)x－32≥0 且 x－32≠0， 解得 x<23或 x≥4.
第11页，共24页。
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得 m<6， ∴m<0. 综上所述：m<67. 法二 当 x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5 恒成立， 即当 x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立． ∵x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又 m(x2－x＋1)－6<0，∴m<x2－6x＋1.
第18页，共24页。
y＝2 400m(1＋2x%)(8－x)% ＝－1225m(x2＋42x－400)(0<x≤8)， 所以y≥2 400m×8%×78%， 即－44≤x≤2. 又0<x≤8，所以0<x≤2. 所以x的取值范围是0<x≤2.
第19页，共24页。
方法技巧 转化与化归思想在不等式中的应用
第21页，共24页。
【变式1】 解下列不等式． (1)23xx－＋11≥0；
2－x (2)x＋3>1. 解 (1)原不等式可化为2x－13x＋1≥0，
3x＋1≠0.
解得x≤－13或x≥12， x≠－13.
题型一 分式不等式及高次不等式的解法
【例1】 解下列不等式： (1)xx－＋32<0； (2)2xx＋－13≤1； 2x＋1 (3) 1－x <0.
第6页，共24页。
解 (1)xx－ ＋32<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)∵2xx＋－13≤1，∴2xx＋－13－1≤0， ∴－2xx－＋34≤0，即xx－ －234≥0. 此不等式等价于(x－4)x－32≥0 且 x－32≠0， 解得 x<23或 x≥4.
第11页，共24页。
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得 m<6， ∴m<0. 综上所述：m<67. 法二 当 x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5 恒成立， 即当 x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立． ∵x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又 m(x2－x＋1)－6<0，∴m<x2－6x＋1.
第18页，共24页。
y＝2 400m(1＋2x%)(8－x)% ＝－1225m(x2＋42x－400)(0<x≤8)， 所以y≥2 400m×8%×78%， 即－44≤x≤2. 又0<x≤8，所以0<x≤2. 所以x的取值范围是0<x≤2.
第19页，共24页。
方法技巧 转化与化归思想在不等式中的应用
第21页，共24页。
【变式1】 解下列不等式． (1)23xx－＋11≥0；
2－x (2)x＋3>1. 解 (1)原不等式可化为2x－13x＋1≥0，
3x＋1≠0.
解得x≤－13或x≥12， x≠－13.
高中数学 3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)课件 新人教A版必修5
解：原不等式可化为：2x2 x 3 0
因为 2x2 x 3 0
的两根分别为：x1
1, x2
3 2
所以原不等式的解集为
x
x
1或x
3
2
题型2.已知解集，求参数的取值或取值范围
_______ 例题.关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的
解集为 x1 x 2 ,则 a b
即：转化——求根——画图——找解。
[典型例题] 题型1. 一元二次不等式的解法
例题：3x2 7x 10
练习：(1) 2x2 4x 4 0
(2) 2x2 x 3
[典型例题] 题型1. 一元二次不等式的解法
例题： 3x2 7x 10
解：原不等式可化为：3x2 7x 10 0
无实根 R
知识回顾：2.解一元二次不等式的基本步骤:
(1)化不等式为标准形式: ax2 bx c 0(a 0)
或ax2 bx c （0 a 0)
(2)求方程ax2 bx c 0a 0的根;
(3)画出对应函数 y ax2 bx c(a 0)的图象;
(4)由图象得出不等式的解集.
2、解一元二次不等式的一般步骤； 3、一元二次不等式的解与一元二次方程的 根的关系的应用；
4、与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法。
课后思考与作业：
1.必做题
2解（.选下1做）列题不x等2式：3x 4 0（2） x2 2x 3
（3.创1）做若题函数 y mx2 对一4x切1 都有意义x ，求R
因为 3x2 7x 10 0
的两根分别为：
x1
1, x2
10 3
所以原不等式的解集为x
1
x
10
因为 2x2 x 3 0
的两根分别为：x1
1, x2
3 2
所以原不等式的解集为
x
x
1或x
3
2
题型2.已知解集，求参数的取值或取值范围
_______ 例题.关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的
解集为 x1 x 2 ,则 a b
即：转化——求根——画图——找解。
[典型例题] 题型1. 一元二次不等式的解法
例题：3x2 7x 10
练习：(1) 2x2 4x 4 0
(2) 2x2 x 3
[典型例题] 题型1. 一元二次不等式的解法
例题： 3x2 7x 10
解：原不等式可化为：3x2 7x 10 0
无实根 R
知识回顾：2.解一元二次不等式的基本步骤:
(1)化不等式为标准形式: ax2 bx c 0(a 0)
或ax2 bx c （0 a 0)
(2)求方程ax2 bx c 0a 0的根;
(3)画出对应函数 y ax2 bx c(a 0)的图象;
(4)由图象得出不等式的解集.
