庞加莱猜想浅谈
庞加莱猜想
庞加莱猜想必定同胚于n维球面。
”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。
“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci 流，别人都不晓得，跟我说起。
我觉得这个东西不太容易做。
没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。
”丘成桐说，“于是我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。
”交道。
据说，有记者想给他拍照，被他大声制止；而对像《自然》《科学》这样声名显赫杂志的采访，他也不屑一顾。
尽管克雷数学研究所没有透露佩雷尔曼是否同意接受这个大奖，但俄罗斯媒体纷纷称，佩雷尔曼对“千禧年数学大奖”和100万美元的奖金丝毫没有兴趣。
证明，我会很高兴。
我从来没有想成为庞加莱猜想的唯一破解者。
”田刚在MIT收到了佩雷尔曼的电子邮件，立即意识到其重要性。
他开始阅读并同他的同事们讨论这篇文章。
重新做了一遍。
”至于丘成桐，佩雷尔曼说，“我不能说我被侵犯了。
还有人做得比这更糟。
当然，许多数学家多少是诚实的，可他们几乎都是和事佬。
他们容忍那些不诚实的人。
”获得菲尔兹奖的前景迫使他同他的职业彻底决裂。
“只要我不出名，我还有选择的余地，”佩雷尔曼解释说，“或者做一些丑事，”-----对于数学界缺乏正义感大惊小怪-----“或者不这样做而被当作宠物。
现在，我变得非常有名了，我不能再做宠物而不说话。
这就是为什么我要退出。
”当被问及，他拒绝了菲尔兹奖，退出了数学界，是否意味着他排除了影响数学界的任何可能性时，他生气地回答“我不是搞政治的。
”佩雷尔曼不愿回答他是否也会拒绝克莱研究所的百万美元奖金的问题。
“在颁发奖金之前我不作决定，”他说。
Gromov说他能理解佩雷尔曼的逻辑。
“你要做伟大的工作就必须有一颗纯洁的心。
你只能想数学。
其他一切都属于人类的弱点。
”尽管人们会把他拒绝接受菲尔兹奖视为一种傲慢，Gromov说，他的原则值得钦佩。
庞加莱猜想浅谈
庞加莱猜想浅谈庞加莱猜想，故名思意，最早是由法国数学家庞加莱提出的，这是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。
2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里•佩雷尔曼（俄语：ГригорийЯковлевичПерельман，1966年6月13日出生）完成了最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但可以，佩雷尔曼在颁奖典礼上并未现身领奖。
猜想是庞加莱在1904年发表的一组论文中提出，猜想本身并不复杂：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
解释来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。
粗浅的比喻以下，如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“单连通的”，而防真轮胎面不是。
该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
对于猜想的破解，前后经历了近100年的时间：20世纪这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。
怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。
1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。
1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。
什么是庞加莱定理？什么是庞加莱猜想？
什么是庞加莱定理？什么是庞加莱猜想？一般来说，庞加莱定理即庞加莱回归定理：在有限体积下的力学体系在足够长时间后总可以回复到初始状态附近。
作为一个物理定理，庞加莱回归定理仿佛预示着历史的重演。
也就是说，历史上发生过的事情，在足够长的时间以后，都会几乎一样的发生。
当然，这只是我们的设想。
庞加莱回归定理还有量子力学版本：有限粒子数的量子体系，在足够长时间以后，回归到初始状态附近。
