_几种最短路径的算法及比较

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三种最短路径算法

三种最短路径算法

三种最短路径算法最短路径算法是图论中的一个重要问题,它的目标是在给定的图中找到两个顶点之间的最短路径。

在本文中,我们将介绍三种常见的最短路径算法:Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。

一、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法,用于解决带权重的有向图或无向图中单源最短路径问题。

该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra 于1956年提出。

1. 算法思想Dijkstra算法采用了一种逐步扩展的策略来找到从源节点到所有其他节点的最短路径。

具体来说,它从源节点开始,每次选择距离源节点最近的一个未标记节点,并将其标记为已访问。

然后,更新该节点的邻居节点到源节点的距离,并将它们加入到候选集合中。

重复这个过程直到所有节点都被标记为已访问。

2. 算法流程- 初始化:将源节点s到所有其他节点v的距离初始化为无穷大,将源节点s到自身的距离初始化为0。

- 选取当前距离源节点s最近且未被访问过的节点u。

- 标记节点u为已访问。

- 更新节点u的邻居节点v到源节点s的距离:如果从源节点s到u的距离加上从u到v的距离小于当前已知的从源节点s到v的距离,则更新从源节点s到v的距离。

- 重复步骤2-4,直到所有节点都被标记为已访问。

3. 算法实现Dijkstra算法可以用堆优化实现,时间复杂度为O(ElogV),其中E是边数,V是顶点数。

该算法也可以用数组实现,时间复杂度为O(V^2)。

二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种解决带权重有向图或无向图中单源最短路径问题的动态规划算法。

该算法由美国计算机科学家Richard Bellman和Lester Ford于1958年提出。

1. 算法思想Bellman-Ford算法采用了一种松弛边的策略来找到从源节点到所有其他节点的最短路径。

具体来说,它先将所有节点到源节点的距离初始化为无穷大,将源节点到自身的距离初始化为0。

多地点的最短路径算法

多地点的最短路径算法

多地点的最短路径算法多地点最短路径算法是指在多个起点和多个终点之间寻找最优路径的算法。

在实际应用中,例如GPS导航系统和物流配送等领域,多地点最短路径算法具有重要的应用价值。

本文将介绍几种用于解决多地点最短路径问题的算法,包括Dijkstra算法、Floyd算法和A*算法。

1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种基于贪心策略的最短路径算法,广泛应用于图形问题中。

它的基本思想是不断扩展距离最短的节点,直到求得所有节点的最短路径。

在多地点最短路径问题中,可以将起点按顺序逐一添加到集合中,然后针对每个起点运行Dijkstra算法,最终得到每个终点的最短路径。

2. Floyd算法Floyd算法是一种动态规划算法,可以求出从任一起点到任一终点的最短路径。

它通过记录任意两个节点之间经过的中间节点,并计算出经过这些中间节点的最短路径长度。

在多地点最短路径问题中,可以构建一个权重矩阵,矩阵中的每个元素代表两个节点之间的距离,然后运行Floyd算法,最终得到每个起点到每个终点的最短路径。

3. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法,它在搜索过程中利用信息启发式函数来预估从当前节点到目标节点的路径成本,以便更快地找到最短路径。

在多地点最短路径问题中,可以将每个起点作为初始节点,每个终点作为目标节点,然后运行A*算法,最终得到每个起点到每个终点的最短路径。

总结在多地点最短路径问题中,Dijkstra算法、Floyd算法和A*算法都可以用来寻找最优路径。

Dijkstra算法适用于较小的问题,而且算法复杂度为O(n²),适用于稠密图。

Floyd 算法适用于较大的问题,复杂度为O(n³),适用于稀疏图。

A*算法可以在比较短时间内找到近似最优解,但在处理复杂的问题时速度较慢。

根据实际应用的具体要求,可以选择适合的算法。

无人机航迹规划中的路径规划算法比较与优化

无人机航迹规划中的路径规划算法比较与优化

无人机航迹规划中的路径规划算法比较与优化无人机(Unmanned Aerial Vehicle,简称无人机)作为近年来飞行器技术的重要突破之一,在航空航天、军事、农业、物流等领域发挥着重要作用。

