高中数学 2.3双曲线的简单几何性质课件 新人教B版选修2-1
y x 1 8 8 4.若双曲线的离心率为22
例4 点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定直
线l:x 解： 根据题意得 化简，得
5 16 的距离的比等于常数 4 ，求M点的轨迹. 5
( x 5) 2 y 2 5 16 4 | x| 5
A1
o
x
b x2 y2 ⑴双曲线 2 2 1 (a 0, b 0) 的渐近线为 y x a a b y
4、渐近线
如何记忆双曲线的渐近线方程？
2 2
注: 等轴双曲线 x y m(m 0) 的渐近线为 y x A1
(2)利用渐近线可以较准确的画出 双曲线的草图
思考：对于双曲线
y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
的渐
近线有怎样的结论呢？
练习、求下列双曲线的渐近线方程 2x±3y=0 (1)4x2－9y2=36, (2)25x2－4y2=-100.
5x±2y=0
⑵ e 的范围: c>a>0 e >1 ⑶ e 的含义: 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度.
2 b 等于常数_____. 2 a
反过来,满足这一条件的点在椭圆上.
x2 y2 2. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 2 1 上的任意一点，实轴两端点为 a b A1 (a,0) 、 A2 (a,0) ，则两直线 PA1 、 PA2 的斜率之积 kPA1 kPA2 等
b 于常数_____. a
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
9 4
16 4
2 x 法二:巧设方程,运用待定系数法. (2) 12 法二可能会比法一简洁, x2 (3) b 18 渐近线方程为 y x 的双曲线的方程可写成
a x2 y2 2 ( 0) 的形式. 2 a b
y2 1 8 y2 1 8
2、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
3、顶点
（1）令y=0，得x=±a,则双曲线与x轴的两个交点为 A1(-a,0),A2(a,0)，我们把这两个点叫双曲线的顶点; 令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根，说明双曲线与y 轴没有交点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上。
解：如图，建立直角坐标系xOy,使 小圆的直径AA1在x轴上，圆心与原 点重合。这时，上下口的直径 CC1,BB1都平行于x轴，且︱CC1︱ =13×2, ︱BB1 ︱＝25×2 x2 y 2 设双曲线的方程为 2 2 1(a 0, b 0), a b 令点C的坐标为 (13, y),则点B的坐标为 (25, y 55).
解：把方程化为标准方程
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
y2 x2 1 16 9
c 5 焦点坐标为（0，-5）、（0，5） 离心率e a 4 4 渐进线方程为y x 3
例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分 绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m, 上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适 当的坐标系，求出此 双曲线的方程(精确到1m).
2
2
反过来,满足这一条件的点在双曲线上.
b 3.渐近线方程为 y x 的双曲线的方程可写成 a x2 y2 2 ( 0) 的形式. 2 a b
y2 x2 2 1 (a 0 ,b 0 ) 2 a b
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，-a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.
另外
c ⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e ,叫做双曲线的离心率 . a
5、离心率
b b ∴当 e (1, ) 时, (0, ) ,且 e 增大, 也增大. a a
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 （4）等轴双曲线的离心率e= ? 2 , 反过来也成立.
c、 e 四个参数中,知二求二. ⑸在 a 、b 、 c 2 2 2 e , a b c ∵ a
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y 1 (a 0, b 0) 2 2 a b
2
2
x ≥ a 或 x ≤ a，y R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
y ≥ a 或 y ≤ a，x R
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16 2 2 x y 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 16 4 2 9 1 3 渐近线方程为：y x且过点 ， 2 2 x y 3 2 (1) 1
补充:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原
双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
Y
F1
B2
X
A2
F’1
A1
o
B1
F’2
问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？
F2
双曲线方程
焦 点 在 x 轴
252 ( y 55)2 － 1 (1) 2 2 12 b , 2 2 13 y 1. (2) 2 2 12 b
y
C1
A1 B1
13
O 12 25
C A x B
化简得 19b2 275b 18150 0 (3)
用计算器解方程(3)，得b≈25
x2 y2 所以，所求双曲线的方程为 1 144 625
x y 2 1 2 a b
b y x a
2
2
焦 点 在 y 轴
y x 2 1 2 a b
a y x b
2
2
范围
x-a或xa
y-a或ya
渐近线
对称性 顶点 离心率
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
(±a,0) (0,±a)
c e ,e 1 a
结论:
x2 y2 1. P( x0 , y0 ) 是椭圆 2 2 1 上的任意一点，长轴两端点为 a b A1 (a,0) 、 A2 (a,0) ，则两直线 PA1 、 PA2 的斜率之积 kPA1 kPA2
b
B2
o
A2
a
x
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响
b y x a
b y x a
双曲线上的点与这两 直线有什么位置关系呢?
