南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考数学试题及解析
江苏省南京市13校2019届高三数学12月联合调研测试试题(含解析)
2019届高三12月联合调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.全集，集合，，则_______.【答案】【解析】【分析】根据集合的基本运算，先求出A∩B，再求其补集即可．【详解】∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3,4}，B＝{3，5}，∴A∩B＝{3}，则∁U（A∩B）＝{1，2，4，5}，故答案为：{1，2，4，5}．【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的基本运算，属于基础题．2.复数（为虚数单位）的模为_______.【答案】【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再利用模的公式计算即可．【详解】∵∴复数的模为．故答案为：．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．3.在平面直角坐标系中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为．【答案】2【解析】试题分析：由题意，∴.考点：双曲线的标准方程及其几何性质.4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_______.【答案】【解析】【分析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为＝6（种），取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为＝1（种）．所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P＝1﹣＝．故答案为：．【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.5.如图程序运行的结果是．【答案】【解析】试题分析：初始条件，；运行第一次，，；运行第二次，，；运行第三次，，．满足条件，停止运行，所以输出的，所以答案应填：．考点：程序框图．6.如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为．【答案】64【解析】试题分析：样本数据落在内的频率为，所以样本数据落在内的频数为.考点：频率分布直方图.7.设等比数列的前项积为，若，则的值是_______.【答案】2【解析】【分析】由P12=32P7，得a8•a9•…•a12=32，再利用等比数列的性质，可求a10．【详解】∵等比数列{a n}的前n项积为P n，且P12=32P7，∴a1•a2•a3•…•a12=32a1•a2•a3•…•a7，即a8•a9•…•a12=32，由等比数列的性质，得（a10）5=32，解得a10=2．故答案为：2．【点睛】本题考查等比数列{a n}的前n项积，考查等比数列的性质，属于基础题．8.已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）.①若，则②若，则③若，则④若，则【答案】③【解析】【分析】①②列举反例，③利用面面垂直的判定定理，④利用面面垂直的性质定理，即可判断．【详解】①如图所示，设α∩β＝c，l∥c，m∥c满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设α∥β，l′⊂β，l′∥l，l′⊥m，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确；③由面面垂直的判定定理，若l⊥β，则α⊥β，故③正确；④若α⊥β，α∩β＝n，由面面垂直的性质定理知，m⊥n时，m⊥α，故④不正确．综上可知：只有③正确．故答案为：③．【点睛】熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定与性质定理是解题的关键．否定一个命题，只要举出一个反例即可，属于中档题．9.已知，，则_______.【答案】【解析】【分析】由二倍角公式和同角三角函数基本关系可得cos2θ和sin2θ，代入sin（2θ﹣）＝sin2θ﹣cos2θ，计算可得．【详解】∵cos（θ+）＝﹣，且θ∈（0，），∴θ+∈（，），sin（θ+）＝，∴sin2θ＝﹣cos（2θ+）＝1﹣2＝，cos2θ＝sin2（θ+）＝2sin（θ+）cos（θ+）＝﹣，sin（2θ﹣）＝sin2θcos﹣cos2θsin＝，故答案为：．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数基本关系，属于中档题．10.在等腰三角形中，底边，，，若，则_______.【答案】【解析】【分析】由，得D是AC的中点，利用已知条件求出BA的长度，求出cosB，即可的值．【详解】因为⇒D是AC的中点⇒，且⇒所以，因为在等腰三角形中，底边，得AB=所以cosB＝ = ．且所以＝ =＝2• •﹣×5＝2﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点睛】本题考查了向量加减法的几何中的应用和平面向量的数量积的应用，也考查计算能力，属于基础题.11.已知，若过轴上的一点可以作一直线与相交于，两点，且满足，则的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】由圆的方程，可得M（1，4）且半径为2，由PA＝BA，利用圆的几何性质得动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，由此建立关于a的不等式，解得即可．【详解】∵圆M：（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4，∴圆心为M（1，4），半径r＝2，直径为4，故弦长BA的范围是（0，4]．又∵PA＝BA，∴动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，∵圆与x轴相离，可得P到圆上的点的距离恒大于0．∴P到M的距离小于或等于6，根据两点间的距离公式有：，解之得1﹣2≤a≤1+2，即a的取值范围为[1﹣2，1+2]故答案为：[1﹣2，1+2]【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，两点间的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，转化为数形结合的数学思想，属于中档题．12.如图,在三棱锥中,、、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为________.【答案】1【解析】∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．∴=+x+y即x+y=则2x+2y=1，又，解得a≥1∴正实数a的最小值为113.已知的三边长，，成等差数列，且，则实数的取值范围是_______.【答案】 .【解析】【分析】由a，b，c成等差数列，设公差为d，则有a＝b﹣d，c＝b+d，代入已知等式求出b的最大值,由三角形三边关系列出不等式，整理后求出b的范围，即可确定出满足题意b的范围．【详解】设公差为d，则有a＝b﹣d，c＝b+d，代入a2+b2+c2＝63，化简可得3b2+2d2＝63，当d＝0时，b有最大值为，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，整理得：b＞2d，可得：3b2+2（）2＞63，解得：b＞3 ，则实数b的取值范围是（3，]．故答案为：（3，]．【点睛】本题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题.14.已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数.若，，使成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】由函数f（x）在[0，2）上的解析式，可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为g（x）min≤f（x）max的问题求解．