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n维向量空间

计算 2
§8 向量间的线性关系一、线性组合定义1 设n维向量组 1 , 2 , , m , , 如果存在一组
数k1，k 2， , k m，使得 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组 1 , 2 , m的一个线性组合；
或称可以由向量组 1 , 2 , m 线性表示。
例1 零向量组是任何向量组的线性组合。例2 n维向量 1 (1,0,,0), 2 (0,1,,0),, n (0,0,,1), 任意一个n维向量都可以由 1 , 2 ,, n 线性表示。
称 1 , 2 ,, n 为n维基本单位向量。
(7) ( kl ) k ( l ) ( 8) 1 定义4 以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到在它们上面的加法及数量乘法满足上述的8条运算规律，则称此集合为数域P上的n维向量空间，记作 P n .
P {(a1 , a 2 ,, a n ) a i P , i 1,2,, n}
系数矩阵的列向量组。
c1 c2 称为方程组(1)的解向量. c n [注] 1.称 (0,0,0) 为n维零向量,记作 ;
如果 x1 c1, x2 c2, xn cn是方程组(1)的解，
2. 若 (a1 ,a 2 ,an ) ,称 ( a1 , a 2 ,, an ) 为的负向量,记作 .即: ( a1 , a 2 ,, an )
推论1 设向量组 a1 , a2 ,..., a s 线性无关，且 a1 , a2 ,..., a s 可以由向量组 1 , 2 ,..., t 线性表示，则 s t . 推论2 任意n+1个n维向量一定线性相关。

高等代数第二版课件§3[1].2_n维向量空间

a , a , , a , b 元向量来表示： i 1 i 2 i n i
a ,,, aa , b ,,, bb 向量的相等：如果两个n维向量 1 2 n 1 2 n bi , 1 , 2 , . n 的对应分量都相等，即 a ，则 i i 称这两个向量相等，记为 a b , a b ,, a b 向量的和：向量称为向量 1 12 2 n n aa ,2 , , a 与记为 r=α+β。 bb ,2 , , b 1 n 的和， 1 n 0,0 ,0 称为零向量。零向量：分量全为零的n维向量：负向量：向量 a , a , , a aa ,2 , , a 称为向量的负向 1 2 n 1 n 量，记为-α。 a , a , , akF , ，则称向量向量的数量乘积：设 1 2 n k ak ,a , , k a 为向量α与数k的数量乘积， 1 2 n 记为kα。向量的减法：α-β=α+（-β）。
如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空间，记为 F n 。由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、 0 0； 2、 1 ； 3、k 0 0； 4、若 k 0 ,0，则
§3.2
n维向量空间
一、向量空间的定义和例子
向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨论过二维和三维向量空间中的向量。在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量的定义。定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 ,a , ,a a 有序数组： 1 2 n 其中 a i 称为向量的第i个分量。几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 x a x a xb 向量，一个方程 a 就可以用一个n+1 i 1 1 i 2 2 i n n i

n维向量空间与线性相关性.ppt

（1）
（加法交换律）
（2） ( ) ( ) （加法结合律）
（3） O O
（4） ( ) O
（5）1
（6） kl kl
（数乘结合律）
（7） k k k （数对向量的分配律）
（8） k l k l （向量对数的分配律）
其中 , , F n ，1,k,l F ， O 为 F n 中的零向量。
即
a1,a 2 , ,a n 。
设 (a1,a 2 , ,a n ) ， b1,b2 , ,bn 都是 n 维向量，则当且仅当 ai bi i 1,2, , n
3.1.2 n 维向量的运算既然向量可看成矩阵，那么，由矩阵运算的定义就可得向
量的运算。
定义 2 设 (a1, a 2 , , a n ) ， b1, b2 , , bn Fn ， k F ，
在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算。故向量的加法运算和数乘向量的运算统称为向量的线性运算
定义 3 数域 F（一般为实数域 R 或复数域C ）上全体 n 维
向量的集合，连同定义在其上的线性运算，称为数域 F 上的
n 维向量空间，仍记为 F n 。当 F 为 R 时，称为 n 维实向量空
间，记为 Rn 。
3.2 向量组的线性相关性
本节将利用 n 维向量空间中向量的线性运算来研究向量
之间的线性关系，着重讨论有关向量的三个基本概念：线性组合，线性相关与线性无关。
以下总是在一个固定的数域 F 上的 n 维向量空间中进行
讨论，不再每次说明。
3.2.1 线性组合与线性表示
定义 1 设有 n 维向量1, 2 , , m 及 ,如果存在一组数
第 3 章 n 维向量及向量组的线性相关性 3.1 n 维向量