在无人机的飞行控制中,路径规划算法的选择至关重要,它决定了无人机的飞行轨迹,直接影响着无人机飞行的效率和安全性。

本文将对几种常见的无人机路径规划算法进行比较与优化分析。

1. 最短路径算法最短路径算法是无人机航迹规划中最常用的算法之一。

其中,迪杰斯特拉(Dijkstra)算法和A*算法是两种主要的最短路径算法。

迪杰斯特拉算法是一种基于广度优先搜索的算法,通过不断更新每个节点的最短路径长度,最终确定无人机飞行的最短路径。

A*算法在迪杰斯特拉算法的基础上加入了启发式函数,能够更加准确地估计路径的代价。

2. 遗传算法遗传算法是一种模拟自然界进化过程的优化算法。

它通过对候选路径进行遗传操作(如选择、交叉、变异等),通过适应度函数对路径进行评估,最终得到适应度最高的最优路径。

遗传算法具有较好的全局搜索能力,能够寻找到较优的飞行路径。

3. 蚁群优化算法蚁群优化算法模拟了蚂蚁的觅食行为,通过信息素的交流和更新来实现路径的优化。

蚁群算法具有较强的自适应性和鲁棒性,能够快速找到较优的路径。

在无人机航迹规划中,蚁群算法可以有效解决多无人机协同飞行的问题。

4. PSO算法粒子群优化(Particle Swarm Optimization,简称PSO)算法模拟了鸟群觅食的行为,通过不断地更新粒子的位置和速度,寻找最优解。

PSO算法具有较好的收敛性和全局搜索能力,在无人机航迹规划中能够有效地找到较优的路径。

5. 强化学习算法强化学习算法是一种通过试错和奖惩机制来优化路径选择的算法。

它通过构建马尔可夫决策过程(Markov Decision Process,简称MDP)模型,通过不断地与环境交互来学习最优策略。

强化学习算法在无人机航迹规划中能够适应环境的变化,快速学习到最优路径。

最短路径问题的智能优化算法

最短路径问题的智能优化算法

最短路径问题的智能优化算法最短路径问题是图论中的经典问题,其在各个领域都有着广泛的应用。

然而,当图的规模庞大时,传统的求解方法往往存在效率低下的问题。

为了提高求解最短路径问题的效率,智能优化算法应运而生。

本文将介绍几种常用的智能优化算法,并比较它们在求解最短路径问题上的表现。

1. 遗传算法遗传算法是模拟自然界的进化过程而设计的一种优化算法。

在求解最短路径问题时,可以将图中的节点看作基因,路径长度看作适应度。

遗传算法通过交叉、变异等操作对解空间进行搜索,并逐代筛选出较优的解。

在实际应用中,遗传算法能够在较短的时间内找到逼近最优解的结果。

2. 蚁群算法蚁群算法是受到蚂蚁觅食行为的启发而设计的一种优化算法。

蚁群算法通过模拟蚂蚁在搜索食物时释放信息素、路径选择等行为进行优化。

在求解最短路径问题时,可以将蚂蚁看作在节点之间移动的代理,蚁群中的每只蚂蚁通过释放信息素来引导搜索方向。

经过多次迭代,蚁群算法可以找到接近最短路径的解。

3. 粒子群算法粒子群算法是模拟鸟群觅食行为的一种优化算法。

粒子群算法通过随机初始化一群“粒子”,然后根据自身最优解和群体最优解来不断调整粒子的位置和速度,以找到最优解。

在求解最短路径问题时,可以将节点看作粒子,粒子的位置和速度表示路径的位置和前进方向。

通过迭代调整粒子的位置和速度,粒子群算法能够找到较优的解。

4. 模拟退火算法模拟退火算法是一种受到固体退火原理启发的优化算法。

在求解最短路径问题时,可以将节点看作原子,在不同温度下进行状态转移,以找到更优的解。

模拟退火算法通过接受差解的概率和降低温度的策略来逐渐搜索到接近最优解的结果。

以上是几种常见的智能优化算法在求解最短路径问题上的应用。

这些算法在实际应用中有着广泛的适用性,并且能够在较短的时间内找到较优的解。

在具体选择算法时,需要根据问题的规模和要求进行综合考虑。

未来随着智能优化算法的发展,相信将会有更多高效、灵活的算法被提出,为最短路径问题的求解提供更多选择。

Python中的最短路径算法详解

Python中的最短路径算法详解

Python中的最短路径算法详解Python是一门高效的编程语言,其强大的算法库包含了许多经典的算法,比如最短路径算法。

