【教案】4.1.1 《n次方根与分数指数幂》教案
高中数学_4.1.1 n次方根与分数指数幂教学课件设计
情境引入
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一 个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少 呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现 导致了数学史上第一个无理数 2的诞生.
希帕索斯
1
c
1 c2＝2 (c>0)
合作探究
二、素养落地 通过理解分数指数幂的含义提升数学抽象素养，通过进行根式与分数指数幂
的互化及运用指数幂的运算性质培养数学运算素养.
阅读与思考
从16世纪数学家斯蒂文尝试用分数指数 幂符号开始，历经17世纪牛顿用有理指数幂符 号表示根式，直到18世纪欧拉明确给出定义， 这一表示法才被人们普遍接受和应用。
阅读与思考
题型一 根式与指数幂的互化 角度1 分数指数幂化根式
【例2-1】用根式的形式表示下列各式（a>0）
3
(1) a 4
3
(2) a 5
角度2 根式化分数指数幂 【例2-2】 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式
(1) 3 x2 x 0
(3) p6 p5 p 0
(2) 5 m n 4 m n
a3
(4)
合作探究
①
2
4
②
2
9
4
③ 4 16
3
④ 3 1
3
⑤ 3 8
;
① 22
;
② (2)2
;
③ 3 33
;
④ 3 (3)3
;
⑤ 4 (1)4
试一试， 有规律吗？
; ; ; ; ;
根式的性质
性质1： (n a )n a
性质2：当n为奇数时, n a n a 当n为偶数时, n an | a | aa, a, a00
新教材4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 教案
第四章 指数函数与对数函数4.1 指数【素养目标】1．弄清nn 次方根的运算．(数学抽象)2．能够利用m na=(数学运算)3．通过对根指数n 的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理) 【学法解读】本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．4.1.1 n 次方根与分数指数幂必备知识·探新知基础知识提示：不一定．当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，且互为相反数，当n 为奇数时，正数a 的n 次方根只有一个且仍为正数．知识点二 根式(1)定义：式子叫做根式，这里n 叫做___根指数__，a 叫做___被开方数__. (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *) ∈(na )n ＝a .∈na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.思考2：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R .思考3：为什么分数指数幂的底数规定a>0?提示：(1)当a <0时，若n 为偶数，m 为奇数，则m na ，m na -无意义；(2)当a ＝0时，a 0无意义．知识点四 有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r ，s∈Q) (1)r s r s a a a +=. (2)()r srsa a =. (3)()rr rab a b =.思考4：同底数幂相除a r÷a s，同次的指数相除a rbr 分别等于什么？提示：(1)a r ÷a s ＝a r －s ； (2)a r b r ＝(a b )r .基础自测1.3－8等于( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．－8[解析]3－8＝3(－2)3＝－2.2．下列各式正确的是( A )A．3a = B．47=-C．5||a =Da =[解析] (3a )3＝a ，(47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0)，故选A ．3．324-可化为( C )A ．8B ．432 C ．18D ．342[解析] 3233322211114284(2)-====. 4．若a >0，n ，m 为实数，则下列各式中正确的是( D ) A ．m m nna a a ÷= B ．n m m n a a a ⋅⋅= C ．( )n mm na a+=D ．01n n a a -÷=[解析] 由指数幂的运算法则知1÷a n ＝a 0÷a n ＝a 0－n正确，故选D ．5．若66－x 有意义，则实数x 的取值范围为_____(－∞，6]___. [解析] 要使式子66－x 有意义，应满足6－x ≥0， ∴x ≤6.关键能力·攻重难题型探究题型一n次方根的概念例1(1)16的平方根为___±4___，－27的5次方根为___5－27__；(2)已知x7＝6，则x＝__76__；(3)若4x－2有意义，则实数x的取值范围是_____[2，＋∞)___.[分析]解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．[解析](1)∈(±4)2＝16，∈16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.(2)∈x7＝6，∈x＝7 6.(3)要使4x－2有意义，则需x－2≥0, 即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[归纳提升](1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．【对点练习】∈ 计算下列各值：(1)27的立方根是__3___；(2)256的4次算术方根是__4___；(3)32的5次方根是__2___.[解析](1)∈33＝27，∈27的立方根是3.(2)∈(±4)4＝256，∈256的4次算术方根为4.(3)∈25＝32，∈32的5次方根为2.题型二利用根式的性质化简或求值例2化简：(1)3＋22＋3－22；(2)5＋26－6－42＋7－43；(3)32＋5＋32－ 5.[分析](1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．(3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．[解析](1)原式＝(2)2＋22＋1＋(2)2－22＋1＝(2＋1)2＋(2－1)2＝2＋1＋2－1＝2 2.(2)原式＝(3＋2)2－(2－2)2＋(2－3)2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2.(3)令x＝32＋5＋32－5，两边立方，得x3＝2＋5＋2－5＋3·32＋5·32－5·(32＋5＋32－5)，即x 3＝4－3x ，所以x 3＋3x －4＝0，所以(x －1)(x 2＋x ＋4)＝0，x 2＋x ＋4＝(x ＋12)2＋154>0，所以x －1＝0，x ＝1，所以32＋5＋32－5＝1.