重庆大学概率与数理统计课后答案第八章
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第八章习题参考答案
⎧Yij = µ + a i + ε ij , i = 1, 2, L , r , j = 1, 2, L , m; ⎪ r ⎪ ⎨∑ a i = 0; ⎪ i =1 2 ⎪ ⎩ε ij 相互独立，且都服从N (0, σ ).
检验的原假设与备择假设为 H0：a 1 = a 2 = … = a r = 0 8.1.3 平方和分解 vs H1：a 1 , a 2 , …, a r 不全等于 0．
i =1 j =1 i =1 j =1 r m r m r m r m r m
= ∑∑ (Yij − Yi⋅ ) 2 + ∑∑ (Yi⋅ − Y ) 2 + 2∑∑ (Yij − Yi⋅ )(Yi⋅ − Y )
i =1 j =1 i =1 j =1 i =1 j =1
= S e + S A + 2∑ [(Yi⋅ − Y )∑ (Yij − Yi⋅ )] = S e + S A + 2∑ [(Yi⋅ − Y ) × 0] = S e + S A + 0 = S e + S A ，
ε i⋅ =
1 m ∑ ε ij ， i = 1, 2, …, r， m j =1
ε=
1 r m 1 r ε = ε i⋅ ． ∑∑ ij r ∑ n i =1 j =1 i =1
显然有 Yi⋅ = µ i + ε i⋅ ， Y = µ + ε ． 在单因子方差分析中通常将试验数据及基本计算结果写成表格形式 因子水平 A1 A2 ┆ Ar Y11 Y21 ┆ Yr1 Y12 Y22 ┆ Yr2 试验数据 … … ┆ … Y 1m Y 2m ┆ Yrm 和 T1 T2 ┆ Tr 和的平方 平方和
重庆大学研究生数理统计习题答案
()(){}{}()22222111221121221164~,~(8),89111,01(1)11~(0,1)1.28 1.280.281(2)0.261 1.8360.2619818ni i n X N S S X S n X X X X E X X n n n n n D X X DX DX DX X X N n n n P X X P U X P X S P μχσμ=-=--=--=---⎛⎫-=+==⇒- ⎪⎝⎭->=>=⎛ -⎧⎫ <-+<=<⎨⎬ ⎩⎭⎝∑解：由题可知（，）且与相互独立（）{}22222222241164. 1.836896464 = 2.08814.688=~(9)991188= 2.08814.688=0.90.01=0.89423948i i i S X X P S S P X X χχχμ=⎧⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪+<⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎩⎭⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪--⎪⎪⎪ ⎪<+<+⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭<<-⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅∑，其中原式（）()()()(){}24882255448822554821584~(0,1)=~4998244~(4)8944 2.132= 2.132=0.1i ii i i i i i i i i ii i N X X X t t X XP X XP t μμχμμμμμμ======⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭==--⎧⎫⎛⎫⎪⎪-≤-≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑（）则，()()()(){}222222222891(4)=8~1~(1,8)6498911=(1,8)58.82(8,1)10.90.158.8258.82XXX F FSSXP P F P FSμμμχμ-⎛⎫⎪--==⎧⎫-⎪⎪⎧⎫<<=<=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭（），则也可以用T分布与F分布的关系.0020001111()()1ln(1)11,,ˆˆˆ1ln(1),,ln(1)ln(1)2(;,...,)(;)ln (;,...,)=01ˆ=（）（）似然方程：得到参数的极大似然估计，再由i A nnx n n xn i i i n P X A F A e p p A EX DX A EX p EX X A EX p X p L x x f x e e d L x x nnx d Xλλλλλλλλλλλλλλλ---==<==-=-=-===--=∴=--=--====-∏∏ 0000010000ln(1)ˆln(1)ˆln(1)ˆ(3)=ln(1)=ln(1)==ˆln (;,...,)ln(1){[ln(1)][]}ln(1)ˆ()ln(1)ˆˆ极大似然估计的不变性，推出的极大似然估计为是的无偏估计且是的无偏估计是有效n A p A X p p EA E X p p EX A AA d L x x p n n nx X p d p n AA p AA A λλλλλλ-=-=----⎡⎤----⎣⎦∴-=-=-----=--∴ ()202ˆlim ln(1)ˆlim lim 0ˆ估计又是相合估计量n n n EA A p DA n Aλ→∞→∞→∞⎧=⎪⎨-⎪==⎩∴221212121222122222222221222121.422,2~222(1)(1)~01~(2) (1)(1)(1)(1)2=222X YX Y X YX X