§5.4 平行线的性质定理和判定定理
平行线等分线段定理
求证: AE=EC 证明： 因为AD=BD,DE//BC
A DE
根据平行线等分线段定理，得：
B
C
AE=EC.
能推出
思
什么结论？
考
知识要 点
平行线等分线段定理
推论1：经过三角形一边的中点与另一边 平行的直线必平分第三边.
小练习
已知：梯形ABCD,E是AB的中点，
求证:CF=DF.
A
C
证明： 因为AE=BE,AC//BD E
难点
灵活应用定理和推论解决相关几何问题.
研讨
l
A1 A2 A3
l’
B1 l1 B2 l2
B3 l3
l1//l2//l3, l//l
A1A2=A2A3
思考…
B1B2 = B2B3
研讨
l
A1 A2 A3
l’
B1 B2
l1 l2
B3 l3
l1//l2//l3, l,l不平行 A1A2=A2A3
B1B2 = B2B3
F
B
根据平行线等分线段定理，得：
D
CF=DF.
同样能推 出什么结论？
知识要 点
平行线等分线段定理
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底
边平行的直线必平分另一腰.
体会
定理 推论
小练习
如图△ABC中点D、E三等分AB， DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC于点F、G，则 AF,FG,GC的关系.
A
根据平行线等分线段定理，得：
D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点.
求证:DE//BC且 DE 1 BC.
2
作DE//BC
E与E重合
A
证明平行线的判定定理
证明平行线的判定定理平行线判定定理是几何中非常重要的定理，它告诉我们如何判断两条直线是否平行。
在本文中，我们将介绍平行线的判定定理，并详细讨论如何应用它解决几何问题。
首先，让我们明确一下什么是平行线。
平行线是不会相交的直线，它们的方向始终保持一致。
在欧氏几何中，平行线是从公理定义出来的，它们之间的距离是恒定的。
因此，如果我们能够确定两条直线是平行的，我们就能够利用平行线的性质来解决各种几何问题。
现在让我们来看一下平行线的判定定理，它有三种常用的表述方式：第一种表述方式是交角定理，即如果两条直线被一条第三条直线所截，且内角和为180度，则这两条直线是平行的。
这个定理的原理很简单，因为如果两条直线并非平行，那么截它们的第三条直线和它们的交角之和一定是小于180度的。
第二种表述方式是同位角定理，即如果两条直线被一条横穿它们的直线所截，且同位角相等，则这两条直线是平行的。
这个定理的原理是基于同位角的定义，同位角即以平行线为切线，且交于线的同侧的两个角，它们的大小是相等的。
第三种表述方式是平行线之间距离相等定理，即如果两条直线与一条横穿它们的直线之间的距离相等，则这两条直线是平行的。
这个定理基于平行线的定义，因为两条平行线的距离是恒定的，所以如果两条直线与一条横穿它们的直线的距离相等，那么它们也一定是平行的。
如何正确地应用平行线的判定定理呢？首先，在解决几何问题时，我们需要认真观察图形，找到两条或更多的直线之间的关系。
其次，我们需要考虑使用哪种平行线的判定定理，以及如何利用它来确定直线是否平行。
最后，我们需要检查我们的答案是否符合几何性质和实际情况。
总之，平行线的判定定理是几何学中非常重要的一部分。
只有正确地理解和应用它，我们才能够解决各种几何问题，并掌握更高级的几何知识。
5.4平行线的性质定理和判定定理
7.3平行线的判定【知识沙盘】【学习目标】1.会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来规范证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”.2.能用平行线的判定解决一些简单的问题.【重点】1. 能规范证明平行线的判定定理.2.平行线判定定理的简单应用.【难点】用数学语言和符号语言对文字命题的表述.【学情分析】经过前面的学习我们发现，我们得打的任何一个结论都要有依据。
而我们根据这些“依据”推理、证明，从而得到结论的过程叫做证明。