[归纳提升] 形如A ±B 的双重根式，当A 2－B 是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式．【对点练习】❷ 计算下列各式： (1)5(－a )5＝_______； (2)6(3－π)6＝________； (3)614－3338－30.125＝______. [解析] (1)5(－a )5＝－a . (2)6(3－π)6＝6(π－3)6＝π－3. (3)614－3338－30.125＝(52)2－3(32)3－3(12)3＝52－32－12＝12.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂表示下列各式：(1)a 3·3a 2； (2)b 3a·a 2b 6(a >0，b >0)； (3)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．[分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．[解析](1)a 3·3a 2＝a 3·a23 ＝a 3＋23 ＝a 113 .(2)∵a >0，b >0， ∴b 3a ·a 2b 6＝(a－1b 3)12 ·(a 2b －6)12＝(a －12 b 32 )·(ab －3)＝a 12b －32 ＝(a 12 b －32 )12 ＝a 14 b －34 . (3)∵a >0，b >0，∴a－4b 23ab 2＝a－4b 2a13 b 23 ＝a －113 ·b 83 ＝(a －113 b 83 )12 ＝a －116b 43 .[归纳提升] 进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N ＋)，同时应注意以下几点：(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式． (2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．【对点练习】❸ (1)5－211 化为根式形式为____；(2)4b －23 (b >0)化为分数指数幂的形式为____16b -____；(3)13x (5x 2)2(x ≠0)化为分数指数幂的形式为____53x-____.[解析] (1)原式＝15211 ＝11152＝11125. (2)原式＝(b －23 )14 ＝b －23 ×14 ＝b －16 .(3)原式＝13x ·(x 25 )2＝13x ·x 45 ＝13x 95＝1(x 95 )13 ＝1x 35＝x －35 .题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值例4 (1)计算：(235)0＋2－2·(214)－12 －(0.01)0.5＝______；(2)化简：3a 72 a －3÷3a－83a 15÷3a－3a －1.[分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12 ＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝3a 72 a －32 ÷a －83 a 153 ÷3a －32 a －12＝3a 2÷a 73 ÷3a －2＝a 23 ÷(a 73 )12 ÷(a －2)13 ＝a 23 ÷a 76 ÷a －23＝a 23 －76 ÷a －23 ＝a －12 ＋23 ＝a 16 .[归纳提升] 1.幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．【对点练习】❹ 化简：a 43 －8a 13 b4b 23 ＋23ab ＋a 23÷(1－23b a )×3a .[解析] 原式＝a 13 (a －8b )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ÷a 13 －2·b 13 a 13·a 13＝a 13 (a 13 －2b 13 )(a 23 ＋2a 13 b 13 ＋4b 23 )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ·a 13a 13 －2b 13 ·a 13＝a 13 ·a 13 ·a 13 ＝a .课堂检测·固双基1．化简[(－3)2]－12的结果是( C )A ．－33B ．3C ．33D ．－3[解析] [(－3)2]－12＝3－12＝1312＝13＝33.2．已知m <23，则化简4(3m －2)2的结果为( C )A ．3m －2B ．－3m －2C ．2－3mD ．－2－3m[解析] ∵m <23，∴3m －2<0，排除A ，B ，又(3m－2)2>0，所以4(3m－2)2为正，所以选C．3．若2＜a＜3，化简(2－a)2＋4(3－a)4的结果是(C)A．5－2a B．2a－5C．1D．－1[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C．4．以下说法正确的是(C)A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*)D．负数没有n次方根[解析]对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，∴B错误；对于C，当n>1且n∈N*时，0的n次方根是0，∴C正确；对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．5．(2019·江苏、苏州市高一期中测试)求值：4(－43)4＝__43__.[解析]4(－43)4＝4(43)4＝43.素养作业·提技能A组·素养自测一、选择题1．－416的结果是(B)A．2B．－2C．±2D．以上都不对[解析]－416＝－424＝－2.故选B．2．下列各式正确的是(C)A．6(－3)2＝3(－3)B．4a4＝aC．622＝32D．a0＝1[解析]6(－3)2＝632＝33，4a4＝|a|，a0＝1条件为a≠0，故A，B，D错．3．若2 019<m <2 020，则(3m －2 019)3＋4(m －2 020)4等于( A ) A ．1 B ．4 031－2m C ．4 031D ．2m －4 031[解析] 因为2 019<m <2 020，所以m －2 020<0. 故原式＝m －2 019＋|m －2 020| ＝m －2 019＋2 020－m ＝1. 故选A ．4．若6x －2·43－x 有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x ≥2 B ．x ≤3 C ．2≤x ≤3D ．x ∈R[解析] 由题意，知x －2≥0，且3－x ≥0，所以2≤x ≤3. 二、填空题5．64的6次方根是__±2__，计算64－23的值是__116__.[解析] ∵(±2)6＝64，∴64的6次方根是±2；64－23＝13642＝13(43)2＝13(42)3＝142＝116.6．已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：①6(－2)2n ；②5a 2；③6(－3)2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是__③__.