庞加莱回归定理和热力学第二定律之间有些“矛盾”。
因为热力学第二定理告诉我们，热力学平衡态下有限体积的气体其膨胀是自发的。
这意味着有限体积的气体是不能回到初始状态的。
该如何理解这两个理论之间的“矛盾”呢？事实上，热力学定律只适用于粒子数趋于无穷大的情形，而庞加莱定理则不需要考虑粒子数到底有多少。
换句话说，热力学第二定律是一个近似理论，而庞加莱定理则是更加准确的理论。
但这不代表热力学第二定律就是错误的，相反，我们的宏观世界由于粒子数众多，导致庞加莱回归定理里面的“足够长时间”基本上就是无穷大，所以完全可以认为，热力学第二定律是正确的，不仅如此，热力学第二定律其实是庞加莱定理的特例！至于细思极恐，完全不存在！难道说要为无穷大时间以后发生的事情担心吗？那纯属杞人忧天。
庞加莱猜想，是一个拓扑猜想：一个三维流形如果能同伦等价于一个三维球面，那么该流形一定同胚于三维球面。
一般来说同伦的要求低于同胚。
一个点不能同胚任何三维流形，但是单连通三维流形一定可以同伦与一个点！庞加莱猜想还有一个稍微通俗的说法：三维单连通、闭流形一定同胚于三维球面。
这个猜想的证明在2002年被数学家佩雷尔曼证明了。
且说这么多吧。
数学之美庞加莱猜想
数学之美庞加莱猜想在2000年5月24日时，美国克雷数学研究所(Clay Mathematical Institute)的科学顾问委员会把列出七个'千禧年大奖难题'，他们分别是庞加莱猜想，P对NP问题，霍奇猜想，黎曼假设，杨-米尔斯理论存在性与质量缺口，纳维-斯托克斯方程存在性与光滑性，BSD猜想。
今天我们聊聊庞加莱猜想。
庞加莱猜想就是在1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的、封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
”简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
如果认为这个说法太抽象，不容易懂的话，我们不妨做这样一个想象:我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。
或者，想象一个巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。
拿一个气球来，带到这个球形的房子里。
随便什么气球都可以(其实对这个气球是有要求的)。
这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以(对形状也有一定要求)。
但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。
还要假设，这个气球的皮是无限薄的。
接着我们继续吹大这个气球，一直吹。
吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
压了西方五百年的数学难题
压了西方五百年的数学难题对于数学家而言，题目越是简单，解答的过程就越复杂。
我们把时间拨回1504年的法国，那里有一位50岁的数学家，名叫亨利·庞加莱，他提出了一个世纪数学难题——庞加莱猜想。
这难倒了世界所有数学家，可以说是世界最出名的数学难题之一。
庞加莱猜想属于拓扑学领域，是三维几何的一种大胆的猜想。
庞加莱提出的猜想：任何一个单连通的、封闭的三维流形，一定同等于一个三维的球面。
用一句简单的话概括：如果一个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点，那么这个空间一定是球体。
把这句话更加形象和通俗易懂地表达，用一根绳任意套住一个物体一圈，然后，将这根绳的两端连接在一起，连接点就是图中的黄点。
在这个黄点上给它施加一个拉力，分别拉动绳子的两端，使绳子朝黄点的方向收缩，直到缩小成为一个点，跟黄点重合，最终绳子完全收回来，就证明这个物体就是球体。
庞加莱猜想如同绳子套球：这根围成圈而收缩成点的绳子代表单连通的、封闭的三维流形，球体的表面代表三维的球面，同胚可认为是等同的意思。
其中，单连通是指绕圈的绳子在球体表面上的任意一个位置，都能完全收回来，收缩成为跟绳子两端点重合的点。
封闭是指绳子两端连接在一起，成为一个闭合的圈。
这个模拟实验可以证明地球是一个球体，在16世纪初，航海家麦哲伦环球航行证明过地球的形状就是球体。
可是，庞加莱却持有不同的观点，他认为麦哲伦的环球证明过于片面，如果绕地球一圈就证明地球是球体，那也有可能是一个“甜甜圈”似的圆环。
