庞加莱猜想应用篇
庞加莱猜想
庞加莱猜想百科名片庞加莱猜想电脑三维模型庞加莱猜想是法国数学家提出的一个猜想，是悬赏的（七个千年大奖问题）之一。
2006年被确认由俄罗斯数学家最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的。
目录展开庞加莱猜想图示令人头疼的世纪难题缘起如果我们伸缩围绕一个表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“的”，而轮胎面不是。
大约在一百年以前，已经知道，球面本质上可由单连通性来刻画，他提出(中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。
这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
一位史家曾经如此形容1854年出生的（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。
”庞加莱作为的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。
庞加莱猜想，就是其中的一个。
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的的：在一个中，假如每一条封闭的都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面的n维封闭流形必定于n维球面。
”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
猜想的简单比喻如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。
或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里庞加莱猜想面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。
拿一个气球来，带到这个球形的房子里。
哥德巴赫 庞加莱猜想
哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可分为两个猜想（前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想，后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想）：1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。
考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。
把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。
1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。
这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。
同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。
现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。
其实，后一个命题就是前一个命题的推论。
哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。
1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。
1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。
在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。
庞加莱猜想证明概述
庞加莱猜想证明概述庞加莱猜想的重要性在于其对拓扑学、几何学和数学基础理论的影响。
如果能够证明庞加莱猜想，将对数学领域的发展产生巨大的影响，同时也有可能为其他领域的发展提供新的理论基础。
在本文中，将通过对庞加莱猜想的历史背景、相关研究成果和方法进行概述，并尝试从不同的角度来探讨这一令人困扰的数学难题。
我们将引用多位数学家的研究成果和观点，深入分析庞加莱猜想的本质及其解决的可能途径，希望能够对这一问题有更深入的认识和理解。
一、庞加莱猜想的历史背景庞加莱猜想最早由法国数学家亨利·庞加莱提出，他在1904年的一篇论文中首次提出了这一问题。
在这篇论文中，庞加莱指出，对于一个简单连通的三维流形，是否存在一个等价于球的和的空间是一个未解决的问题。
庞加莱还提出了一种可能的证明方法，但他自己也承认这个证明并不完全可靠。
自庞加莱提出这一问题以来，数学家们一直在尝试寻找一个确凿的证明。
在过去的一个多世纪里，庞加莱猜想一直是数学界的焦点问题之一，吸引了众多数学家的关注和努力。
二、庞加莱猜想的相关研究成果在寻找庞加莱猜想的证明过程中，数学家们提出了许多猜想和定理。
其中最为著名的是格里戈里·佩雷尔曼于2003年提出的庞加莱猜想证明，他通过引入了里奇流流形和流形上的梯度流方法，最终证明了庞加莱猜想的正确性。
佩雷尔曼的证明方法被认为是对现有数学知识的一次革命性突破，为解决庞加莱猜想提供了一个新的思路和方法。
除了佩雷尔曼的证明方法外，还有其他数学家提出了不同的证明思路和方法。
例如，唐纳德·兰恩在20世纪80年代提出了一种基于代数拓扑的证明方法，虽然并未完全证明庞加莱猜想，但为数学家们提供了一个新的研究方向。
这些研究成果虽然并未完全解决庞加莱猜想，但为研究庞加莱猜想提供了不同的视角和思路，促进了数学领域的发展与进步。
三、庞加莱猜想的证明方法和思路对于庞加莱猜想的证明，数学家们提出了多种不同的方法和思路。
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从空间维数谈起
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几何学作为一门科学形成于古希腊。 17世纪法国数学家笛卡儿 (Descartes) 和 费马 (Fermat) 建立的坐标解析几何，把 数 学 中 的 两 大 主 角 —— 几 何 学 和 代 数 学 —— 简明而有力地结合起来，开创了 近代数学的先河。
通过一幕幕历史镜头生动地再现一些数 学问题的缘起、产生、发展、争端，直至最 终解决的各个历程，可以了解数学家如何提 问？如何思考？关注什么？意义何在？对于 正确认识数学的本质具有重要意义.