在“同位角相等，两直线平行”的基本事实下，我们将通过演绎推理得到“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”，从而得到平行线的判定定理.【教学过程】一、导入你能用折纸的方法折出两条平行线吗？你的依据是什么？通过前面的学习，我们知道了“同位角相等，两直线平行”的基本事实，那我们能利用它证明另外两个判定定理吗？让我们一起来探究吧！二、自主学习阅读并完成学习指导书的知识储备，完成【自主学习】A级和B级.三、交流研讨出示答案，自主订正四、精讲部分（一）不讲内容：①知识储备、归类总结②A级1,2（二）略讲内容：①B级 33.蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中o=B70=∠.试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论.D∠=CA110=∠∠，o直线平行） （同旁内角互补，两ＢＤ（等式的性质）Ｂ（已知）Ｂ，直线平行） （同旁内角互补，两（等式的性质）（已知），理由：ＢＤ解：C A A A DC AB D A D A CA DC AB O O //18070110//18070110////o o o o ∴=∠+∠∴=∠=∠∴=∠+∠∴=∠=∠ （三）精讲内容：① C 级 44.如图，点Ｄ，Ｅ分别在AB 和AC 上，.ABC BE ∠平分 （１）若DEB DBE ∠=∠,求证：BC DE //.（２）若BC DE //，求证：BDE ∆为等腰三角形.（３）在(1)的条件下，若O EBC 25=∠，求BDE ∠的度数．(130180//)(502)(25)(21)(//1)3()DE//BC( )(21)()2()DE//BC()()( )(21)()1(互补两直线平行，同旁内角等式的基本性质已知角平分线的性质已知平分）知由（（等量代换）相等）（两直线平行，内错角已知角平分线的性质已知平分证明：行内错角相等，两直线平等量代换已知角平分线的性质已知平分证明：O O OOABC BDE BCDE EBC ABC EBC ABC EBC DBE ABC BE BCDE EBC DBE DEB EBC ABC EBC DBE ABC BE DEB EBC DEB DBE ABC EBC DBE ABC BE =∠-=∠∴=∠=∠∴=∠∠=∠=∠∴∠∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=∠∴∠∴∠=∠∴∠=∠∠=∠=∠∴∠五、【归类总结】1.知识小结：平行线的判定定理；同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．2.思想方法: 转化的数学思想方法；3.核心素养：几何直观、逻辑推理、数学运算的数学核心素养.六、自我检测七、课堂小结八、布置作业九、教后反思十、预测生成(1）文字命题的已知、画图、求证的转化.(2）运用平行线判定定理解决简单问题时逻辑推理不明确. 十一、板书设计十二、实际生成记录。
平行线的性质定理和判定定理课件
简单说成：同旁内角互补，两直线平行. ∵ ∠1+ ∠2=180°， ∴ a∥b.
证明一个命题的一般步骤： (1)弄清题设和结论；
a1 b2
c
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知,求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
【议一议】 据说,人类知识的75%是在操作中学到的.
小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为 什么？ 通过这个操作活动,得 到了什么结论?
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．
但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命 题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”， 此命题就是假命题．
【跟踪训练】
1.举例说明下列命题的逆命题是假命题. （1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被 5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位 数字是5. 例如，10能被5整除，但它的个位数字是0. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 例如，60°= 60°，但这两个角不是直角.
4.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
条件：到一个角的两边距离相等的点. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上的点到角两边的距离相等. 5.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 条件：线段垂直平分线上的点. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等. 逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上.
a
∵∠1+∠2=180°, ∴ a∥b.