假设这个圆环地球的中心是空心的，贯通的南、北两极而形成的，用一根绳朝着蓝色方向收缩，最终绳子跟之前球体表面一样，也能完全收回来，A绳一样。
但是这根绳还有另一种绕法，沿着圆环的空心位置绕圈，结果绳子无法收缩回来，被圆环阻碍着，最终不能证明地球一定是一个球体的理论。
微分流形论中Poincare猜想证明逻辑剖析
微分流形论中Poincare猜想证明逻辑剖析微分流形论中 Poincare 猜想证明逻辑剖析微分流形论是现代数学中的一个重要分支，它研究的对象是微分流形及其上的微分结构。
而 Poincare 猜想是微分流形论中的一个著名问题，由法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出。
它断言：每个封闭的三维流形都是三维球面。
该猜想的证明一直是数学界的一个难点和热门问题。
本文将从证明逻辑的角度对 Poincare 猜想进行剖析。
首先，作为一个证明，我们需要明确猜想的假设和约束条件。
Poincare 猜想的假设即“每个封闭的三维流形”，这要求我们研究的对象是封闭的、具有三维特征的流形。
其次，猜想的结论即“都是三维球面”，这表明我们需要证明这些流形在拓扑上等同于三维球面。
为了进行证明，我们可以借助数学上的定理和工具。
首先，我们可以利用 Poincare-Perelman 定理，它是解决 Poincare 猜想的基石。
该定理由格里戈里·佩雷尔曼在2003年提出，并最终在2006年被 Fields 奖授予者证明。
该定理通过引入拓扑学中的“流形的庞加莱猜想”和几何学中的“燃烧流形的热流方程”等概念，建立了一种几何和拓扑的联系，为证明 Poincare 猜想打下了坚实的基础。
其次，我们可以运用微分几何、拓扑学、流形上的测度理论等多个数学工具来推进证明的逻辑。
通过研究流形的性质、拓扑的变形、曲线的变换等，我们可以逐步将三维流形与三维球面进行比较，找出它们之间的共性与差异，并进一步推导出它们是等同的结论。
证明的过程中需要引入符号、定义、引理和定理，以确保推理的准确性和逻辑性。
同时，可以通过图表、方程等方式对证明过程进行可视化，并附上必要的推导步骤和详细说明，以便读者理解和跟随证明的思路。
需要说明的是，Poincare 猜想的证明过程非常复杂，需要具备相当高的数学背景和专业知识。
在此仅对证明的逻辑剖析进行介绍，具体的证明细节和数学运算可以在专业的数学论著中查找。
中国数学家完成七大难题之庞加莱猜想中国数学家完成七大难题之庞加莱猜想
中国数学家完成七大难题之庞加莱猜想中国数学家完成七大难题之庞加莱猜想“七大世纪数学难题”之一的庞加莱猜想，近日被科学家完全破解，而且是中国科学家完成“最后封顶”工作———中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东以一篇长达300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。
这引起人们的广泛兴趣：作者是何方“神仙”？中国科学家究竟做出了多大贡献？“七大世纪数学难题”的进展情况如何？第一访谈我们仅是百米冲刺快了0.1秒对于取得的成果，朱熹平教授一连说了三遍“这不算什么”。
他认为，任何科学成就都是很多人一步一步累积的结果，自己只不过是完成了最后一步而已。
问：你们是怎样在众多的研究团队中脱颖而出获得最后的成功的？答：“庞加莱猜想”是当今数学界最热门的难题之一，近两年取得了相当大的突破，刺激了很多人朝着它进行努力。
对我来说，以前觉得这个问题太遥远，近年来觉得越来越接近了。
在全世界这么多研究团队中，我们算是比别人先踏出了一步，或者说是在百米冲刺的最后比别人快了0.1秒，仅此而已。
问：您和曹怀东教授从去年9月底至今年3月一直在哈佛大学向5位数学家进行讲解，这个过程是怎样的？答：我们事先准备得很好，整个过程很成功。
专家们提出的各种问题对我们启发相当大。
做学问最重要的是了解问题，而最大的意义并不在于最后的结果，而是在研究中理解并追究结论的过程。
问:美国的克莱数学研究所曾为世界七大世纪数学难题每道题悬赏百万美元求解,你们是不是会获得这百万美元奖金？答:这笔奖金应该不是由我们获得,而是应该奖励给之前为解开这道难题做出很大贡献的科学家们,像瑟斯顿、汉密尔顿、佩雷尔曼等等。
问：您认为对一名学者来说，如果要想取得成功，什么是最重要的？答：首先一定要有兴趣，对科学有新鲜感，这样才有兴趣去研究。
另外最重要的是持之以恒。
在学术界，并不是最聪明的人能做得最好，往往是走得最久、坚持到最后的人能够做得最好。
作者是何方“神仙”？从来没有“接触过媒体”的曹怀东，终于接受了记者的电话采访。
庞加莱猜想
