充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
§1.4 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念．2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．4.理解充要条件的意义．5.会判断一些简单的充要条件问题．6.能对充要条件进行证明．知识点一 充分条件与必要条件“若p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒q p ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考1 若p 是q 的充分条件，这样的条件p 唯一吗？答案 不唯一．例如“x >1”是“x >0”的充分条件，p 可以是“x >2”“x >3”或“2<x <3”等．思考2 p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 答案 相同，都是p ⇒q .思考3 以下五种表述形式：①p ⇒q ；②p 是q 的充分条件；③q 的充分条件是p ；④q 是p 的必要条件；⑤p 的必要条件是q .这五种表述形式等价吗？ 答案 等价． 知识点二 充要条件1．如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．2．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．思考4 若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题．这种说法对吗？答案正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确．思考5“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？答案(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．答案必要解析因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似，即q⇒p，所以p是q的必要条件．2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．答案充分解析因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件．3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．答案必要解析∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条件．4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．答案充分解析因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件．5．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．答案必要不充分解析设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝1 2，故p是q的必要不充分条件．6．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．答案充分不必要7．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．答案充要解析因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．一、充分条件的判断例1指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；(2)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.解(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．(2)方法一由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件．方法二设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．反思感悟充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．跟踪训练1“x>2”是“x2>4”的________条件．答案充分解析x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．二、必要条件的判断例2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(3)p：a>b，q：ac>bc.解(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件．(2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件．(3)因为p⇏q，所以q不是p的必要条件．反思感悟必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件．跟踪训练2 指出下列哪些命题中q 是p 的必要条件？ (1)p ：∠A 和∠B 是对顶角，q ：∠A ＝∠B ； (2)p ：|x |>2，q ：x >2.解 (1)因为对顶角相等，所以p ⇒q ，所以q 是p 的必要条件．(2)因为当|x |>2时，x >2或x <－2，所以p ⇏q ， 所以q 不是p 的必要条件． 三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0. 延伸探究将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }． q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练3 已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1≤a ≤5解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以a －4≤1，a ＋4≥3，即a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5. 四、充分、必要、充要条件的判断例4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p ：x ＝1，q ：x －1＝x －1； (2)p ：－1≤x ≤5，q ：x ≥－1且x ≤5； (3)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2； (4)p ：a 是自然数；q ：a 是正数． 解 (1)当x ＝1时，x －1＝x －1成立；当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2. ∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5， ∴p 是q 的充要条件． (3)由q ：(x ＋2)2≠y 2，得x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，又p ：x ＋2≠y ， 故p 是q 的必要不充分条件．(4)0是自然数，但0不是正数，故p ⇏q ；又12是正数，但12不是自然数，故q ⇏p . 故p 是q 的既不充分又不必要条件．反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．跟踪训练4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.解(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁U B⊆∁U A，∴p是q的充要条件．