算法合集之最短路算法及其应用
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
最短路问题及其应用
最短路问题及其应用顾碧芬 06200103摘要：主要介绍最短路的两种算法，迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法。
以及这两种算法在实际问题中的应用和比较。
1 引言最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。
经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。
2 最短路 2.1 最短路的定义对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图()ij w ≥的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra 在1959年首次提出的,该算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G 中一特定点到其它各顶点的最短路。
后来海斯在Dijkstra 算法的基础之上提出了海斯算法。
但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。
因此由Ford 提出了Ford 算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。
但在现实生活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在()0ij w ≥的情况下选择Dijkstra 算法。
定义①1若图G=G(V ,E)中各边e 都赋有一个实数W(e),称为边e 的权,则称这种图为赋权图,记为G=G(V,E,W)。
定义②2若图G=G(V,E)是赋权图且()0W e ≥,()e E G ∈,若u 是i v 到j v 的路()W u 的权,则称()W u 为u 的长,长最小的i v 到j v 的路()W u 称为最短路。
若要找出从i v 到n v 的通路u ,使全长最短,即()()min ij e uW u W e ∈=∑。
2.2 最短路问题算法的基本思想及基本步骤在求解网络图上节点间最短路径的方法中,目前国内外一致公认的较好算法有迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法。
算法合集之最短路算法及其应用
一种可能的方法是枚举出所有路径，并计算 出每条路径的长度，然后选择最短的一条。
然而我们很容易看到，即使不考虑含回路 的路径，依然存在数以百万计的行车路线!
实际上，其中绝大多数路线我们是没必 要考虑的。
这时候，我们应该用一种系统的方法来 解决问题，而不是通常人们所用的凑的方法 和凭经验的方法。
2
定义
定理2 每当结点u插入集合S时，有d[u]= (s,u)成立。
简证：我们每次选择在集合V-S中具有最小最短路径估计的结点u， 因为我们约定所有的边权值非负，所以有可能对结点u进行松弛操 作的结点必不在集合V-S中（否则与结点u的定义矛盾），因此只会 在集合S中。又由于我们选取结点进入S时，S中的结点已全部进行
4. d[s] 0
一次松弛操作可以减小最短路径的估计值 d[v]并更新v的先辈域 [v]
RELAX(u,v,w)
1. If d[v] > d[u] + w(u,v)
2. Then d[v] ← d[u] + w(u,v)
3.
[v] ← u
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常用算法
一、Dijkstra算法 二、Bellman-Ford算法 三、SPFA算法
根据最短路的最优子结构（定理1），路径边数上限为k时的最短路可以 由边数上限为k-1时的最短路“加一条边”来求，而根据刚才的结论，最 多只需要迭代n-1次就可以求出最短路。
效率:
Bellman-Ford算法的运行时间为O(VE)。很多时候，我们的算法并不 需要运行|V|-1次就能得到最优值。对于一次完整的第3-4行操作，要是 一个结点的最短路径估计值也没能更新，就可以退出了。
定理4 在平均情况下，SPFA算法的期望时间复杂度为O(E)。
最短路算法的应用
最短路算法的应用
1.城市网络
运用最短路原理，解决交通运输管理系统的问题，具有非常重要的现实意义。
根据实时交通状况，赋予城市路网中每段线路以时间权值，利用最短路原理，计算出车辆运行时间最短的路线并汇总，通过新媒体及时向广大群众发布信息，指导广大群众选择行驶路线，进一步提高现有道路通行能力，提高道路服务水平，满足现代化高速发展的需求。
2.舰船通道
利用图论的经典理论和人群流量理论研究舰船人员通道路线的优化设计及最优线路选择。
对船舶通道进行路网抽象,建立网络图,然后根据人群流动的相关理论,选取不同拥挤情况下的人员移动速度,从而确定各条路段(包括楼梯)的行程时间。
以行程时间作为通道网络的路权，得出路阻矩阵以选择一对起点/终点的最短时间路线为目标,建立最短路径问题的数学模型,利用经典的Floyd算法确定最短路径。
将此方法应用于某舰艇多层甲板的通道网络中,计算结果并进行讨论,最后在此研究的基础上对通道设计相关问题的深化和拓展进行了探讨和总结,并提出设想。
3.其他应用
火灾救护，物流选址，网络空间建设等等，有着极为广泛的应用。
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
最短路算法
最短路径在一个无权的图中，若从一个顶点到另一个顶点存在着一条路径，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它等于该路径上的顶点数减1。
由于从一个顶点到另一个顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫作最短路径或者最短距离。
对于带权的图，考虑路径上各边的权值，则通常把一条路径上所经边的权值之和定义为该路径的路径长度或带权路径长度。
从源点到终点可能不止一条路径，把带权路径长度最短的那条路径称为最短路径，其路径长度（权值之和）称为最短路径长度或最短距离。
最短路径算法Dijkstra算法：该算法是用于求解单源点最短路径的实用算法。
Dijkstra算法的基本思想如下：设置并逐步扩充一个集合S，存放已求出其最短路径的顶点，则尚未确定最短路径的顶点集合是V-S其中，V为网中所有顶点集合。
按最短路径长度递增的顺序逐个用V-S中的顶点加到S中，直到S中包含全部顶点，而V-S为空。
Dijkstra算法的具体步骤；（1）设源点为V1，则S中只包含顶点V1，令W=V-S，则W中包含除V1外图中所有顶点。
V1对应的距离值为0，即D[1]=0。
W中顶点对应的距离值是这样规定的：若图中有弧 <v1,vk>，则Vj顶点的距离为此弧权值，否则为一个无穷大的数；（2）从W中选择一个其距离值最小的顶点 vk，并加入到S中；（3）每往S中加入一个顶点vk后，就要对W中各个顶点的距离值进行一次修改。
若加进vk做中间顶点，使<v1,vk> + <vk+vj>的值小于<v1,vj> 值，则用<v1,vk> + <vk+vj>代替原来vj 的距离值；（4）重复步骤2和3，即在修改过的W中的选距离值最小的顶点加入到S 中，并修改W中的各个顶点的距离值，如此进行下去，知道S中包含图中所有顶点为之，即S=V。
最短路问题专题
Step3：令T(vji)=min{T(vj)| vj不属于Si}。如果T(vji)<+∞ ，则把vji的 T标号变为P标号，
令Si+1=Si ∪{vji}，k=ji，i=i+1，转入step1.
Matlab程序（见附件）
2 算法介绍-floyd算法
算法步骤：
Step1：输入图G的权矩阵W，对所有i，j，有dij=wij，k=1；
Step2：更新dij，对所有i，j，若dij>dik+dkj，则令dij=dik+dkj；
由此可以看出，算法的时间与随问题规模增大呈指数增长，所以最 短路算法不适合大规模配送问题求解。
考虑经过2点的Matlab程序（见附件）
3 应用举例
3.3 多目标运输问题
求次短路 Matlab程序
参考文献： 多目标最短路模型及算法，西南交通大学大学学报
最短路问题算法及应用
主要内容
1 问题描述 2 算法介绍
2.1 dijkstra算法 2.2 floyd算法
3 应用举例
3.1 物流中心选址 3.2 物流配送问题 3.3 多目标运输问题
1 问题描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义1 对简单图G的每一边e赋予一个实数，记为w(e)，称为边e的 权，而每边都赋予权的图称为赋权图。 定义2 (u,v)-路的边权之和称为该路的长，而u,v间路长达到最小的 路称顶点u和v的最短路。 在给定赋权图G中，求两个互异顶点间的最短路，简记为最短路问题。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。