3.1n维向量组及其线性相关性 第三章向量的线性相关性与向量空间 线性代数 课件
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线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
线性代数第3章向量空间
1 1 22 2 31 42 则 1 , 2 , 3 必相关 3 51 62 如果 B : 1, 2 ,, m 可由 A : 1,2 ,,n
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如：1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关，否则如果矩还阵是的转秩换小！于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
(完整版)n维向量及其线性相关剖析
0 0
- 11 14
1 1 - 1 - 6
0 0 1 9
-111 142 93
线性代数
17
练习 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为
向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是,
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
线性代数
14
6
3
2
例1
向 量
9
能
否
由
向
量
组1
3,2
5,
6
6
4
3
6 9
线 性 表 示 。
15
设
向
量可
由
向
量
组1，
2，
线
3
性
表
示
为
：
x11 x22 x33
3 x1 3 x1
2x2 5x2
6x3 9x3
6 9
线性代数
1
本讲内容：
1、n 维向量及其线性运算 2、向量组的线性组合 3、向量组的线性相关性
线性代数
2
一、n维向量的概念：
定义1 n 个 有 次 序 的 数a1, a2 , , an 所 组 成 的 数 组 称 为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
线性代数
7
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
(-
)
2
2
(- )
机身的水平转角 (0 2 )
线代3-1n维向量组及线性相关性
称为向量组的一个线性组合， k1，k 2， , k m 称为这 个线性组合的系数 .
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此
向量组是线性无关的 .
例２ 已知
1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性 .
（2）记Ar m ( 1 , m )，B( r 1)m (b1 ,, bm ), 有R( A) R( B ).若向量组A线性无关, 则R( A) m ， 从而有 R( B ) m . 但 R( B ) m (因 B 只有 m 列）， 故R( B ) m，因此向量组B线性无关.
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
说明
结论（ ）可推广为: 一个向量组若有线性 1
相关的部分组，则该向 量组线性相关.特别地， 含有零向量的向量组必 线性相关.反之，若一个 向量组线性无关，则它 的任何部分组都线性无 . 关
第三章 向量的线性相关性
与向量空间
第一节 n维向量组及其 线性相关性
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此
向量组是线性无关的 .
例２ 已知
1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性 .
（2）记Ar m ( 1 , m )，B( r 1)m (b1 ,, bm ), 有R( A) R( B ).若向量组A线性无关, 则R( A) m ， 从而有 R( B ) m . 但 R( B ) m (因 B 只有 m 列）， 故R( B ) m，因此向量组B线性无关.
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
说明
结论（ ）可推广为: 一个向量组若有线性 1
相关的部分组，则该向 量组线性相关.特别地， 含有零向量的向量组必 线性相关.反之，若一个 向量组线性无关，则它 的任何部分组都线性无 . 关
第三章 向量的线性相关性
与向量空间
第一节 n维向量组及其 线性相关性
第1节 n维向量及其线性相关性(全)
第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。
,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。
◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。
◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。
◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。
11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。
1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。
则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。
3-1 向量组的线性相关性
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例4 判断向量 b1 = (4, 3, −1,11) 与 b2 = (4, 3,0,11) 是否为 的线性组合. 若是, 向量组 a1 = (1, 2, −1,5), a2 = (2, −1,1,1) 的线性组合 若是 写出表示式. 写出表示式
T T T T T T 解 同时解方程组 (a1 , a2 ) x = b1 和 (a1 , a2 ) x = b2 .
b = k1a1 + ⋯ + km am
• 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 线性方程 方程组 有解的充分必要条件是: 列向量组线性表示 线性表示. 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示 • 约定 非特别交待时 向量都采用列形式 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式 列形式.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合 称向量组 若干同维向量的集合, 向量组. • 向量组的一部分称部分组 向量组的一部分称部分组 部分组. 例1 设 e1 = (1,0,⋯ ,0), e2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , en = (0,0,⋯ ,1), 单位坐标向量组. 称 e1 , e2 ,⋯, en 为 n 维单位坐标向量组 任一向量 a = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 可唯一地表示为
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例5 讨论向量组 a1 = (1, −1,1), a2 = (1, a , −1), a3 = (a ,1,2) 的线性相关性. 的线性相关性
T T T 解1 设方阵 A = (a1 , a2 , a3 ), 化 A 为行阶梯形 为行阶梯形:
1 a 1 1 a 1 A = −1 a 1 → 0 a + 1 a + 1 1 −1 2 0 −2 2 − a a 1 a 1 1 1 2−a → 0 −2 2 − a → 0 −2 0 a + 1 a + 1 0 0 1 (a + 1)(4 − a ) 2
例4 判断向量 b1 = (4, 3, −1,11) 与 b2 = (4, 3,0,11) 是否为 的线性组合. 若是, 向量组 a1 = (1, 2, −1,5), a2 = (2, −1,1,1) 的线性组合 若是 写出表示式. 写出表示式
T T T T T T 解 同时解方程组 (a1 , a2 ) x = b1 和 (a1 , a2 ) x = b2 .