五、充要条件的证明例5设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.反思感悟充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．跟踪训练5 求证：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 证明 ①充分性：如果b ＝0，那么y ＝kx ，当x ＝0时，y ＝0，函数图象过原点．②必要性：因为y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点， 所以当x ＝0时，y ＝0，得0＝k ·0＋b ，所以b ＝0.综上，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 六、充要条件的应用例6 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m } {x |－2≤x ≤10}，故有1－m ≥－2，1＋m <10或1－m >－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以A B .所以 1－m ≤－2，1＋m >10或1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练6已知当a<0时，设p：3a<x<a，q：x<－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解设A＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|x<－4或x≥－2}．因为p是q的充分不必要条件，所以A B，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－2 3.又∵a<0，∴a≤－4或－23≤a<0，即实数a的取值范围为a≤－4或－23≤a<0.1．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的()A．充分条件C．既是充分条件又是必要条件B．必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2．使x>3成立的一个充分条件是()A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 3．“x>0”是“x≠0”的()A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．“a<b”是“a b<1”的()A．必要不充分条件C．充要条件B．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件5．已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的________条件；q 是p的________条件．(用“充分”“必要”填空)6．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．8．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．【答案与解析】 1、答案 B解析 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件． 2、答案 A解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 3、答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 4、答案 D 解析 暂无 5、答案 充分 必要解析 因为p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 6、答案 a ≤1解析 因为x >1⇒x >a ，所以a ≤1. 7、答案 充要解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0， 所以充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，所以必要性成立． 故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件． 8、答案 m ＝－2解析 函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称， 则－m2＝1，即m ＝－2； 反之，若m ＝－2，则y ＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称．1．知识清单：(1)充分条件、必要条件的概念． (2)充要条件概念的理解．(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(4)充分条件、必要条件的判断．(5)充分条件与必要条件的应用．(6)充要条件的证明．(7)充要条件的应用．2．方法归纳：等价转化．3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值；条件和结论辨别不清．。
充分条件与必要条件
02 必要条件
定义
必要条件是指某事件发生所必须具备的条件，缺少这个条件 ，事件将不会发生。
必要条件是事件发生的必要不充分条件，即只有满足这个条 件，事件才可能发生，但不一定必然发生。
举例
例如，如果下雨（A），那么地面会 湿（B）。在这里，下雨是地面湿润的 充分条件。
又如，如果一个人努力工作（A），那 么他可能会获得晋升（B）。努力工作 是获得晋升的充分条件。
逻辑推理
在逻辑推理中，充分条件用于构建推理关系，帮助我们理解事件之间的因果关系。
通过充分条件，我们可以预测某一事件或条件出现时，另一事件或结果发生的可能 性。
需要注意的是，必要条件不一定是唯一的条件，可能有多个必要条件共同促成某事件的发生。同时， 在某些情况下，必要条件也可能存在例外情况，即某些条件下，事件的发生可以不满足必要条件。因 此，在逻辑推理中需要综合考虑各种因素，谨慎分析。
03 充分条件与必要条件的区 别与联系
区别
充分条件
如果一个条件A存在，那么另一个 条件B一定存在。在这种情况下， 我们说A是B的充分条件。
在决策制定中，必要条件的运用可以帮助我们更好地确定决策的限制和边界。例如，在制定企业战略时，需要考虑市 场需求、资源、技术等必要条件，以确保战略的可行性和有效性。
总结
在决策制定中，充分条件与必要条件的运用可以帮助我们更好地评估各种方案和可能性，制定出更加科 学、合理的决策。
05 充分必要条件的哲学思考
总结
在科学研究中，充分条件与必要条件的运用可以帮助我们更好地揭示事物的本质和规律， 推动科学的进中，充分条件的运用可以帮助我们更好地评估各种方案和可能性。例如，在制定营销策略时，如果某个产 品具有市场需求大、竞争者少等充分条件，那么它可能是一个很好的选择。
充分条件与必要条件
充分条件的判断方法 第一步：确定谁是条件，谁是结论；第二步：尝试由条件推结论； 定义法 第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条 件就不是结论的充分条件 命题 如果命题：“若 p，则 q”是真命题，则 p 是 q 的充分条件；如 判断法 果命题：“若 p，则 q”是假命题，则 p 不是 q 的充分条件
题型 1◆充分条件的判断
典例 1 设 x∈R，则使 x>3.14 成立的一个充分条件是( C )
A．x>3
B．x<3
C．x>4
D．x<4
解析：因为 x>4⇒x>3.14，
所以 x>3.14 的一个充分条件是 x>4.
典例 2 判断下列各题中，p 是否是 q 的充分条件． (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a<b，q：ab<1； (3)在△ABC 中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； (4)已知 a，b∈R，p：a2＋b2＝0， q：a＝b＝0.
