n维向量空间

计算 2
§8 向量间的线性关系 一、线性组合 定义1 设n维向量组 1 , 2 , , m , , 如果存在一组
数k1，k 2， , k m，使得 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组 1 , 2 , m的一个线性组合；
或称 可以由向量组 1 , 2 , m 线性表示。
例1 零向量组是任何向量组的线性组合。 例2 n维向量 1 (1,0,,0), 2 (0,1,,0),, n (0,0,,1), 任意一个n维向量都可以由 1 , 2 ,, n 线性表示。
称 1 , 2 ,, n 为n维基本单位向量。
(7) ( kl ) k ( l ) ( 8) 1 定义4 以数域P中的数作为分量的n维向量的全 体，同时考虑到在它们上面的加法及数量 乘法满足上述的8条运算规律，则称此集合 为数域P上的n维向量空间，记作 P n .
P {(a1 , a 2 ,, a n ) a i P , i 1,2,, n}
系数矩阵的列向量组。
c1 c2 称 为方程组(1)的解向量. c n [注] 1.称 (0,0,0) 为n维零向量,记作 ;
如果 x1 c1, x2 c2, xn cn是方程组(1)的解，
2. 若 (a1 ,a 2 ,an ) ,称 ( a1 , a 2 ,, an ) 为 的负向量,记作 .即: ( a1 , a 2 ,, an )
推论1 设向量组 a1 , a2 ,..., a s 线性无关，且 a1 , a2 ,..., a s 可以由向量组 1 , 2 ,..., t 线性表示，则 s t . 推论2 任意n+1个n维向量一定线性相关。
3. 设 (a1 , a2 ,..., an ) ， (b1 , b2 ,..., bm ) ， 当 m n, 且 ai bi ( i 1,2,, n) ，称 与 相等， 记作 。
二、向量的运算
定义2 设 (a1 , a2 ,..., an ) ， (b1 , b2 ,..., bm ) ， 如果 m n ，称n维向量
m的后面添加一个分量， 得到一个新的向量组：
, m a m1 , a m 2 ,, a mr ,a mr 1 也线性无关。
定理3 设向量组 a1 , a2 ,..., a s 可以由向量组 1 , 2 ,..., t 线性表示，且 s t ，则 a1 , a2 ,..., a s 线性相关。
它的第三个方程是第一、二个 方程的和，实际上它是一个多 余的方程，因此，这四个方程 是线性相关的。
又如线性方程组
x1 2 x2 3 x3 x4 5 3 x4 3 2 x1 4 x2 x 3 x4 1 5 1 2 3 1 5 1 2 3 1 A 2 4 0 3 3 0 0 6 5 13 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 3 1 5 0 0 1 1 1 0 0 0 1 7
例3 设 1 , 2 ,, m 是m个n维向量，则其中任意 一个向量都可以由 1 , 2 ,, m 线性表示。 [注] 以上的例题是基础，其结论必须牢记。
例4 线性方程组：
a x a x a x b 12 2 n 1 1n 11 1 a 21 x1 a 22 x 2 a x n b2 2n (1) a x1 a m 2 x 2 a mn x n bm m1
若 向量组 1 , 2 ,, m中的一个部分组 线性相关, 则 1 ,, m 也线性相关。
即：部分相关，整体必相关。 推论 若向量组 ,, 线性无关, 则 , ,, 1 m 1 2 m
中的任意一个部分组线 性无关。
整体无关，部分必无关。
, , 是 n 维向量，k，l是常数，则：
(1)
(交换律）
( 2) ( ) ( ) (结合律) (4) ( ) ( 3) (5) ( k l ) k l (6) k ( ) k k
线性无关。
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个方程 是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多 余的，这时称方程组各 ( 个方程)是线性相关的；当方程 组中没有多余方 程，就称该方程组各个方程)线性无关 或线 ( (
性独立） .
例如 线性方程组
2 x1 3 x2 x3 1 x 2x x 4 1 2 3 5 3 x1 5 x2 x1 x2 x3 1
不全为零的数 1 , k 2 ,, k m , 使得 k
k1 1 k 2 2 k m m
则称向量组 1 , 2 ,, m 线性相关.
[注] ①定义3与定义3＇是一个等价的定义; ② 向量组 1 2 , s线性相关的充分必要条件 是至少有一个向量是其余s-1个向量的线性组合; ③ 向量组 1 2 , s线性无关的充分必要条件
x 2 x
1 1
2