(只填式子的序号即可)[解析] ③中被开方数为负数，且开偶次方，无意义，其余都有意义． 三、解答题7．写出使下列各式成立的实数x 的取值范围：(1)3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3；(2)(x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.[解析] (1)由于根指数是3，故x 只需使1x －3有意义即可，此时x －3≠0，即x ≠3.故实数x 的取值范围是x ≠3.(2)∵(x －5)(x 2－25)＝(x －5)2(x ＋5)＝(5－x )·x ＋5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，∴－5≤x ≤5. ∴实数x 的取值范围是－5≤x ≤5.B 组·素养提升一、选择题1．化简(－x )2－1x的结果是( B ) A ．x B ．－x －x C ．x x D ．x －x[解析] 由 －1x知x <0，又当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，因此(－x )2－1x ＝x 2·－x |x |＝－x －x .2．(多选题)下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( CD ) A ．x 2＝x B ．6y2＝y 13C ．(x y )－52 ＝(yx)5(x 、y ≠0) D ．x－12＝1x[解析]x 2＝|x |，6y 2＝|y |13，(x y )－52 ＝(y x )52 ＝(yx)5(x 、y ≠0)， x－12＝1x 12＝1x ，故CD 正确．二、填空题3．若10α＝2,100β＝3，则1 0002α－13β等于3[解析] ∵10α＝2,100β＝102β＝3， ∴10β＝ 3.∴1 0002α－13β＝106α－β＝106α10β＝643＝6433.4．2723＋16－12－(12)－2－(827)－23 ＝__3__. [解析] 原式＝(33)23＋(42)－12－22－[(23)3]－23 ＝32＋4－1－4－94＝3. 三、解答题5．若x >0，y >0，且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )，求2x ＋2xy ＋3yx －xy ＋y的值．[解析] 由x >0，y >0且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )得x ＋xy ＝3xy ＋15y ，即x －2xy －15y ＝0，整理有(x －5y )(x ＋3y )＝0，因为x >0，y >0，所以x ＝5y ，即x ＝25y ，11 所以2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y 21y ＝3.。
4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计-人教A版高中数学必修第一册
【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。
有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。
课程目标1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。
数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。
重点：（1）根式概念的理解；（2）分数指数幂的理解；（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本104-106页，思考并完成以下问题 (1)n 次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．n 次方根2．根式(1)叫做根式，这里n 叫做 根指数 ，a 叫做 被开方数 ． (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *)23111,(),(),222111,,,248600010000100000573057305730111(),(),()222①(na )n＝ a . ②n a n ＝,,.a n a n ⎧⎨⎩为奇数为偶数3．分数指数幂的意义4．有理数指数幂的运算性质(1)a ras＝ar＋s(a＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s＝rs a (a ＞0，r ，s ∈Q)．(3)(ab )r＝r r a b (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．四、典例分析、举一反三 题型一 根式的化简(求值) 例1 求下列各式的值 【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简√a n n时,首先明确根指数n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(√a n)n 时,(1)(2)(3)(4)关键是明确√a n 是否有意义,只要√a n 有意义,则(√a n)n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a 的正负,再结合n 的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一 1.化简(1)n (x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 【答案】见解析【解析】 (1)∵x ＜π，∴x －π＜0.当n 为偶数时，n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n(x －π)n ＝x －π. 综上可知，n(x －π)n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *. (2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a . 题型二 分数指数幂的简单计算问题 例2 求值【答案】见解析【解析】解题技巧：(分数指数幂的运算技巧)1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 跟踪训练二 1.计算223338(2)=2323224⨯===334()44162()()813-⨯-=3227()38-==(1)(12527)-23; (2)0.008-23; (3)(812 401)-34; (4)(2a+1)0; (5)[56-(35)-1]-1. 【答案】见解析 【解析】(1)(12527)-23=(5333)-23=5-23-2=3252=925. (2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=(15)-2=52=25.(3)(812 401)-34=(3474)-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0={1,a ≠-12,无意义,a =-12.