(3)因为无理数是无限不循环小数， 所以 p⇒q，所以 q 是 p 的必要条件． (4)若 a 与 b 互为相反数，则 a 与 b 的绝对值相等，所以 p⇒q，所以 q 是 p 的必要条件．
题型 3◆利用充分条件、必要条件求参数范围 典例 已知 p：关于 x 的不等式3－2 m<x<3＋2 m，q：0<x<3，若 p 是 q 的充 分条件，则实数 m 的取值范围是 {m|m≤3} ．
判断下列各题中，q 是否是 p 的必要条件． (1)p：a 是 1 的平方根，q：a＝1； (2)p：4x2－mx＋9 是完全平方式，q：m＝12； (3)p：a 是无理数，q：a 是无限小数；(4)p：a 与 b 互为相反数，q：a 与 b 的绝对值相等．
充分条件和必要条件教学ppt课件
利用集合论的方法，判断非A和非B 两个集合之间的关系，如果非A是非 B的子集，则非A是必要条件。
充分条件与必要条件的综合应用
判定实例
通过具体实例的判定，加 深对充分条件和必要条件 的理解。
判定步骤
介绍判定充分条件和必要 条件的步骤和方法。
应用场景
介绍充分条件和必要条件 在日常生活、科学研究等 方面的应用场景。
04
充分条件与必要条件的推 理关系
充分条件推理关系的应用
定义
如果一个条件A能够推理得到结 论B，那么称A是B的充分条件。
示例
如果天下雨，那么地会湿。这里 “下雨”是“地湿”的充分条件
。
应用
在日常生活中，充分条件的推理 关系非常常见，比如：如果按下 开关，那么灯会亮；如果发烧，
那么可能是流感。
必要条件推理关系的应用
03
充分条件与必要条件的应 用场景
法律逻辑中的充分条件和必要条件
法律逻辑中的充分条件
在法律逻辑中，充分条件通常指的是能够充分证明某一事实或证据的条款或条 件。如果某一事实或证据是另一个事实或证据的充分条件，那么只要这个事实 或证据成立，另一个事实或证据也就必然成立。
法律逻辑中的必要条件
在法律逻辑中，必要条件通常指的是某一事实或证据必须满足的不可缺少的条 件。如果缺少这个条件，那么另一个事实或证据就无法成立。
经济案例中的充分条件和必要条件
经济案例1
在国际贸易中，出口商品符合进口国的技术 标准是充分条件，而进口国颁发进口许可证 则是必要条件。如果出口商品不符合进口国 的技术标准，则无法获得进口许可证。
经济案例2
在投资决策中，投资项目的盈利前景是充分 条件，而投资者的资金实力则是必要条件。 如果投资项目的盈利前景不佳，则投资者可 能会放弃该项目。
充分条件和必要条件(含区分和例题)
充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。
简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。
（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。
2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。
例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。
区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。
此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。
此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。
2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。
我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。
我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。
充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学内涵。
如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗答必然属于。
2. 必要性条件。
事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。
如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不能推倒出亲情关系属于父子关系。
充分条件与必要条件知识点
充分条件与必要条件知识点充分条件和必要条件是高中数学中的重要概念。
虽然这些概念比较抽象，但是它们的理解对于学生来说非常重要。
下面是关于高一数学中充分条件和必要条件的知识点。
1.充分条件、必要条件和充要条件充分条件指的是，如果条件A成立，那么结果B也成立。
也就是说，条件A是B成立的充分条件。
必要条件则是指，如果条件A成立，那么结果B也成立。
也就是说，结果B是条件A成立的必要条件。
充要条件则是指，如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B。
简单来说，如果满足条件A，那么结果B必然成立；如果不满足条件A，那么结果B必然不成立。
因此，条件A是结果B的充分必要条件。
反之，如果有事物情况B，则必然有事物情况A；如果没有事物情况B，则必然没有事物情况A。
因此，结果B是条件A的充分必要条件。
简单来说，如果满足结果B，那么条件A必然成立；如果不满足结果B，那么条件A必然不成立。
因此，结果B是条件A的充分必要条件。
也就是说，条件A可以推导出结果B，结果B也可以推导出条件A。
2.充分条件、必要条件和充要条件的判断对于命题“若…，则…”，其条件与结论之间的逻辑关系如下：如果条件A成立，那么结果B也成立，用符号表示为A B。
如果条件A成立，但结果B不一定成立，用符号表示为A B。
如果条件A和结果B互相成立，用符号表示为A B。
具体来说，如果XXX且B成立，则条件A是结果B成立的充分条件，结果B是条件A成立的必要条件。
如果XXX 且B成立，则条件A是结果B成立的充分且不必要条件，结果B是条件A成立的必要且非充分条件。
如果A和B互相成立，并且B能推导出A成立，则条件B是结果A成立的充分条件，结果A是条件B成立的必要条件。
如果A和B互相成立，那么它们互为充要条件。
要证明A是B的充要条件，需要分两步：①先证明A是B成立的充分条件；②再证明A是B成立的必要条件。
