n维向量空间
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n维向量空间
x11 x22 xnn
称有序数组 ( x1, x2 , , xn ) 或 ( x1, x2 , , xn )T 为
在基 1,2 , ,n 下的坐标.
基变换与坐标变换
1. 设n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为： 1, 2 , …, n , 1 , 2 , …, n ,
注意： (1)只含零向量的向量组无极大无关组。
(2)如果一个向量组1,2 , ,m线性无关，则它
自身就是自己的极大无关组。
• 定义3 向量组 1,2 , ,m 的极大无关组
所含向量个数r称为向量组的秩。记为
r(1 ,2 , ,m ) r
规定只含零向量的向量组的秩为零。
性质
则 t s
推论2 若线性无关的向量组 1, 2 ,, t 与线
性无关的向量组 1, 2 ,, s 等价,则 t s
2.极大无关组和秩
• 定义2 在向量组(I) 1,2 , ,m 中，
如果存在r个向量 i1 ,i2 , ,ir ，满足：
(1) i1 ,i2 , ,ir 线性无关； （无关性）
1 = k111 + k212 + … + kn1n
且
2 = k121 + k222 + … + kn2n
… …… ……… …… …
n = k1n1 + k2n2 + … + knnn
利用矩阵形式可表为：
k11 k12
(1,
2,
…,
n)
=
(1,
2,
…,
n)
k21
k22
kn1
kn2
k1n
称有序数组 ( x1, x2 , , xn ) 或 ( x1, x2 , , xn )T 为
在基 1,2 , ,n 下的坐标.
基变换与坐标变换
1. 设n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为： 1, 2 , …, n , 1 , 2 , …, n ,
注意： (1)只含零向量的向量组无极大无关组。
(2)如果一个向量组1,2 , ,m线性无关，则它
自身就是自己的极大无关组。
• 定义3 向量组 1,2 , ,m 的极大无关组
所含向量个数r称为向量组的秩。记为
r(1 ,2 , ,m ) r
规定只含零向量的向量组的秩为零。
性质
则 t s
推论2 若线性无关的向量组 1, 2 ,, t 与线
性无关的向量组 1, 2 ,, s 等价,则 t s
2.极大无关组和秩
• 定义2 在向量组(I) 1,2 , ,m 中，
如果存在r个向量 i1 ,i2 , ,ir ，满足：
(1) i1 ,i2 , ,ir 线性无关； （无关性）
1 = k111 + k212 + … + kn1n
且
2 = k121 + k222 + … + kn2n
… …… ……… …… …
n = k1n1 + k2n2 + … + knnn
利用矩阵形式可表为：
k11 k12
(1,
2,
…,
n)
=
(1,
2,
…,
n)
k21
k22
kn1
kn2
k1n
3.2 n维向量空间
2.表示方法 2.表示方法
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量空间
n维向量空间在数学中，向量是用来表示方向和大小的量，而n维向量空间是指由n个方向上的向量组成的空间。
这种空间在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、统计学等。
向量的定义和性质一个n维向量可以表示为一个包含n个实数的有序集合，通常写成列向量的形式：$$ \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix} $$在 n 维空间中，两个向量的加法和数量乘法满足以下性质：1.加法交换律：$$ \\mathbf{u} + \\mathbf{v} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} $$2.加法结合律：$$ \\mathbf{u} + (\\mathbf{v} + \\mathbf{w}) = (\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) + \\mathbf{w} $$3.数量乘法结合律：$$ c(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = c\\mathbf{u} + c\\mathbf{v} $$4.数量分配律：$$ (c+d)\\mathbf{u} = c\\mathbf{u} + d\\mathbf{u} $$5.数量乘法分配律：$$ c(d\\mathbf{u}) = (cd)\\mathbf{u} $$6.标量乘法的单位元：$$ 1\\mathbf{u} = \\mathbf{u} $$n维向量空间的例子n维向量空间并不局限于几何空间的概念，它可以应用于更广泛的领域。
比如在机器学习中，特征向量常常被表示为n维空间中的一个点，这个点对应于特征空间中的一个特定特征组合。
另外，在数字信号处理中，信号通常被表示为一个n 维向量，这样可以更好地处理信号的复杂性。
向量的内积和外积在 n 维空间中，向量的内积和外积是两个重要的运算。
内积定义如下：$$ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$内积有许多重要的性质，比如内积为零表示两个向量正交，内积的值与向量夹角的余弦有关等。
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
n维向量空间
(1) 加法：
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
数学线性代数n维向量空间
A = (α1, α2 ,L , αm )，°A = (α1, α2 ,L , αm , β)。
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
3.3向量空间
2 3 2 (b1 , b2 ) = ( a 1 , a 2 , a 3 ) 3 1 4 3 1 . 2 3
思考题
设V = {x = ( a , b ) 运算如下 : 加法 : (a , b ) ⊕ ( c , d ) = ( a + c , bd ), 数乘 : k o (a , b ) = (lg a , b k ), k ∈ R V是不是向量空间 ? 为什么 ?