线性代数n维向量空间小结幻灯片

故向量组 1 , 2 , 3 , 4 , 5的秩为3.
又 1 , 2 , 4是U的列向量组的一个最大线性
无关组,
所以 1 , 2 , 4也是A的列向量组的一个最大
线性无关组.
1
30
三、向量空间的判定
判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭．若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间．
若R( A) m,则 1, 2 , , m 线性无关, 若R( A) m,则 1, 2 , , m 线性相关.
1
17
例１研究下列向量组的线性相关性
1 0 1
1 2, 2 2 , 3 0 .
3
5
2
解一
令 k1 1 k2 2 k3 3 0,即
1 0 1 0 k1 2 k2 2 k3 0 0
的向量均为T的最大无关组。
关于向量空间和子空间: 基，维数。
组(I)无关，组(I)可由(II)表出，
则组(I)的个数<组(II)的个数。
1
7
四、 X AX 0解空间，维数：n - R(A)
任n R(A)个线性无关的AX 0的解向量均为 AX 0的基解系。
x k11 k22 L krt
即向量方程
k1 1 k 2 2 k r r (k1t1 k2 t2 kr tr) 0
1
22
是否有某组不全为零的数 k1 , k 2 , , k r ,而使得对
每个恒有非零解,因此可得如下证明.
证明因为 1 , 2 , , r 线性相关,所以存在不全
为零的数k1, k2 , , kr ,使
对i 1,2,L
n都有解
L L L
an1x1 an2x2 L ann xn 0

第四章 n 维向量空间

一般地，
e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
对任意n维向量 x1, x2 , , xn
x1e1 x2e2 xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
rank 1 ,2 , m rank 1 ,2 , m ,β m 定理4.3
rank(1 ,2 ,
m ) m, 则1 ,2 ,
线性无关，
m
rank(1 ,2 , m ,β)=m m 1, 则1 ,2, m ,β线性相关
例4.8 证明任意n维向量均可由n维向量组
1 1，1，，1T , 2 0，1，，1T , , n 0,0， , 0,1T
仅当k1 k2 km 0时
kα1 1 k2α2 kmαm 0成立称向量组A 线性无关
定理4.2
1 仅含一个向量的向量组线性相关 α = 0
2 含有零向量的向量组线性相关
3 向量组线性相关至少有一个向量可由其他
向量线性表示
4 向量组中部分向量线性相关向量组线性相关
向量组线性无关向量组中任意部分向量线性无关
向量组1,2 ,
,
也线性相关。这与
m
条件1,2 ,
,
线性无关矛盾。
m
所以， '1, '2 , , 'm 线性无关。
例4.7
证明下列向量组1，
2，
线性无关。
3
1
1, a, a2, b
T
, 2
1, b, b2, c
T

第三章 n维向量组 PPT课件

组成的向量组称为 n 维单位向量组，且任意 n 维向量都可以被该
向量组线性表出。（有的书上用1 (1,0, ,0)，2 (0,1, ,0)，， n (0,0, ,1) 表示单位向量组。）（4）向量组1,2 , ,m 中任意向量都可以用这个向量组线性表出，即 i 0 1 0 2 0 i1 1i 0 i1 0 m
则向量 (b1, b2 , , bm ) 可由向量组 1,2 , ,n 线性表出的充
分必要条件是线性方程组
a11k1 a21k2 an1kn b1
a12k1
a22k2
an2kn
b2
a1mk1 a2mk2 anmkn bm
有解。
【注】定理3.2.1和命题1的区别是，定理3.2.1中向量组是 1, 2 ,
（2）分量都是零的向量称为零向量，记作 O，即O (0,0, ,0)
（3）向量(a1,a2 , ,an ) 称为向量 (a1, a2 , , an ) 的负
向量，记作
2. 向量的线性运算（1）向量的加法
定义3.1.2：设 (a1, a2 , , an )， (b1,b2 , ,bn ) ，那么向量 (a1 b1, a2 b2 , , an bn ) 称为与的和，记为，即
n
把原始向量的序号 1,2 , ,n , 标注在矩阵右侧；
第二步：对矩阵 A 作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，且
将每次变换的过程标注在右侧；
第三步：若最后的行阶梯形矩阵中，标注有的行不是零行，则向量不能被向量组1,2, ,n 线性表出；若标注有的行
是零行，则令标注的表达式为零，通过移项化简，则能用向量组
3
1 1 0
0
2
1
0 2