【详解】根据题意，对于函数，当时，，可得：当时，，有最大值，最小值，当时，，函数的图像关于直线对称，则此时有，又由函数是定义在区间内的2级类周期函数，且；则在上，，则有，则，则函数在区间上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有，得在上，，函数为减函数，在上，，函数为增函数，则函数在上，由最小值.若，，使成立，必有，即，解可得，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的最值问题，数学转化思想方法，利用了导数求函数的最值，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1，0)，＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．（Ⅰ）若x＝π，设点D为线段OA上的动点，求的最小值和最大值；（Ⅱ）若，向量＝，＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求的最小值及对应的x值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），此时.【解析】试题分析：（Ⅰ）设（），又所以所以所以当时，最小值为（Ⅱ）由题意得,则因为,所以所以当，即时，取得最大值所以时，取得最小值所以的最小值为，此时.考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16.如图，在正三棱柱中，点在棱上，,点分别是的中点.（1）求证：为的中点；（2）求证:平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）要证为的中点，又AB=AC，即证ＡＤ⊥ＢＣ即可；（２）连接，连接交于点，连接，由（１）易证，从而问题得证．试题解析：（1）正三棱柱，平面，又平面，，又，平面，又正三棱柱，平面平面，，为的中点．（2）连接，连接交于点，连接矩形，为的中点，又由(1)得为的中点，△中，又点，分别是，的中点，△中，，，又平面，平面平面点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17.某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距的，两个位置分别为300,100名学生，在道路上设置集合地点，要求所有学生沿最短路径到点集合，记所有学生进行的总路程为.（1）设，写出关于的函数表达式；（2）当最小时，集合地点离点多远？【答案】（1），（2）集合地点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.【解析】【分析】（1）△AOD中，由正弦定理求得AD、OD，再计算S＝300AD+100BD的值；（2）令函数y＝，求导判断函数单调性与最值，从而求出y的最小值以及对应AD的值和S的最小值．【详解】（1）因为在中，，，所以由正弦定理可知，解得，，且，故，（2）令，则有，令得记，，列表得↘极小值↗可知，当且仅当时，有极小值也是最小值为，当时，此时总路程有最小值.答：当集合点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18.如图，、分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线与轴交于点，若，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过、作互相垂直的两直线分别与椭圆交于、、、四点，求四边形面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）先确定A点坐标为（a2，0），利用，可得F2是AF1的中点，由此可求椭圆方程；（II）当直线MN 与PQ中有一条与x轴垂直时，四边形PMQN面积；当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，设直线PQ、MN的方程与椭圆方程联立，求得|PQ|，|MN|，表示出四边形PMQN面积，再换元，即可求得四边形PMQN面积的取值范围．【详解】（Ⅰ）由得，∴点坐标为；∵∴是的中点∴，∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线与之一与轴垂直时，四边形面积；当直线，均与轴不垂直时，不妨设，联立代入消去得设，则，∴，同理∴四边形面积令，则，，易知是以为变量的增函数所以当，时，，∴综上可知，，∴四边形面积的取值范围为【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系和四边形面积的计算，正确表示四边形的面积是关键，属于中档题.19.已知函数，，设.（Ⅰ）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；（Ⅱ）若时函数有两个不同的零点、.①求的取值范围；②求证：.【答案】（1）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）①（，0）②详见解析【解析】试题分析：（1）先确定参数：由可得a=b-3. 由函数极值定义知所以a=" -2,b=1" .再根据导函数求单调区间（2）①当时，，原题转化为函数与直线有两个交点，先研究函数图像，再确定b的取值范围是（，0）.②，由题意得,所以，因此须证，构造函数，即可证明试题解析：（1）因为，所以,由可得a=b-3.又因为在处取得极值，所以，所以a=" -2,b=1" .所以，其定义域为（0，+）令得，当（0,1）时，，当（1,+），所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）当时，，其定义域为（0，+）.①由得，记，则,所以在单调减，在单调增，所以当时取得最小值.又，所以时，而时,所以b的取值范围是（，0）.②由题意得,所以,所以，不妨设x1<x2,要证, 只需要证.即证，设,则,所以函数在（1，+）上单调增，而，所以即,所以.考点：函数极值，构造函数利用导数证明不等式20.已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为.（1）若数列通项为，求证：；（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）数列中不存在无穷多项依次成等差数列.【解析】【分析】(1)由，得和，再证明，即可满足题意；（2）设的公差为，由，得，又，即，所以d=1，的取值范围；（3）假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为（为常数），由，得到当时，关于的不等式有无穷多个解，推出矛盾，所以不存在.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，即.（2）设的公差为，因为，所以特别的当时，，即，由得，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，又，所以，于是，即，所以，即，所以，因此的取值范围是.（3）由得，所以，即，所以，从而有，又，所以，即，所以有，所以，假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为（为常数），则存在，，使得，即，设，，，则即，于是当时，，从而有：当时，即，于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列.【点睛】本题考查的是数列定义的应用和等差数列的性质应用，运用反证法解决存在问题是本题的关键，属于中档题.数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括21，22，23三小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.选修4-2：矩阵与变换---求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.【答案】【解析】试题分析：先由矩阵变换得到曲线方程：，再根据曲线形状：菱形，计算其面积：．试题解析：设点为曲线上的任一点，在矩阵对应的变换作用下得到的点为，则由， 3分得：即5分所以曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为， 8分所围成的图形为菱形，其面积为． 