T
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
{
}
解
V2不是向量空间 .
因为若 α = (1, a 2 ,L, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 , L ,2a n ) V2 .
T
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + b λ , ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间
解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + 1b x 2 = λ 2 a + 2 b， 则有
x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( 1 + 2 )b ∈ V ,
： 向量空 的
{( x, y,z) ax+by+cz=d} {r =( x, y,z)
P( x, y, z)
T
ax+by+cz=d}
T
r = ( x, y, z)
n 维向量没有直观的几何形象． n > 3时， 维向量没有直观的几何形象．
思考题
设V = {x = ( a , b ) 运算如下 : 加法 : (a , b ) ⊕ ( c , d ) = ( a + c , bd ), 数乘 : k o (a , b ) = (lg a , b k ), k ∈ R V是不是向量空间 ? 为什么 ?
T
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
{
}
解
V2不是向量空间 .
因为若 α = (1, a 2 ,L, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 , L ,2a n ) V2 .
T
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + b λ , ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间
解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + 1b x 2 = λ 2 a + 2 b， 则有
x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( 1 + 2 )b ∈ V ,
： 向量空 的
{( x, y,z) ax+by+cz=d} {r =( x, y,z)
P( x, y, z)
T
ax+by+cz=d}
T
r = ( x, y, z)
n 维向量没有直观的几何形象． n > 3时， 维向量没有直观的几何形象．
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中的每一个方程都可用一个n+1 维向量表示
a11
a12 ... a1n b1
第 1 个方程 第 i 个方程
a i 1
ai 2
... a in
bi
线性方程组的每一个解都是一个n 维向量
a11 a 21 A a s1
a12 a 22 as2
... a1 n 矩阵A的每一行是一个n 维向量， ... a 2 n 称为A的行向量； 矩阵A的每一列是一个s 维向量， ... a sn 称为A的列向量.
每个n 维行向量 a1 , a2 , ..., an 可看成一个 1× n 矩阵 b1 b2 每个n 维列向量 可看成一个 n×1 矩阵 b n
§3.3 线性相关性
一、 一个向量组与一个向量;
二、 一个向量组与另一个向量
1 ( 2,1,3,1) 向量组 2 (4,2,5,4) ( 2,1,4,1) 3
第三个方程等于第一个 方程的3倍减去第二个方程 .
3 3 1 2 , 3是 1 , 2的一个线性组合.
在 n 维向量空间Pn 中， 1 = ( 1, 0, …, 0 ), 2 = ( 0, 1, …, 0 ),
定义7(3) ( )
向量的加法与数乘满足的运算规则
( 1 ) ( 2 ) ( ) ( ) 加法 ( 3 ) o ( 4 ) ( ) o
(5) (6) 数乘 (7 ) (8)
组; 三、 一个向量组的内部.
一、向量组的线性表示
1 例 1 设有向量 1 4 1
2 2 3 0
2 3 0
4 5 2
§3.2 n维向量空间
对于具体地求解线性方程组,消元法是一个最有效和最基本 的方法.
1) 能否直接从原方程组来讨论它的解的情形(是否有解,有解时是 唯一解还是无穷多解)? 2) 用消元法化方程组为阶梯形,剩下来的方程的个数是否唯一? 3) 哪些未知量可以取作自由未知量? 4) 解不唯一时,解与解之间存在怎样的关系?