(5)[56-(35)-1]-1=(56-53)-1=(-56)-1=-65.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）【答案】见解析 【解析】解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 跟踪训练三1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ＞0)B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)【答案】C【解析】 －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；2223a a a ⋅=⋅28233aa+===421332()a a==x －34＝(x －3)14＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；x 1-3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x —13＝31x (x ≠0)．题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例4 计算:0.064-13−(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12.【答案】14380 【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380. 解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练四1.计算:(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;2 .化简:√a 72√a -33÷√√a 3153√√a 3a>0).【答案】见解析【解析】(1)原式=1+14×(49)12−(1100)12=1+16−110=1615.(2)原式=√a 72·a -323÷√a -83·a 153÷√a -32·a -123=√a 23÷√a 73÷√a -23=a 23÷(a 73)12÷a -23=a 23÷a 76÷a -23=a 23-76+23=a 16=√a 6.五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本109页习题4.1本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.。
高一数学教案411N次方根与分数指数幂
第四章指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计一、教学目标1.理解n次方根与分数指数幂的概念与性质。
2.掌握分数指数幂与根式的互化。
二、教学重难点1.教学重点n次方根与分数指数幂的概念与性质，分数指数幂与根式的互化2.教学难点分数指数幂与根式的互化三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1.新课导入提问：如果x2=a，那么x是a的什么？例如：就是4的平方根。
教师提问，学生回答：x是a的平方根。
提问引入，吸引学生的学习兴趣。
2.探索新知如果x3=a，那么x叫做a的立方根。
例如：2就是8的立方根。
n次方根的定义：一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N。
那么n的取值会影响n次方根的值吗？小组讨论。
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a 的n次方根用符号表示。
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正学生讨论n的取值的影响，加强对n次方根的定义的理解，讨论出答案后教师进行纠正。
加深学生对知识的记忆，培养学生自主发现的能力。
的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示。
正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 (a>0).负数没有偶次方根提问:为什么负数没有偶次方根？0的任何次方根都是0,记作=0.根式的定义：式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a叫做被开方数。
根据n 次方根的意义，可得=a.=a一定成立吗？如果不成立，如何表示？当n是奇数时，=a当n是偶数时，=|a|=完成课本P105例1根据n次方根的定义和数的运算，我们知道==a2=(a>0)分数指数幂的概念：当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。
你还记得哪些整数指数幂的运算性质。
把根式表示为分数指数幂的形式时，整数指数幂的运算性质对分数指数幂仍然适用。
学生思考讨论后回答，教师进行更正：因为负数的偶次方根一定是正数。
4.1.1+n次方根与分数指数幂教学设计-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（一）课时教学内容：n次方根的概念和分数指数幂的概念（二）课时教学目标：1.通过具体的实例，与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂和根式的概念及相互关系.2.掌握分数指数和根式之间的相互转化.3.培养学生观察分析，抽象的能力；通过运算训练，养成学生一丝不苟的学习习惯.（三）教学重点与难点1.教学重点：掌握并运用分数指数幂的运算2.教学难点：分数指数幂的概念（四）教学过程设计【问题1】复习回顾，回答下列问题1.什么是平方根？什么是立方根？2.一个数的平方根有几个？立方根呢？师生活动：1.学生思考回顾之前所学的知识，回顾平方根和立方根的概念；2.教师归纳总结以上知识，带领学生回顾.为了简洁明了地引出n次方根的概念，我们需要举几个例子来说明.设计意图：回顾平方根和立方根的概念，从而引出n次方根的概念.追问：那你觉得n次方根的概念应该是什么呢？该如何表示？师生活动：1.学生根据已知的平方根和立方根的概念，猜测n次方根的概念；2.教师总结n次方根的概念，并指明正数与负数的区别，以及n的范围.设计意图：了解n次方根的概念和表示.【问题2】阅读课本104页，思考下列问题1.a的n次方根中n的奇偶与a的正负之间有什么关系？例如，当a是正数，n 是奇数时，a的n次方根是正数还是负数？2.负数有偶次方根吗？为什么？师生活动：1.学生根据课本内容，思考问题，自己寻找原因，可以小组讨论；2.教师找学生回答问题，并结合学生所答总结知识.给出根式，根指数和被开方数的概念.探究：n n a表示a n的n次方根，n n a=a一定成立吗？如果不一定成立，那么n na等于什么？师生活动：教师引导学生，结合刚刚思考的问题回答探究问题.当a为负数，n为偶数时，a n为偶数，而此时不仅仅等于a.设计意图：得到a 的n 次方根在不同条件的时的公式.【问题3】判断以下问题是否正确？为什么？ 1.2的平方根是2； 2.416等于±2； 3.2不是2的平方根，2±是2的平方根； 4.24-）（的平方根是±2．师生活动：1.