10分考点：矩阵变换22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线的极坐标方程为，试求直线与曲线的交点的极坐标.【答案】【解析】【分析】将两方程化为普通方程，联立，即可求出直线l与曲线C的交点的直角坐标,进而即可得解.【详解】将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为将曲线的参数方程化为普通方程可得：由得，解得或，又，所以，所以直线与曲线的交点的直角坐标为.所以直线与曲线的交点的极坐标为.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程的互化，注意自变量的范围，属于基础题.23.若正数，，满足，求的最小值.【答案】.【解析】【分析】由a+2b+4c＝3，可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）＝10，由柯西不等式可得的最小值.【详解】因为正数，，满足，所以，所以，即.当且仅当，，时，取最小值.【点睛】本题考查三元柯西不等式及其应用，考查基本的运算能力，属于基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.在某次活动中，有5名幸运之星.这5名幸运之星可获得、两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均为的骰子决定自己最终获得哪一种奖品（骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得奖品，抛掷点数不小于3的获得奖品.（1）求这5名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；（2）设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2），的分布列见解析.【解析】【分析】首先求出5名幸运之星中，每人获得A奖品的概率和B奖品的概率．（1）获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数，得到获得A奖品的人数可能为3，4，5，利用独立重复试验求得概率；（2）由ξ＝|X﹣Y|，可得ξ的可能取值为1，3，5，同样利用独立重复试验求得概率，然后列出频率分布表，代入期望公式求期望．【详解】这5名幸运之星中，每人获得奖品的概率为，奖品的概率为.（1）要获得奖品的人数大于获得奖品的人数，则奖品的人数可能为3，4，5，则所求概率为.（2）的可能取值为1，3，5，且，，，所以的分布列是：135故随机变量的数学期望.【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望的应用，也考查了独立重复试验，属于中档题．25.在数学上，常用符号来表示算式，如记=，其中，.（1）若，，，…，成等差数列，且，求证：；（2）若，，记，且不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意求出等差数列的通项公式，然后结合二项式系数的性质证明；（Ⅱ）在二项式展开式中分别取x=-1，x=1，求出bn，再借助于二项式系数的性质化简可得，代入不等式，分n为奇数和偶数求得t的取值范围试题解析：（1）设等差数列的通项公式为，其中为公差则因为，所以所以 =.注：第（1）问也可以用倒序相加法证明.（酌情给分）（2）令，则令，则，所以根据已知条件可知，，所以将、代入不等式得，当为偶数时，，所以；当为奇数，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是.考点：数列的求和，二项式系数的性质。
江苏省南京市十校2019—2020学年第一学期12月高三联合调研数学试题含附加题及答案
3．根据如图所示的伪代码，则输出 I 的值为 ▲ ．
4．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 3 : 3 : 2 ，为调查该
校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法抽取若
S←1 I←1 While S≤12
有数字 3 的卡片的概率为 ▲ ．
7．在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
x a
2 2
−
y2 b2
= 1 (a 0，b 0) 的离心率为 3 2
，则该双
曲线的渐近线方程为 ▲ ．
8．已知函数 f (x) = sin(2x + ) ，若函数 y = f (x −)(0 ) 是偶函数，则 = ▲ ．
2PO2 − PA2 = 7 的点 P 到直线 l 的距离恒小于8 ，则实数 m 的取值范围是 ▲ ．
南京市 2020 届 12 月高三联合调研 第 1 页 共 18 页
12．如图，在 ABC 中，AB = 3，AC = 2 ，2BD = DC ，
B
E 为 AC 的中点， AD 与 BE 交于点 F ， G 为 EF 的
3
2
9．已知数列 an 是公差为正数的等差数列，其前 n 和为 Sn ，首项为1，若 a2，a6，a22 成等
比数列，则 S10 = ▲ ． 10．某种圆柱形的饮料罐的容积为128 个单位，当它的底面半径和高的比值为 ▲ 时，
可ห้องสมุดไป่ตู้得所用材料最省．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l : x + 3y − m = 0 ，点 A(3,0) ，若满足
S←S＋I I←I＋3 End While Print I
江苏专版2020届高三数学一轮复习《数列》典型题精选精练附答案详析
3、（南京市 13 校 2019 届高三 12 月联合调研）设等比数列 {an }的前 n 项积为 Pn ，若 P12 = 32P7 ，则
a10 的值是 ▲ ．
4、（苏州市
2019
届高三上学期期中）已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn
，S4 S2
4
，则
S8 S4
▲．
5、（徐州市 2019 届高三上学期期中）已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， S11 132 ， a6 a9 30 ， 则 a12 的值为 ▲ ．
（3）若数列 an
的各项均为正数，且an M
，数列
4n
an
中是否存在无穷多项依次成等差数列，
若存在，给出一个数列an 的通项；若不存在，说明理由．
4、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前 n 项和为 Sn， 数列{an2}的前 n 项和为 Tn，且 3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*． （1）求 a1 的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）若 k，t∈N*，且 S1，Sk－S1，St－Sk 成等比数列，求 k 和 t 的值．
．
11、（苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查（二））已知数列an 是各项都不为 0 的无穷数列，
精品解析：江苏省南京市六校联合体2019-2020学年高三上学期期初数学试题(解析版)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.集合 ， ，则 中元素的个数是______．
【答案】1
【解析】
【分析】
对 中元素逐个检验后可得 中元素的个数.
【详解】 中仅有 ，故 中元素的个数为1，填1 .
【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.
3.某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生____人．
【答案】20
【解析】
【分析】
利用分层抽样方法直接求解.
【详解】由题意，应抽取高一学生 （人），
故答案是20.
【点睛】该题考查的是有关分层抽样中某层所抽个体数的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，列式求得结果，属于简单题目.