b = k1a1 + ⋯ + km am
• 线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 线性方程 方程组 有解的充分必要条件是: 列向量组线性表示 线性表示. 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示 • 约定 非特别交待时 向量都采用列形式 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式 列形式.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合 称向量组 若干同维向量的集合, 向量组. • 向量组的一部分称部分组 向量组的一部分称部分组 部分组. 例1 设 e1 = (1,0,⋯ ,0), e2 = (0,1,⋯ ,0),⋯ , en = (0,0,⋯ ,1), 单位坐标向量组. 称 e1 , e2 ,⋯, en 为 n 维单位坐标向量组 任一向量 a = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) 可唯一地表示为
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例5 讨论向量组 a1 = (1, −1,1), a2 = (1, a , −1), a3 = (a ,1,2) 的线性相关性. 的线性相关性
T T T 解1 设方阵 A = (a1 , a2 , a3 ), 化 A 为行阶梯形 为行阶梯形:
1 a 1 1 a 1 A = −1 a 1 → 0 a + 1 a + 1 1 −1 2 0 −2 2 − a a 1 a 1 1 1 2−a → 0 −2 2 − a → 0 −2 0 a + 1 a + 1 0 0 1 (a + 1)(4 − a ) 2
3.1 n维向量及其线性相关性
, an )T.
1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.
2. 当未说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
定义3.2 设 = (a1, a2,, an) Fn , = (b1, b2,, bn) Fn, F , F为数域 (1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,,n (2) 向量加法（ 与 之和 ） : + = (a1+b1, a2+b2,, an+bn) (3) 向量数乘（数量乘法，数 与 之乘积）: = (a1,a2,,an)
n 维实向量 n 维复向量
第n个分量
第1个分量
公共基础课部
线性代数
2014秋季
n 维向量写成一行, 称为行向量, 也就是行矩阵, 如
(a1 , a2 , , an );
n 维向量写成一列, 称为列向量, 也就是列矩阵, 如
a1 a β 2 (a1 , a2 , an
, αm (m 2) 线性相关,
, km , 使得
则存在一组不全为零的数 k , k ,
k1α k2α
不妨设 k 0, 则
kmαm 0,
k3 km k2 α α α3 αm , k1 k1 k1 可见向量 α1 是其余向量的线性组合.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
, αm 构成 n m 矩阵:
A [α1 α 2
m 个 n 维行向量 β , β ,
T 1 T 2 T m
α m ];
, β 构成 m n 矩阵:
β1T T β2 B . T βm
3.1n维向量概念及其线性运算
( 3)α + 0 = α ; (4)α + ( −α ) = 0 (5)1 × α = α ;
8( （ ）kl )α = k ( lα ). 数乘向量结合律） （数乘向量结合律）
例1
设 α = ( 2,1,3), β = ( −1,3,6), γ = ( 2,−1,4).求向量
2α + 3β − γ .
是数， 向量运算的8条运算律：设 α , β , γ都是n维向量 , k , l是数，则 向量运算的8条运算律：
(1)α + β = β + α ; (加法交换律 ) ( 2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ); (加法结合律 )
(6)k (α + β ) = kα + kβ ; (数乘分配律 ) (7)( k + l )α = kα + lα （数乘分配律） ; 数乘分配律）
的线性组合， （ β 能否表示成 α 1， α 2， α 3的线性组合，取决于该 方 程组是否有解。 程组是否有解。对它的 增广矩阵施行初等行变 换，得
( A, β ) 1 → 0 0 1 0 2 − 1 3 1 = (α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 2 1 3 4 6 5 1 0 0 2 2 − 1 − 1 → 0 1 − 1 1 −1 3 3 0 0 4 0 8 4 − 4
≠
（2，1） ， ）
2．n维零向量 ． 维零向量 3．负向量 ．
0 = (0, 0,L , 0)
α = (a1 , a2 ,L , an ), −α = (−a1 , −a2 ,L , −an )
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k11k22k330 成 立 ?
1 0 0 0
k11k22k33 0k10k21k300
0 0 1 0 k10,k2 0,k3 0
即 不 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数k1,k2,k3使 k11k22k330
成 立 .换 种 说 法 , 就 是 只 有 当 k10,k20,k30时 ,
A
a21
a22
a2j a2n
am1 am2 amj amn
1
2
j
n
向量, 组 ,, 称为 A 的 矩列 阵 .向量
12
n
2020/6/17
类,似 矩 A 地 阵 (a i)jm n 又 m 个 有 n 维行
a 11 a 12 a 21 a 22
a 1 n a2n
即存在一组不 数k全 12,为 k2零 1,k3的 1
使得 k11k22k330成立 .
