动态规划的基本概念
动态基本概念
动态基本概念动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域中解决问题的方法。
它通过将问题分解为相互重叠的子问题，以递归的方式求解这些子问题，并将子问题的解存储起来以供后续使用，从而避免了重复计算，提高了效率。
动态规划的核心思想是将原问题分解为一系列子问题，并通过求解子问题来推导原问题的解。
这种方法通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
在动态规划中，有几个基本概念是至关重要的：1.阶段：阶段是指问题过程中的一个划分，它将问题分解为若干个相互联系的部分。
阶段的划分通常基于时间或空间的特征，以便能够按一定的次序求解问题。
2.状态：状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件。
它描述了问题在某个阶段的特定情况。
状态可以是某个阶段的出发位置、某个时刻的资源配置等。
3.状态变量：状态变量是用来描述问题状态的变量，它可以用一个数、一组数或一个向量来表示。
状态变量通常用来表示某个阶段的状态，例如在第k阶段，状态变量Sk可以表示该阶段的状态。
4.状态转移方程：状态转移方程是动态规划的核心，它描述了状态之间的转移关系。
通过状态转移方程，我们可以根据前一阶段的状态推导出后一阶段的状态。
5.边界条件：边界条件是指问题在初始阶段或边界情况下的解。
它是动态规划的起点，用来初始化状态变量的值。
6.最优化：最优化是指在所有可能的解中找到最优解的过程。
在动态规划中，我们通常通过比较不同状态的值来找到最优解。
7.子问题重叠：子问题重叠是指动态规划中的子问题不是独立的，即一个子问题在求解过程中多次出现。
子问题重叠是动态规划的一个重要特征，它使得我们可以通过存储子问题的解来避免重复计算。
8.记忆化：记忆化是一种优化技术，它通过存储已经求解过的子问题的解，来避免重复计算。
记忆化可以提高动态规划的效率，特别是在处理大量重复子问题时。
9.自底向上和自顶向下：自底向上和自顶向下是动态规划的两种不同的求解方式。
第6章-动态规划
求解过程
由最后一个阶段的优化开始，按逆向顺序逐步 向前一阶段扩展，并将后一阶段的优化结果带 到扩展后的阶段中去，以此逐步向前推进，直 至得到全过程的优化结果。
f1
(
A)
min
dd11
( (
A, A,
B1) B2 )
ff22((BB12))
min
4 9
9 11
13
d1( A, B3) f2 (B3)
5 13
其最短路线是A→ B1→C2 →D2 →E ，相应的决 策变量是u1(A)=B1
因此，最优策略序列是：
u1(A) =B1, u2(B1)=C2, u3(C2)=D2, u4(D2)=E
5 8 C2 4 6 4
4 C3 2
C3
D1 4 2 6
D2 9 7
D3 5
D4
E1 1 F
E2 2
E5
F
动态规划的逆序解法与顺序解法
逆序（递推）解法：即由最后一段到第一段逐步 求出各点到终点的最短路线,最后求出A点到E点 的最短路线。运用逆序递推方法的好处是可以始 终盯住目标,不致脱离最终目标。 顺序解法：其寻优方向与过程的行进方向相同， 求解时是从第一段开始计算逐段向后推进，计算 后一阶段时要用到前一段求优的结果，最后一段 的计算结果就是全过程的最优结果。
B1
A
4+9=13
d(u1)+f2
B2
B3
f1(s1) u1*
动态规划的基本原理和基本概念
)
=
max/
min
n
d
j
(S
j
,
x
j
)
j=k
7)指标递推方程（动态规划的基本方程）：
fk (Sk ) = max/ min{dk (Sk , xk ) + fk+1(Sk+1)}, k = 1,2,..., n
f
n+1
(Sn+1
)
=
0
例 投资金额分配问题．某公司有4百万元资金需要投资，有三个投资 项目可以选择。经市场调查预测，如果向项目 i 投资 j 百万元，则每年
所得到的利润（万元/年）因投资额的不同而有差异，如下表所示。问
应如何投资才能使总的利润最大？
投资额
利润
0
1
2
3
4
项目
项目1
0
16 25 30 32
项目2
0
