《二次函数的应用1》教案

《二次函数的应用》教案

教学目标

(一)教学知识点

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

(二)能力训练要求

1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．

2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．

(三)情感与价值观要求

1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．

2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．

3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．

教学重点

1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．

2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．

教学难点

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求函数的最大值，实际上就是用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．

本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．

Ⅱ．新课讲解

一、例题讲解

如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边

上.

(1)设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示？

(2)设长方形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

[师]分析：(1)要求AD 边的长度，即求BC 边的长度，而BC 是△EBC 中的一边，因此可以用三角形相似求出BC ．由△EBC ∽△EAF ，得AF BC EA EB =即30

4040BC x =-．所以AD ＝B C ＝4

3(40－x )． (2)要求面积y 的最大值，即求函数y ＝AB ·AD ＝x ·4

3(40－x )的最大值，就转化为数学问题了．

下面请大家讨论写出步骤．

[生](1)∵BC ∥AD ，

∴△EBC ∽△EAF ．∴AF

BC EA EB =． 又AB ＝x ，BE ＝40－x ， ∴304040BC x =-．∴BC ＝4

3(40－x )． ∴AD ＝BC ＝43(40－x )＝30－4

3x ． (2)y ＝AB ·AD ＝x (30－

43x )＝－43x 2＋30x ＝－4

3(x 2－40x ＋400－400) ＝－4

3(x 2－40x ＋400)＋300 ＝－

43(x －20)2＋300． 当x ＝20时，y 最大＝300．

即当x 取20m 时，y 的值最大，最大值是300m 2．

[师]很好．刚才我们先进行了分析，要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x 的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗？

[生]不很难．

[师]下面我们换一个条件，看看大家能否解决．设AD 边的长为x m ，则问题会怎样呢？与同伴交流．

[生]要求面积需求AB 的边长，而AB ＝DC ，所以需要求DC 的长度，而DC 是△FDC 中的一边，所以可以利用三角形相似来求．

解：∵DC ∥AB ，

∴△FDC ∽△F AE ． ∴FA

FD AE DC =． ∵AD ＝x ，FD ＝30－x ． ∴30

3040x DC -=． ∴DC ＝3

4(30－x )． ∴AB ＝DC ＝3

4(30－x )． y ＝AB ·AD ＝x ·

34(30－x ) ＝－3

4x 2＋40x ＝－3

4(x 2－30x ＋225－225) ＝－

34(x －15)2＋300． 当x ＝15时，y 最大＝300．

即当AD 的长为15m 时，长方形的面积最大，最大面积是300m 2．

二、做一做

某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m )？此时，窗户的面积是多少？

[师]通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗？

[生]可以．

分析：x 为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x 与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy ＋2

πx 2最大，而由于4y ＋4x ＋3x ＋πx ＝7x ＋4y ＋πx ＝15，所以y ＝

4715x x π--．面积S ＝21πx 2＋2xy ＝21πx 2＋2x ·4715x x π--＝21πx 2＋2

715)x x (x π--＝－3.5x 2＋7.5x ，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可． 解：∵7x ＋4y ＋πx ＝15，

∴y ＝4

715x x π--． 设窗户的面积是S (m 2)，则

S ＝2

1πx 2＋2xy ＝21πx 2＋2x ·4

715x x π-- ＝21πx 2＋2

715)x x (x π-- ＝－3.5x 2＋7.5x ＝－3.5(x 2－

715x ) ＝－3.5(x －1415)2＋392

1575． ∴当x ＝14

15≈1.07时， S 最大＝392

1575≈4.02． 即当x ≈1.07m 时，S 最大≈4.02m 2，此时，窗户通过的光线最多．