教师引导学生分析1和2:1:错误，颠倒了，应该“是2的平方根”；2:错误，是指16的正的4次方根，所以；2.学生根据前两道题的思路，自行解决3和4题，教师给出答案.【问题4】计算课本105页例1师生活动：学生小组讨论进行计算，教师找一组学生回答问题，并根据回答内容总结分析给出答案.设计意图：巩固以上所学知识.【问题5】思考问题根据n 次方根的定义和数的运算，我们知道）（0)(a 5102552510>===a a a a , )0()(4123443412>===a a a a a , 这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.思考，如果根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否也表示成分数指数幂的形式？师生活动：1.学生小组讨论，说出自己的想法和理解；2.教师点评小组讨论结果，给出最终结果，引导学生深入理解和思考问题，从而给出分数指数幂的概念和表示方法.并把整数指数幂的运算性质拓展到有理数. 设计意图：引出分数指数幂的概念，将整指数幂的运算性质拓展到有理数.【问题6】计算课本106页例2和例3师生活动：学生自己进行计算，并小组讨论正确答案；教师找学生回答问题，让学生说出思考计算过程，并针对不会的问题进行讲解.设计意图：让学生加深理解分数指数幂的运算性质.【课后作业】课本109页第1、2题设计意图：第1、2题练习所学的n 次方根和分数指数幂的概念和表示方法.（五）目标检测设计目标检测题：1.用根式的形式表示下列各式（a>0）：（1）32a ； （2）32-a检测目标：根式与n 次方根之间的转化.2.用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）)0(32>x x ; (2))0(56>p p p检测目标：分数指数幂与n 次方根之间的转化关系.3.计算下列各式：（1）63125.1332⨯⨯; （2）512131-a a a检测目标：分数指数幂的运算性质.。
《n次方根与分数指数幂》
4.1.1n次方根与分数指数幂(教师独具内容)课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系．教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.na n与(na)n的区别与联系．【知识导学】知识点一根式的定义(1)a的n次方根的定义：□01一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示①当n是奇数时，□02a的n次方根表示为n a，a∈R；②当n是偶数时，□03a的n次方根表示为±n a，其中－n a表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．(3)根式：□04式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．知识点二根式的性质(1)(na)n＝□01a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n＞1)．(2)na n＝□02⎩⎨⎧a(n为奇数，且n＞1)，|a|(n为偶数，且n＞1).知识点三分数指数幂的意义(1)am n ＝□01 n a m，a －mn ＝1am n＝□021n a m (其中a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(2)0的正分数指数幂等于□030,0的负分数指数幂□04没有意义． 知识点四 有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝□01a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝□02a rs (a >0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝□03a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 【新知拓展】 1.n a n 与(na )n 的区别(1)na n 是实数a n 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶限制，但这个式子的值受n 的奇偶限制．其算法是对a 先乘方，再开方(都是n 次)，结果不一定等于a ，当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值范围由n 的奇偶决定．其算法是对a 先开方，后乘方(都是n 次)，结果恒等于a .2.分数指数幂的理解(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂amn 不可理解为mn个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．(2)把根式na m 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn 进行约分．3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5) 23＝3(－5)2有意义，但(－5)34 ＝4(－5)3就没有意义．1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为32＝9，所以3是9的平方根．( ) (2)当n ∈N *时，(n－16)n 都有意义．( ) (3)(3－π)2＝π－3.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)用根式的形式表示下列各式(a >0)：①a15 ＝________；②a34＝________； ③a －35 ＝________；④a －23＝________.(2)将下列根式写成分数指数幂的形式(其中a >b >0)． ① 5(a －b )7＝________；②4(a 2－b 2)3＝________； ③4a 2b －ab 2＝________；④4(a 2－b 2)2＝________.(3)若n 为偶数时，n(x －1)n ＝x －1，则x 的取值范围为________．答案 (1)①5a ②4a 3 ③15a 3 ④13a2(2)①(a －b )75 ②(a 2－b 2) 34 ③(a 2b －ab 2) 14 ④(a 2－b 2)24 (3)x ≥1题型一 根式的概念 利用根式的性质化简例1 (1)①16的平方根为________，－27的5次方根为________； ②已知x 7＝6，则x ＝________；③若4x －2有意义，则实数x 的取值范围是________； (2)化简：① n(x －π)n (x <π，n ∈N *)；②4a 2－4a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≤12.[解析] (1)①∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.②∵x 7＝6，∴x ＝76. ③要使4x －2有意义，则需x －2≥0，即x ≥2.因此实数x 的取值范围是[2，＋∞)．