2、解一元二次不等式的一般步骤； 3、一元二次不等式的解与一元二次方程的 根的关系的应用；
4、与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法。
课后思考与作业：
1.必做题
2解（.选下1做）列题不x等2式：3x 4 0（2） x2 2x 3
（3.创1）做若题函数 y mx2 对一4x切1 都有意义x ，求R
因为 3x2 7x 10 0
的两根分别为：
x1
1, x2
10 3
所以原不等式的解集为x
1
x
10
《3.2.2一元二次不等式及其解法2》课件
2
能力训练：
2
CR M x | x 8 , 求M N 、M பைடு நூலகம் N RN
2.已知不等式ax 3 x 6 4的解集为
2
x | x 1或x b , 求a ,b的值 .
3.若关于x的不等式ax bx c 0的解集是
2
2 3 , 求cx 11 xx x |
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一元二次不等式的解法
课堂练习，解下列不等式：
1. x 1 x 2 0
2.(3x 1)( x 1) 0
3.2 x x 1 0
2
4. x x 2 0
2
5.x 3 x 1 0
2
6x 3x 5 0
2
7.x 6 x 9 0
3.解关于x的不等式(ax 3)( x 1) 0
作业： 1.解关于x的不等式x ax 1 0
2
2. 解不等式 2 若关于 x的不等式ax bx 1 0的解集
2
是
2 2 x |x 1 x 1) ＞ 3x ,求圆 x 4(2 x－ 2或 x＋ (4－x ).
( y 10) 1
2
上的点到点 a , b 的距离的最大值.
2
解一元二次不等式，首先化二次项系数 为正，然后求根，最后利用
大于 , 两根之外 小于 , 两根之间
这个规律写出解集
注意特殊情况：如果不等式所对应的方程 无根或者只有1个根的时候，要画图，根据 图像得出解集. 0或 0
能力训练：
2
CR M x | x 8 , 求M N 、M பைடு நூலகம் N RN
2.已知不等式ax 3 x 6 4的解集为
2
x | x 1或x b , 求a ,b的值 .
3.若关于x的不等式ax bx c 0的解集是
2
2 3 , 求cx 11 xx x |
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一元二次不等式的解法
课堂练习，解下列不等式：
1. x 1 x 2 0
2.(3x 1)( x 1) 0
3.2 x x 1 0
2
4. x x 2 0
2
5.x 3 x 1 0
2
6x 3x 5 0
2
7.x 6 x 9 0
3.解关于x的不等式(ax 3)( x 1) 0
作业： 1.解关于x的不等式x ax 1 0
2
2. 解不等式 2 若关于 x的不等式ax bx 1 0的解集
2
是
2 2 x |x 1 x 1) ＞ 3x ,求圆 x 4(2 x－ 2或 x＋ (4－x ).
( y 10) 1
2
上的点到点 a , b 的距离的最大值.
2
解一元二次不等式，首先化二次项系数 为正，然后求根，最后利用
大于 , 两根之外 小于 , 两根之间
这个规律写出解集
注意特殊情况：如果不等式所对应的方程 无根或者只有1个根的时候，要画图，根据 图像得出解集. 0或 0
高中数学第三章不等式32一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的解法的应用课件新人教A版必修
2．含参数一元二次不等式有解的讨论方法 (1)当二次项系数不确定时，要分二次项系数_等__于__零_、 _大__于__零___、_小__于__零___三种情况进行讨论． (2)判别式不确定时，要分判别式大于零、等于零、小 于零三种情况进行讨论． (3)判别式大于零时，只需讨论两根大小．
1．若集合
它的同解不等式为xx－－22≠x0－，5≥0， ∴x＜2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．
【方法规律】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转 化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母 不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后 再用上述方法求解．
【答案】B
3．不等式x＋x 1≤3 的解集为________． 【答案】x|x＜0或x≥12
4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的 取值范围为________．
【答案】(－1,0) 【解析】已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意 x∈R恒成立，∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0，解得－1＜a＜0.
y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝215a(50＋x)(10－x)(0＜x＜10)． (2)原计划税收为 200a·10%＝20a(万元)．依题意得215a(50
＋ x)(10 － x)≥20a×83.2% ， 化 简 得 x2 ＋ 40x － 84≤0 ， ∴ － 42≤x≤2.又 0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x 的取值范围是{x|0＜ x≤2}．
)
A．x|1t ＜x＜t
B．x|x＞1t 或x＜t
C．x|x＜1t 或x＞t
D．x|t＜x＜1t