n维向量空间

矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
第三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向量
a1 Hale Waihona Puke 空间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向量
若 L, L, 则 L;
空间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第三
有问题可通过Email询问:
章
n
维向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量空间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1

第四章 n 维向量空间

4.2.3 向量的线性相关与线性无关线性相关和线性无关与线性表示概念密切联系。定义4.3 设有n维向量组A : α1 , α2 , L , αm , 如果存在一组不全为0的数k1 , k2 ,L , km，使 k1α1 + k2 α2 + L + km αm = 0 称向量组A 线性相关。若仅当k1 = k2 = L = km = 0时，有 k1α1 + k2 α2 + L + km αm = 0 成立，称向量组A 线性无关。给定的向量组A，线性相关或线性无关二者必居其一。
线性方程组 (4.2)可表示为两种矩阵方程： (1) . 将所有系数构成一个系数矩阵 A a 11 a 12 a 21 a 22 M M a n1 a n 2 即： AX = L L M L B a1m a2m M a nm = β b1 b2 = M bn a1m a2m M a nm x1 x2 M xm b1 b2 = M bn
例4.3 证明任意n维向量α = (a1 , a2 ,L, an )T 可由基本单位向量 e1 = (1, 0,L, 0)T , e2 = (0,1,L, 0)T ,L, en = (0, 0,L,1)T 唯一地线性表示。解由 1 0 L 0 a1 0 1 L 0 a2 ( e1 , e2 ,L, en , α) = M M M M 0 0 L 1 an 可知 rank(e1 ,e2 ,L, en ) = rank(e1 ,e2 ,L, en , α) = n。因此，α可由e1 ,e2 ,L, en唯一地线性表示。显然 α = a1e1 + a2 e2 +Lan en

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2. 向量运算的基本性质
1) 加法交换律 +=+ 2) 加法结合律 (+)+= +(+) 3) 零元特性 +0= 4) 负元特性 +()=0
.
7
5) 1=
6) 结合律 k(l)= (kl)
7) (k+l)= k+l
8) k(+)= k+k 9) 0=0，(-1)=-, k0=0 10) 如果k0, 0, 则k0，即 11) 如果k＝0，则 k=0或=0.
a1
a
2
a
n
.
3
2. 向量的相等
对于两个n维向量 =(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn)
如果其对应分量皆相等，即 ai= bi , i=1,2,…,n,
则称向量与相等，记作 =．
.
4
3.一些特殊向量
,…,0).
负向量：向量(a1, a2,…, an)称为向量=(a1, a2,…, an)的负向量，记作.
.
5
二、n维向量的运算
定义设=(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn), k 为数域P中的数，定义向量
(a1+b1,a2+b2,…,an+bn) 为向量与的和,记为+ ；
称向量(ka1, ka2,…, kan)为向量 = (a1, a2,…, an)与数k的. 数量乘积, 记为k. 6
.
8
3、 n维向量空间
定义数域P上的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的的加法和数量乘法运算，称为数域P上的n维向量空间，记作Pn。
.
9
n维向量空间
.
1
一、n维向量的概念
1．定义由数域P上的n个数组成的有序数组
(a1, a2,…, an) 称为数域P上的一个n维向量，称ai为该向量的第i个分量,
.
2
注：
① 向量常用小写希腊字母,,,…来表示
② 向量通常写成一行=(a1, a2,…, an)
称之为行向量；向量写成一列称之为列向量；