南京市六校联合体2019-2020学年度第一学期期初测试
高三数学
Ⅰ试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.已知函数 的最小正周期为4，则 =________.【Biblioteka 案】【解析】【分析】
的周期计算公式 可得答案
【详解】
由周期计算公式可得 ，解得 =
【点睛】 或 的最小正周期计算公式均为
5.已知命题“存在 ”为假命题，则实数 的取值范围是_______．
【答案】[-16,0]
苏教版2019届高三12月联考数学(理科)试题(精品Word版,含答案解析)
数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合(){}30A x x x =-?，{B x y ==，则()U A B Çð等于（ ） A. ()0,2 B. ()0,3 C. Æ D. (]0,2 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得集合A ，进而可得U A ð，求解函数定义域可得集合B ，利用交集求解即可. 【详解】因为集合(){}()300,3U A x x x =-<=ð，(],2B =-?，所以()(]0,2U A B ?ð，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2.复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 由题意得，43(43)(32)11732(32)(32)1313i i i iz i i i +++===+--+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 3.已知向量()1,3a =，(),1b m =，若//a b ，则m = （ ） A. 13-B. 13C. 3-D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.【详解】向量()()1,3,,1a b m ==，若//a b ，则113m ?，解得13m =.故选B.【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题. 4.已知函数()1112xf x e =-+，则()f x 是（ ） A. 奇函数，且在R 上是增函数 B. 偶函数，且在()0,+?上是增函数C. 奇函数，且在R 上是减函数D. 偶函数，且在()0,+?上是减函数【答案】C 【解析】 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用()()0f x f x -+=可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R ，关于原点对称，()1112x f x e --=-+ 112x x e e =-+，有()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数， 函数()1112xf x e =-+，显然是减函数. 故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）A. 2B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】还原几何体得四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，分别计算各侧面的面积即可得解.【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，11151,?2,222PADPABPCDSPA ADS PA AB S PDCD ======. PCB 中有PC BC PB =222BC PC PB +=，所以90PCB ??.所以132PCBSPC BC ==. 所以面积最大值是PAB D 的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题.6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=且2454a a +=，则55S a （ ）A. 256B. 255C. 16D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n 项和，从而可得nnS a ，令5n =求解即可.【详解】由1352a a +=，可得21152a a q +=； 由31154a q a q +=. 两式作比可得：可得12q =，12a =， 所以212n n a -骣琪=琪桫，2142n n S -骣琪=-琪桫，21n n n S a =-，所以5552131Sa =-=.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项公式，属于公式运用的题目，属于基础题. 7.把函数()sin cos f x x x =-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3p，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ） A. 175,66p p轾--犏犏臌 B. 57,66p p轾-犏犏臌 C. 24,33p p轾-犏犏臌 D. 719,66p p轾犏犏臌 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换可得函数()212x g x x p 骣琪-琪桫，再由22212x k p pp -?22k pp ?，k Z Î，可解得单调增区间，即可得解. 【详解】函数()sin cos f x x x =-=4x x p骣琪-琪桫的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得24x y x p 骣琪-琪桫的图象，再向左平移3p，得到函数()1234g x x p p 轾骣犏琪+-琪犏桫臌212x x p骣琪-琪桫的图象. 由22212x k p pp -?22k p p ?，k Z Î，得574466k xk p pp p -＃+，k Z Î. 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间57,66p p轾-犏犏臌， 故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x 的系数提出，属于中档题.8.若实数x ，y 满足约束条件2027030x y x y y ì--?ïï+-?íï-?ïî，则1x z y +=的最小值为（ ）A.23 B. 1 C. 2 D. 145【解析】 【分析】作出不等式的可行域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0-连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0D -连线的斜率的倒数，由图象知AD 的斜率最大，由2703x y y ì+-=ïí=ïî得13x y ì=ïí=ïî，所以()1,3A ，此时11233z +==. 故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：z Ax By C =++的几何意义为可行域内的点到直线A 0x By C ++=()()22b z x a y =-+-的几何意义为可行域内的点到点()a,b 的距离的平方。
江苏省南京市六校联合体2019届高三数学上学期12月联考试题(含答案)
南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高；圆锥的侧面积公式：rl S π=，其中r 为底面半径，l 为母线长．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}3,2,1,0=M ，集合{}101,,N -=，则MN = ▲ ．2．双曲线125922=-y x 的渐近线方程是 ▲ ． 3．复数z 满足i iz31-=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ． 4. 若一组样本数据3，4，8，9，a 的平均数为6方差s 2＝ ▲ ．5．从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．6．如图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．7．若圆锥底面半径为1，侧面积为π5,则该圆锥的体积 是____▲____．8．设直线l 是曲线x x y ln +=22的切线，则直线l 的斜率 的最小值是 ▲ ．9．已知,)tan(714-=-πα⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα,，则)sin(6πα+的值是 ▲ ．10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，x x x f -=2)(．若f (a )＜4＋f (－a )，则实数a 的取值范围是 ▲ ．第6题图11．ABC ∆中，06034=∠==ACB ,BC ,AC ，E 为边AC 中点，2133AD AB AC =+，则CD BE ⋅的值为 ▲ ．12．已知圆22:(2)2C x y +-=，直线:20l kx y --=与y 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T，若PA =，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．已知n ∈N*,nn a 2=，21n b n =-， 1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．数列{}n c 的前n 项和为n T ，若 0≥+n n T a λ对任意的n ∈N*恒成立，则实数λ的最大值是 ▲ ． 14．已知函数2()221f x x ax a =-+-.若对任意的(0,3)a ∈，存在0[0,4]x ∈，使得0|()|t f x ≤成立，则实数t 的取值范围是 ▲ _.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csin cos A a B =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ．16．(本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ， 点E 为侧棱PB 的中点．求证：(1) PD ∥平面ACE ；(2) 平面PAC ⊥平面PBD ．题16图ABCDPOE17. (本小题满分14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x上一点与两焦点构成的三角形的周长为. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为7，求直线l 的方程.18．(本小题满分16分）如图，某公园内有一个以O 为圆心，半径为5百米，圆心角为2π3的扇形人工湖OAB ，OM 、ON 是分别由OA 、OB 延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与AB ⌒相切点F ，且与OM 、ON 分别相交于C 、D ，另两条是分别和湖岸OA 、OB 垂直的FG 、FH (垂足均不与O 重合)． (1) 求新增观光道FG 、FH 长度之和的最大值；(2) 在观光道ON 段上距离O 为15百米的E 处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD 的延长线不能进入以E 为圆心，2.5百米为半径的圆形E 的区域内．则点D 应选择在O 与E 之间的什么位置？请说明理由．M。