最短路径算法是图论中的一个经典问题,它的目的是在图中寻找从一个指定顶点到另一个指定顶点的最短路径,即边权重之和最小的路径。

最短路径算法有很多种,其中比较常见的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd算法。

接下来我将分别介绍这3种算法的原理和Python实现。

1. Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中比较经典的一种,它采用贪心策略,通过每次选取当前离源点最近的节点来不断扩展路径,直至到达终点。

它的基本思路如下:步骤1:定义源点s到其它节点的距离数组dist[],每当找到一条从源点可以到达的路径,就比较这条路径的长度和已知的最短路径长度,如果路径更短,就替换当前的最短路径长度,并更新终点节点的前一个节点。

步骤2:标记源点s为已经访问过的节点,将该节点入队,并在队列中取出此时距离源点最近的节点v。

步骤3:对所有与节点v相邻的节点w,计算出新的距离dist[s][w],如果dist[s][w]小于已知的最短距离,就更新最短距离,并将节点w加入队列中。

步骤4:重复步骤2和步骤3,直到队列为空。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2),其中n为节点数,因此它适用于稠密图。

下面是Python中Dijkstra算法的代码实现:```pythonimport heapqdef dijkstra(graph, start):#初始距离和前驱节点dist = {start: 0}previous = {start: None}#所有未确定最短距离的节点放入堆中heap = [(0, start)]heapq.heapify(heap)while heap:(d, u) = heapq.heappop(heap)#如果已经处理过该节点,则直接跳过if u in dist and d > dist[u]:continuefor v, w in graph[u].items():#计算新的距离newdist = dist[u] + w#如果新距离比原距离更小,则更新距离和前驱节点if v not in dist or newdist < dist[v]:dist[v] = newdistprevious[v] = uheapq.heappush(heap, (newdist, v))return (dist, previous)#测试graph = {'A': {"B": 2, "D": 4},'B': {"C": 3, "D": 1},'C': {"D": 1, "E": 5},'D': {"E": 1},'E': {}}dist, prev = dijkstra(graph, 'A')print(dist) # {'A': 0, 'B': 2, 'D': 3, 'C': 5, 'E': 4}print(prev) # {'A': None, 'B': 'A', 'D': 'B', 'C': 'B', 'E': 'D'}```2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种适用于有向图的单源最短路径算法,它可以处理有负权边的情况,但是不能处理负环的情况。

图论中的最短路径算法

图论中的最短路径算法

图论中的最短路径算法图论是数学的一个分支,研究图的性质和图之间的关系。

在图论中,最短路径算法是一类重要的算法,用于寻找图中两个顶点之间的最短路径。

本文将介绍图论中的几种常见的最短路径算法。

一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。

它基于贪心策略,通过逐步扩展路径来求解最短路径。

算法的基本思想是,从一个起始顶点开始,逐步扩展到其他顶点,每次选择当前路径中距离起始顶点最近的顶点进行扩展,直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。