(2)①∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时， n (x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时， n(x －π)n ＝x －π.综上，n(x －π)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.②∵a ≤12，∴1－2a ≥0， ∴4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|＝1－2a . [答案] (1)①±4 5－27 ②76 ③[2，＋∞)(2)见解析 金版点睛1.判断关于n 次方根的结论应关注的两点 (1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号． 2.根式化简求值解题思路解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答.[跟踪训练1] (1)下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．A.1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102 C.210 D ．±102(3)化简下列各式： ①3－27；②(3－9)3；③(a －b )2.答案 (1)B (2)D (3)见解析解析 (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，③④正确．(2)∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2 的10次方根有两个，且互为相反数，∴m ＝±102. (3)①3－27＝3(－3)3＝－3.②(3－9)3＝－9.③ (a －b )2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )，b －a (a <b ).题型二 根式与分数指数幂的互化例2 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( )A.－4x ＝(－x )14 (x >0)B.x － 15＝－5x (x ≠0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(xy >0) D.8y 2＝y14[解析] 对于A ，－4x ＝－x14 ，所以A 错误；对于B ，x －15 ＝15x，所以B错误；对于C ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(xy >0)，所以C 正确；对于D ，8y 2＝|y | 14 ，所以D 错误．[答案] C金版点睛根式与分数指数幂互化依据(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a mn＝na m和a－mn＝1amn＝1na m，其中字母a要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.[跟踪训练2]用分数指数幂表示下列各式：(1) 3ab2(ab)3(a>0，b>0)；(2)13x(5x2)2(x>0)．题型三多重根式的化简例3化简：3＋22＋3－2 2.[解]解法一：原式＝(2)2＋22＋1＋(2)2－22＋1＝(2＋1)2＋(2－1)2＝2＋1＋2－1＝2 2.解法二：令x＝3＋22＋3－22，两边平方得x2＝6＋29－8＝8.因为x>0，所以x＝2 2.金版点睛形如m±2n(m>0，n>0)的双重根式，一般是将其转化为(a±b)2的形式后再化简．由于(a ±b )2＝a ＋b ±2ab ，因此转化的方法就是寻找a ，b ，使得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝m ，ab ＝n ，即a ，b 是方程x 2－mx ＋n ＝0的两个根．如化简2－3，首先化为m －2n 的形式，即4－232，解方程x 2－4x ＋3＝0，得x ＝3或x ＝1，则4－23＝(3－1)2，所以2－3＝4－232＝(3－1)22＝3－12＝6－22. [跟踪训练3] 化简： 5＋26－6－42＋7－4 3.解 原式＝(3＋2)2－ (2－2)2＋ (2－3)2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2.1.已知x 5＝6，则x 等于( ) A. 6 B.56 C ．－56 D ．±56 答案 B解析 由根式的定义知，x 5＝6，x ＝56，选B. 2.下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4a 4＝a C.22＝2 D.3(－2)3＝2答案 C 解析 由于(－3)2＝3，4a 4＝|a |，3(－2)3＝－2，故A ，B ，D 错误.3.若64a 2－4a ＋1＝31－2a ，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 答案 D 解析 ∵64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a ，∴1－2a ≥0，即a ≤12.4.计算下列各式的值： (1)3－53＝__________；(2)设b <0，则(－b )2＝__________. 答案 (1)－5 (2)－b 解析 (1)3－53＝－353＝－5.(2)∵b <0，∴－b >0，∴(－b )2＝－b .5.计算： (e ＋e －1)2－4＋(e －e －1)2＋4(e ≈2.7)． 解 原式＝e 2＋2＋e －2－4＋e 2－2＋e －2＋4＝(e －e －1)2＋(e ＋e －1)2＝e －e －1＋e ＋e －1＝2e ≈5.4.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1.若n a n ＋(n ＋1a )n ＋1＝0，a ≠0，且n ∈N *，则( ) A.a >0，且n 为偶数 B ．a <0，且n 为偶数 C.a >0，且n 为奇数 D ．a <0，且n 为奇数 答案 B 解析 由(n ＋1a )n ＋1＝a ，得na n ＝－a ，故n 为偶数且a <0.2.若xy ≠0，那么等式 x 2y 3＝－xy y 成立的条件是( ) A.x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C.x <0，y >0 D ．x <0，y <0 答案 C解析依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2y 3>0，－xy >0，y >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y >0，故选C.3.若4a－2＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是()A.[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞)C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)答案 B解析由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，∴a的取值范围是a≥2且a≠4，故选B.4.7＋43＋7－43等于()A.