X X Nn mX X n S m SU N n mn S m S n S m S X X Sn mX Xtωσσμμμμμμχχσσσσ+++++-+--==++----+-+++-+-+==的无偏估计为且（，+）（，）又且与独立,记则()()()()()()()121212212121211221212122222=22=22222=12122t n mP t t n mX XP t n m t n mP X X t n m S X X t n m SX X t n m Sαααααωαμμμμαμμα-----+-⎧⎫≤+-⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪+-+⎪⎪+-≤≤+-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎧⎪+-+-≤+≤+++-⎨⎪⎩-+-+±+-因此构造的置信区间为{}{}121201212120121212121212.222=022,22=02=02=0=的无偏估计为，在：成立的条件下，大于某个常数应该是小概率事件，因此构造拒绝域：以下确定常数由X X H X X c K X X c cP X X c P P t t μμμμμμμμμμα+++++>+>+⎧⎫⎪⎪⎪=>+⎬⎪⎪⎭⎧⎫⎪⎪⎪⎪=>+=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭()()122n m c t n m S ααω--+-⇒=+-拒绝域为：3133011331122333333111~(1,).~(3)220.220.230.20.20.80.20.104220.4因为所以，类错误(弃真)：为真类错误(纳伪)：为真i i i i i i i i i i i i i i X B p X B p P X H P X p P X p P X p C C P X H P X p αβ=======I ⎧⎫⎧⎫=≥=≥=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫===+==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=+=II ⎧⎫⎧=<=<=⎨⎬⎨⎩⎭⎩∑∑∑∑∑∑∑313311223333120.4120.430.410.40.60.40.648i i i i i i P X p P X p P X p C C ===⎫⎬⎭⎧⎫=-≥=⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎧⎫=-==-==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=--=∑∑∑()()221221111211=200ˆnE i i i n n nEi i i i i i i i i ni ii nii S y x dS y x x y x x d x yxββββββ======-=--=⇒-==∑∑∑∑∑∑解：（）利用最小二乘估计使残差平方和最小参数的最小二乘估计量为2211222111111221111ˆ2=~(,)ˆˆˆ~(,)111ˆ===11ˆ（），由正态分布的性质推知服从正态分布ni ii i i i ni ii nnni i iiiinnni i i i i ii i i ni i nn i i i i i x YY x N x xN E D E E x Y x EY x x x x xD D x Y x x ββεβσβββββββ============+⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪⎝⎭⎝∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑()()()()()222211221222111112211ˆ~(,)ˆˆˆ3=ˆˆˆ2(,)ˆ(,)(,)因此，（）nii ni ii n i i nnE i iiiiii i nni i i i i ii i ni ii ii i i i nniii i xDY xN x ES E Y x D Y x E Y x D Y x DY D x Cov Y x x Yx Cov Y x Cov Y x C xxσσβββββββββ==========⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎭⎡⎤-=-+-⎣⎦⎡⎤=-=+-⎣⎦==∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑()222221112222222222221111(,)(,)221则ni i i i i i i nni iii i nni i Enni i iii i x x ov Y x Y Cov Y Y xxx x ESn n n xxσσσσσσσσ==========+-=+-=-∑∑∑∑∑∑∑因素：车型水平：3种不同的车型A,B,C方差分析前提假设：正态性，方差齐次性，独立性对比分位数：0.95(2,9) 4.26F F >=，拒绝原假设0123:H μμμ==，认为这三种车型耗油量有显著差异。
重庆大学概率与数理统计课后答案第八章
习题八A 组1.假设总体X ～)1,(μN ，从中抽取容量为25的样本，对统计假设0:,0:10≠=μμH H ，拒绝域为X 0={}392.0≥x 。
（1）求假设检验推断结果犯第Ⅰ类错误的概率。
（2）若3.0:1=μH ，求假设检验推断结果犯第Ⅱ类错误的概率。