12 17 21 22
项目3
0
10 14 16 17
解：令每给一个项目考虑投资多少资金为一个决策阶段,则该投资
决策问题可分为三个阶段.决策顺序为:
最优 决策
0 1 1
2 2,3
目标 值
0 12 22
27 31
项目1（阶段1）：
状态 0 4 0+31
决策
1
2
3
16+27 25+22* 30+12
4 32+0
最优 决策
2
目标 值
47
S1
x1 S2
x2
S3
x3
47 4
31 4
动态规划-动态规划-美国数学家贝尔曼-动态规划领域
物品
1 2 … j …n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an
每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
类似问题：工厂里的下料问题、运输中的 货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题等。
生产决策问题：企业在生产过程中，由于需求 是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳 生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度 地根据库存和需求决定生产计划。
描述状态的变量称为状态变量，它可用一个数、 一组数或一向量（多维情形）来描述，第k阶段 的状态变量常用sk表示，通常一个阶段有若干个 状态。
第k阶段的状态就是该阶段所有始点的集合， 用Sk表示。在第1阶段状态变量s1是确定的，称初 始状态。如引例中:
S1 A，S2 B1, B2, B3，S3 C1,C2,C3，S4 D1, D2
min
4
9
12
决策点为B3
AB3
f2
B3
3 9*
f1(A)=12说明从A到E的最短距离为12，最短路 线的确定可按计算顺序反推而得。即
A→B3→C2→D2→E 上述最短路线问题的计算过程，也可借助于图
形直观的表示出来：
12 2 A4
3
11
B1
7 4
6
93
B2 2
4
96
B3
2 5
6
C1 3
多阶段决策过程特点：
（1）根据过程的特性可以将过程按空 间、时间等标志分为若干个互相联系又互相 区别的阶段。
（2）在每一个阶段都需要做出决策，从 而使整个过程达到最好的效果。
（3）在处理各阶段决策的选取上，不仅只 依赖于当前面临的状态，而且还要注意对以后 的发展。即是从全局考虑解决局部（阶段）的 问题。
动态规划算法详解及经典例题
动态规划算法详解及经典例题⼀、基本概念（1）⼀种使⽤多阶段决策过程最优的通⽤⽅法。
（2）动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，⼜随即引起状态的转移。
⼀个决策序列就是在变化的状态中产⽣出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
假设问题是由交叠的⼦问题所构成，我们就能够⽤动态规划技术来解决它。
⼀般来说，这种⼦问题出⾃对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包括了同样问题的更⼩⼦问题的解。
动态规划法建议，与其对交叠⼦问题⼀次重新的求解，不如把每⼀个较⼩⼦问题仅仅求解⼀次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间的）。
这样就能够从表中得到原始问题的解。
（3）动态规划经常常使⽤于解决最优化问题，这些问题多表现为多阶段决策。
关于多阶段决策：在实际中，⼈们经常遇到这样⼀类决策问题，即因为过程的特殊性，能够将决策的全过程根据时间或空间划分若⼲个联系的阶段。
⽽在各阶段中。
⼈们都须要作出⽅案的选择。
我们称之为决策。
⽽且当⼀个阶段的决策之后，经常影响到下⼀个阶段的决策，从⽽影响整个过程的活动。
这样，各个阶段所确定的决策就构成⼀个决策序列，常称之为策略。
因为各个阶段可供选择的决策往往不⽌⼀个。
因⽽就可能有很多决策以供选择，这些可供选择的策略构成⼀个集合，我们称之为同意策略集合（简称策略集合）。
每⼀个策略都对应地确定⼀种活动的效果。