如果A和B互相成立，那么它们互为充要条件。
充分条件、必要条件
一、充分条件、必要条件、充要条件的定义
1．若p 则q 为真，q p ⇒；若p 则q 为假，q p ⇒
条件 结论
2．定义
（1）若q p ⇒，则p 是q 的充分条件
（2）若p q ⇒，则p 是q 的必要条件
（3）若q p ⇒且p q ⇒，则q 是p 的充要条件
二、充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断断
步骤： ①分清条件、结论
②
技巧：①可先化简命题再进行判断；②否定一个命题只需举出一个反例即可。
（2）集合法：集合A ，B 分别是使命题p ，q 为真命题的对象所组成的集合.
⎩
⎨⎧⇒⇒p q q p 充分不必要条件 A B 必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
三、充分条件与必要条件的应用
例：已知p ：，q ：{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0}，若p 是q 的充分不
必要条件，求实数m的取值范围．
令A＝，
……………………………………………………2分
B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}
＝{x|[x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0，m>0}，
∴B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}.………………4分
∵p是q的充分不必要条件，
∴A B.……………………………………………6分
四、证明充要条件
步骤：①分清条件、结论；
②证明充分性：条件⇒结论；
③证明必要性：结论⇒条件；
④下结论。
技巧：证明充要条件，即证明命题的原命题和逆命题都成立．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．。
充分条件和必要条件(含区分和例题)
充分条件和必要条件(含区分和例题)充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。
简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。
（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。
2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。
例子中A 都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。
区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B 的充要条件（充分且必要条件）由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A 是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。
此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。
此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。
2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。
我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。
我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。
充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学内涵。
如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必然属于。
2. 必要性条件。
事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。
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充分条件与必要条件
教学目标
正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;
能正确判定是充分条件、必要条件还是充要条件;
培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;
在充要条件的教学中,培养等价转化思想.
教学建议
教材分析
1.知识结构
首先给出推断符号“”,并引出充分条件与必要条件的意义,在此基础上讲述了充要条件的初步知识.
2.重点难点分析
本节的重点与难点是关于充要条件的判定.
充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系.
在判定条件和结论之间的因果关系中应该:
①首先分清条件是什么,结论是什么;
②然后尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件.推理方法可以是直接证法、间接证法,也可以举反例说明其不成立;
③最后再指出条件是结论的什么条件.
在讨论条件和条件的关系时,要注重:
①若 ,但 ,则是的充分但不必要条件;
②若 ,但 ,则是的必要但不充分条件;
③若 ,且 ,则是的充要条件;
④若 ,且 ,则是的充要条件;
⑤若 ,且 ,则是的既不充分也不必要条件.
若条件以集合的形式出现,结论以集合的形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判定.
①若 ,则是的充分条件;
显然,要使元素 ,只需就够了.类似地还有:
②若 ,则是的必要条件;
③若 ,则是的充要条件;
④若 ,且 ,则是的既不必要也不充分条件.
要证实命题的条件是充要条件,就既要证实原命题成立,又要证实它的逆命题成立.证实原命题即证实条件的充分性,证实逆命题即证实条件的必要性.由于原命题逆否命题,逆命题否命题,当我们证实某一命题有困难时,可以证实该命题的逆否命题成立,从而得出原命题成立.