解：（1）{}{}001H H P P α==犯第I 类错误拒绝成立={}0392.0=>μX P{}{}96.10392.0>==>=n X P X P μ，所以05.01=α（2）{}{}00H H P P β==犯第II 类错误接受不成立{}3.0392.0=≤=μX P {}6769.046.0)3.0(46.3=<-<-=n X P2.已知某厂生产的电视机显像管寿命（单位：小时）服从正态分布。
过去，显像管的平均寿 命是15000小时，标准差为3600小时。
为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为15800=x 小时。
若用假设检验方 法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出：（1）假设检验中的总体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。
解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用X 表示，由题意知：X ～),(2σμN )90000,5000(N（2）统计假设：15000:0≤μH ，15000:1>μH(3)假设σ与过去一样为3600小时，那么检验方法为U 检验法，检验统计量为：nX U σ15000-=显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}α->1u u ={}645.1>u（4）推断：因为U 的样本值为1.333不在X 0 内，所以接受原假设，即在显著水平05.0=α 下，认为新技术没有提高显像管的寿命。
3.某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。
现在使用一个新系统运行9个程序，所需的计算时间（秒）分别是：30，37，42，35，36，40，47，48，45。
概率统计6-8章习题解答(DOC)
第13次1在总体N （U 「2）中抽取样本 X !,X 2,X 3 （」已知，二2未知），指出X ! X 2 X 3,解 X 1 X 2 X 3 , X 2 2h , max(X 1 ,X 2,X 3) , |X 1—'X 31 是统计量2给定样本观测值92,94,103,105,106求样本均值和方差1解 X =丄(9294 103 105 106) =100 521 2 2 2 2 2S[(92 -100)(94 -100) (103-100)(105 -100) (106 -100)]5 -1=42.53在总体X ~ N(12,22)中随机抽取容量为 5的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率 2解 注意到 X~N (叫——)n - (2 丫有 X ~ N(12,)& 5丿13 _ 12 11 _ 12P{| X -12 | 1} =1 - P{11 ：： X ：： 13} =1 -[门( )一 门( 2 )]、5. 5=1一：门( )亠叫一 )=1一门()1一门()=0.26282 2 2 24 已知 X ~t(8)，求(1)P{X 2.306}，P{X <1.3968}(2)若 P{X }=0.01 求’解 (1)P{X 2.306} =0.025，P{ X ::: 1.3968} = P{ X 1.3968} = 1 - 0.1 = 0.9(2)P{X } =0.01= • - 2.89655 已知 X ~2(8)，求(1)P{X 2.18}，P{X :: 20.09}(2)若 P{X 「} =0.025求，(3)若 P{X ：： } =0.95 求■ 解(1)P{X 2.18} =0.975，P{X ：： 20.09} =1-P{X 20.09} = 1 -0.01 = 0.99(2) P{X •} =0.025 二，-17.534X 2 2」，max(X ,,X 2,X 3)|X i -X 3 I 哪些是统计量？2 2X iX 2 X2 3(3) P{X }=0.95 P{X . •} =0.05 二，-15.5076设总体X ~ N （3.2,62 3 4）, X ,,X 2,...,X n 是X 的样本，则容量n 应取多大，才能使得P{1.2 ：： X :: 5.2} _0.95P{1.2 ：：：X ：：5.2}二仁5^尹）一讥违竺）凡（亍）一讥一亍）n= ：.：，（ □）_：「（ 0） =2+（」）_1 _0.9533 3y' n Tn ：：」()_ 0.975 1.96 n_ 34.5 7 4433所以n 最小为35第14次1从某正态总体 X 取得样本观测值：14.7，15.1，14.8，15.0， 15.2，14.6，用矩法估计总体均值」和方差c 2 解」-X =1(14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6) =14.96A —1-X21 n--------------------------- 2 1 2 2 2 匚 (X i -X) [(14.7—14.9)(15.1—14.9)(14.8—14.9)n i 总 6(15.0-14.9)2 (15.2 -14.9)2 (14.6 -14.9)2] =0.28X 乞1 2总体x 的密度为p(x) =1 飞,样本为X 1,X 2 ,...X n 求二的矩法估计量归 ex 〉11 3总体x 的密度为p （x ）=1。
概率论与数理统计课后习题答案 第八章
有无显著差异(
).
解:检验假设
经计算
查表知
由于
故接受
即甲,乙两台车床加工的产品直径无显著差异.
8. 从甲地发送一个信号到乙地.设乙地接受到的信号值是一个服从正态分布
的随机变量,其
中 为甲地发送的真实信号值.现甲地重复发送同一信号 5 次,乙地接受到的信号值为
8.05
8.15
8.2
8.1
8.25
设接收方有理由猜测甲地发送的信号值为 8.问能否接受这一猜测? (
∵
该机正常工作与否的标志是检验 是否成立.一日
试问:在检验水平
下,该日自动机工作是否正
查表知
,由于
故拒绝 ,即该日自动机工作不正常.