2019—2020学年第一学期南京市12月高三联合调研数学(含附加题含解析)
2019—2020学年第一学期12月高三联合调研数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合}21{，=A ，{}321，，-=B ，则集合B A ＝ ▲ ． 2．若复数iiz +=12（i 是虚数单位），则z 的实部为 ▲ ． 3．根据如图所示的伪代码，则输出I 的值为 ▲ ．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为2:3:3，为调查该 校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高一年级人数为45人，则抽取的样本容量为 ▲ ． 5．函数24)1ln(x x y -++=的定义域为 ▲ ．6．甲、乙两人依次从标有数字321，，的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线12222=-b y a x )00(>>b a ，的离心率为23，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 8．已知函数()sin(2)3f x x π=+，若函数)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ ▲ ．9．已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 和为n S ，首项为1，若2262a a a ，，成等比数列，则10S = ▲ ．10．某种圆柱形的饮料罐的容积为128π个单位，当它的底面半径和高的比值为 ▲ 时，可使得所用材料最省．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线03:=-+m y x l ，点)0,3(A ，若满足7222=-PA PO 的点P 到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围是 ▲ ．（第3题图）B 1C 1A 1EDCBA12．如图，在ABC ∆中，23==AC AB ，，=2，E 为AC 的中点，AD 与BE 交于点F ，G 为EF 的中点，则=⋅ ▲ ． 13．已知0,0a b >>，且31126a b a b++≤+， 则3aba b+的最大值为 ▲ ． 14．已知偶函数)(x f 满足)4()4(x f x f -=+，且当]4,0(∈x 时xe xx f )()(=，关于x 的不等式0)()(2>+x af x f 在区间]400400[，-上有且仅有400个整数解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin 10A B -=，求tan B 的值．16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面⊥C C AA 11平面ABC ，11AC E A ⊥． （1）求证：//DE 平面11C AB ； （2）求证：⊥E A 1平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点到相应准线的距离为3，离心率为21，过右焦点F 作两条互相垂直的弦CD AB ，，设CD AB ，的中点分别为N M ，． （1）求椭圆的标准方程；（2）若弦CD AB ，的斜率均存在，且OMF ∆和∆最大时，直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：CD AB //，BC AB ⊥，075=∠DAB ，AD 长1千米，AB 长2千米．公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，D B ，点是公园的进出口．公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ －线段QP －弧PD ，其中Q 在线段BC 上（异于线段端点），QP 与弧DE 相切于P 点（异于弧端点）．根据市场行情，BQ ，QP段的建造费用是每千米10万元，湖岸段PD 的建造费用是每千米3)12(20+万元（步行道的宽度不计），设PAE ∠为θ弧度，观光步行道的建造费用为w 万元． （1）求步行道的建造费用w 关于θ的函数关系式，并求其定义域； （2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．①若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； ②若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足203422=+=S S a ，，数列}{n b 是首项为2，公比为q )1(≠q 的等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设正整数r t k ，，成等差数列，且r t k <<，若k r r t t k b a b a b a +=+=+，求实数q的最大值；（3）若数列}{n c 满足⎩⎨⎧=-==，，，，k n b k n a c k k n 212*∈N k ，其前n 项和为n T ，当3=q 时，是否存在正整数m ，使得122-m mT T 恰好是数列}{n c 中的项？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．2019—2020学年第一学期12月高三联合调研数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间为30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡．．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知点(22)P ，在矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为点(46)Q ，． （1）求a 和b 的值；（2）若直线l 在M 对应的变换作用下变为直线20x y +=，求直线l 的方程．B ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==22321t y t x （t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是)4sin(24θπρ+=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于两点B A ，，求线段AB 的长．C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数|2||2|)(++-=x x x f ，若不等式)(||||||x f a b a b a ≤+--242对任意R b a ∈，，且0≠a 恒成立，求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线)(:022>=p px y C 的焦点F 在直线01=-+y x 上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于E D ，两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：EF AP //．23．（本小题满分10分）甲、乙两人用一颗质地均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字654321，，，，，）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷．已知甲先掷．（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布和数学期望； （2）求第n 次（2,n n N *≥∈）由乙抛掷的概率．2019—2020学年第一学期12月高三联合调研数学参考答案注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 一、填空题1. {}3,2,1,1-2. 13. 104. 1205. ]2,1(-6. 137. x y 25±= 8. 512π 9. 145 10. 21 11. )3,9(- 12. 34-13. 19 14. 3122(3,]e e ----二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈ 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩·……………………3分 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=……………………6分 解得85c =……………………7分 （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈- 又()sin 010A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B -> 所以()cos A B -==……………………10分 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==- ……………………11分所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅………………14分 注：（2）中无角的范围扣1分。
江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考数学试题(精品解析)