= ( 3, 1, －2, 2, 1 )
2+3=2 ( 5,－1, 3, 2, 4 ) + 3 ( 3, 1,－2, 2, 1 ) = ( 10, －2, 6, 4, 8 ) + ( 9, 3,－6, 6, 3 ) =( 19, 1, 0, 10, 11 )
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 a s 1 x1 a s 2 x 2 a sn x n bs
无穷多解
如 1 22 3
设 ( 2 ,3 ,4 ,1 ),
1 ( 1,2 ,3 ,4 ), 2 ( 2 ,1,3 ,4 ), 3 ( 2 ,1,2 ,5 ) 问 能否由 1 , 2, 3 3 得( 2 ,3 ,4 ,1 ) k1 ( 1,2 ,3 ,4 ) k 2 ( 2 ,1,3 ,4 ) k 3 ( 2 ,1,2 ,5 )
定义 向量相等
(a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) ai bi , i 1, , n
二、n维向量的运算 (1) 加法
定义7(1) 向量a1 b1 , a 2 b2 , ..., an bn 称为向量 a1 , a2 , ..., an b1 , b2 , ..., bn 的和 记为
1 , 2 , , s 线性表示？
如果能线性表示, 那么表示方式是否唯一 ?
设 ( 0 ,4 ,2 ,5 ),
1 ( 1,2 ,3 ,1 ), 2 ( 2 ,3 ,1,2 ), 3 ( 3 ,1,2 ,2 ) 问 能否由 1 , 2, 3线性表出?
设 k1 1 k 2 2 k 3 3 得( 0 ,4 ,2 ,5 ) k1 ( 1,2 ,3 ,1 ) k 2 ( 2 ,3 ,1,2 ) k 3 ( 3 ,1,2 ,2 )
k ( ) k k ( k l ) k l k ( l ) ( kl ) 1
向量的加法与数乘统称为向量的线性运算. 定义8 数域P上的n维向量的全体,同时考虑到定义在它们上 面的线性运算,称为数域P上的n维向量空间, 记作P n
例 已知向量 =( 5,－1, 3, 2, 4 ) ， 3－4=( 3,－7,17,－2,8 ) , 求 2+3 . 解 4 =3 －（ 3,－7,17,－2,8 ） = （15,－39,6,12）－（3,－7,17,－2,8） = ( 12, 4, －8, 8, 4 )
1 2 3
设 ( 2 ,1,3 ,4 ,1 ),
1 ( 1,2 ,3 ,1,2 ), 2 ( 5 ,5 ,12 ,11,5 ), 3 ( 1,3 ,6 ,3 ,3 ) 问 能否由 1 , 2, 3线性表出?
设 k1 1 k 2 2 k 3 3
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
一个n元线性方程组 a1 x1 a2 x2 an xn b 可以用一个n+1元有序数组
a11 x1 a12 x 2 ... a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2 a x a x ... a x bm m1 1 m2 2 mn n
,n = ( 0, 0, …, 1 )
1 , 2, …, n 称为n 维基本向量(n 维单位向量)
设 = ( a1, a2, …,an ) 是Pn 中的任一向量
= ( a1, a2, …,an )
=( a1, 0, …, 0 ) + ( 0, a2, …, 0 ) + …+ ( 0, 0, …, an ) = a1 ( 1, 0, …, 0 ) + a2 ( 0, 1, …, 0 ) +…+ an ( 0, 0, …, 1 )
21 2
1 2 4 1
4 5 2
21 2
称 是 1 , 2 的线性组合 或 可以由 1 , 2线性表示
定义9 对于给定的向量, 1, 2 ,…, s 如果存在一组数 k1,k2,…,ks 使关系式
n维向量写成一行,称为行向量,如:
(a1 , a2 ,, an )
n维向量写成一列,称为列向量, 如：
a1 a2 a n
n维列向量也可记作
( a1 , a2 , , an )
T
定义 分量全为零的向量称为零向量,记为0. 0 0 (0,0,,0) 或 0 0 0
1 = 11+ 02+ … +0s 2 = 01+ 12+ … +0s
一般地,j = 01+ …+0 j －1+1j+ 0 j+1 … +0s
结论3 向量组1, 2, …, s 中的任一向量,都是该向量组的 线性组合.
一般地 , 如何判定一个向量 能否由一个向量组
= a1 1 + a2 2 + …+an n
结论1 Pn 中的任一向量 都可以由单位向量组1 , 2, …, n 线性表出.
设 1, 2, …, s 是Pn 中的任一向量组 o=01+ 02+ … +0s 结论2 零向量是任一向量组的线性组合.