2. 假定考生成绩服从正态分布,在某地一次数学统考中,随机抽取了 36 位考生的成绩,算的平均成绩为 分,标准差 S=15 分,问在显著性水平 0.05 下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为
问这两台机床的加工精度是否一致?
解:该题无 值,故省略.(用 F 检验)
4. 对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽 6 件,测得结果如下(单位:Ω )
A 批 0.140 0.138 0.143 0.141 0.144 0.137
B 批 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.141
态分布
(单位:公斤).现抽测了 9 包,其重量为:
99.3
98.7
100.5 101.2 98.3
99.7
99.5
102.0 100.5
问这天包装机工作是否正常?
将这一问题化为一个假设检验问题,写出假设检验的步骤,设
解: (1)作假设
概率论课后1-8章 习题解答
第一章习 题1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B解:(1)()()A B A B AB AB B B == , (2) ()()A B A B ()AB AB B A A B B ==Ω= .4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
概率论与数理统计课后习题答案第八章习题详解
习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）?【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25.【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H Hn t n tx sxtttαμμμμα==≠===-====-===<所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）. 【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H Hn z xxzz zμμμασ≥<======-===->-=-所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验.（1）H0：μ=0.5(%)；H1：μ＜0.5(%).（2）:Hσ'=0.04(%)；1:Hσ'＜0.04(%).【解】(1)00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5)4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n tx sxtt tαμα===-====-===-<-=-所以拒绝H0，接受H1.(2)2222010.9522222220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).nx sn sασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H0，拒绝H1.6.某种导线的电阻服从正态分布N（μ，0.0052）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】00102222/20.0251/20.975222220.02522:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H Hn sn sαασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===>故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg；第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg, s2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(α=0.05) 【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0，认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F << 所以接受H 0，拒绝H 1. 9~12. 略。
《概率论与数理统计》习题及答案第八章
《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章1. 设x.,x2,,%…是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为兄的指数分布，⼏未知，给泄⼊〉0和显著性⽔平a(Ovavl),试求假设H o的⼒$检验统计量及否建域.解选统汁量*=2⼈⼯⼄=2如庆则Z2 -Z2(2n) ?对于给宦的显著性⽔平a,査z'分布表求出临界值加⑵"，使加⑵2))=Q因z2 > z2 > 所以(F"： (2/1)) => (/2 > /； (2n)),从⽽a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)可见仏:2>^的否定域为Z2>Z；(2?).2. 某种零件的尺⼨⽅差为O-2=1.21,对⼀批这类零件检查6件得尺⼨数据(毫⽶)：，，，，，。
设零件尺⼨服从正态分布，问这批零件的平均尺⼨能否认为是毫⽶(a = O.O5).解问题是在/已知的条件下检验假设：“ = 32.50Ho的否定域为1“ l> u af2u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘，即不能认为平均尺⼨是亳⽶。
3. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b = 100,今抽了⼀个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性⽔平a = 0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。