南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差，其中；锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；圆锥的侧面积公式：，其中为底面半径，为母线长．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合，集合，则=______．【答案】【解析】【分析】由M与N，求出两集合的交集即可．【详解】∵集合，集合，∴=故答案为：【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.双曲线的渐近线方程是____．【答案】【解析】【分析】在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．【详解】令﹣=0得y=±x，∴双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3.复数满足，其中是虚数单位，则复数的模是______．【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【详解】∵∴∴|z|==，故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．4.若一组样本数据3，4，8，9，的平均数为6，则该组数据的方差s2＝______．【答案】【解析】【分析】本题可运用平均数的公式：=（x1+x2+…+x n）解出a的值，再代入方差的公式中计算得出方差即可．【详解】∵数据3，4，8，9，的平均数为6，∴3+4+8+9+a=30，解得a=6，∴方差s2=[（3﹣6）2+（4﹣6）2+（8﹣6）2+（9﹣6）2+（6﹣6）2]=．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是平均数和方差的求法，解题的关键弄清计算公式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．5.从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是______．【答案】【解析】【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为奇数的有1种情形，由概率公式可得．【详解】从1，2，3，4这4个数中依次随机地取2个数有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为奇数的有（1，3）共1种情形，∴所求概率，故答案为：【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．6.如图所示的流程图的运行结果是______．【答案】20【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，结束循环，输出考点：循环结构流程图7.若圆锥底面半径为1，侧面积为,则该圆锥的体积是________．【答案】【解析】【分析】由圆锥底面半径为1，侧面积为得到圆锥的母线长，进而得到圆锥的高，从而得到该圆锥的体积.【详解】设圆锥的母线长为，圆锥底面半径为1，侧面积为,∴，即，∴圆锥的高∴该圆锥的体积是故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积与侧面积公式，属于基础题.8.设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值是_____．【答案】4【解析】【分析】求出函数的导函数，利用均值不等式求最小值即直线的斜率的最小值【详解】的定义域为（0，+∞）y'=4x+，当且仅当x=时取等号·即直线的斜率的最小值是4故答案为：4【点睛】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及利用均值不等式求最值，掌握不等式成立时的条件，属于基础题．9.已知，则的值是_____．【答案】【解析】【分析】由得到，进而得到，再结合两角和的正弦公式得到结果.【详解】∵，∴，∴故答案为：【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、正切公式，同角基本关系式，考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若f (a)＜4＋f (－a)，则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】利用函数为奇函数，不等式可转化为f (a)＜2，结合函数图象可得结果.【详解】∵f (x)为奇函数，∴∴f (a)＜4＋f (－a)可转化为f (a)＜2作出的图象，如图：由图易知：a＜2故答案为：【点睛】本题考查函数的图象与性质，解题关键利用奇偶性简化不等式，结合函数图象即可得到结果.11.中，为边的中点，，则的值为______．【答案】-4【解析】【分析】利用基底表示，结合向量的运算法则即可得到结果.【详解】∵∴∵为边的中点，∴,∵，∴∴2-6=-4故答案为：-4【点睛】求向量的数量积，应该先利用向量的运算法则将各个向量用已知的向量表示，再利用向量的运算法则展开即可．12.已知圆，直线与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，若，则实数的取值范围是______．【答案】或【解析】【分析】设P（x，y），由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线l与圆有公共点的问题，列不等式求解即可．【详解】圆C：直线l：与与轴交于点A（0，﹣2），设P（x，y），由PA=PT，可得=2（﹣2），即x2+y2﹣12y=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆所以问题可转化为直线l与圆有公共点，所以d≤r，≤6，解得或，∴实数k的取值范围是或．故答案为：或【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力，明确动点P的轨迹是解题的关键．13.已知n∈N*,，，，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若对任意的n∈N*恒成立，则实数的最大值是______．【答案】【解析】【分析】设，明确的单调性，得到，进而得到，对任意的n∈N*恒成立即，转求的最小值即可.【详解】设，即∴∴即，由与图象可知：在第一象限n取正整数时，仅有n=3时，即∴，即实数的最大值是故答案为：【点睛】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．14.已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】围．【详解】∵的对称轴为x=a，且，∴函数f（x）=在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数；∴函数f（x）=在的最小值为f（a）=﹣∈，①当2≤a＜3时，函数f（x）=（x∈）在x=0时取得最大值，且最大值为2a﹣1，由于此时2≤a＜3，则3≤2a﹣1＜5；2a﹣1∴②0＜a＜2时，函数f（x）=（x∈）在x=4时取得最大值，且最大值为42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时0＜a＜2，则3＜15﹣6a＜15；，∴综上，∴；即t的取值范围是：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了恒成立问题与存在性问题，是综合性题目．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，，求，．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小．（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．【详解】（1）在中，由正弦定理，得．又因为在中．所以．法一：因为，所以，因而．所以，所以．法二：即，所以，因为，所以．（2）由正弦定理得，而，所以，①由余弦定理，得，即，②把①代入②得.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，点E为侧棱PB的中点．求证：(1) PD∥平面ACE；(2) 平面PAC⊥平面PBD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析。
江苏专版2020届高三数学一轮复习《统计与概率》典型题精选精练附答案详析
江苏专版2020届高三数学一轮复习典型题精选精练统计与概率一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为▲．2、（南京市2019高三9月学情调研）已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为▲．3、（南京市2019高三9月学情调研）不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是▲．4、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）若一组样本数据3，4，8，9，a的平均数为6，则该组数据的方差s2＝▲．5、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．6、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是▲．7、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为▲．8、（南师附中2019届高三年级5月模拟）某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是．9、（南师附中2019届高三年级5月模拟）3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是．10、（苏州市2018高三上期初调研）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2: 3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是．11、（徐州市2019届高三上学期期中）某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有▲个网箱产量不低于50 kg．12、（海安市2019届高三上学期期中）已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为．13、（海安市2019届高三上学期期中）有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是．14、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）如图是某次青年歌手大奖赛上5位评委给某位选手打分的茎叶图，则这组数据的方差为▲15、（如皋市2019届高三上学期期末）为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为▲16、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为．17、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n＝▲18、（泰州市2019届高三上学期期末）从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为19、（无锡市2019届高三上学期期末）史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为．20、（宿迁市2019届高三上学期期末）春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为▲．21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，……，第五组，右图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组于第二组共有20人，则第三组钟人数为.22、（南京市2019届高三第三次模拟）已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为▲．