§4 关于三棱镜最小偏向角的证明

§4 关于三棱镜最小偏向角的证明
图8－19所示表示某三棱镜之主截面，A 为棱镜的顶角，令射入棱镜的光线和射出棱镜之光线均在主截面上，并没有构成棱镜的物质的折射率为n, 棱镜周围的物质是空气。

由几何关系可得偏向角：
()()()////i i i i δγγγγ=-+-=+-+
又/A γγ=+
∴/i i A δ=+-
因为A 为定值，所以偏向角的大小由()
/i i +而定， i 和i /的关系可由折射定律得：sin sin i n γ= (1)
//sin sin i n γ= (2)
（1）＋（2）得：()
//sin sin sin sin i i n γγ+=+ 根据三角函数的和差化积公式将上式变为：
////
2sin cos 2sin cos 2222
i i i i n γγγγ+-+-= 因为：/
A γγ=+
上式变为： ()///
cos 2sin sin 22cos 2i i A n i i γγ-+=- (3)
因为γ及i /与γ/分别对同一情况的单折射平面的入射角与折射角，根据（1）有： ()sin sin 1sin i n γγ-=-
()2sin
cos 1sin 22
i i n γγγ-+=- ()sin 2sin 12cos 2i n i γγγ-=-+ …… （4） 同理根据（2）有：
()//
///
sin 2sin 12cos 2
i n i γγγ-=-+ (5)
图8－19
∵/
/sin sin sin ,sin i i n n
γγ== 当///,sin sin ,i i γγγγ≥≥≥≥/时，sini sini 于是：//
cos cos 22
i i γγ++≤ 所以：////
sin sin ,2222
i i i i γγγγ----≥≥ 即：//
22
i i γγ--≥ 于是：//
cos cos 22
i i γγ--≤ //cos 21cos 2i i γγ-≥+ 当///,sin sin ,i i γγγγ≤≤≤≤/时，sini sini 同理可得：//22i i γγ--≤ //
22
i i γγ--≤ 此时()()
//i i γγ--与均为负值，在取绝对值的条件下，仍有： //1122
i i γγ-≥- 于是：/
/
cos 21cos 2
i i γγ-≥+ 从以上讨论中可知：只有当/i i =时，（此时/
γγ=） /
/
cos 2cos 2
i i γγ-+有极小值1。

依（3）式得：/
sin 2
i i +人极小值。

就是/i i +有极小值。

故最小偏向角： /min 2i i A i A δ=+-=-
由上式可知，发生最小 向角时的入射角：()min 12
i A δ=+
因为：//,A γγγγ==+ 所以发生最小向角时：/2
A γγ== 又因为：min sin sin 2sin sin 2
A i n A δγ+⎛⎫ ⎪⎝⎭== …… （6） 若能测得最小向角及棱镜的顶角A ，便可应用（6）式求得棱镜的折射率。

若棱镜的顶角甚小，此时三棱镜接近于两块平行板，于是min δ也必然最小。

故：()()min min 11sin 22
A A δδ+≈+ sin 22
A A ≈ ()min min 122
A A n A A
δδ++== 或：()min 1n A δ=-。