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直线线段 ：有长度，没有宽度，要刻画 直线中的点需要一个参数，这是1维空间；
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大奖被拒，史无前例
“for his contributions to geometry and his revolution-ary insights into the analytical and geometric structure of Ricci flow”
希尔伯特说……
只要一门学科分支能提出大 量的问题，它就充满着生命力； 而问题缺乏则预示着独立发展的 衰亡或终止。正如人类的每项事 业都追求着确定的目标一样，数 学研究也需要自己的问题。正是 通过这些问题的解决，研究者锻 炼其钢铁般的意志，发现新方法 和新观点，达到更为广阔和自由 的境地。
什么是庞加莱定理？什么是庞加莱猜想？
什么是庞加莱定理？什么是庞加莱猜想？一般来说，庞加莱定理即庞加莱回归定理：在有限体积下的力学体系在足够长时间后总可以回复到初始状态附近。
作为一个物理定理，庞加莱回归定理仿佛预示着历史的重演。
也就是说，历史上发生过的事情，在足够长的时间以后，都会几乎一样的发生。
当然，这只是我们的设想。
庞加莱回归定理还有量子力学版本：有限粒子数的量子体系，在足够长时间以后，回归到初始状态附近。
庞加莱回归定理和热力学第二定律之间有些“矛盾”。
因为热力学第二定理告诉我们，热力学平衡态下有限体积的气体其膨胀是自发的。
这意味着有限体积的气体是不能回到初始状态的。
该如何理解这两个理论之间的“矛盾”呢？事实上，热力学定律只适用于粒子数趋于无穷大的情形，而庞加莱定理则不需要考虑粒子数到底有多少。
换句话说，热力学第二定律是一个近似理论，而庞加莱定理则是更加准确的理论。
但这不代表热力学第二定律就是错误的，相反，我们的宏观世界由于粒子数众多，导致庞加莱回归定理里面的“足够长时间”基本上就是无穷大，所以完全可以认为，热力学第二定律是正确的，不仅如此，热力学第二定律其实是庞加莱定理的特例！至于细思极恐，完全不存在！难道说要为无穷大时间以后发生的事情担心吗？那纯属杞人忧天。
庞加莱猜想，是一个拓扑猜想：一个三维流形如果能同伦等价于一个三维球面，那么该流形一定同胚于三维球面。
一般来说同伦的要求低于同胚。
一个点不能同胚任何三维流形，但是单连通三维流形一定可以同伦与一个点！庞加莱猜想还有一个稍微通俗的说法：三维单连通、闭流形一定同胚于三维球面。
这个猜想的证明在2002年被数学家佩雷尔曼证明了。
且说这么多吧。
庞加莱猜想
庞加莱猜想这是一个拓扑学问题，它的讲法有点绕口。
庞加莱猜想讲的是任何一个单连通的、封闭的三维形体，等价于一个三维的球。
所谓连通、封闭就是形体表面任何两个点可以沿着表面的一条线连起来，所谓单连通，就是指不像甜甜圈那样中间被掏空。
我们日常生活中遇到的大部分三维形体都是这样的，比如球、圆柱、长方体、三棱锥、没有把的杯子、馒头、棒球棒等等。
当然，甜甜圈、铁环、拧成了八字形的麻花，都不是。
庞加莱猜想说的是，这些单连通的封闭三维形体，你把它揉揉捏捏，就成了一个球。
这就是图中前五个形状到球的对应。
但是像甜甜圈，你怎么揉也揉不成球，因为中间的“缝”捏不掉。
因此，图中后面两个形状对应不到球上。
庞加莱猜想在我们看来显然是很正确的，但是在数学上，只有公理是显然的，其他任何结论都要经过证明得出，有些时候，越是显然的结论越难证明。
在庞加莱猜想被提出之后的几十年里，世界上有很多数学家试图解决这个结论看似明确的猜想，但是都一无所获。
直到上个世纪60年代，才由美国数学家斯梅尔解决了这个问题的高维（5维）变种，这个变种比原来的问题要容易很多，但是对这些简单却相似问题的研究还是给后人带来了启发。
斯梅尔因此获得了1966年的菲尔兹奖和随后的沃尔夫奖。
1983年，美国数学家弗里德曼证明了庞加莱猜想的4维变种，并且也获得了菲尔兹奖。