Dijkstra算法的步骤如下:1. 初始化起始顶点的距离为0,其他顶点的距离为无穷大。

2. 选择距离起始顶点最近的顶点,将其加入已扩展顶点集合。

3. 更新与新加入顶点相邻的顶点的距离,如果新的距离比原来的距离小,则更新距离。

4. 重复步骤2和步骤3,直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。

5. 根据更新后的距离,可以得到最短路径。

二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常用的最短路径算法。

它可以处理带有负权边的图,而Dijkstra算法只适用于非负权边的图。

Bellman-Ford算法的基本思想是通过对所有边进行松弛操作,逐步减小起始顶点到其他顶点的估计距离,直到得到最短路径。

Bellman-Ford算法的步骤如下:1. 初始化起始顶点的距离为0,其他顶点的距离为无穷大。

2. 对所有边进行松弛操作,即如果存在一条边(u, v),使得从起始顶点到v的距离大于从起始顶点到u的距离加上边(u, v)的权值,则更新距离。

3. 重复步骤2,直到没有顶点的距离发生变化。

4. 根据更新后的距离,可以得到最短路径。

三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法,可以求解图中任意两个顶点之间的最短路径。

该算法通过动态规划的方式,逐步更新顶点之间的距离,直到得到最短路径。

Floyd-Warshall算法的步骤如下:1. 初始化顶点之间的距离矩阵,如果两个顶点之间存在边,则距离为边的权值,否则距离为无穷大。

最短路径问题算法

最短路径问题算法

最短路径问题算法最短路径问题算法概述:在图论中,最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中,从一个顶点出发到另外一个顶点的所有路径中,权值和最小的那条路径。

最短路径问题是图论中的经典问题,在实际应用中有着广泛的应用。

本文将介绍常见的几种最短路径算法及其优缺点。

Dijkstra算法:Dijkstra算法是一种贪心算法,用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题,即给定一个起点s,求出从s到其他所有顶点的最短路径。

Dijkstra算法采用了广度优先搜索策略,并使用了优先队列来维护当前已知的距离最小的节点。

实现步骤:1. 初始化:将起始节点标记为已访问,并将所有其他节点标记为未访问。

2. 将起始节点加入优先队列,并设置其距离为0。

3. 重复以下步骤直至队列为空:a. 取出当前距离起始节点距离最小的节点u。

b. 遍历u的所有邻居v:i. 如果v未被访问过,则将其标记为已访问,并计算v到起始节点的距离,更新v的距离。

ii. 如果v已被访问过,则比较v到起始节点的距离和当前已知的最短距离,如果更小则更新v的距离。

c. 将所有邻居节点加入优先队列中。

优缺点:Dijkstra算法能够求解任意两点之间的最短路径,并且保证在有向图中不会出现负权回路。

但是Dijkstra算法只适用于无负权边的图,因为负权边会导致算法失效。

Bellman-Ford算法:Bellman-Ford算法是一种动态规划算法,用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。

与Dijkstra算法不同,Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。

实现步骤:1. 初始化:将起始节点标记为已访问,并将所有其他节点标记为未访问。

2. 对于每个节点v,初始化其到起始节点s的距离为正无穷大。

3. 将起始节点s到自身的距离设置为0。

4. 重复以下步骤n-1次(n为顶点数):a. 遍历所有边(u, v),如果u到起始节点s的距离加上(u, v)边权小于v到起始节点s的距离,则更新v的距离为u到起始节点s的距离加上(u, v)边权。

五大最短路径算法比较

五大最短路径算法比较

五大最短路径算法比较五大最短路径算法是指迪杰斯特拉算法(Dijkstra's algorithm)、贝尔曼-福德算法(Bellman-Ford algorithm)、弗洛伊德算法(Floyd-Warshall algorithm)、A*算法和迭代加深算法(Iterative Deepening Search algorithm)。