向量组1, 2, …, s
(a1 , a 2 ,, a n , b) 来表示
方程之间的关系实际上就是n+1元有序数组之间的关系
一、n维向量的概念
定义 数域P上的n个数组成的有序数组
( a1 , a 2 , , a n )
称为数域P上的一个n维向量, ai 称为向量的第个分量. i 一般用小写希腊字母，，， 等表示向量.
2 k1 2 k 2 2 k 3 3 2 k 2 k 2 k 1 2 3 即 4 3 k1 2 k 2 5 k 3 1 4 k1 5 k 2 4 k 3
无解
故 不能由 1 , 2, 3线性表出
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
2 k1 5k 2 k 3 1 2k 5k 3k 1 2 3 得 3 3k1 12k 2 6k 3 4 k 11k 3k 1 2 3 1 2k1 5k 2 3k 3
故 能由 1 , 2, 3线性表出
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
(2) 数乘
定义7(2) 设k为数域P中的数,向量ka1 , ka2 , ..., kan 称为向量 a1 , a2 , ..., an 与数k的数量乘积 记为 k
k ( ka1 , ka2 , kan )
定义 向量 a1 , a2 , ..., an 称为向量 a1 , a2 , ..., an 的
a11
a12 ... a1n b1
第 1 个方程 第 i 个方程
a i 1
ai 2
... a in
bi
线性方程组的每一个解都是一个n 维向量
a11 a 21 A a s1
a12 a 22 as2
... a1 n 矩阵A的每一行是一个n 维向量， ... a 2 n 称为A的行向量； 矩阵A的每一列是一个s 维向量， ... a sn 称为A的列向量.
每个n 维行向量 a1 , a2 , ..., an 可看成一个 1× n 矩阵 b1 b2 每个n 维列向量 可看成一个 n×1 矩阵 b n
§3.3 线性相关性
一、 一个向量组与一个向量;
二、 一个向量组与另一个向量
1 ( 2,1,3,1) 向量组 2 (4,2,5,4) ( 2,1,4,1) 3
第三个方程等于第一个 方程的3倍减去第二个方程 .
3 3 1 2 , 3是 1 , 2的一个线性组合.
在 n 维向量空间Pn 中， 1 = ( 1, 0, …, 0 ), 2 = ( 0, 1, …, 0 ),
定义7(3) ( )
向量的加法与数乘满足的运算规则
( 1 ) ( 2 ) ( ) ( ) 加法 ( 3 ) o ( 4 ) ( ) o
(5) (6) 数乘 (7 ) (8)
组; 三、 一个向量组的内部.
一、向量组的线性表示
1 例 1 设有向量 1 4 1
2 2 3 0
2 3 0
4 5 2
§3.2 n维向量空间
对于具体地求解线性方程组,消元法是一个最有效和最基本 的方法.
1) 能否直接从原方程组来讨论它的解的情形(是否有解,有解时是 唯一解还是无穷多解)? 2) 用消元法化方程组为阶梯形,剩下来的方程的个数是否唯一? 3) 哪些未知量可以取作自由未知量? 4) 解不唯一时,解与解之间存在怎样的关系?
= ( 3, 1, －2, 2, 1 )
2+3=2 ( 5,－1, 3, 2, 4 ) + 3 ( 3, 1,－2, 2, 1 ) = ( 10, －2, 6, 4, 8 ) + ( 9, 3,－6, 6, 3 ) =( 19, 1, 0, 10, 11 )
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 a s 1 x1 a s 2 x 2 a sn x n bs
无穷多解
如 1 22 3
设 ( 2 ,3 ,4 ,1 ),
1 ( 1,2 ,3 ,4 ), 2 ( 2 ,1,3 ,4 ), 3 ( 2 ,1,2 ,5 ) 问 能否由 1 , 2, 3 3 得( 2 ,3 ,4 ,1 ) k1 ( 1,2 ,3 ,4 ) k 2 ( 2 ,1,3 ,4 ) k 3 ( 2 ,1,2 ,5 )
定义 向量相等
(a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) ai bi , i 1, , n
二、n维向量的运算 (1) 加法
定义7(1) 向量a1 b1 , a 2 b2 , ..., an bn 称为向量 a1 , a2 , ..., an b1 , b2 , ..., bn 的和 记为
1 , 2 , , s 线性表示？
如果能线性表示, 那么表示方式是否唯一 ?
设 ( 0 ,4 ,2 ,5 ),
1 ( 1,2 ,3 ,1 ), 2 ( 2 ,3 ,1,2 ), 3 ( 3 ,1,2 ,2 ) 问 能否由 1 , 2, 3线性表出?