解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600的否定域为u < -u a/2,其中X-1600 r-r 1580-1600 c , “11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.100 100⼀叫05 =—1.64.因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.4. ⼀种元件，要求其使⽤寿命不低于1000⼩时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950⼩时，已知该元件寿命服从标准差为o-=100 ⼩时的正态分布，问这批元件是否合格(<7=0.05)解设元件寿命为X,则X~N(“，IO。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题八A 组1.假设总体X ～)1,(μN ，从中抽取容量为25的样本，对统计假设0:,0:10≠=μμH H ，拒绝域为X 0={}392.0≥x 。
（1）求假设检验推断结果犯第Ⅰ类错误的概率。
（2）若3.0:1=μH ，求假设检验推断结果犯第Ⅱ类错误的概率。
解：（1）{}{}001H H P P α==犯第I 类错误拒绝成立={}0392.0=>μX P{}{}96.10392.0>==>=n X P X P μ，所以05.01=α（2）{}{}00H H P P β==犯第II 类错误接受不成立{}3.0392.0=≤=μX P {}6769.046.0)3.0(46.3=<-<-=n X P2.已知某厂生产的电视机显像管寿命（单位：小时）服从正态分布。
过去，显像管的平均寿 命是15000小时，标准差为3600小时。
为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生 产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为15800=x 小时。
若用假设检验方 法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出：（1）假设检验中的总体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。
解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用X 表示，由题意知：X ～),(2σμN )90000,5000(N（2）统计假设：15000:0≤μH ，15000:1>μH(3)假设σ与过去一样为3600小时，那么检验方法为U 检验法，检验统计量为：nX U σ15000-=显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}α->1u u ={}645.1>u（4）推断：因为U 的样本值为1.333不在X 0 内，所以接受原假设，即在显著水平05.0=α下，认为新技术没有提高显像管的寿命。
3.某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。
现在使用一个新系统运行9个程序，所需的计算时间（秒）分别是：30，37，42，35，36，40，47，48，45。
假设一个系统试通一个程序的时间服从正态分布，那么据此数据用假设检验方法推断新系统是否减少了现行系统试通一个程序的时间。
解：设新系统试通一个程序的时间为X ，由题意知X ～),(2σμN 。
统计假设：0H ：45≥μ，1H ：45<μ 检验统计量为：n SX T 45-=拒绝域为：X 0 ={})1(-<n t t α={}859.1-<t推断：因为T 的样本值为 -2.483∈X 0，所以拒绝0H ，接受1H ，即新系统减少了现行系统试通一个程序的平均时间。
4.甲制药厂进行有关麻疹疫苗效果研究，用一个人注射这种疫苗后的抗体强度X 表示。
假 定X 服从正态分布。
另一家与之竞争的乙制药厂生产的同种疫苗的平均抗体强度为1.9。
甲厂为证实其产品比乙厂有更高的抗体强度，随机抽取了16样本，获得下表所示数据：1.2 1.92.7 2.23.0 1.8 3.1 2.4 2.51.51.72.22.42.62.32.1问在显著水平05.0=α下能否认为甲厂产品有更高的抗体强度。
解： 由题意知X ～),(2σμN 。
统计假设：0H ：9.1≤μ，1H ：9.1>μ 检验统计量为：n SX T 9.1-=拒绝域为：X 0 ={})1(1->-n t t α={}753.1>t推断：因为T 的样本值为2.508∈X 0，所以拒绝0H ，接受1H ，即可以认为甲厂产品有更高的抗体强度。
5.某机器加工的B 型钢管的长度服从标准差为2.4公分的正态分布。
现从一批新生产的B 型钢管中随机选取25根，测得样本标准差为2.7公分。
试以显著性水平1%判断该批钢管长度的变异性与标准差2.4比较是否有明显变化。
解：设某机器新生产的一批B 型钢管的长度为X ，由题意知X ～)4.2,(2μN 。
统计假设：0H ：224.2=σ，1H ：224.2≠σ检验统计量为：2224.2)1(S n -=χ拒绝域为：X 0 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<)1(222n αχχ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-)1(2212n αχχY ={}886.92<χ{}559.452>χY推断：2χ的样本值为30.375，不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著性水平1%下，新生产的钢管长度的变异性与标准差2.4比较无明显变化。
6.某厂生产的某种电池寿命（单位：小时）长期以来服从标准差为70小时的正态分布。
今 有一批这种电池，为判断其寿命的波动性是否较以往有所变化，随机抽取了一个容量为26 的样本，测得寿命的样本标准差为75小时。