b
c
1
2
c
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念;掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质;并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义;知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成;对于给定的命题;能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1．定义：在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线;如果直线a与b平行;记作a∥b．要点诠释：1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交;三者缺一不可；2有时说两条射线平行或线段平行;实际是指它们所在的直线平行;两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内;两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地;重合的直线视为一条直线;不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点;有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行;那么这两条直线也互相平行．要点诠释：1平行公理特别强调“经过直线外一点”;而非直线上的点;要区别于垂线的第一性质．2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD同位角相等;两直线平行判定方法2：内错角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD内错角相等;两直线平行判定方法3：同旁内角互补;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补;得出平行;即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行;同位角相等；性质2：两直线平行;内错角相等；性质3：两直线平行;同旁内角互补.要点诠释：1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容;切不可忽视前提“两直线平行”．2从角的关系得到两直线平行;是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系;是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线;并且夹在这两条平行线间的线段的长度;叫做这两条平行线的距离．要点诠释：1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点;向另一条直线作垂线;垂线段的长度就是两条平行线的距离．2两条平行线的位置确定后;它们的距离就是个定值;不随垂线段的位置的改变而改变;即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句;叫做命题．要点诠释：1命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成;题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式：“如果……;那么…….”;也可写成：“若……;则…….”3真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题;叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题;叫做假命题.2.定理：定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发;经过推理证实得到的另一个真命题;定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下;一个命题的正确性需要经过推理;才能作出判断;这个推理过程叫做证明.要点诠释：1证明中的每一步推理都要有根据;不能“想当然”;这些根据可以是已知条件;学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的;必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题;只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内;将一个图形沿某个方向移动一定的距离;图形的这种移动叫做平移．要点诠释：1图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．2图形的平移不改变图形的形状与大小;只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离;平移不改变线段、角的大小;具体来说：1平移后;对应线段平行且相等；2平移后;对应角相等；3平移后;对应点所连线段平行且相等；4平移后;新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1．下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2．在同一平面内;下列说法：1过两点有且只有一条直线；2两条直线有且只有一个公共点；3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4过一点有且只有一条直线与已知直线平行..其中正确的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析正确的是：13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d;如果a∥b、c∥b、c∥d;则a∥d.2两条直线被第三条直线所截;同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截;同位角相等.4在同一平面内;如果两直线都垂直于同一条直线;那么这两直线平行．A．1个 B .2个C．3个D．4个答案B类型二、两直线平行的判定例3. 如图;给出下列四个条件：1AC＝BD； 2∠DAC＝∠BCA；3∠ABD＝∠CDB；4∠ADB＝∠CBD;其中能使AD∥BC的条件有.A．12 B．34 C．24 D．134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;这两次拐弯的角度可能是A．第一次向左拐30°;第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°;第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°;第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°;第二次向左拐130°例4.如图所示;已知∠B＝25°;∠BCD＝45°;∠CDE＝30°;∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．