设 k1 1 k 2 2 k 3 3 得( 0 ,4 ,2 ,5 ) k1 ( 1,2 ,3 ,1 ) k 2 ( 2 ,3 ,1,2 ) k 3 ( 3 ,1,2 ,2 )
k ( ) k k ( k l ) k l k ( l ) ( kl ) 1
向量的加法与数乘统称为向量的线性运算. 定义8 数域P上的n维向量的全体,同时考虑到定义在它们上 面的线性运算,称为数域P上的n维向量空间, 记作P n
例 已知向量 =( 5,－1, 3, 2, 4 ) ， 3－4=( 3,－7,17,－2,8 ) , 求 2+3 . 解 4 =3 －（ 3,－7,17,－2,8 ） = （15,－39,6,12）－（3,－7,17,－2,8） = ( 12, 4, －8, 8, 4 )
1 2 3
设 ( 2 ,1,3 ,4 ,1 ),
1 ( 1,2 ,3 ,1,2 ), 2 ( 5 ,5 ,12 ,11,5 ), 3 ( 1,3 ,6 ,3 ,3 ) 问 能否由 1 , 2, 3线性表出?
设 k1 1 k 2 2 k 3 3
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
一个n元线性方程组 a1 x1 a2 x2 an xn b 可以用一个n+1元有序数组
a11 x1 a12 x 2 ... a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2 a x a x ... a x bm m1 1 m2 2 mn n
,n = ( 0, 0, …, 1 )
1 , 2, …, n 称为n 维基本向量(n 维单位向量)
设 = ( a1, a2, …,an ) 是Pn 中的任一向量
= ( a1, a2, …,an )
=( a1, 0, …, 0 ) + ( 0, a2, …, 0 ) + …+ ( 0, 0, …, an ) = a1 ( 1, 0, …, 0 ) + a2 ( 0, 1, …, 0 ) +…+ an ( 0, 0, …, 1 )
21 2
1 2 4 1
4 5 2
21 2
称 是 1 , 2 的线性组合 或 可以由 1 , 2线性表示
定义9 对于给定的向量, 1, 2 ,…, s 如果存在一组数 k1,k2,…,ks 使关系式
n维向量写成一行,称为行向量,如:
(a1 , a2 ,, an )
n维向量写成一列,称为列向量, 如：
a1 a2 a n
n维列向量也可记作
( a1 , a2 , , an )
T
定义 分量全为零的向量称为零向量,记为0. 0 0 (0,0,,0) 或 0 0 0
1 = 11+ 02+ … +0s 2 = 01+ 12+ … +0s
一般地,j = 01+ …+0 j －1+1j+ 0 j+1 … +0s
结论3 向量组1, 2, …, s 中的任一向量,都是该向量组的 线性组合.
一般地 , 如何判定一个向量 能否由一个向量组
= a1 1 + a2 2 + …+an n
结论1 Pn 中的任一向量 都可以由单位向量组1 , 2, …, n 线性表出.
设 1, 2, …, s 是Pn 中的任一向量组 o=01+ 02+ … +0s 结论2 零向量是任一向量组的线性组合.
向量组1, 2, …, s
(a1 , a 2 ,, a n , b) 来表示
方程之间的关系实际上就是n+1元有序数组之间的关系
一、n维向量的概念
定义 数域P上的n个数组成的有序数组
( a1 , a 2 , , a n )
称为数域P上的一个n维向量, ai 称为向量的第个分量. i 一般用小写希腊字母，，， 等表示向量.
2 k1 2 k 2 2 k 3 3 2 k 2 k 2 k 1 2 3 即 4 3 k1 2 k 2 5 k 3 1 4 k1 5 k 2 4 k 3
无解
故 不能由 1 , 2, 3线性表出
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
2 k1 5k 2 k 3 1 2k 5k 3k 1 2 3 得 3 3k1 12k 2 6k 3 4 k 11k 3k 1 2 3 1 2k1 5k 2 3k 3
故 能由 1 , 2, 3线性表出
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
(2) 数乘
定义7(2) 设k为数域P中的数,向量ka1 , ka2 , ..., kan 称为向量 a1 , a2 , ..., an 与数k的数量乘积 记为 k
k ( ka1 , ka2 , kan )
定义 向量 a1 , a2 , ..., an 称为向量 a1 , a2 , ..., an 的