－4 B．2 3 C．－2 3 D．4答案 D解析7＋43＋7－43＝(2＋3)2＋(2－3)2＝(2＋3)＋(2－3)＝4.5.当2－x有意义时，化简x2－4x＋4－x2－6x＋9的结果为()A.2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x答案 C解析由2－x有意义得x≤2，则x2－4x＋4－x2－6x＋9＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.二、填空题6.化简：b－(2b－1)(1<b<2)＝________.答案b－1解析原式＝(b－1)2＝b－1(1<b<2).7.已知3a＝2,3b＝5，则32a－b＝________.答案4 5解析∵3a＝2,3b＝5，∴32a－b＝(3a)2·3－b＝22×15＝45.8.已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①6(－2)2n；②5a2；③6(－3)2n＋1；④9－a4，其中没有意义的是________(只填式子的序号即可)．答案③解析①中，(－2)2n>0，∴6(－2)2n有意义；②中，根指数为5，∴5a 2有意义； ③中，(－3)2n ＋1<0，∴ 6(－3)2n ＋1没有意义； ④中，根指数为9，∴ 9－a 4有意义.三、解答题9.已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简 n(a －b )n ＋n(a ＋b )n .解 ∵a <b <0，∴a －b <0，a ＋b <0.当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ；当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b |＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . ∴ n(a －b )n ＋n(a ＋b )n＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数，－2a ，n 为偶数.10.若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy 的值．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0. ∴(x ＋y )(x －2y )＝0. 由x >0，y >0，得x ＋y >0. ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y . ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.B 级：“四能”提升训练1.求解关于x 的一元二次方程2x 2－10x ＋3＝0.解 Δ＝(－10)2－4×2×3＝10－46＝(6－2)2，由求根公式得 x ＝10±(6－2)222＝5±(3－2)2.2.某工厂2018年12月份的产值是这年1月份产值的k 倍，求该厂在2018年新教材·数学·必修·第一册[A]度产值的月平均增长率．解设1月份的产量为a，月平均增长率为x，则2月份的产量为a＋ax＝a(1＋x)，3月份的产量为a(1＋x)＋a(1＋x)·x＝a(1＋x)2，……12月份的产量为a(1＋x)11，依据题意，a(1＋x)11＝ka.解得x＝11k－1，即2018年度产值的月平均增长率是11k－1.。
【教案】4.1.1 《n次方根与分数指数幂》教案
4.1.1 n 次方根与分数指数幂教学设计一、教材分析：从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂；1≠，且0>(a a a nm、实数指数幂R)∈1；；≠且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 1．掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； 2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 教学重难点 【教学重点】理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 【教学难点】能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 课前准备引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础． 二、教学过程：（一）自主预习——探新知： 问题导学预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n 次方根是怎样定义的？2．根式的定义是什么？它有哪些性质？3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？（二）创设情景，揭示课题（1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．（2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？ 如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，类似的，（±2）4＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？ 推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？给出定义． （3）当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，若a >0，则a 的n 次方根为n a 若a =0，则a 的n 次方根为0； 若a <0，则a 的n 次方根不存在．即：负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.,1)n N n ∈>叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （4）一起看354分别等于什么？一般地n等于什么？n a =由n 次方根的意义，可得 ，换一下呢？n na 等于什么？当na =； 当n||a =，然后对a 的正负分类考虑，以夏天、冬天穿衣服为例子帮助记忆。
4.1.1n次方根与分数指数幂(教学课件) —— 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
m
n
3
7
3
n
5
m
n m
即：
a a (a 0, m, n N * , n 1)
*
分数指数
●规定：
1、正数的正分数指数幂的意义为：
m
n
a n a m (a 0, m, n N * , n 1)
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m
n
1
a
m
n
1
n
am
回顾旧知
22=4
(-2)2=4
23=8
2,-2叫4的平方根.