解法1：如图所示;在∠BCD的内部作∠BCM＝25°;在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°;∠E＝10°已知;∴∠B＝∠BCM;∠E＝∠EDN等量代换．∴AB∥CM;EF∥DN内错角相等;两直线平行．又∵∠BCD＝45°;∠CDE＝30°已知;∴∠DCM＝20°;∠CDN＝20°等式性质．∴∠DCM＝∠CDN等量代换．∴CM∥DN内错角相等;两直线平行．∵AB∥CM;EF∥DN已证;∴AB∥EF平行线的传递性．解法2：如图所示;分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°;∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°;∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°三角形的内角和等于180°．又∵∠CDE＝30°;∴∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°;∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°三角形的内角和等于180°．∴∠CNB＝∠EMD等量代换．所以AB∥EF内错角相等;两直线平行．变式3已知;如图;BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;且∠1与∠2互余;试判断直线AB、CD的位置关系;请说明理由．解：AB∥CD;理由如下：∵BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;∴∠ABD＝2∠1;∠CDB＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°;∴∠ABD+∠CDB＝180°．∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行．变式4已知;如图;AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∠1+∠2=180°;求证：CD//EF．答案证明：∵AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∴AB∥CD．又∵∠1+∠2=180°;∴AB∥EF．∴CD//EF．类型三、平行线的性质例5．如图所示;如果AB∥DF;DE∥BC;且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗为什么．解：∵DE∥BC;∴∠4＝∠1＝65°两直线平行;内错角相等．∠2+∠1＝180°两直线平行;同旁内角互补．∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF ∥AB 已知;∴ ∠3＝∠2两直线平行;同位角相等．∴ ∠3＝115°等量代换．变式5如图;已知1234//,//l l l l ;且∠1=48°;则∠2＝ ;∠3＝ ;∠4＝ .答案48°;132°;48°变式6如图所示;直线l 1∥l 2;点A 、B 在直线l 2上;点C 、D 在直线l 1上;若△ABC 的面积为S 1;△ABD 的面积为S 2;则A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不确定答案B类型四、命题例6．判断下列语句是不是命题;如果是命题;是正确的 还是错误的①画直线AB ；②两条直线相交;有几个交点；③若a ∥b;b ∥c;则a ∥c ；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等;那么这两个角不是对顶角．答案①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．变式8把下列命题改写成“如果……;那么……”的形式．1两直线平行;同位角相等；2对顶角相等；3同角的余角相等.答案解：1如果两直线平行;那么同位角相等.2如果两个角是对顶角;那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角;那么它们相等.类型四、平移例7．湖南益阳如图所示;将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置;若∠CAB ＝50°;∠ABC ＝100°;则∠CBE 的度数为________．答案30°变式9 上海静安区一模如图所示;三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA ．沿EC 的方向移动DB 长B ．沿BD 的方向移动BD 长C ．沿EC 的方向移动CD 长D ．沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示;AB∥EF;那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝A．180°B．270°C．360°D．540°答案C解析过点C作CD∥AB;∵CD∥AB;∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行;同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行;同旁内角互补又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b;c∥d;所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上;另一边互相平行;则这两个角A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．如图;能够判定DE∥BC的条件是A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCBC．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB;GF⊥AB4．一辆汽车在广阔的草原上行驶;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;那么这两次拐弯的角度可能是．A．第一次向右拐40°;第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°;第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°;第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°;第二次向左拐40°．5．如图所示;下列条件中;不能推出AB∥CE成立的条件是A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°6.绍兴学习了平行线后;小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法;她是通过折一张半透明的纸得到的如图;1—4:从图中可知;小敏画平行线的依据有①两直线平行;同位角相等．②两直线平行;内错角相等．③同位角相等;两直线平行．④内错角相等;两直线平行．A.①②B. ②③C. ③④D. ④①二、填空题7. 在同一平面内的三条直线;它们的交点个数可能是________．8．