我们假定这个效果能够⽤数量来衡量。
因为不同的策略经常导致不同的效果，因此，怎样在同意策略集合中选择⼀个策略，使其在预定的标准下达到最好的效果。
经常是⼈们所关⼼的问题。
我们称这种策略为最优策略，这类问题就称为多阶段决策问题。
（4）多阶段决策问题举例：机器负荷分配问题某种机器能够在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。
在⾼负荷下⽣产时。
产品的年产量g和投⼊⽣产的机器数量x的关系为g=g(x)，这时的年完善率为a，即假设年初完善机器数为x，到年终时完善的机器数为a*x(0<a<1)；在低负荷下⽣产时，产品的年产量h和投⼊⽣产的机器数量y 的关系为h=h(y)。
动态规划的基本概念与方法
动态规划的基本概念与方法动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是解决一类最优化问题的一种方法，也是算法设计中的重要思想。
动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
它将问题分解为子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
动态规划的基本概念是“最优子结构”。
也就是说，一个问题的最优解可以由其子问题的最优解推导出来。
通过分解问题为若干个子问题，可以形成一个递归的求解过程。
为了避免重复计算，动态规划使用一个表格来保存已经计算过的子问题的解，以便后续直接利用。
这个表格也被称为“记忆化表”或“DP表”。
动态规划的基本方法是“状态转移”。
状态转移指的是，通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。
常用的状态转移方程可以通过问题的递推关系定义。
通过定义好状态转移方程，可以通过迭代的方式一步步求解问题的最优解。
在动态规划中，通常需要三个步骤来解决问题。
第一步，定义子问题。
将原问题划分为若干个子问题。
这些子问题通常与原问题具有相同的结构，只是规模更小。
例如，对于计算斐波那契数列的问题，可以定义子问题为计算第n个斐波那契数。
第二步，确定状态。
状态是求解问题所需要的所有变量的集合。
子问题的解需要用到的变量就是状态。
也就是说，状态是问题（解决方案）所需要的信息。
第三步，确定状态转移方程。
状态转移方程通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。
通常情况下，状态转移方程可以通过问题的递推关系确定。
在实际应用中，动态规划常用于求解最优化问题。
最优化问题可以归纳为两类：一类是最大化问题，另一类是最小化问题。
例如，最长递增子序列问题是一个典型的最大化问题，而背包问题是一个典型的最小化问题。
动态规划的优势在于可以解决许多复杂问题，并且具有可行的计算复杂度。
但是，动态规划也有一些限制。
首先，动态规划要求问题具有重叠子问题和最优子结构性质，不是所有问题都能够满足这两个条件。
其次，动态规划需要存储计算过的子问题的解，对于一些问题来说，存储空间可能会非常大。
数学建模动态规划
u5*(E2)F.
4
6
D2 2
F
3
1
D3
3
E2 u4 *(D 1)E1.
f4(D2)5 u4 *(D 2)E2.
f 3 ( C 2 ) m d 3 ( C 2 , D 1 i ) f 4 n ( D 1 ) d 3 ( { C , 2 , D 2 ) f 4 ( D 2 )}
m 4 i7 ,5 n 5 } { 1 . 0
一、基本概念
阶段：是指问题需要做出决策的步数。阶段总数常记为n，相 应的是n个阶段的决策问题。阶段的序号常记为k，称为阶段 变量，k=1,2, …,n. k即可以是顺序编号也可以是逆序编号， 常用顺序编号。 状态：各阶段开始时的客观条件，第k阶段的状态常用状态
变量 s k 表示，状态变量取值的集合成为状态集合，用 S k
4
A
5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
D1
3
5 6
D2 2
1
D3
3
u5*(E1)F,
E1
4
3
E2
u5*(E2)F.
