哥德巴赫 庞加莱猜想
世界十大难题
世界十大难题1、NP完全问题（NP－C问题）NP完全问题（NP－C问题），是世界七大数学难题之一。
NP的英文全称是Non－deterministicPolynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。
简单的写法是NP＝P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。
NP就是Non－deterministicPolynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。
而如果任何一个NP问题都能通过一个多项式时间算法转换为某个NP问题，那么这个NP问题就称为NP完全问题（Non－deterministicPolynomialcompleteproblem）。
NP完全问题也叫做NPC问题。
2、霍奇猜想霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。
由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想，属于世界七大数学难题之一。
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
3、庞加莱猜想庞加莱猜想（Poincaréconjecture）是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。
2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
”简单地说，一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
4、黎曼假设黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ（s）的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。
世界七大难题
难题一：哥德巴赫猜想提出者：哥德巴赫提出时间：1742年研究进展：尚未破解内容表述：命题A每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和。
命题B每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和。
1742年，德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出了这两个问题。
它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。
实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。
1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。
但是第一个问题至今仍未解决。
由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。
1920年，挪威数学家布龙证明了“9+9”；以后的20几年里，数学家们又陆续证明了“7+7”，“6+6”，“5+5”，“4+4”，“1+c”，其中c是常数。
1956年，中国数学家王元证明了“3+4”，随后又证明了“3+3”，“2+3”。
60年代前半期，中外数学家将命题推进到“1+3”。
1966年，中国数学家陈景润证明了“1+2”，这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果。
陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位。
难题二：费马大定理提出者：费马提出时间：1637年研究进展：于1995年被成功证明内容表述：xn＋yn＝zn在n是大于2的自然数时没有正整数解（这里xn、yn、zn表示x的n次方、y的n次方、z的n 次方）。
在360多年前的某一天，当费马阅读古希腊名著《算术》时，突然心血来潮在书页的空白处，写下这样一段话：“将一个立方数分成两个立方数，一个四次幂分成两个四次幂，或者一般地将一个高於二次幂的数分成两个相同次幂，这是不可能的。
魔法数学 16个数学未解之谜
魔法数学 16个数学未解之谜数学是一门无尽的迷题。
数学家们通过世纪之交的辛勤探索，已经发现和解决了许多困扰人类数千年的难题。
然而，依然有一些问题仍然没有被解答，它们被称为“数学未解之谜”。
在这篇文章中，我们将介绍16个世界上著名的数学未解之谜，并尝试理解这些问题背后的数学原理。
1.哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数可以分解为两个质数的和。
这个猜想虽然简单易懂，但是至今没有人能够给出具体的证明。
2.费马大定理：费尔马在17世纪提出的这个问题，声称没有正整数解的方程x^n+y^n=z^n，对于大于2的n是成立的。
尽管人们已经找到了一些部分证明，但是仍然没有找到完整的证明。
3.黎曼猜想：这个问题涉及到数论的领域，它提出了一系列复数的非平凡零点的分布规律。
虽然人们已经通过计算机技术验证了黎曼猜想的一部分，但是没有找到一个通用的证明。
4.丢番图猜想：这个问题是数学中的一个流行问题，它涉及到素数的分布规律。
丢番图猜想声称，对于任意大于2的自然数n，总存在一个大于n且小于2n的素数。
尽管人们已经找到了一些部分证据，但是这个问题仍然未解。
5.切比雪夫素数定理：这个问题涉及到素数的分布规律。
切比雪夫定理声称，对于任意给定的大于1的自然数n，存在至少一个素数p，使得n<p<2n。
虽然人们通过计算机技术验证了这个定理的一部分，但是没有找到一个普适的证明。
6.完全图问题：完全图问题是图论中的一个经典问题，涉及到图中连结的问题。
完全图问题声称存在一个完全连结的有限图，使得在这个图中的任意两个节点之间都存在一条边。
尽管人们已经找到了一些部分证据，但是没有找到一个通用的解法。
7.四色定理：这个问题是图论中的一个经典问题，涉及到地图着色的问题。
四色定理声称任意一个平面地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻地区的颜色不同。
尽管人们已经通过计算机技术验证了这个定理的一部分，但是没有找到一个普适的证明。
8.费马点线面问题：费马在17世纪提出了一个有意思的问题，如果在一个平面上画出n个节点，那么通过这些节点可以构成多少个封闭的直线和曲线？对于n=3和n=4的情况，人们已经找到了解答，但是对于其他情况仍然没有找到解答。
23个数学难题
23个数学难题1.哥德巴赫猜想：每个大于2的偶数都可表示成两个质数之和。
2.孪生素数猜想：存在无穷多个孪生素数（相差为2的素数对）。
3.黎曼假设：关于黎曼ζ函数的非平凡零点的实部都是1/2。
4.费马大定理：当整数n>2时，关于x,y,z的方程xⁿ+yⁿ=zⁿ没有正整数解。
5.四色定理：任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
6.庞加莱猜想：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
7.BSD猜想：描述了阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的深刻联系。