如图;DF平分∠CDE;∠CDF＝55°;∠C＝70°;则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1;a2;a3…;a100;若a1⊥a2;a2∥a3;a3⊥a4…;按此规律;a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行;其中一个角为40°;则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C;如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行;则A、B、C三点;其依据是12.如图;AB⊥EF于点G;CD⊥EF于点H;GP平分∠EGB;HQ平分∠CHF;则图中互相平行的直线有．三、解答题13.如图;∠1＝60°;∠2＝60°;∠3＝100°;要使AB∥EF;∠4应为多少度说明理由．14．小敏有一块小画板如图所示;她想知道它的上下边缘是否平行;而小敏身边只有一个量角器;你能帮助她解决这一问题吗15．如图;把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠;已知∠ADB＝20°;那么∠BAF为多少度时;才能使AB′∥BD16．如图所示;由∠1＝∠2;BD平分∠ABC;可推出哪两条线段平行;写出推理过程;如果推出另两条线段平行;则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1. 答案A解析只有④正确;其它均错．2. 答案D3. 答案B解析内错角相等;两直线平行．4. 答案B5. 答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6. 答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程;图中的虚线与已知的直线垂直;过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7. 答案0或1或2或3个；8. 答案BC; DE；解析∠CFD＝180°－70°－55°＝55°;而∠FDE＝∠CDF＝55°;所以∠CFD＝∠FDE．9. 答案a1∥a100；解析为了方便;我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100;因为a1⊥a2∥a3;所以a1⊥a3;而a3⊥a4;所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9;a9∥a12∥a13;…;接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100;所以a1∥a100．10.答案40°或140°11.答案共线;平行公理；解析此题考查是平行公理;它是论证推理的基础;应熟练应用．12.答案AB∥CD;GP∥HQ；解析理由：∵AB⊥EF;CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．∴∠1＝12EGB＝45°．∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．同理∠GHQ＝135°;∴∠PGH＝∠GHQ．∴GP∥HQ．三、解答题13. 解析解：∠4＝100°．理由如下：∵∠1＝60°;∠2＝60°;∴∠1＝∠2;∴AB∥CD又∵∠3＝∠4＝100°;∴CD∥EF;∴AB∥EF．14．解析解：如图所示;用量角器在两个边缘之间画一条线段MN;用量角器测得∠1＝50°;∠2＝50°;因为∠1＝∠2;所以由内错角相等;两直线平行;可知画板的上下边缘是平行的．15. 解析解：要使AB′∥BD;只要∠B′AD＝∠ADB＝20°;∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．∴∠BAF＝12∠B′AB＝12×110°＝55°．16．解析解：可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC已知．∴∠1＝∠DBC角平分线定义．又∵∠1＝∠2已知;∴∠2＝∠DBC等量代换．∴AD∥BC内错角相等;两直线平行．。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、平行线例1．下列说法正确的是()A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D例2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
高中平行定理和判定定理
高中平行定理和判定定理高中平行定理和判定定理一、高中平行定理平行线是初中数学学习的重点内容之一，而在高中数学中，平行线更是升级为了一个重要的研究对象。
在高中数学中，我们需要掌握的不仅仅是如何判断两条直线是否平行，还需要了解一些关于平行线的性质和定理。
其中，最基础也最重要的就是高中平行定理。
1、定义在直角坐标系上，如果两条直线斜率相等，则这两条直线互相平行。
2、证明（1）设两条直线分别为l1:y=kx+b1和l2:y=kx+b2（k≠0）。
（2）若l1与l2互相平行，则它们的斜率相等：k1=k2。
（3）若k1=k2，则有：$$\frac{y-y_0}{x-x_0}=k_1=\frac{y-y_0'}{x-x_0'} $$（4）移项得：$$y-y_0=k_1(x-x_0)\\y-y_0'=k_1(x-x_0')$$（5）整理得：$$y=kx+b\\y=kx+b'$$其中，$$b=y_0-kx_0\\b'=y_0'-kx_0'$$因此，两条直线的解析式为：$$l1:y=kx+b1\\l2:y=kx+b2$$斜率相等，即k1=k2，所以b1≠b2。
因此，两条直线互相平行。
3、应用高中平行定理是判断两条直线是否平行的重要依据。
它可以应用于各种数学问题中，如证明三角形的顶点是否在同一条直线上、证明四边形是否为平行四边形等。
二、高中平行判定定理高中平行判定定理是指根据图形特征来判断两条直线是否平行的方法。
在实际问题中，我们常常需要快速准确地判断两条直线是否平行，这时就需要使用高中平行判定定理。
1、定义如果在一个三角形内，有一条边与另一条边不重合且不共线，则这两条边所对的角相等，则另外一边与这两边所对的角所夹成的角也相等。
2、证明（1）如图，在△ABC内部作DE∥BC，则有∠ADE=∠ABC和∠AED=∠ACB。
（2）因为DE∥BC，所以有：$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$（3）将AE和EC分别代入上式得：$$\frac{AD}{DB}=\frac{AB}{BC}\\\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}$$（4）由于AB≠AC，所以有：$$\frac{AD}{DB}=\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}$$（5）整理得：$$AB=AC$$因此，∠ABC=∠ACB。
解析几何中的平行线问题
解析几何中的平行线问题解析几何是数学中的一个重要分支，研究了空间中的点、线、面等几何图形的性质和关系。
在解析几何中，平行线问题是一个常见而重要的议题。
本文将围绕平行线问题展开探讨。
一、平行线的定义在解析几何中，平行线的定义如下：给定平面上的两条直线l1和l2，如果l1上的任意一点P到l2上的任意一点Q的距离保持不变，那么我们称l1与l2平行。