双曲线的渐近线方程
对于双曲线
x2 y2 2 1(a 0, b 0 ) ，把方程右边的 2 a b
“1”换成“0”，得双曲线渐近线方程为
x2 y2 x y b 2 0或 0或y x. 2 a b a b a
4 的直线与双曲线交于A、B两点，则|AB|= 192 . 7
8 3 3
3.双曲线的两条渐进线方程为
x 2 y 0 ，且截直线
x y 3 0 所得弦长为
x y 2 1 (B) (A) 2
2
则该双曲线的方程为（D）
2 2 2 y x 2 x 1 (C) x 2 y 1 (D) y2 1 4 4 2
（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,
a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长
y
为2b,b叫做双曲线的虚半轴长. （3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线。 x 2 y 2 m ( m 0)
x轴, y轴叫做y 的渐进线. x
B2
A2 1 思考：y 的图像是什么？ 图像无限靠近x轴和y轴 x 1 B1
练习:
1.求与椭圆
x y x 3y 0 的双曲线方程。 6 2 1
2. 过点（1，2），且渐近线为
2
x2 y2 有共同焦点，渐近线方程 1 为 16 8 2 2
16 y 9 x 的双曲线方程是________.
P( 1,－3 ) 且离心率为
3 y x 4 2
55
3.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点
例3
x y 求与椭圆 1有公共焦点，且离心率 49 24
得c 5
2
2
5 e 的双曲线方程。 4 解：由c 2 49 24 25
焦点为（ ± 5， 0）， 由 5 5 . a 4
求得a 4, b 2 25 16 9,
x2 y2 1. 可得 16 9
双曲线的简单几何性质
x2 y2 一、研究双曲线 a 2 b2 1(a 0, b 0)
的简单几何性质
y (x,y) o a (x,-y)
x2 2 2 2 ≥ 1, 即x ≥ a a x ≥ a, x ≤ a
1、范围
(-x,y) -a
x
x2 y2 另外 , 2 2 0 可知并夹在两 (-x,-y) a b 相交直线之间.(如图)
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高中数学新课标选修2课件2.3.1双曲线及其标准方程
2．3.1 双曲线及其标准方程
知识导图
学法指导
1.在学习双曲线时，要注意定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|” 这一限制条件的几何意义．
2．焦点 F1，F2 的位置是双曲线的定位条件，它决定着双曲线标 准方程的形式；参数 a，b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定 形条件．
3．学习双曲线时要注意与椭圆的定义及其标准方程进行对比，有 比较才能鉴别，也能更深刻地记忆．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
焦点 a，b，c 的关系
_ax_22_－__by_22_＝__1_(a_＞__0_，__b_＞__0_) __ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_＞__0_，__b_＞__0)
(－__c_,_0_)，__(_c_,0_)__
∠F1PF2 ＝
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
方法归纳
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 S△PF1F2＝21×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：利用公式 S△PF1F2＝21×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标) 求得面积． 提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条 件||PF1|－|PF2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2 与|PF1|·|PF2| 的关系．
弦定理，得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半 径)．
知识导图
学法指导
1.在学习双曲线时，要注意定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|” 这一限制条件的几何意义．
2．焦点 F1，F2 的位置是双曲线的定位条件，它决定着双曲线标 准方程的形式；参数 a，b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定 形条件．
3．学习双曲线时要注意与椭圆的定义及其标准方程进行对比，有 比较才能鉴别，也能更深刻地记忆．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
焦点 a，b，c 的关系
_ax_22_－__by_22_＝__1_(a_＞__0_，__b_＞__0_) __ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_＞__0_，__b_＞__0)
(－__c_,_0_)，__(_c_,0_)__
∠F1PF2 ＝
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
方法归纳