8.霍奇猜想：在非奇异复射影代数簇上，霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。
9.纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性：关于粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
10.杨-米尔斯存在性和质量缺口：量子物理中的基本问题。
11.P与NP问题：是否NP类问题在多项式时间内可被归约为P类问题。
12.三次方程的根式求解通式：对于一般三次方程ax³+bx²+cx+d=0求通用根式解。
13.五次方程无根式解的证明推广：高次方程在何种情况下无根式解。
14.圆内整点问题：求给定半径的圆内的整点（坐标为整数的点）个数。
15.华林问题：对于任意给定的正整数k，是否存在正整数s，使得每个正整数n都可以表示为至多s个正整数的k次方之和。
16.整点多边形面积最大问题：在给定平面上的整点中，求面积最大的多边形。
17.数的分拆问题：将一个正整数分解成若干个正整数之和的不同方式有多少种。
18.埃尔德什-莫德尔不等式的推广：关于三角形内一点到三个顶点距离和与三边关系不等式的推广。
19.梅森素数是否有无穷多个：形如2ᵖ-1（p为素数）的素数是否有无穷多个。
20.完全数问题：是否存在无穷多个完全数（等于其真因子之和的数）。
21.等周问题：在平面上，周长一定的所有封闭曲线中，是否圆所围成的面积最大。
22.素数分布规律：寻求素数在自然数中的分布规律。
21世纪七大世界级数学难题
21世纪七大世界级数学难题世界级数学难题让几代数学家为止奋斗，而其中七个“千年数学难题”更是每个难题悬赏一百万美元。
难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题难题”之二：霍奇(Hodge)猜想难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想难题”之四：黎曼(Riemann)假设难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
以下是这七个难题的简单介绍。
NO:1 庞加莱猜想在1904年发表的一组论文中，庞加莱提出以下猜想：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。
粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
我们说，苹果表面是单连通的，而轮胎面不是。
该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对庞加莱猜想的証明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间產生影响。
【相关知识】●庞加莱猜想是什么?●谁能解说“庞加莱”猜想?●庞加莱猜百科定义NO:2 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一。
1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：a.任何一个大于6的偶数都可以表示成两个素数之和。
数学上著名的猜想
数学上著名的猜想1. “哥德巴赫猜想呀，那可是超级难的呢！”就像妈妈让我把乱七八糟的玩具整理好一样难。
比如说，每次我玩完玩具，看着那满地的玩具，我就头疼，这得啥时候才能整理完呀！这就好像要证明哥德巴赫猜想一样，感觉好遥远呀！2. “费马大定理，哇，那可神秘了！”就像我找我藏起来的宝贝卡片，怎么找都找不到，好神秘呀！有一次我把卡片藏在一个自认为很隐蔽的地方，结果后来自己都找不到了，这不就和费马大定理一样神秘莫测嘛！3. “四色猜想，嘿嘿，很有意思呢！”就像我给我的画上色，要用几种颜色才能让画面好看又不冲突呢。
有一次我画画，纠结用什么颜色来涂一个区域，这和研究四色猜想一样需要好好思考呀！4. “庞加莱猜想，这可真厉害！”就像我在操场上和小伙伴们玩抓人游戏，怎么才能不被抓住呢，好有挑战性呀！记得那次我拼命跑，想躲开小伙伴的追捕，这就像在探索庞加莱猜想的奥秘一样刺激。
5. “孪生素数猜想，哇塞，真神奇！”就像我和弟弟找相同的糖果，怎么那么难找呀！有一回我们比赛找一样的糖果，找了好久才找到几对，这和孪生素数猜想一样神奇呢。
6. “黎曼猜想，听着就好难哦！”就像我解一道超级难的数学题，抓破脑袋都想不出来。
那次遇到一道很难的题，我想了好久好久，这感觉和面对黎曼猜想一样让人头疼呀。
7. “BSD 猜想，这是什么神仙猜想呀！”就像我想知道天上的星星有多少颗一样，根本无从下手嘛！有一次我看着星空，就想搞清楚星星的数量，这不就和 BSD 猜想一样让人摸不着头脑嘛。
8. “考拉兹猜想，好奇怪的名字呀！”就像我玩一个奇怪的游戏规则，怎么都搞不懂。
有一回玩一个新游戏，规则很奇怪，我研究了好久才明白一点，这和考拉兹猜想一样让人好奇呀。
9. “abc 猜想，这可真让人捉摸不透！”就像我试图理解大人说的一些复杂的话，怎么都不明白。
有一次听到大人们聊天，好多词我都听不懂，就像面对 abc 猜想一样困惑。
10. “周氏猜测，哇，好厉害的样子！”就像我看到一个特别酷炫的玩具，好想知道它是怎么运作的呀！有一次看到一个很特别的玩具，我就一直好奇它的原理，这和周氏猜测一样吸引着我去探索。
世界十大数学难题和世界十大物理难题
世界近代三大数学难题1、费尔马大定理费尔马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。
终于在1994年被安德鲁〃怀尔斯攻克。
古希腊的丢番图写过一本著名的“算术”，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，“算术”的残本重新被发现研究。
1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：x^n＋y^n ＝z^n 是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数)。
此猜想后来就称为费尔马大定理。
费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。
一般公认，他当时不可能有正确的证明。
猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n＝3,4,5,7四种情形。
1847年，库木尔创立“代数数论”这一现代重要学科，对许多n（例如100以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃。
历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。
其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。
他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理设悬赏10万马克（相当于现在160万美元多），期限19 08－2007年。
无数人耗尽心力，空留浩叹。
最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但这对最终证明无济于事。