23、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））随机抽取100名年龄在［10,20），［20,30），…，［50,60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在［50,60）年龄段抽取的人数为＿＿24、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为▲.25、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为▲．26、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为▲．27、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为．28、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为．29、（盐城市2019届高三第三次模拟）现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_____.30、（江苏省2019年百校大联考）某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．二、解答题1、（南京市2018高三9月学情调研）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习．（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在某次活动中，有5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记X Y期望．4、（徐州市2018高三上期中考试）某同学在上学路上要经过A 、B 、C 三个带有红绿灯的路口.已知他在A 、B 、C 三个路口遇到红灯的概率依次是13、14、34，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.5、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．6、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立，规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级加5分，记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值。
江苏省南京市13校2019届高三数学12月联合调研测试试题(含解析)
2019届高三12月联合调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.全集，集合，，则_______.【答案】【解析】【分析】根据集合的基本运算，先求出A∩B，再求其补集即可．【详解】∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3,4}，B＝{3，5}，∴A∩B＝{3}，则∁U（A∩B）＝{1，2，4，5}，故答案为：{1，2，4，5}．【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的基本运算，属于基础题．2.复数（为虚数单位）的模为_______.【答案】【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再利用模的公式计算即可．【详解】∵∴复数的模为．故答案为：．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．3.在平面直角坐标系中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为．【答案】2【解析】试题分析：由题意，∴.考点：双曲线的标准方程及其几何性质.4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_______.【答案】【解析】【分析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为＝6（种），取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为＝1（种）．所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P＝1﹣＝．故答案为：．【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.5.如图程序运行的结果是．【答案】【解析】试题分析：初始条件，；运行第一次，，；运行第二次，，；运行第三次，，．满足条件，停止运行，所以输出的，所以答案应填：．考点：程序框图．6.如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为．【答案】64【解析】试题分析：样本数据落在内的频率为，所以样本数据落在内的频数为.考点：频率分布直方图.7.设等比数列的前项积为，若，则的值是_______.【答案】2【解析】【分析】由P12=32P7，得a8•a9•…•a12=32，再利用等比数列的性质，可求a10．【详解】∵等比数列{a n}的前n项积为P n，且P12=32P7，∴a1•a2•a3•…•a12=32a1•a2•a3•…•a7，即a8•a9•…•a12=32，由等比数列的性质，得（a10）5=32，解得a10=2．故答案为：2．【点睛】本题考查等比数列{a n}的前n项积，考查等比数列的性质，属于基础题．8.已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）.①若，则②若，则③若，则④若，则【答案】③【解析】【分析】①②列举反例，③利用面面垂直的判定定理，④利用面面垂直的性质定理，即可判断．【详解】①如图所示，设α∩β＝c，l∥c，m∥c满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设α∥β，l′⊂β，l′∥l，l′⊥m，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确；③由面面垂直的判定定理，若l⊥β，则α⊥β，故③正确；④若α⊥β，α∩β＝n，由面面垂直的性质定理知，m⊥n时，m⊥α，故④不正确．综上可知：只有③正确．故答案为：③．【点睛】熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定与性质定理是解题的关键．否定一个命题，只要举出一个反例即可，属于中档题．9.已知，，则_______.【答案】【解析】【分析】由二倍角公式和同角三角函数基本关系可得cos2θ和sin2θ，代入sin（2θ﹣）＝sin2θ﹣cos2θ，计算可得．【详解】∵cos（θ+）＝﹣，且θ∈（0，），∴θ+∈（，），sin（θ+）＝，∴sin2θ＝﹣cos（2θ+）＝1﹣2 ＝，cos2θ＝sin2（θ+）＝2sin（θ+）cos（θ+）＝﹣，sin（2θ﹣）＝sin2θcos﹣cos2θsin＝，故答案为：．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数基本关系，属于中档题．10.在等腰三角形中，底边，，，若，则_______.【答案】【解析】【分析】由，得D是AC的中点，利用已知条件求出BA的长度，求出cosB，即可的值．【详解】因为⇒D是AC的中点⇒，且⇒所以，因为在等腰三角形中，底边，得AB=所以cosB＝ = ．且所以＝ =＝2• •﹣×5＝2﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点睛】本题考查了向量加减法的几何中的应用和平面向量的数量积的应用，也考查计算能力，属于基础题.11.已知，若过轴上的一点可以作一直线与相交于，两点，且满足，则的取值范围为_______. 【答案】【解析】【分析】由圆的方程，可得M（1，4）且半径为2，由PA＝BA，利用圆的几何性质得动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，由此建立关于a的不等式，解得即可．【详解】∵圆M：（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4，∴圆心为M（1，4），半径r＝2，直径为4，故弦长BA的范围是（0，4]．又∵PA＝BA，∴动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，∵圆与x轴相离，可得P到圆上的点的距离恒大于0．∴P到M的距离小于或等于6，根据两点间的距离公式有：，解之得1﹣2≤a≤1+2，即a的取值范围为[1﹣2，1+2]故答案为：[1﹣2，1+2]【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，两点间的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，转化为数形结合的数学思想，属于中档题．12.如图,在三棱锥中,、、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为________.【答案】1【解析】∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．∴=+x+y即x+y=则2x+2y=1，又，解得a≥1∴正实数a的最小值为113.已知的三边长，，成等差数列，且，则实数的取值范围是_______.【答案】 .【解析】【分析】由a，b，c成等差数列，设公差为d，则有a＝b﹣d，c＝b+d，代入已知等式求出b的最大值,由三角形三边关系列出不等式，整理后求出b的范围，即可确定出满足题意b的范围．【详解】设公差为d，则有a＝b﹣d，c＝b+d，代入a2+b2+c2＝63，化简可得3b2+2d2＝63，当d＝0时，b有最大值为，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，整理得：b＞2d，可得：3b2+2（）2＞63，解得：b＞3 ，则实数b的取值范围是（3，]．故答案为：（3，]．【点睛】本题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题.14.已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数.若，，使成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】由函数f（x）在[0，2）上的解析式，可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为g（x）min≤f（x）max的问题求解．【详解】根据题意，对于函数，当时，，可得：当时，，有最大值，最小值，当时，，函数的图像关于直线对称，则此时有，又由函数是定义在区间内的2级类周期函数，且；则在上，，则有，则，则函数在区间上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有，得在上，，函数为减函数，在上，，函数为增函数，则函数在上，由最小值.若，，使成立，必有，即，解可得，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的最值问题，数学转化思想方法，利用了导数求函数的最值，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1，0)，＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．