2020/6/17
又3 维 如1 向 一 ( 1 ,0 ,0 ) T ,量 个 2 ( 0 , 1 ,0 ) T 组 ,3 ( 0 ,0 , 1 ) T
问 :是 否 存 在 一 组 不 全 为 0 的 数 k1,k2,k3使 得
2对 . 于任一 ,不向 是 性 量 线 无 组 关就 线性.相关
2020/6/17
例已 1 知向 1,2,量 3线组 性 ,b1无 1 关 2, b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无关
证 设x有 1,x2,x3使
x1b1x2b2x3b30
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
b 11 22 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组
x11x22xmmb
有.解
2020/6/17
2.线性相关性定理
定的充理分必向要量条组件1是, 2, 1, , 2（,m 当, m m中2至时少）有线一性个相向关
量可由其余 m1个向量线性表示． 注意：不是
解 设有k一 1,k2, 组 ,kn使 数
k11k22knn0,
则
k 1 0
k2
k
n
0
0 0
,
即
k1k2kn0.
所以 1,2,,n线性无. 关
2020/6/17
a1
设aa n2,则a11a22 ann,
即 a11a22ann0. 这说明 1,2,,n,线性.相关
2020/6/17
T 1
T 2
A a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
2020/6/17
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组组 成 1,的 2,向 ,m量 ,
构成一 nm 个 矩阵
k11k22k330才 成 立 .
2020/6/17
1.向量组的线性相关性的定义
给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零 k1,的 k2,数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1若 . 1,2,,n线性无 ,则关 只有当 1 n 0时 ,才有
1122nn0成立 .
任一个
证明 充分性
设 a1,a2,,am中有一个向量（比如 a m ）
知A可,逆 对AX0两边左 A1,得 乘 方程组只x有 1x2零 x3解 0，所向以量组 b1,b2,b3线性.无关
2020一 时,若 个 向 0则 量说 线性相 ,若关0,则说 线性无 . 关
4.包含零向量的任何组向是量线性相关 . 的
5.对于含有两个向量组 的,它向线性相关的 充要条件是两向量对 的应 分成比例，义 几何意 是两向量共线
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
因1，2，3线性无关，故有
x1 x3 0, x1 x2 0,
x 2 x 3 0.
即AX0
2020/6/17
由于此方程组的系数阵矩行列式 1 01
| A| 1 1 0 2 0 011
若干个同维数（每个向量的分量均为n个）的列
向量1,2,,m （或同维数的行向量）所组成
的集合，叫做n维向量组．
其 iT 中 (a i1 ,a i2 , ,a i) ni ,1 ,2 , ,m
2020/6/17
矩阵与向量组的关系 :
例如 矩A 阵 (ai)jm n有 n个 m 维列向量
a11 a12 a1j a1n
3.1 n维向量
1.n维向量的定义
n 个有次序的a1,数 a2,,an 所组成的有序数 组称为 n维向量，n个 这数称为该向n量 个的 分量， 第i个数ai称为第 i个分量 (或坐标 ),分量全为实数的 称为实向. 我 量们只讨论实. 向量
例如 (1,2,3,,n)
n维实向量
2020/6/17
2.向量组的定义
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
T 1
的向量组1T , 2T , mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 2
T m
2020/6/17
3.1.2 向量组的线性相关性
一个4维向量组 1 (1,2, 1,1)T 2 ( 2, 3,1,1)T 3 ( 4,1, 1,3)T
易知 3212,
2020/6/17
例2 n维 基 本 单 位 向 量 组
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
M , 2
M
,L
, n
M
0
0
0
0
0
1
试 讨 论 向 量 组 1 ,2,L ,n 及 向 量 组 1 ,2 ,
L ,n,的 线 性 相 关 性 ,其 中 为 任 一 n 维 向 量 .
2020/6/17
小结:判断一个向量组相的关线性性的方法
方 法 1.用 定 义 ,即 求 解 使 k11k22Lkm m0成 立
对 应 的 k1,k2,L,km ,当 它 们 不 全 为 0时 ,则 向 量 组 线 性 相 关 ,否 则 线 性 无 关 .
方法2.用35特殊情况来.判断
2020/6/17
定 义 3 .3 给 定 向 量 组 A : 1 , 2 ,L ,m 和 向 量 b ,如 果 存 在 一 组 数 1 ， 2 ， L ,m ， 使
1 0 0 0
k11k22k33 0k10k21k300
0 0 1 0 k10,k2 0,k3 0
即 不 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数k1,k2,k3使 k11k22k330
成 立 .换 种 说 法 , 就 是 只 有 当 k10,k20,k30时 ,
A
a21
a22
a2j a2n
am1 am2 amj amn
1
2
j
n
向量, 组 ,, 称为 A 的 矩列 阵 .向量
12
n
2020/6/17
类,似 矩 A 地 阵 (a i)jm n 又 m 个 有 n 维行
a 11 a 12 a 21 a 22
a 1 n a2n
即存在一组不 数k全 12,为 k2零 1,k3的 1
使得 k11k22k330成立 .