2叫8的立方根.
新 知 探 索
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体
实数. 在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面
积S的函数 c
1
2
s ，记作 c s ．
1
2
像 s 这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面
从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究．
a b, a b,
2
(4) （a-b） a b
b a, b a.
先回顾一下初中时的整数指数幂，运算性质
a a a a a, a 1 (a 0) , 0 无意义
n
a
n
0
1
n
a
(a 0)
a a a
m
n
mn
0
负整数指数幂转化为正整数指数幂
第四章 指数函数与对数函数
● 4.1.1 n次方根与分数指数幂
课标要求
1.理解n次方根、根式的概念.
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4.1.1 n 次方根与分数指数幂
教学设计
一、教材分析：
从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性
质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂；1≠
，且0>(a a a n
m
、实数指数幂R)∈1；；≠
且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 1．掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； 2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 教学重难点 【教学重点】
理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 【教学难点】
能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 课前准备
引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础． 二、教学过程：
（一）自主预习——探新知： 问题导学
预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n 次方根是怎样定义的？
2．根式的定义是什么？它有哪些性质？
3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？
（二）创设情景，揭示课题
（1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．
（2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题：
４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？ 如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，
类似的，（±2）4
＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？ 推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？给出定义． （3）当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，若a >0，则a 的n 次方根为n a 若a =0，则a 的n 次方根为0； 若a <0，则a 的n 次方根不存在．即：
负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
,1)n N n ∈>叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （4）一起看
354
分别等于什么？一般地n
等于什么？
n a =由n 次方根的意义，可得 ，
换一下呢？
n n
a 等于什么？
当n
a =； 当n
||a =，然后对a 的正负分类考虑，以夏天、冬天穿衣服为例子帮助记忆。
（三）合作探究——提素养： 课本例题1、求下列各式的值：
（1） ;)8(3
3- （2）
;)10(2-
（3）
;)3(4
4π- （4
).a b >
（5）.分数指数幂的概念
102
5
123
4
(0),(0).
a a a a a
a ===>=
==>
可写成什么形式？ n m
a = （a >0，m ，n ∈N 且
n ＞1）， 那么如何规定n
m
a
- （a >0，m ，n ∈N ，且n ＞1）的含义？ 零的分数指数幂呢？
规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m
*10,,,1)m n
m n
a
a m n N n a
-
=
=
>∈>
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
（6）．有理指数幂的运算性质
（1）(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈； （2）()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈；
（3）()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈． 课本例题2、 求值：3
2
8)1(、
4
38116)2(-
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛、
课本例题3、用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）：
322)1(a a ⋅、 3)2(a a 、
课本例题4、计算下列各式（式中字母均是正数）：
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛65
613121
21
32362)1(b a b a b a 、
42
3328
834
1
)()3()
()2(a a a n m ÷--
、、
题型三：分数指数幂的运算与化简计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)5.02120)01.0()4
12(2)532(-⨯+--；
方法归纳：
指数幂的运算底数是负数，先确定符号;底数是小数，先要化成分数． 底数是带分数，先化成假分数，然后表示成指数幂的形式，按照法则进行运
算．
（四）达标检测——固双基：
（五）课后作业：
课本P107:1、2、3；P109；习题4.1 ： 4、5。