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 S△PF1F2＝21×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：利用公式 S△PF1F2＝21×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标) 求得面积． 提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条 件||PF1|－|PF2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2 与|PF1|·|PF2| 的关系．
弦定理，得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半 径)．
人教B版高中数学选修(1-1)-2.2《双曲线及其标准方程》教学课件1
x + c2 + y2 = 4a2 4a x - c2 + y2 x - c2 + y2
设cxM(- ax2，=y)a是双x -曲c2线+ 上y2 任意一c2 点- a2 x2 - a2 y2 = a2 c2 - a2
设以设Fc︱21、- FaF12 F2=2所︱b2 在=b2直c>，0线则得为有xF1(轴-c，，线0)段、FF21(Fc2的，垂0)直平分
M
F1 o F2
三、概念形成
概念1.双曲线的定义及相关概念
说明 （1）2a<2c ； （2）2a >0 ；
思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ （2）若2a>2c,则轨迹是什么？ （3）若2a=0,则轨迹是什么？
M
F1 o F2
(1)F1F2延长线和反向延长线(两条射线) (2)轨迹不存在 (3)线段F1F2的垂直平分线
y
M
F1 O F2
三、概念形成
概念1.双曲线的定义及相关概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小 于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线。
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点；
② |F1F2|=2c——焦距。
注意
若没有这个 条件，轨迹 为双曲线的 一支
||MF1|-|MF2||=2a
三、概念形成
概念2.双曲线的标准方程的推导
列化设 建式简点系
仿照椭圆的标准方程的推导 y
双曲线上的点满足||PF1|-M|PF2|| 为定值，设为2a，则2a＜2c
则： x + c2 + y2 x - c2 + y2 = 2a
高二数学选修2-1课件：2.3.2 双曲线的简单几何性质1
第二页，编辑于星期一：一点 二十一分。
探究新知
对于双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
从图形观察、从双曲线的标准方程分析
y
1.范围；
F1 o
2.对称性； F2 x 3.特殊点；等等。
第三页，编辑于星期一：一点 二十一分。
探究新知
1、范围： 横坐标：x≤－a或x≥a；
纵坐标：y∈R.
x＝-a y x＝a
1a
0, b
0
其范围、对称性、顶点分别是什么？
y
F2
|y|≥a，x∈R
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x
顶点（0，±a）
F1
第七页，编辑于星期一：一点 二十一分。
由刚才的研究产生了如图的矩形，作出
矩形的两条对角线，它们与双曲线有何
关系？
你有何感觉？
y
从演示你发现了什么？
B2
M的横坐标愈大，点就
愈接近对角线，但永远
(1) x 2 y2 25 16
1,
(2) x 2 y2 16 16
1.
第十九页，编辑于星期一：一点 二十一分。
典例讲评
例3 求满足下列条件的双曲线的标准 方程：
（3）实轴长与虚轴长之和等于焦距的
2 倍，一个顶点为(0，2)；
（4）经过两点 A(3,
4
2，) B(
9 4
,
5)；
第二十页，编辑于星期一：一点 二十一分。
高中数学选修 2-1
第二章 曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质
第 一课时
第一页，编辑于星期一：一点 二十一分。
复习巩固
1.双曲线的标准方程和一般方程分别是
选修1-1课件2.2.2 双曲线的简单几何性质
b b 2 2 解得y1 25 12 481 12 12 b 5 2 2 y2 13 12 b. 12 12 又塔高为 米, 所以y2 y1 55.即 55 5b b 481 55. 12 12 解得 : b 24.5(米).所以双曲线的 方程为 x y 1. 2 2 12 24.5
2
2
2 ; 渐近
线方程x y; 准线方程y 2 .
练习题:
1.求下列双曲线的实轴和虚轴的 长、顶点和焦点坐标、离心率、 渐近线方程和准线方程：
x y 4 1 49 25
2
2
y x 4 方程化为 1, 于是a 5, b 7, 25 49 c 25 49 74 , 2a 10, 2b 14; 顶 点坐标0, 5 , 0,5 ; 焦点坐标 0, 74 ,
叫做等轴双曲线 .
x
双曲线虚轴的变化对双曲线的影响：
性质4—渐近线
y B2
N x ,Y Q M(x,y)
b
A1
o a A2
x
b y x a
B1
b y x a
在第一象限内 双曲线方程化为 , b 2 2 y x a x a a 设M x , y 是双曲线上的任意一 b 点, N x ,Y 是直线y x上与M a b 有相同横坐标的点则Y x . , a
1 x
2
8 y 32
2
x y 1方程化为 1, 于是a 4 2 , 32 4 b 2, c 32 4 6, 2a 8 2 , 2b 4; 顶点坐标 4 2 ,0 , 4 2 ,0 ; 焦点坐 3 标6,0 , 6,0 ; e 2 ; 渐近线方程 4 2 16 y x; 准线方程x . 4 3
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 第1课时
a＝13，b＝m1 ，
9 m2
取顶点0，13，一条渐近线为 mx－3y＝0， 所以15＝|－m32×＋139|，则 m2＋9＝25，
∵m＞0，∴m＝4.