（Ⅰ）若x＝π，设点D为线段OA上的动点，求的最小值和最大值；（Ⅱ）若，向量＝，＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求的最小值及对应的x值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），此时.【解析】试题分析：（Ⅰ）设（），又所以所以所以当时，最小值为（Ⅱ）由题意得,则因为,所以所以当，即时，取得最大值所以时，取得最小值所以的最小值为，此时.考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16.如图，在正三棱柱中，点在棱上，,点分别是的中点.（1）求证：为的中点；（2）求证:平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）要证为的中点，又AB=AC，即证ＡＤ⊥ＢＣ即可；（２）连接，连接交于点，连接，由（１）易证，从而问题得证．试题解析：（1）正三棱柱，平面，又平面，，又，平面，又正三棱柱，平面平面，，为的中点．（2）连接，连接交于点，连接矩形，为的中点，又由(1)得为的中点，△中，又点，分别是，的中点，△中，，，又平面，平面平面点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17.某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距的，两个位置分别为300,100名学生，在道路上设置集合地点，要求所有学生沿最短路径到点集合，记所有学生进行的总路程为.（1）设，写出关于的函数表达式；（2）当最小时，集合地点离点多远？【答案】（1），（2）集合地点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.【解析】【分析】（1）△AOD中，由正弦定理求得AD、OD，再计算S＝300AD+100BD的值；（2）令函数y＝，求导判断函数单调性与最值，从而求出y的最小值以及对应AD的值和S的最小值．【详解】（1）因为在中，，，所以由正弦定理可知，解得，，且，故，（2）令，则有，令得记，，列表得可知，当且仅当时，有极小值也是最小值为，当时，此时总路程有最小值.答：当集合点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18.如图，、分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线与轴交于点，若，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过、作互相垂直的两直线分别与椭圆交于、、、四点，求四边形面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）先确定A点坐标为（a2，0），利用，可得F2是AF1的中点，由此可求椭圆方程；（II）当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直时，四边形PMQN面积；当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，设直线PQ、MN的方程与椭圆方程联立，求得|PQ|，|MN|，表示出四边形PMQN面积，再换元，即可求得四边形PMQN面积的取值范围．【详解】（Ⅰ）由得，∴点坐标为；∵∴是的中点∴，∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线与之一与轴垂直时，四边形面积；当直线，均与轴不垂直时，不妨设，联立代入消去得设，则，∴，同理∴四边形面积令，则，，易知是以为变量的增函数所以当，时，，∴综上可知，，∴四边形面积的取值范围为【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系和四边形面积的计算，正确表示四边形的面积是关键，属于中档题.19.已知函数，，设.（Ⅰ）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；（Ⅱ）若时函数有两个不同的零点、.①求的取值范围；②求证：.【答案】（1）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）①（，0）②详见解析【解析】试题分析：（1）先确定参数：由可得a=b-3. 由函数极值定义知所以a=" -2,b=1" .再根据导函数求单调区间（2）①当时，，原题转化为函数与直线有两个交点，先研究函数图像，再确定b的取值范围是（，0）.②，由题意得,所以，因此须证，构造函数，即可证明试题解析：（1）因为，所以,由可得a=b-3.又因为在处取得极值，所以，所以a=" -2,b=1" .所以，其定义域为（0，+）令得，当（0,1）时，，当（1,+），所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）当时，，其定义域为（0，+）.①由得，记，则,所以在单调减，在单调增，所以当时取得最小值.又，所以时，而时,所以b的取值范围是（，0）.②由题意得,所以,所以，不妨设x1<x2,要证, 只需要证.即证，设,则,所以,所以函数在（1，+）上单调增，而，所以即,所以.考点：函数极值，构造函数利用导数证明不等式20.已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为.（1）若数列通项为，求证：；（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）数列中不存在无穷多项依次成等差数列.【解析】【分析】(1)由，得和，再证明，即可满足题意；（2）设的公差为，由，得，又，即，所以d=1，的取值范围；（3）假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为（为常数），由，得到当时，关于的不等式有无穷多个解，推出矛盾，所以不存在.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，即.（2）设的公差为，因为，所以特别的当时，，即，由得，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，又，所以，于是，即，所以，因此的取值范围是.（3）由得，所以，即，所以，从而有，又，所以，即，又，，所以有，所以，假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为（为常数），则存在，，使得，即，设，，，则即，于是当时，，从而有：当时，即，于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列.【点睛】本题考查的是数列定义的应用和等差数列的性质应用，运用反证法解决存在问题是本题的关键，属于中档题.数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括21，22，23三小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.选修4-2：矩阵与变换---求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积. 【答案】【解析】试题分析：先由矩阵变换得到曲线方程：，再根据曲线形状：菱形，计算其面积：．试题解析：设点为曲线上的任一点，在矩阵对应的变换作用下得到的点为，得：即5分所以曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为， 8分所围成的图形为菱形，其面积为． 10分考点：矩阵变换22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线的极坐标方程为，试求直线与曲线的交点的极坐标.【答案】【解析】【分析】将两方程化为普通方程，联立，即可求出直线l与曲线C的交点的直角坐标,进而即可得解. 【详解】将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为将曲线的参数方程化为普通方程可得：由得，解得或，又，所以，所以直线与曲线的交点的直角坐标为.所以直线与曲线的交点的极坐标为.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程的互化，注意自变量的范围，属于基础题.23.若正数，，满足，求的最小值.【答案】.【解析】【分析】由a+2b+4c＝3，可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）＝10，由柯西不等式可得的最小值.【详解】因为正数，，满足，所以，所以，即.当且仅当，，时，取最小值.【点睛】本题考查三元柯西不等式及其应用，考查基本的运算能力，属于基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.在某次活动中，有5名幸运之星.这5名幸运之星可获得、两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均为的骰子决定自己最终获得哪一种奖品（骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得奖品，抛掷点数不小于3的获得奖品.（1）求这5名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；（2）设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2），的分布列见解析.【解析】【分析】首先求出5名幸运之星中，每人获得A奖品的概率和B奖品的概率．（1）获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数，得到获得A奖品的人数可能为3，4，5，利用独立重复试验求得概率；（2）由ξ＝|X﹣Y|，可得ξ的可能取值为1，3，5，同样利用独立重复试验求得概率，然后列出频率分布表，代入期望公式求期望．【详解】这5名幸运之星中，每人获得奖品的概率为，奖品的概率为.（1）要获得奖品的人数大于获得奖品的人数，则奖品的人数可能为3，4，5，则所求概率为.（2）的可能取值为1，3，5，且，，，所以的分布列是：故随机变量的数学期望.【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望的应用，也考查了独立重复试验，属于中档题．25.在数学上，常用符号来表示算式，如记=，其中，.（1）若，，，…，成等差数列，且，求证：；（2）若，，记，且不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意求出等差数列的通项公式，然后结合二项式系数的性质证明；（Ⅱ）在二项式展开式中分别取x=-1，x=1，求出bn，再借助于二项式系数的性质化简可得，代入不等式，分n为奇数和偶数求得t的取值范围试题解析：（1）设等差数列的通项公式为，其中为公差则因为，所以所以 =.注：第（1）问也可以用倒序相加法证明.（酌情给分）（2）令，则令，则，所以根据已知条件可知，，所以将、代入不等式得，当为偶数时，，所以；当为奇数，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是.考点：数列的求和，二项式系数的性质。