教法建议
1.学习充分条件、必要条件和充要条件知识,要注重与前面有关逻辑初步知识内容相联系.充要条件中的 , 与四种命题中的 , 要求是一样的.它们可以是简单命题,也可以
是不能判定真假的语句,也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题.
2.由于这节课概念性、理论性较强,一般的教学使学生感到枯燥乏味,为此,激发学生的学习爱好是关键.教学中始终要注重以学生为主,让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”,去体会概念的本质属性.
3.由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关,为此,教学时可以从判定命题的真假入手,来分析命题的条件对于结论来说,是否充分,从而引入“充分条件”的概念,进而引入“必要条件”的概念.
4.教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明,为了让学生能理解定义的合理性,在教学过程中,教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来熟悉“充分条件”的概念,从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念.
教学设计示例
充要条件
教学目标:
正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;
能正确判定是充分条件、必要条件还是充要条件;
培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;
在充要条件的教学中,培养等价转化思想.
教学重点难点:关于充要条件的判定
教学用具:幻灯机或实物投影仪
教学过程设计
1.复习引入
练习:判定下列命题是真命题还是假命题:
若 ,则 ;
若 ,则 ;
全等三角形的面积相等;
对角线互相垂直的四边形是菱形;
若 ,则 ;
若方程有两个不等的实数解,则 .
、、是真命题,、、是假命题.
置疑:对于命题“若 ,则”,有时是真命题,有时是假命题.如何判定其真假的?
答:看能不能推出 ,假如能推出 ,则原命题是真命题,否则就是假命题.
对于命题“若 ,则”,假如由经过推理能推出 ,也就是说,假如成立,那么一定成立.换句话说,只要有条件就能充分地保证结论的成立,这时我们称条件是成立的充分条件,记作 .
2.讲授新课
一般地,假如已知 ,那么我们就说是成立的充分条件.
提问:请用充分条件来叙述上述、、的条件与结论之间的关系.
“ ,”是“”成立的充分条件;
“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件;
“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件.
从另一个角度看,假如成立,那么其逆否命题也成立,即假如没有 ,也就没有 ,亦即是成立的必须要有的条件,也就是必要条件.
提出问题:用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.
.
因为 ,所以是的充分条件, 是的必要条件;
因为 ,所以是的必要条件, 是的充分条件;
因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”,所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件,“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件;
因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”,所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件,“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件;
因为 ,所以是的必要条件, 是的充分条件;
因为“方程的有两个不等的实根”“”,而且“方程的有两个不等的实根”“”,所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件,而且是必要条件.
总结:假如是的充分条件, 又是的必要条件,则称是的充分必要条件,简称充要条件,记作 .
3.巩固新课
例1
B
A是B的什么条件
B是的什么条件
是有理数
是实数
、是奇数
是偶数
是4的倍数
是6的倍数
①因为有理数一定是实数,但实数不一定是有理数,所以是的充分非必要条件, 是的必要非充分条件;
②一定能推出 ,而不一定推出 ,所以是的充分非必要条件, 是的必要非充分条件;
③、是奇数,那么一定是偶数; 是偶数, 、不一定都是奇数,所以是的充分非必要条件, 是的必要非充分条件;
④表示或 ,所以是成立的必要非充分条件;
⑤由交集的定义可知且是成立的充要条件;
⑥由知且 ,所以是成立的充分非必要条件;
⑦由知或 ,所以是 , 成立的必要非充分条件;
⑧易知“是4的倍数”是“是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件;
例 2 已知是的充要条件, 是的必要条件同时又是的充分条件,试与的关系.
解:由已知得
,
所以是的充分条件,或是的必要条件.
4.小结回授
今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念,
并学会了判定条件A是B的什么条件,这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础.
课内练习:课本)第 35页练习l、2;第36页练习l、2.
5.课外作业:教材第36页习题 1、2、3.。