在证明这个猜想的过程中，还有数名数学家做出了很大的贡献，获得了菲尔兹奖，但是他们其实离猜想的证明还有很长的距离。
2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成了对庞加莱猜想的证明。
佩雷尔曼可以讲是这个世纪数学界的神人。
他在俄罗斯接受的教育，后来在美国的几所大学里做博士后，大约攒下了10万美元，他觉得这点钱他一辈子就够花了，于是就回到俄罗斯去证明庞加莱猜想了。
他住在妈妈的福利公寓里，每月只花400美元吃饭，然后就把所有的时间用来研究数学了。
2003年，他在一个叫arXiv的网站上贴出了自己对这个定理的完整证明，这个网站是科学家们提交预发表论文的地方。
弦论走到了庞加莱猜想（3）
弦论走到了庞加莱猜想（3）弦论走到了庞加莱猜想（3）三、庞加莱猜想喜忧参半吗？1、弦论的倒车镜吃透弦论的“精髓”，弦论是沿着20世纪初爱因斯坦相对论开创的几何化方向在前进。
这辆“轿车”朝微观针尖一端的“公路”越开越远，已到了“无”的境界。
当然这不是真的“砸开”物质的研究，而一种数学的描述，争论也由此而起。
众多批评者说它未能以一种简便易行的实验来证实该理论。
我们说“无法证实”说是一种误导。
弦论的数学方程类似“倒车镜”。
弦论的前方，它不说；说了，前方可能存在更多不同的宇宙和高维空间等太多无法证实的观点。
有人说，也只是他个人预测的虚像。
在倒车镜中找虚像，确实永远无法证实；但倒车镜展出的映像却有实在的。
弦论盯着“倒车镜”，是它映射的“后方”的“景物”。
凭据这些“后方”的“景物”，是虚是实，一是可以用实验检验，二是也可知道这条“公路”的情况和车前进到的地点。
这一点也不含糊。
A、我们虽是业余研究弦论的，但是在1968年維尼奇亚诺之前，继卡路扎－克林之后，坚持第五维是类似圈态模型的曲点或环量子，三旋理论就是在此基础上提出来的。
1982年第3期《潜科学》发表的《自然全息律》，是我国改革开放后才得以披露它已早出生存在的证明。
1996年我们在《大自然探索》第3期发表的《物质族基本粒子质量谱计算公式》，是三旋理论的一个“倒车镜”报道。
其中根据数学计算，希格斯玻色子的质量存在一个质量微单元的最小单位，就是0.01乘10的-11次方GeV。
当时我们本来已经知道国际科学主流认为希格斯玻色子的质量大于100GeV。
但10年过去，国际上已有科学实验检验W玻色子质量的精确测量，结果表明希格斯介子比以前国际科学主流估计的还要轻。
这对希格斯玻色子的质量有微单元，是个好消息。
B、三旋环量子弦论的数学表明，环量子有两种描述，一是“物质”形体描述，另一是“能量”密码描述。
类似把东西看作“物质”，是用“仪器”眼睛看出来的；把声音看作“能量”，是用“仪器”耳朵听出来的。
庞加莱的世纪猜想
１９５６ 年和 １９６２ 年，分别有一位数学家对庞加 莱猜想在 ５ 维以上的情况作出了阐述，并于 １９６６ 获得了数学界的最高荣誉— ——菲尔兹奖。但是，这两 个人的证明方法无法推广到低维度，也就是说，他们 并没有解决庞加莱最初提出的有关三维的猜想。
四维的庞加莱猜想证明要等到 ２０ 年后了。 １９８２ 年，一位美国数学家对四维的拓扑空间进行了 分类研究，并结合一位英国数学家的成果，证明了 普通的四维空间中庞加莱猜想是正确的。这个结果 向最终证明庞加莱猜想又跨出了一步，两位数学家 获得了 １９８６ 年度的菲尔兹奖。
对庞加莱猜想的部分证明，就足以让一位数学 家获得数学界的最高荣誉，可见庞加莱猜想的重要 性。我国科学家陈景润由于部分证明了哥德巴赫猜 想而举世闻名，也让许多中国人都知道数学世界里 有个哥德巴赫猜想。其实，哥德巴赫猜想虽然提出 更早，至今也没有被完全证明，但是在数学家眼中，