2020/6/17
又3 维 如1 向 一 ( 1 ,0 ,0 ) T ,量 个 2 ( 0 , 1 ,0 ) T 组 ,3 ( 0 ,0 , 1 ) T
问 :是 否 存 在 一 组 不 全 为 0 的 数 k1,k2,k3使 得
2对 . 于任一 ,不向 是 性 量 线 无 组 关就 线性.相关
2020/6/17
例已 1 知向 1,2,量 3线组 性 ,b1无 1 关 2, b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无关
证 设x有 1,x2,x3使
x1b1x2b2x3b30
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
b 11 22 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组
x11x22xmmb
有.解
2020/6/17
2.线性相关性定理
定的充理分必向要量条组件1是, 2, 1, , 2（,m 当, m m中2至时少）有线一性个相向关
量可由其余 m1个向量线性表示． 注意：不是
解 设有k一 1,k2, 组 ,kn使 数
k11k22knn0,
则
k 1 0
k2
k
n
0
0 0
,
即
k1k2kn0.
所以 1,2,,n线性无. 关
2020/6/17
a1
设aa n2,则a11a22 ann,
即 a11a22ann0. 这说明 1,2,,n,线性.相关
2020/6/17
T 1
T 2
A a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
2020/6/17
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组组 成 1,的 2,向 ,m量 ,
构成一 nm 个 矩阵
k11k22k330才 成 立 .
2020/6/17
1.向量组的线性相关性的定义
给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零 k1,的 k2,数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1若 . 1,2,,n线性无 ,则关 只有当 1 n 0时 ,才有
1122nn0成立 .
任一个
证明 充分性
设 a1,a2,,am中有一个向量（比如 a m ）
知A可,逆 对AX0两边左 A1,得 乘 方程组只x有 1x2零 x3解 0，所向以量组 b1,b2,b3线性.无关
2020一 时,若 个 向 0则 量说 线性相 ,若关0,则说 线性无 . 关
4.包含零向量的任何组向是量线性相关 . 的
5.对于含有两个向量组 的,它向线性相关的 充要条件是两向量对 的应 分成比例，义 几何意 是两向量共线
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
因1，2，3线性无关，故有
x1 x3 0, x1 x2 0,
x 2 x 3 0.
即AX0
2020/6/17
由于此方程组的系数阵矩行列式 1 01
| A| 1 1 0 2 0 011
若干个同维数（每个向量的分量均为n个）的列
向量1,2,,m （或同维数的行向量）所组成
的集合，叫做n维向量组．
其 iT 中 (a i1 ,a i2 , ,a i) ni ,1 ,2 , ,m
2020/6/17
矩阵与向量组的关系 :
例如 矩A 阵 (ai)jm n有 n个 m 维列向量
a11 a12 a1j a1n
3.1 n维向量
1.n维向量的定义
n 个有次序的a1,数 a2,,an 所组成的有序数 组称为 n维向量，n个 这数称为该向n量 个的 分量， 第i个数ai称为第 i个分量 (或坐标 ),分量全为实数的 称为实向. 我 量们只讨论实. 向量
例如 (1,2,3,,n)
n维实向量
2020/6/17
2.向量组的定义
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
T 1
的向量组1T , 2T , mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 2
T m
2020/6/17
3.1.2 向量组的线性相关性
一个4维向量组 1 (1,2, 1,1)T 2 ( 2, 3,1,1)T 3 ( 4,1, 1,3)T
易知 3212,
2020/6/17
例2 n维 基 本 单 位 向 量 组
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
M , 2
M
,L
, n
M
0
0
0
0
0
1
试 讨 论 向 量 组 1 ,2,L ,n 及 向 量 组 1 ,2 ,
L ,n,的 线 性 相 关 性 ,其 中 为 任 一 n 维 向 量 .
2020/6/17
小结:判断一个向量组相的关线性性的方法
方 法 1.用 定 义 ,即 求 解 使 k11k22Lkm m0成 立
对 应 的 k1,k2,L,km ,当 它 们 不 全 为 0时 ,则 向 量 组 线 性 相 关 ,否 则 线 性 无 关 .
方法2.用35特殊情况来.判断
2020/6/17
定 义 3 .3 给 定 向 量 组 A : 1 , 2 ,L ,m 和 向 量 b ,如 果 存 在 一 组 数 1 ， 2 ， L ,m ， 使