1983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n，最多只有有限多个a，b，c振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。
历史的新转机发生在1986年夏，贝克莱〃瑞波特证明了:费尔马大定理包含在“谷山丰—志村五朗猜想” 之中。
童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房7年，曲折卓绝，汇集了20世纪数论所有的突破性成果。
终于在1993年6月23日剑桥大学牛顿研究所的“世纪演讲”最后，宣布证明了费尔马大定理。
立刻震动世界，普天同庆。
不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点。
这个证明体系是千万个深奥数学推理连接成千个最现代的定理、事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。
庞加莱猜想被列为七大数学世纪难题之一
庞加莱猜想被列为七大数学世纪难题之一，美克莱数学研究所曾悬赏百万美金求解国际数学界关注了上百年的重大难题——庞加莱猜想，终于被科学家完全破解。
昨天，哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐在中国科学院晨兴数学研究中心宣布：在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明庞加莱猜想。
“这就像盖大楼，前人打好了基础，但最后一步——也就是‘封顶’工作是由中国人来完成的。
”丘成桐说：“这是一项大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。
”“这是第一次在国际数学期刊上给出了猜想的完整证明，成果极其突出。
”数学家杨乐说。
在美国出版的《亚洲数学期刊》6月号以专刊的方式，刊载了长达300多页、题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿·佩雷尔曼理论的应用》的长篇论文。
100多年来，无数的数学家关注并致力于证实庞加莱猜想。
20世纪80年代初，美国数学家瑟斯顿教授因为得出了对庞加莱几何结构猜想的部分证明结果而获得菲尔兹奖。
之后，美国数学家汉密尔顿在这个猜想的证明上也取得了重要进展。
2003年，俄罗斯数学家佩雷尔曼更是提出了解决这一猜想的要领。
运用汉密尔顿·佩雷尔曼的理论，朱熹平和曹怀东第一次成功处理了猜想中“奇异点”的难题，发表了300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。
从去年9月底至今年3月，朱熹平和曹怀东应邀前往哈佛大学，以每星期3小时的时间——连续20多个星期、共约70个小时——向包括哈佛大学数学系主任在内的5位数学家进行讲解，回答了专家们提出的一系列问题。
丘成桐指出，这一证明意义重大，将有助于人类更好地研究三维空间，对物理学和工程学都将产生深远的影响。
庞加莱猜想百年悬疑任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有封闭曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球——这就是法国数学家庞加莱于1904年提出的猜想。
庞加莱猜想和黎曼假设、霍奇猜想、杨·米尔理论等一样，被并列为七大数学世纪难题之一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可分为两个猜想（前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想，后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想）：1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。
考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。
把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。
1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。
这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。
同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。
现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。
其实，后一个命题就是前一个命题的推论。
哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。
1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。
1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。
在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。
他写道："我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数(就是质数)之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。
这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。
但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。
" 欧拉回信说：―这个命题看来是正确的‖。
但是他也给不出严格的证明。
同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。
不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。
事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。
若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。
但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。
因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。
现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。
18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。
1937年苏联数学家维诺格拉多夫（и．M．Bиногралов,1891-1983），用他创造的"三角和"方法，证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"。
不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。
关于偶数可表示为a个质数的乘积与b个质数的乘积之和(简称―a + b‖问题)进展如下: 1920年，挪威的布朗证明了―9 + 9‖。