此时距离猜想提出，已经过去了一百多年。在 一个多世纪的时间里，有多少数学家为此而奉献了 青春。庞加莱以他天才的直觉，提出了这个猜想；汉 密尔顿投入猜想的相关研究近 ３０ 年，他长期地坚 持在这个领域里耕耘，甚至曾经因为发表的论文数 量不够多，没能得到国家机构的资助，但他并不因 此而放弃数学上的追求；佩雷尔曼对数学研究的投 入及执着精神令人景仰，他的物质需求很低，生活 清贫，但当他解决庞加莱猜想的那一刻，他觉得已 得到馈赏及回报，并不需要其它的桂冠，他甚至拒 绝了克莱数学研究所的百万美元奖金；补充“庞加 莱猜想”证明的中国数学家朱熹平在转换研究领域 期间，几年的时间没有论文发表，无名无利，但一直 坚持做下去……
在拓扑学中，蹂躏之后的橡皮糖和原来的橡皮
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（一）庞加莱是法国数学家，1904年他在一组论文中提出有关空间几何结构的猜想，但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，这就是“庞加莱猜想”：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
丘成桐院士认为，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。
庞加莱猜想证明对用数学语言描述宇宙空间产生重要影响，我们可举在超弦理论上的应用来说明。
首先我们要对庞加莱猜想的“点”作一个约定：庞加莱猜想中的“点”可以指数轴、坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点......而不能指我们说的“曲点”和“点内空间”的点，不然就会产生矛盾。
因为我们说的“曲点”，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及“环绕数”收缩成的一点---如圈是“绳”一致分布中间没有打结的封闭线；在这种纽结理论定义中，两个圈套圈的纽结，有一个交点；如果这种圈套圈有两次纽合，圈套圈的纽结“点”就包含了“环绕数”，把有一个以上“环绕数”的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个“曲点”。
即“曲点”最直观的数学模型，是指包含“环绕数”的点。
而我们说的“点内空间”的点，是指虚数一类虚拟空间内的“点”。
如果把“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球”称为“庞加莱猜想正定理”，那么“曲点”和“点内空间”正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面---我们称为“庞加莱猜想逆定理”。
庞加莱猜想至少有两个来源---一个是函数论，一个是代数拓扑学。
即有人认为，19世纪是函数论的世纪，庞加莱因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的。
所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数。
自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广。
自守函数今天已包括那些在变换群或这个群的某些子群作用下的不变函数。
此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的。
庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群。
对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数。
此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分。
自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线。
代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射。
其次，庞加莱是代数拓扑学(组合拓扑学)的奠基人，最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论。