答案： D
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为________．
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析： 双曲线方程可化为x42－y82＝1，∴a2＝4，a＝2，
则 2a＝4，故选 C. 答案： C
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
c e＝__a__
__y_＝__±_ba_x_
_y_＝__±_ab_x__
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
等轴双曲线
___实__轴__和___虚__轴___等长的双曲线叫做等轴双曲线．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
由①②联立，无解．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
令 y＝0，解得 x＝±3，因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)． 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， 离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±bax＝±23x. 作出草图(如图所示)．
人教B版高中数学【选修1-1】第2章-2.1-2.2.2双曲线的几何性质-课件
【思路探究】
(1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定
该怎么办？(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线的双曲线有什么 特点？如何设出方程？
【自主解答】
(1)设双曲线的标准方程为
x 2 y2 y2 x2 － ＝1 或 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)． a2 b2 a b c 5 由题意知 2b＝12， ＝ 且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2 y2 x2 ∴双曲线标准方程为 － ＝1 或 － ＝1. 64 36 64 36
2．过程与方法 培养学生的观察能力、 想象能力、 数形结合能力和逻辑推理能 力，以及类比的学习方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生对待知识的科学态度和探索精神， 而且能够运用运动 的、变化的观点分析理解事物．
●重点、难点 重点：由方程导出性质及其应用． 难点：渐近线的理解． 从学生的认知水平来看， 对渐近线分析方法的理解和掌握有一 定的困难． 同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现， 是教法 中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难 点．为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必 须的条件， 以“双曲线的走向”为切入口， 通过复习反比例函数图
【思路探究】
2 2 x y 【自主解答】 双曲线的方程 25y2－4x2＋100＝0 可化为 － 25 4
＝1.
∴实半轴长 a＝5，虚半轴长 b＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． 由 c＝ a2＋b2＝ 29，焦点坐标为( 29，0)，(－ 29，0)． c 29 2 离心率 e＝ ＝ ，渐近线方程 y＝± x. a 5 5
故两条双曲线的实轴长、 虚轴长、 焦距都不相等， 离心率相等．
(2)椭圆的焦点坐标为(± 3，0)，所以双曲线的顶点为(± 3， 2 6 c 2 6 0)，即 a＝ 3，又 e＝ ，所以 e＝ ＝ ，解得 c＝2 2，所以 3 a 3 b＝ c2－a2＝ 5.所以双曲线的焦点坐标为(2 2， 0)， (－2 2， 0)． 双 b 5 15 曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± x＝± x. a 3 3
高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质课件
（的1）各支的 双向渐 曲外近 线延线ax22为 伸y时by22 ， b1与(xa 直a02线, b
b
2
0)
y
b a
x
a
逐渐接近，我们把这两条直线
（2）等轴双曲线x2 y2 m
叫做双(m曲线0的)的渐渐近近线线 。 为
y
b B2
A1
o
y x
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。 B1
（3）利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y
Y的范 围呢？
-a a
F1 O
F2 x
2、对称性
视察双曲线你能看出它具有怎样的 对称性吗？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
(-x,y)
y （x,y）)
关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
(-x,-y)
原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
o
x
(x,-y)
3、顶点
视察双曲线你能发现哪些点比较特殊？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
y
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
4、渐近线
可以看出，双曲线 x2 y2 1
y
1.范围： y≥a或y≤-a
A2
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称
3.顶点： A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
4.渐近线方程： y a x
高中数学人教B版选修2-1 第二章2.3.2 双曲线的几何性质 课件(共18张PPT)
x2
y2
1(a0，b0)
a2 b2
A1(a,0),A2(a,0)
令 x ，0则 y 2 ； b2
方程没有实数根.
