《二次函数的应用1》教案

《二次函数的应用》教案
教学目标
(一)教学知识点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
(二)能力训练要求
1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求函数的最大值，实际上就是用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．
Ⅱ．新课讲解
一、例题讲解
如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边
上.
(1)设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
[师]分析：(1)要求AD 边的长度，即求BC 边的长度，而BC 是△EBC 中的一边，因此可以用三角形相似求出BC ．由△EBC ∽△EAF ，得AF BC EA EB =即30
4040BC x =-．所以AD ＝B C ＝4
3(40－x )． (2)要求面积y 的最大值，即求函数y ＝AB ·AD ＝x ·4
3(40－x )的最大值，就转化为数学问题了．
下面请大家讨论写出步骤．
[生](1)∵BC ∥AD ，
∴△EBC ∽△EAF ．∴AF
BC EA EB =． 又AB ＝x ，BE ＝40－x ， ∴304040BC x =-．∴BC ＝4
3(40－x )． ∴AD ＝BC ＝43(40－x )＝30－4
3x ． (2)y ＝AB ·AD ＝x (30－
43x )＝－43x 2＋30x ＝－4
3(x 2－40x ＋400－400) ＝－4
3(x 2－40x ＋400)＋300 ＝－
43(x －20)2＋300． 当x ＝20时，y 最大＝300．
即当x 取20m 时，y 的值最大，最大值是300m 2．
[师]很好．刚才我们先进行了分析，要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x 的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗？
[生]不很难．
[师]下面我们换一个条件，看看大家能否解决．设AD 边的长为x m ，则问题会怎样呢？与同伴交流．
[生]要求面积需求AB 的边长，而AB ＝DC ，所以需要求DC 的长度，而DC 是△FDC 中的一边，所以可以利用三角形相似来求．
解：∵DC ∥AB ，
∴△FDC ∽△F AE ． ∴FA
FD AE DC =． ∵AD ＝x ，FD ＝30－x ． ∴30
3040x DC -=． ∴DC ＝3
4(30－x )． ∴AB ＝DC ＝3
4(30－x )． y ＝AB ·AD ＝x ·
34(30－x ) ＝－3
4x 2＋40x ＝－3
4(x 2－30x ＋225－225) ＝－
34(x －15)2＋300． 当x ＝15时，y 最大＝300．
即当AD 的长为15m 时，长方形的面积最大，最大面积是300m 2．
二、做一做
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m )？此时，窗户的面积是多少？
[师]通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗？
[生]可以．
分析：x 为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x 与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy ＋2
πx 2最大，而由于4y ＋4x ＋3x ＋πx ＝7x ＋4y ＋πx ＝15，所以y ＝
4715x x π--．面积S ＝21πx 2＋2xy ＝21πx 2＋2x ·4715x x π--＝21πx 2＋2
715)x x (x π--＝－3.5x 2＋7.5x ，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可． 解：∵7x ＋4y ＋πx ＝15，
∴y ＝4
715x x π--． 设窗户的面积是S (m 2)，则
S ＝2
1πx 2＋2xy ＝21πx 2＋2x ·4
715x x π-- ＝21πx 2＋2
715)x x (x π-- ＝－3.5x 2＋7.5x ＝－3.5(x 2－
715x ) ＝－3.5(x －1415)2＋392
1575． ∴当x ＝14
15≈1.07时， S 最大＝392
1575≈4.02． 即当x ≈1.07m 时，S 最大≈4.02m 2，此时，窗户通过的光线最多．
[师]大家做得非常棒．
三、议一议
[师]我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．[生]首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题．
[师]看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题，基本思想如下：
解决此类问题的基本思路是
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等.
在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的．
Ⅲ．课堂练习
1．一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？
解：设AB长为x m，则BC长为(116－2x)m，长方形面积为S m2，根据题意得
S＝x(116－2x)＝－2x2＋116x＝－2(x2－58x＋292－292)＝－2(x－29)2＋1682．
当x＝29时，S有最大值1682，这时116－2x＝58．
即设计成长为58m，宽为29m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682m2．
Ⅳ．课时小结
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．。