x
n n
( 2)
称（2）为方程组（1）的向量形式。
方程组(1)有解 可以由 1 , 2 ,, n 线性表示。
定义2 设向量组 1 , 2 ,..., s (1)与向量组 1 , 2 ,, t (2) 是两组n维向量，如果
k .
[注] 在解析几何中 k 表示两个向量共线. 三个向量 1 , 2 , 3 线性相关在解析几何中 表示
它们共面.
例如 1 k 2 2 k 3 3 .
说明α1在α2,与α3所在的平面上. 例7 n 维基本单位向量组 1 1,0,,0 , 2 0,1,,0 ,， n 0,0,,1
1 , 2 ,..., s中每个向量都可以由 1 , 2 ,..., t
可以由向量组 1 , 2 ,, t 线性表示；如果 向量组(1)可以由向量组(2)线性表示，且向 量组(2)可以由向量组(1)线性表示，则称向 量组(1)与向量组（2）等价. [注] 向量间的等价是描述向量间的一种关系， 它满足： （1）自反性 （2）对称性 （3）传递性
§8 n维向量空间
§8 n维向量空间 一、向量的概念 定义1 由n个数 a1 , a2 ,, an 组成的有序数组 (a1 , a2 ,an ) 称为一个n维向量；其中 ai 称为向量的第i个分量。一般地,用 , , , 表示向量。 [注] 称 (a1 ,a 2 ,an ) 为行向量；
线性表示，则称向量组 1 , 2 ,..., s
二、线性相关、线性无关 定义3 如果向量组 1 , 2 ,..., s ( s 2)中有一个向 量都可以由其余的向量线性表示,则称 1 , 2 ,..., s 线性相关。 定义3’ n维向量组 1 , 2 ,, m , 如果存在一组 设
a1 a2 a n
称
为列向量；
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 .................................... am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
为向量 与 的和，记作 。
(a1 b1 , a 2 b2 ,..., a n bn )
(a1 1 , a2 2 ,..., an n )
[注] 1. 两个向量相加必须它们的维数相等时， 才有意义。 2. 向量的减法： ( )
n
[注] 所谓n维向量空间是把数域P上全体n维向量 的集合组成一个有加法及数量乘法的代数结构。
当P=R时， n {(a1 , a 2 ,, a n ) a i R, i 1,2,, n} R 当 n 1, R表示实数的全体，称为一维向量空间; 当n 2, R 2表示平面上所有的点，称为二维向量空间; 当n 3, R 3表示空间中所有的点，称为三维向量空间. 3， 1）， （ 2， 4） （ 2， 1） （ 例1 1， 0， 1， 4， 2， 0，
定理2 （添加分量定理）
若向量组 1 a11 , a12 ,, a1r , 2 a 21 , a 22 ,, a 2r , , m a m1 , a m 2 ,, a mr 线性无关，则在 2 , 2， ，
a11 , a12 ,, a1r , a1r 1 , 2 a 21 , a 22 ,, a 2r , a 2 r 1, 1
方程组没有多余的方程， 由此可见这三个方程线性 无关。
齐次线性方程组

a x a x a x a x
11 1 12 21 1 22 m1
2

2
a x a x
1n 2n
n
0 ( 2)
0 n
a x a x
m 2 2 mn n 0 1
a x
n n
x 2 x
1 1
2

x
( 3)
由此可见，判定齐次线性方程组是否有非零解， 问题归结为判定向量组 1 , 2 ,, n 是否线性 相关。 若 1 , 2 ,, n线性相关，则（2）有非零解，
若 ,
1
2
,, 线性无关，则（2）只有零解。
n

定义3 设 (a1 , a2 ,..., an ) ，k是一个常数，称 ( ka1 , ka2 ,..., kan ) 为向量 与数k的乘积， 记作 k 。向量的这种运算称为向量的 数乘运算。 k ( ka1 , ka2 ,..., kan ) [注] 1.向量的加法及数乘运算统称为向量的 线性运算； 2. 向量的线性运算的运算规律：