现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造---其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂)数的方法。
籍助这些方法，庞加莱发现关于流形的同调的著名的对偶定理；定义了基本群(第一个同伦群)，并证明它与一维贝蒂数的关系，还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，以及欧拉多面体定理的推广---现称之为欧拉—庞加莱公式：x（D）=F－E+V （1）这个式子的右边是和三角剖分的方式有关，但实际上x（D）和剖分的方式无关，它是曲面的一个拓扑不变量。
对于紧致曲面，边界曲线不出现，仍然可以作三角剖分，因可求得：（1）球面：x=2；（2）环面：x=0；（3）二个洞的曲面：x=－2；（4）n个洞的曲面：x=－2（n－1）。
根据拓扑学的定理可知，任何定向的二维紧致曲面的欧拉--庞加莱示性数总是取2，0，－2，…，－2n，…中的一个，而且示性数相同的紧致曲面同胚。
因此，x就完全给出了定向的紧致曲面的拓扑分类。
称为s的亏格，即s的洞数。
因此，可以求出：球面的亏格为0，环面的亏格为1，这也是球面与环面不同伦的区别。
亏格涉及事物的整体性质，20世纪以来，人们对整体性质研究得非常多，但其实很多性质仍然是从子系统的研究得出的。
微分几何和拓扑学首先注意到，许多曲面，如球面，环面，椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面等，都是一个整个，除了它们各个小片所具有的几何性质外，还有整个曲面所具有的几何性质，称为整体性质。
比如说，球面的任何一条测地线都是闭曲线（大圆），又如平面上任何一条测地线（直线）可以无限延伸，这就是整体性质。
设U为二维欧氏空间的一个矩形区域（a<u<b，c<v<d），或者是和矩形区域同胚的区域，如单位圆内部，平面上凸区域等，r(u，v) 是U到三维欧氏空间E3的一个映照。
r(u，v)=(x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)) （2）S是这个映照的像。
球面、环面都是紧致的，而平面则是非紧致的。
一般地，曲线可能穿过若干个坐标区域，那么在每一坐标区域中都可有它自己的表达式，在每个区域中的部分，就可以计算出它的弧长。
假设D是S上的一个区域，它的边界是由互不相交的n条简单的分段光滑闭曲线所组成；这些弧之间除连接点外没有交点，由拓扑学可知，可以把D三角剖分，即把D分割成许多以三条曲线段为边界的曲面三角形。
如果所考察的曲面是定向的，设法线方向为大拇指方向，依右手规则可以定出每一三角形的边界的定向，这时内部边界的定向刚好相互抵消。
经过这样剖分后得出三个数：F是三角形的个数，E是边的条数，V是顶点的个数，它们就是前面欧拉-庞加莱示性数（1）中符号表示。
正是庞加莱提出的“亏格”表示的洞数，直指“庞加莱猜想正定理”和“庞加莱猜想逆定理”；也直指超弦理论中构造的开弦和闭弦这两个不同的庞加莱猜想版本。
因为按庞加莱猜想在一个三维空间中，开弦曲线及其开弦运动形成的二维膜上的每一条封闭的曲线，都能收缩成一点，因此它们形成的空间是类似同伦、同调、同胚于一个三维的圆球的；相反，闭弦曲线及其闭弦运动形成的二维膜上的每一条封闭的曲线，都不能收缩成一个“庞加莱猜想点”，因此它们形成的空间不是类似同伦、同调、同胚于一个三维的圆球，而是类似我们说的“曲点”。
（二）庞加莱猜想证明封顶，对解决超弦理论和圈量子引力理论的统一带来了曙光。
道理就在单孔收缩与双孔收缩的性质不一样，其统一路线图如下。
1、庞加莱猜想证明揭示了点有三种实在论的性质，可联系宇宙中的物质、能量和信息三个“要素”。
例如，在一张纸页上放一粒沙（类似实物），是一个“点”；在纸上打个针孔眼（类似破裂、虚空），是一个“点”；在纸上作个笔尖墨迹印子（类似中性），是一个“点”。