问在显著水平05.0=α下，这批电池寿命的 波动性较以往是否显著增大？解： 设电池寿命为X ，由题意知X ～),(2σμN 。
统计假设：0H ：2270≤σ，1H ：2270>σ检验统计量为：22270)1(S n -=χ 拒绝域为：X 0 ={})1(212->-n αχχ={}652.372>χ推断：2χ的样本值为28.699，不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著性水平05.0=α下，这批电池寿命的波动性较以往没有显著增大。
7.在选择一个新建超市的位置时需要考虑很多因素，其中超市所在地附近居民的收入水平是 重要的因素之一。
现有A 、B 两地可供选择，A 地的建筑费用较B 地低。
如果两地居民的 年均收入相同，就在A 地建筑。
但若B 地居民的年均收入明显高于A 地，则选在B 地建 筑。
现从A 、B 两地的居民中分别抽取了100和120户居民，经调查分析知：A 地年均收 入28650元，B 地年均收入29980元。
若已知A 地居民年收入标准差是4746元，B 地居 民年收入标准差5365元，问超市在何地建？假设A 、B 两地居民年收入（单位：元）服从 正态分布。
解：假设A 、B 两地居民年收入（单位：元）分别为X,Y 。
由题意知X ～)4746,(21μN ，Y ～)5365,(22μN 。
统计假设：0H ：21μμ≥，1H ：21μμ< 检验统计量为：mnYX U 2221σσ+-=显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}αu u <={}645.1-<u推断：因为U 的样本值为-1.950∈X 0，所以拒绝0H ，接受1H ，即在显著水平05.0=α下，可以认为B 地居民年平均收入明显高于A 地，应在B 地建超市。
8.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对， 再随机选取8架飞机，将8对轮胎磨损量（单位：mg ）数据列表如下：假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别为X ～),(21σμN ，Y ～),(22σμN ，且两个样本相 互独立。
试问在显著水平05.0=α时，甲、乙两种轮胎的耐磨性是否有显著的差异？ 解： 统计假设：0H ：21μμ=，1H ：21μμ≠检验统计量为：mnS Y X T 11+-=ω，22212(1)(1)2n S m S S n m ω-+-=+-拒绝域为：X 0 =)}2({21-+>-m n t t α=}145.2{>t推断：因为T 的样本值为0.516不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著水平05.0=α下，可以认为甲、乙两种轮胎的耐磨性无显著差异。
9.设甲、乙两工厂生产同一种零件，现从这两个工厂生产的零件中分别抽测8个和9个，测得其外径（单位：mm ）分别为：假定零件外径服从正态分布，试乙厂生产的零件精度是否比甲厂生产的高？（05.0=α） 解：假定甲、乙两厂生产的零件外径分别为X ，Y ，由题意知X ～),(211σμN ，Y ～),(222σμN统计假设：0H ：2221σσ≥，1H ：2221σσ<检验统计量为：2122S F S = 拒绝域为：X 0 ={})1,1(--<m n F F α=}268.0{<F推断：因为F 的样本值为3.659不在拒绝域X 0内，所以接受0H ，即在显著水平05.0=α下，可以认为乙厂生产的零件精度比甲厂生产的高。
10.一项调查结果显示某市老年人口比重为14.7%。
该市老年人口研究协会为了检验该项调查是否可靠，随机抽选了400名居民，发现其中有57人是老年人。
问调查结果是否支持该市老年人口比重为14.7%的看法？（05.0=α）。
解：设某市老年人口比例为p 。
（1）统计假设：147.0:0=p H ，147.0:1≠p H (2)检验统计量为：1)1(147.0---=n X X X U ，(3)05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}21{} 1.96u u u α-=>=>（4）推断：因为U 的样本值为-0.257不在X 内，所以接受原假设，即在显著性水平为5%下调查结果支持该市老年人口比重为14.7%的看法。
11.某机构声称5年来各种新发行债券的承销价高于面值的比率低于50%，现随机抽取了60只新发行的债券，其中有24只的承销价高于面值。
问上述说法是否可接受？（0.05α=） 解：设5年来各种新发行债券的承销价高于面值的比率为p （1）统计假设：5.0:0≥p H ，5.0:1<p H (2)检验统计量为：1)1(5.0---=n X X X U ，(3)05.0=α时的拒绝域为：X 0 ={}αu u <={}32.2-<u（4）推断：因为U 的样本值为-1.568不在X 内，所以接受原假设，即在显著性水平为0.01下不接受该机构的说法。
12.某大公司的人事部门希望了解公司职工的病假是否均匀分布在周一到周五，以便合理安排工作。
如今抽取了100名病假职工，其病假日分布如下：试问该公司职工病假是否均匀分布在一周五个工作日中（05.0=α）？ 解：设公司职工的病假时间为X(1)统计假设：0H ：X 服从周一到周五的均匀分布，分布律为()5,4,3,2,1,2.0====i p i X P i(2) 检验统计量：=2χn np i ii -∑=512ν，（3）拒绝域为: X 0=}488.9{)}1({2212>=->-χχχαm（4）推断：检验统计量的样本值为0.023，不在拒绝域里，接受0H ，可以认为该公司职工病假在五个工作日中是均匀分布。
13.对某厂生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如下：组限 10.93～10.9510.95～10.9710.97～10.9910.99～11.01频数 5 8 20 34 组限 11.01～11.0311.03～11.0511.05～11.0711.07～11.09频数17664试问螺栓的口径X 的分布是否服从正态分布（05.0=α）。