F
f 4 ( D 1 ) m d 4 ( D 1 , E 1 i ) f n 5 ( E 1 ) d 4 ( { D , 1 , E 2 ) f 5 ( E 2 )}
到过程终止时的最佳效益。记为
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。 基本方程：此为逐段递推求和的依据，一般为：
式中opt 可根据题意取 max 或 min. 例如，案例1的基本方程为：
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
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动态规划的基本概念
基本概念
设我们研究某一个过程,这个过程可以分解为若干个互相联系的阶段。
每一阶段都有其初始状态和结束状态,其结束状态即为下一阶段的初始.状态。
第一阶段的初始状态就是整个过程的初始状态,最后一阶段的结束状态就是整个过程的结束状态。
在过程的每一个阶段都需要作出决策,而每一阶段的结束状态依赖于其初始状态和该阶段的决策。
动态规划问题就是要找出某种决策方法, 使过程达到某种最优效果。
这种把问题看作前后关联的多阶段过程称为多阶段决策过程, 可用图9.1表示。
下面介绍动态规划的术语和基本概念。
(l)阶段 把所研究的过程恰当地分为若干个互相联系的相对独立过程。
(2)状态变量 用来描述系统所处状态的变量称为状态变量。
通常用s k 表示第k 阶段的初始状态，则s k +1表示第k 阶段结束时(也就是第k+l 阶段开始时)过程的状态。
通常要求状态变量具有无后效性, 即过程在第k 阶段以后的变化只与该阶段结束时的状态有关, 而与系统如何到达此状态的过程无关。
(3)决策变量的状态转移方程。
系统在第k 阶段中的变化过程, 通常我们并不关心，但我们希望知道该阶段的初始状态与结束状态之间的关系。
我们用以影响该系统的手段，也用一个变量x k 表示，称为决策变量， 则第k 阶段结束时的状态s k +1是决策变量x k 和初始状态s k 的函数, 即
s k +1=T (s k ,x k ) (9-1)
(9-1)称为状态转移方程。
(4)权函数 反映第k 阶段决策变量x k 的效益函数W k (s k ,x k ) 称为权函数。
(5)指标函数 判断整个过程优劣的数量指标称为指标函数。
当第k 阶段初始状态为s k 时,设我们在此阶段及以后各阶段均采取最优策略时,所获得的效益为f k (s k ), 那么有 ))}(),,(({)(11++∈=k k k k k k D x k k s f x s W F opt s f k
k (9-2) 其中opt 表示最优,按具体问题可取为max 或min , D k 是决策变量x k 的定义域;F k 是某一个函数; s k +1=T (s k ,x k ).
图9.1
例如,描述一质点在已知力场中的运动,若我们选取该质点的坐标(x,y,z)作为状态变量, 则不能满足无后效性要求, 因质点的运动不仅与它当前的坐标有关,还与它如何来到此点的过程有关。
若我们选取该质点的位置向量r 与速度向量v 作为状态变量,那么就可以满足无后效性的要求, 因为质点在已知力场中的运动由它的初始位置和初始速度完全决定, 而与质点以前的历史无关。
动态规划的最优化原理
(9-2)反映动态规划的最优化原理：
最优策略的每一部分子策略,都是相应阶段的最优策略。
要运用动态规划解决某个问题,关键在于把该过程分解为若干阶段、这些阶段的状态变量和决策变量以及指标函数应该满足最优化原理。
利用状态转移方程(9-1)和递推方程(9-2)来解动态规划的方法称为逆序解法。
对某些问题,也可采用顺序解法,请参阅有关书籍。
在许多问题中,有
)(),())(),,((1111+++++=k k k k k k k k k k k s f x s W s f x s W F
这时递推方程(9-2)可以写成
)}(),({)(11++∈+=k k k k k D x k k s f x s W opt s f k
k (9-3)
简单例子
求解如下问题：
⎩⎨⎧=≥≤+++-=3
,2,1 ,0923..24max 321232221i x x x x t s x x x f i
解 我们把该问题分为三个阶段:
阶段1:初始状态s 1=9, 决策变量x 1;
阶段2:初始状态s 2=s 1-3x 1, 决策变量x 2;
阶段3:初始状态s 3=s 2-2x 3, 决策变量x 3.
则有330s x ≤≤，第三阶段的目标函数为232x ，有
)( ,2}2max{)(33232333s x s x s f === 现在有2
022s x ≤≤，目标函数为23222x x +-，有 )0( ,2})2(2max{ }
2max{)}(max{)(222222222322332222==-+-=+-=+-=x s x s x s x s f x s f 最后有3011s x ≤
≤，目标函数为23222124x x x +-，故有
)0( ,2}9
4,2max{ }
)3(24max{ }
24max{)}(4max{)(1212121211212221222111===-+=+=+=x s s s x s x s x s f x s f
因为s 1=9, x 1=x 2=0, 故得s 3=9, 从而x 3=9, 此时max f =f 1(9)=162. 即此题的最优解为x =(0,0,9), 最优值为162.
请你探索
如何用动态规划的方法证明以下不等式：
n n n x x x x x x n 1)()(12121 ≥+++ 其中各x i >0.。