新知探究
4.轴：
A1(a,0),A2(a,0) B1(0,b),B2(0,b)
线段 A 1 A叫2 做双曲线的实轴， 且 A1A2 ；2a
线段B 1 B叫2 做双曲线的虚轴， 且 B1B2 ；2b
A1
A2
o a
x
B1
双曲线的渐近线
y bx a
yb x a
新知探究
6.离心率：双曲线的焦距与实轴的比 e
叫做双曲线的离心率
c a
注：1.双曲线的离心率
e c a
c2
a2
a2 b2
b2
a2
1 a2
显然 e(1,)
y B2
F1 A1 O
A2 F2
B1
2.双曲线的离心率可以刻画双曲 线的“开口”
x 离心率越大，开口越大； 离心率越小，开口越小.
知识梳理
典例分析
解：原方程可化为 y 2 x 2 1 9 16
即 a2 9,b2 16
c2 25
该双曲线的实半轴长为 3 ，虚半轴长为 4，
5 焦点坐标为(0,5),，(0,离5)心率为 ，渐3
近线方程为 y
3 .4
x
典例分析
解：两点间的距离为 2a8,a4
43
x2 y2 ( 0)
43
典例分析
解：设所求双曲线的方程为 x2 y2 ( 0)
43
将 M(2 6， 代2入6)到方程，即
(2 6)2 (2 6)2
4
3
整理得 2 即所求双曲线的方程为
高二数学人教A选修2-1课件：2.3.2 双曲线的简单几何性质(一)
1(mn>0)．若已知双曲线的渐近线方程 y＝±bax，还可以将方程设为xa22
－by22＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．
►变式训练
2．(1)(2014·北京卷)设双曲线 C 的两个焦点为(－ 2，0)，
( 2，0)，一个顶点式(1，0)，则 C 的方程为__________________．
2．3.2 双曲线的简单几何性质(一
栏 目 链 接
1．掌握双曲线的简单的几何性质．
2．了解双曲线的渐近线及渐近线的概念，会利用几何性质求双 曲线的标准方程．
研
题
型
学
习
法栏 目 链 接
题型一 由双曲线的标准方程研究其几何性质
例 1 求双曲线 nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴
长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解析：把方程 nx2－my2＝mn 化为标准方程xm2－yn2＝1，
栏 目
链
由此可知，实半轴长 a＝ m，
接ห้องสมุดไป่ตู้
虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n，
焦点坐标是(－ m＋n，0)，( m＋n，0)，
离心率 e＝ac＝
m＋n＝ m
m2＋mn m.
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)．
渐近线方程为
y＝±
n x＝± m
mn m x.
栏
规律方法：已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准 目
链
形式的先化成标准方程，弄清方程中的 a，b 对应的值，再利用 c2＝ 接
a2＋b2 得到 c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何
性质．
►变式训练
1．已知双曲线x92－ya2＝1 的右焦点是( 13，0)，则该双曲线的渐
高中数学第2章2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A选修21.ppt
【解】 (1)由已知设双曲线的标准方程为xa22－by22 ＝1(a>0，b>0)．则 2a＝8，∴a＝4.
由 e＝ac＝54得 c＝5. ∴b2＝c2－a2＝52－42＝9. ∴所求双曲线方程为1x62 －y92＝1. (2)当焦点在 x 轴上时，
设所求双曲线方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)．
知新益能
双曲线的几何性质
标准方程
xa22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)
图形
范围
__|x_|≥__a__
__|y_|_≥__a_
_)、__F__2(_c_,0_)_ _F_1_(_0_,－__c_)_、__F_2_(0_,_c_) _A_1_(－__a_,_0_)_、__A_2_(a_,_0_) _A_1_(_0_,－__a_)_、__A_2_(0_,_a_)
例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)顶点在 x 轴上，两顶点间的距离为 8，离心率 是54； (2)焦距为 20，渐近线方程为 y＝±12x； (3)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点
M(2，－2)．
【思路点拨】 分析双曲线的几何性质 → 求a，b，c
→ 确定讨论焦点位置 → 求双曲线的标准方程
例4 已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点 F2，与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°， 试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并 求出线段AB的长． 【思路点拨】 先写出直线方程，代入双曲线方 程，利用根与系数的关系判断．
【解】 ∵a＝1，b＝ 3，c＝2， 又直线 l 过点 F2(2,0)，且斜率 k＝tan 45°＝1， ∴l 的方程为 y＝x－2. 由y3＝x2－x－y22＝3 消去 y 并整理得 2x2＋4x－7＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，