这五个算法在计算最短路径时有不同的特点和优劣,下面将对它们进行详细比较。

首先是迪杰斯特拉算法,它是一种单源最短路径算法,用于计算其中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

该算法适用于有向图和带非负权值边的图,时间复杂度为O(V^2),其中V是顶点数。

迪杰斯特拉算法通过维护一个距离数组来记录每个顶点到起点的最短路径长度,然后通过松弛操作不断更新最短路径,直到找到到达目标顶点的最短路径。

迪杰斯特拉算法的优点是简单易懂,可以得到正确的解,并且在稠密图中有较好的表现;然而,它的缺点是无法处理带负权边的图和带有负循环的图。

其次是贝尔曼-福德算法,它是一种多源最短路径算法,用于计算任意两个顶点之间的最短路径。

该算法适用于有向图和带任意权值边的图,时间复杂度为O(VE),其中V是顶点数,E是边数。

贝尔曼-福德算法通过对所有边进行松弛操作来不断更新最短路径,直到没有可以更新的路径为止。

贝尔曼-福德算法的优点是可以处理带负权边的图和带有负循环的图,并且能够检测出负权环;然而,它的缺点是时间复杂度较高,不适用于大规模图的计算。

第三个是弗洛伊德算法,它是一种多源最短路径算法,用于计算任意两个顶点之间的最短路径。

该算法适用于带有任意权值边的图,时间复杂度为O(V^3),其中V是顶点数。

弗洛伊德算法通过维护一个邻接矩阵来记录每对顶点之间的最短路径长度,然后通过动态规划的方法不断更新最短路径,直到找到所有最短路径。

弗洛伊德算法的优点是可以处理带负权边的图和带有负循环的图,并且能够找到所有最短路径;然而,它的缺点是时间复杂度较高,不适用于大规模图的计算。

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d[v]直至其到达实际最短路径的权。最多进行|V[G]|- 1 次松弛操 作。算法返回 True 当且仅当图中不存在负权圈。 2.3.2 算法分析
该算法的时间复杂度为 O( VE) 。 2.3.3 算法优化
该 算 法 名 为 Shortest path faster algorithm 4, SPFA 其 实 就 是 Bellman- Ford 的一种队列实现, 减少了冗余, 即松驰的边 至 少 不 会以一个 d 为 ∞的点为起点。 2.3.4 复杂度分析
兴趣的相似度 S:
n
å di ´ ti
s=
i =1 n
å ti
i =1
5. 采用用户兴趣模型向用户推荐信息 信息推荐 Agent 的主要功能是主动搜索网上资源 并 向 用 户
推荐信息。首先, 它以用户兴趣模型中兴趣度较高的部分兴趣 项 , 通 过 现 有 的 搜 索 引 擎 搜 索 信 息 。 其 次 , 启 动 信 息 过 滤 Agent 对搜索到的信息进行过滤。最后, 把过滤后的信息推荐给用户。 6. 小结
松 弛 一 条 边(u,v)的 过 程 包 括 测 试 我 们 是 否 可 能 通 过 结 点 u 对迄今找出的到 v 的最短路径估计进行改进, 如果可能则更新 d[v]和 pre[v]。
注意: 单源最短路径的每个算法都要先调用初始化过程, 然 后重复松弛过程。 2.2 Dijkstra 算法[2]
① 给图 G, 加一个新结点 v0。对 v0 用 Bellman- Ford, 若有负 圈, 则结束; 否则可以得到 h(v), 即v0 到 v 的最短路长。O(VE)
② 对 于 所 有 边 (u,v), 权 值 改 造 , 即 令 w' (u,v)=w(u,v)+h(u)- h
(v)。O(m) ③ 对于每个结点 , 用一次以 Fibonacci Heap 为优先队列的
最直接的方法是把每个结点都作为源做一次单源最短路径 算法 , 我 们 用 Floyd- Warshall 算 法 来 解 决 这 类 问 题 。Floyd 算 法 是一种用来解决关于图 G(V,E)间每对结点间的最短路径问题的 算法, 可以存在负权边, 但我们假定不存在负权圈。 4.1 算法描述
本质就是用动态规划:
这里的 D 要用优先队列实现, 需 用 到 删 除 最 小(DeleteMin) 与 减 值(DecreaseKey)的 操 作 。 假 设 用 普 通 的 队 列 实 现 则 算 法 复 杂度为 O(V2)。 如 果 用 Fibonacci 堆 来 实 现 优 先 队 列 则 算 法 复 杂 度为 O(|E|+|V|lg|V|)。 2.3 BellMan- Ford 算法[3]