这里的关键是距离始终保持不变。
二、平行线问题的解法解析几何中有多种方法可以判断直线之间是否平行。
下面介绍几种常见的解法：1. 平行线的判定定理根据平行线的定义，我们可以得到平行线的判定定理：如果两条直线分别与一条直线相交，并且两条直线对应的内部角或对应的同旁内角互为补角，则这两条直线平行。
2. 平行线的性质在解析几何中，平行线还具有一些重要的性质：- 平行线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行线。
- 平行线的均匀变换：通过对直线上的点进行线性变换，可以保持两条直线平行关系。
- 平行线的向量等式：如果两条直线的向量方向相等或相反，那么它们是平行线。
3. 平行线与垂线在解析几何中，平行线与垂线之间存在着特殊的关系。
如果一条直线与两条平行线相交，那么与这条直线垂直的直线也与两条平行线垂直。
这个定理在求解平行线问题时经常被使用。
4. 坐标法解析几何中，坐标法常被用于确定直线的方程。
当我们需要判断两条直线是否平行时，可以通过比较它们的斜率来进行判断。
如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行线。
三、平行线问题的应用平行线问题在实际生活和工程中有广泛的应用。
以建筑设计为例，建筑师在设计房屋的墙壁、楼梯等结构时，需要准确地判断出平行线以确保结构的稳定性和美观性。
在工程测量中，测量员需要利用平行线的性质来进行精确的测量和定位。
另外，在数学教育中，平行线问题也是解析几何的基础知识之一。
学生通过解决平行线问题，能够提高逻辑思维能力，锻炼分析问题和解决问题的能力。
总结：解析几何中的平行线问题是一个重要的研究议题。
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平行
B．
垂直
C．
平行或垂直
D．
无法确定
3．若两个角的两边分别平行，且这两个角的差为40°，则这两角的度数分别是（ ）
A．
150°和110°
B．
140°和100°
C．
110°和70°
D．
70°和30°
4．如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（ ）
A．
40°
①不相交的两条直线叫做平行线②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③平行于同一条直线的两条直线互相平行④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
2．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．
50°
B．
130°
C．
100°
D．
50°或130°
2、能力提升问题
11．如图所示，DE∥BC，DC∥FG，则图中相等的同位角共有（ ）
A．
6对
B．
5对
C．
4对
D．
3对
12．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（ ）
A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
13．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ）
2、突破重、难点、，规范过程、梳理方法、总结规律、提升能力的问题或题组
问题二:、证明平行等的角有_________个．
分
层
训
练
基础变式
活动一：（1）两直线平行，内错角相等；（2）内错角相等，两直线平行
在上面两个命题中，第一个命题的条件是第二个命题的，而第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫原命题，那么另一个叫它的逆命题。
A. 1B.2C. 3D. 4
2、写出命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的逆命题：
2、拓展提升已知EC、DF与直线AB分别交于C、D两点，∠1=∠2，求证：CE∥DF
总结
归纳
交流知识点、解题方法、数学思想
这节课学到了什么内容？有什么收获？同学们还有什么疑问？
限
时
训
练
1、基础训练问题
1．下列说法中正确的个数为（ ）
D．
无法确定
预
习
交
流
预备性复习1.已知∠α和∠β的两边互相平行，且∠α=60°，则∠β=．
3预习问题2.如图所示，已知a∥b，∠1=28°，∠2=25°，则∠3=度．
3.全等三角形的对应角相等的逆命题是.
预
习
展
示
1、围绕基础知识重点、难点、基本方法设计的问题或题组
问题一:两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。（理清思路，完成证明）
英才学校新授学案
编写时间：201年月日预习时间设计者续本争学期总第4学时
预习内容
§5.4平行线的性质定理和判定定理
学习目标
知识目标1会证明平行线的性质定理和判定定理。了解互逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立，逆命题不一定成立，了解逆定理的概念；
能力目标会区分平行线的判定定理及性质定理，体会二者的区别与联系。
情感目标
学习重点
正确说出一个命题的逆命题。
学习难点
互逆命题与互逆定理的区别。
自
主
预
习
1基础问题或题组1、上节课时，我们学习了证明的基本步骤：
2、七年级我们学过的平行线的性质和判定方法有哪些？
2、挑战性问题如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（ ）
A．
平行
B．
垂直
C．
平行或垂直
A．
42°、138°
B．
都是10°
C．
42°、138°或42°、10°
D．
以上都不对
14.如图，直线a、b分别被直线c、b所截，已知∠1=∠2，
求证: ∠3+∠4=180度．
B．
50°
C．
60°
D．
不能确定
5．如图，AB∥CD，且∠BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，则α=（ ）
A．
10°
B．
15°
C．
20°
D．
30°
6．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．
②③
B．
①②③
C．
①②④
D．
①④
7．已知∠AOB=40°，∠CDE的边CD⊥OA于点C，边DE∥OB，那么∠CDE等于（ ）
练习：你能说出下列命题的逆命题吗？它们的逆命题分别是真命题还是假命题？
（1）同角的补角相等，逆命题：
（2）全等三角形的对应边相等，逆命题：
活动二：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的逆定理。你能举出已学过的定理和逆定理吗？
练习：1、有下列命题：（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）全等三角形的周长相等；（3）直线都相等；（4）等边对等角。它们的逆命题是真命题的个数是（）
A．
50°
B．
130°
C．
50°或130°
D．
100°
8．如图，AB∥CD∥EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有（ ）
A．
5个
B．
4个
C．
3个
D．
2个
9．如图所示，BE∥DF，DE∥BC，图中相等的角共有（ ）
A．
5对
B．
6对
C．
7对
D．
8对
10．已知∠A=50°，∠A的两边分别平行于∠B的两边，则∠B=（ ）