物质类实，可对应粒沙“点”；能量类虚，可对应针孔“点”；信息类中性，可对应墨迹“点”。
所以对庞加莱猜想中的“点”首先要作个约定，证明才不会有矛盾。
即约定：粒沙“点”和墨迹“点”是归属“庞加莱猜想点”；而针孔“点”是归属我们说的“曲点”。
其次，数学要考虑形式上的构造，也要考虑实际意义，对庞加莱猜想中的“收缩”也要作个约定：它类似连续统假设。
所谓连续统假设指：在可数集基数和实数集基数之间再没有别的基数。
但中国古人对于无限的认识有“一日之棰，日取其半，万世不竭”；又有“至大无外，至小无内”。
连续统假设建立在明确集合元素的意义和集合之间的关系是否相容，现有了连续统的“收缩”假设，就用不着反复讨论，否则可以无限的分下去，用老话讲就叫不着边不靠谱。
但同样的连续统在时间、空间、几何、数量的表示关系上是不一样的，数学连续统假设的独立性存在任意性，有限与无限之间应该设定一个界限：集合永远不能属于自身，全集合是不存在的；但绝不可以任意无原则的等同，庞加莱猜想中“收缩”的集合条件是指，不管基数的大小即使量子化也是连续的，而对于没有现实意义的集合，这样做没有意义。
2、用庞加莱猜想证明分析超弦理论并列构造的开弦、闭弦两个不同的庞加莱猜想版本，即开弦是对应在三维空间中，开弦曲线及其开弦运动形成的膜上的每一条封闭的曲线都能收缩成“庞加莱猜想点”，因此是类似“庞加莱猜想正定理”对应的一个三维的圆球；而闭弦曲线及其闭弦运动形成的膜上的每一条封闭的曲线都不能收缩成“庞加莱猜想点”，因此是类似“庞加莱猜想逆定理”对应的一个三维的“曲点”。
在超弦理论中开弦和闭弦是如何统一的呢？它是避开了庞加莱猜想这个程序，直接跳入轨形拓扑这个程序才解决的。
因为在有弦论之前，就有Kaluza-Klein理论考虑过有可能实际的空间是超过三维的：一加一维的弦运动出来的这个曲面，存在的二维空间像一个管子一样，假设这个管子很细的话，在管子的截面方向上均匀地分布的就是微小圈。
把它变成三维跟二维的模拟的话，就是有两个三维的空间，但是其中一个方向是被限制在一个很小的范围上，也许这个很小的距离加上周期的边界条件，要求所有的物理量都有周期性的性质。
但是为什么可以假设大部分的东西都是在这个小的维度上均匀地分布呢？这是根据量子力学，这个在很小的维度的方向上面如果有一个物质的质量有变化的话，那么总是可以对它分成正弦函数或者余弦函数的迭加，其中的每一个正弦或余弦函数，它对应到的动量或能量会和这里面出现的几个周期，会由这个整数除以额外维度的宽度R这个数字决定。
3、用庞加莱猜想证明的分析，不但能分出了开弦与闭弦的对立，也能分出三维空间与额外维空间以及宏观与微观的定量区别。
因为早在庞加莱猜想诞生之前，人们已经开始注意到了庞加莱猜想中的“连续”与“间断”的共轭与区别，特别是19世纪末玻尔兹曼的“乌托子球”原子论对应庞加莱猜想的一个三维的圆球，能令人满意地解释固体、液体、气体和等离子的许多性质，用其中的波尔兹曼常数能推出每立米中某种空气的“原子（分子）”数，为宏观与微观作出第一个的定量区别，从而加深了宏观与微观中粒子与波场的对立。
4、第二是在20世纪后的电子和光子等微观粒子的双缝实验中，“庞加莱猜想球”与“庞加莱猜想孔”在单缝实验中的粒子与波场的对立并不明显，从而加深了庞加莱猜想对宏观与微观的再认识：即庞加莱猜想虽然把时空中分成了“连续”与“间断”的共轭，但在只有一个“庞加莱猜想孔”的“间断”空间内，庞加莱猜想是等价的，即在“间断”的空间也能收缩成一点；但在双缝实验类似有两个“庞加莱猜想孔”的情况下，“连续”与“间断”不能兼容，三维与额外维就以粒子与波场对立的几率幅的定量形式显示出来了。
5、第三是把单缝和双缝的缝宽与普朗克尺度作比较，电子等粒子的半径在大约10的－12次方厘米到10的－15次方厘米对应的缝宽范围，动量和位置出现的不确定性显示的量子干扰，是确定宏观与微观的又一定量区别；而且粒子的物质性与粒子的能量性的区别，定量地显示出能利用庞加莱猜想反证的曲点，按戴德金的分割观点建构量子化---曲点自旋分割，产生时空和质能量子化曲点，沿相反方向的趋势飞散。