1924年，德国的拉特马赫证明了―7 + 7‖。
1932年，英国的埃斯特曼证明了―6 + 6‖。
1937年，意大利的蕾西先后证明了―5 + 7‖, ―4 + 9‖, ―3 + 15‖和―2 + 366‖。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了―5 + 5‖。
1940年，苏联的布赫夕太勃证明了―4 + 4‖。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了―1+ c‖，其中c是一很大的自然数。
1956年，中国的王元证明了―3 + 4‖。
1957年，中国的王元先后证明了―3 + 3‖和―2 + 3‖。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了―1 + 5‖，中国的王元证明了―1 + 4‖。
1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了―1 + 3 ‖。
1966年，中国的陈景润证明了―1 + 2 ‖。
庞加莱猜想庞加莱猜想电脑三维模型庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题（七个千年大奖问题）之一。
2006年被确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的菲尔兹奖。
庞加莱猜想是人类在三维空间研究角度解决的第一个难题，也是一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
庞加莱猜想图示缘起如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
我们说，苹果表面是―单连通的‖，而轮胎面不是。
大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。
这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:―有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。
‖庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。
庞加莱猜想，就是其中的一个。
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：―任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。
‖后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为―高维庞加莱猜想‖。
如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。
或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里庞加莱猜想面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。
拿一个气球来，带到这个球形的房子里。
随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。
这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。
但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。
还要假设，这个气球的皮是无限薄的。
好，现在我们继续吹大这个气球，一直吹。
吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
为什么？因为，苹果表面是―单连通的‖，而轮胎面不是。
看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是―随便想想‖就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。
一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
七个“千禧难题”2000年5月24日，美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个―千禧难题‖（又称世界七大数学难题）之一，这七道问题被研究所认为是―重要的经典问题，经许多年仍未解决。
‖克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个―千年大奖问题‖的解决都可获得百万美元的奖励。
另外六个―千年大奖问题‖分别是：NP完全问题，霍奇猜想（Hodge），黎曼假设（Riemann），杨－米尔斯理论（Yang-Mills），纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，简称NS方程），BSD 猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。
提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。
但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。
于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。
早期的证明20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。
但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这庞加莱猜想个问题产生了浓厚兴趣。
他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文，失之桑榆、收之东隅。
但是在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特海流形。
30年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。
帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。
因为他的名字超长超难念，大家都称呼他―帕帕‖（Papa）。
在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。
帕帕以证明了著名的―迪恩引理‖（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：―无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。
‖然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。
在普林斯顿大学流传着一个故事。
直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。
柳暗花明的突破这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。