的最短路径。这是最短路径问题的基础问题, 其它的最短路径问 题都可以转化为单源最短路径问题进行求解。 2.1 松弛技术( Relax) [1]
在每个单源最短路径算法中都运用了松弛技术。松弛一条 边就是试图找到一条比当前已知路径更短的边。对每一结点 v∈S, 我们用 d[v]来表示从源 s 到 v 当前已知的最短路径的权的 上界, 称之为最短路径估计。用 pre[v]来表示当前最短路径估计 中 v 前面的点。
( 4) 由于用户兴趣模型空间是有限的, 用户兴趣模型有一个 最大的兴趣项容量, 当兴趣项超过这个最大容量时, 将模型中的 一些低兴趣度的兴趣项删除, 使兴趣项固定在某一范围, 从而实 现对用户兴趣的动态追踪。 4.采 用 用 户 兴 趣 模 型 对 用 户 检 索 的 信 息 进 行 过 滤
信息过滤 Agent 根据用户兴趣模型对从搜索引擎返 回 的 结 果进行过滤, 使得这个搜索结果尽可能精确地符合用户的需求。 这个过滤主要是通过计算检索到的文档与用户兴趣的相似度, 得到文档与用户兴趣相关的程度, 将相似度超过一定阈值的文 档推荐给用户。
Dijkstra 算法解决了有向加权图的最短路径问题, 它可以解 决单源最短路径问题, 如果以每个点作为源都做一次 Dijkstra 算 法, 则可以求出每对结点间的最短路径。该算法的条件是所有边 的权值都非负, 这个重要的条件使得我们用贪心得到该算法。 2.2.1 算法描述
设置一结 点 集 合 S, 从 源 s 到 集 合 S 中 所 有 点 的 最 短 路 径 均已求出。算法反复挑选出最短路径估计为最小的结点 u 加入 S 集合 , 并对所有离开结点 u 的边进行松弛操作, 直到所有结点 进入集合 。 2.2.2 算法分析
本 文 讨 论 了 应 用 Agent 技 术 来 实 现 在 Web 客 户 端 的 个 性 化服务。智能 Agent 通过学习来建立用户兴趣模型, 并以此模型 来实现个性化的服务: 对用户搜索的信息进行过滤, 提高搜索的 精确度; 主动向用户推荐信息。
参考文献: 1.Y. Seo and B. Zhang, Personalized web - document filtering using rein- forcement learning. Applied Artificial Intelligence,2001. 2.姚 克 娟 李 晋 宏 , 应 用 Agent 技 术 实 现 个 性 化 信 息 服 务[J].北 方 工 业 大 学学报, Vol.16 No 3 Sept.2004. 3.殷信义 刘锦高等, 智能网站 Agents 研究[J].计算 机 应 用 研 究,2002,第 1 期: 42- 43。
如果一个图包含负权圈, 那么这个图就不存在最短路径。在 Dijkstra 算法中我们假定不存在负权边, 而在 Bellman- Ford 算法 中则可以存在负权边: 找到从源 s 到所有点的最短路径或确定 存在负权圈。
2.3.1 算法描述 对于每一结点 s∈S, 逐步减小从源 s 到 v 的最短路径估计
Gk(u,v)表示 u 到 v 的不经过 k,k+1,...,n 结点(除 u,v 外)时, 从 u 到 v 的最短路长。下面用归纳法证明:
k=1 显然成立。 假设对 k 成立,下面考虑 k+1 的情况; 从 u 到 v 且不通过k+1,...,n 节 点 的 最 短 路 有 两 种 可 能 : (1)不 经 过 k 节 点 , 即 为 Gk(u,v); (2)经过 k 节点, 即为 Gk(u,k)+Gk(K,v) 由于第 k+1 次迭代过程中, 不会影响 k 次的迭代结果, 使用 O(V2)的空间即可。二维数组 pre(u,v), 记录 u 到 v, 最后经过哪个 k 的迭代。 4.2 算法分析 时间复杂度为 O(V3), 空间复杂度为 O(V2)。 5. Johnson 算法 5.1 算法描述 本算 法 适 用 于 稀 疏 图 。 它 是 Dijkstra 和 Bellman- Ford 算 法
(1)由 于 h 是 v0 到 v 的 最 短 路 长 , h(u)+w(u,v)≥h(v), 所 以 w'
(u,v)=w(u,v)+h(u)- h(v)≥0。
(2)令路径 p=(v1,v2,L,vn), 则
å å[ ]
k
k
w ’( p) = w ’(vi-1, vi ) = w(vi-1, vi ) + h(vi-1) - h(vi )
径 p=(v0,v1,…vk)的权指的是其组成边的所有权值之和:
å
k
w ( p ) = w (vi-1, vi )
i=1
定义从 u 到 v 的最短路径的权为:

d
)
:
u
®
b}!
!u!v!!!!!! !!
2.单 源 最 短 路 径 算 法 单源最短路径问题所求的是: 从某结点 s 到其它所有结点
SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似, 不同的是宽度优 先 搜 索 中 一 个 点 出 了 队 列 就 不 可 能 重 新 进 入 队 列 , 但 是 SPFA 中一个点可能在出队列之后再次被放入队列, 也就是一个点改 进过其它的点之后, 过了一段时间可能本身被改进, 于是再次用 来改进其它的点, 这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点 对其它点进行改进的平均次数为 k, 有办法证明对于通常的( 不 含负 圈 , 较 稀 疏 ) 情 况 , k 在 2 左 右 。 算 法 复 杂 度 理 论 上 同 Bell- man- Ford, O(VE), 但实际上却是 O(kE)。 4.每 对 结 点 间 的 最 短 路 径 算 法
2008 年第 2 期
福建电脑

几种最短路径的算法及比较
刘文海 1, 徐荣聪 2
( 1. 福建对外经济贸易职业技术学院 福建 福州 350016 2. 福州大学数学与计算机科学学院 福建 福州 350002 )
【摘 要】: 最短路径问题是图论中一个非常有实际意义的问题, 在实际生活中的各种规划设计问题中及数据挖掘中都 有重要的作用。本文着重介绍了用计算机编程语言实现单源最短路径算法与每对结点间的最短路径算法 , 并作了简单比较。
( 下转第 20 页)
基金资助项目: 福建省教育厅基金( JB04036)
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福建电脑
2008 年第 2 期
Di
=
v´ di
+ u ´ (a
´
Hi H
+
b
´ Ti T
+
c
´
Si S
+g
´
STi ST
)
v 和 u 分别是权重因子, 且 v+u=1。它们可以通过机器学习
得到或通过经验取值。di 是用户兴趣模型中该兴趣项的兴趣度 原值。
Dijkstra 算法, 可求出 v 与其他顶点的最短路。O(VlogV+E)*O(V) 权值改造满足两个原则: (1)W' 非负; (2)对于任意顶点 u, v,
p 是 在 W 上 的 u 到 v 的 最 短 路 当 且 仅 当 p 是 在 W' 上 的 u 到 v 的最短路。下证 w'(u,v)=w(u,v)+h(u)- h(v), 满足以上两个原则:
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