庞加莱猜想这是一个拓扑学问题，它的讲法有点绕口。
庞加莱猜想讲的是任何一个单连通的、封闭的三维形体，等价于一个三维的球。
所谓连通、封闭就是形体表面任何两个点可以沿着表面的一条线连起来，所谓单连通，就是指不像甜甜圈那样中间被掏空。
我们日常生活中遇到的大部分三维形体都是这样的，比如球、圆柱、长方体、三棱锥、没有把的杯子、馒头、棒球棒等等。
当然，甜甜圈、铁环、拧成了八字形的麻花，都不是。
庞加莱猜想说的是，这些单连通的封闭三维形体，你把它揉揉捏捏，就成了一个球。
这就是图中前五个形状到球的对应。
但是像甜甜圈，你怎么揉也揉不成球，因为中间的“缝”捏不掉。
因此，图中后面两个形状对应不到球上。
庞加莱猜想在我们看来显然是很正确的，但是在数学上，只有公理是显然的，其他任何结论都要经过证明得出，有些时候，越是显然的结论越难证明。
在庞加莱猜想被提出之后的几十年里，世界上有很多数学家试图解决这个结论看似明确的猜想，但是都一无所获。
直到上个世纪60年代，才由美国数学家斯梅尔解决了这个问题的高维（5维）变种，这个变种比原来的问题要容易很多，但是对这些简单却相似问题的研究还是给后人带来了启发。
斯梅尔因此获得了1966年的菲尔兹奖和随后的沃尔夫奖。
1983年，美国数学家弗里德曼证明了庞加莱猜想的4维变种，并且也获得了菲尔兹奖。
在证明这个猜想的过程中，还有数名数学家做出了很大的贡献，获得了菲尔兹奖，但是他们其实离猜想的证明还有很长的距离。
2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成了对庞加莱猜想的证明。
佩雷尔曼可以讲是这个世纪数学界的神人。
他在俄罗斯接受的教育，后来在美国的几所大学里做博士后，大约攒下了10万美元，他觉得这点钱他一辈子就够花了，于是就回到俄罗斯去证明庞加莱猜想了。
他住在妈妈的福利公寓里，每月只花400美元吃饭，然后就把所有的时间用来研究数学了。
2003年，他在一个叫arXiv的网站上贴出了自己对这个定理的完整证明，这个网站是科学家们提交预发表论文的地方。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
庞加莱猜想浅谈
庞加莱猜想，故名思意，最早是由法国数学家庞加莱提出的，这是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。
2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里•佩雷尔曼（俄语：ГригорийЯковлевичПерельман，1966年6月13日出生）完成了最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但可以，佩雷尔曼在颁奖典礼上并未现身领奖。
猜想是庞加莱在1904年发表的一组论文中提出，猜想本身并不复杂：
任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
解释来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。
粗浅的比喻以下，如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“单连通的”，而防真轮胎面不是。
该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
对于猜想的破解，前后经历了近100年的时间：
20世纪
这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。
怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。
1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。
1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。
这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。
这个猜想逐渐以证明极难而知名，但是证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。
1981年美国数学家麦克·傅利曼（Michael Freedman）证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。
1982年，理查德·哈密顿引入了“瑞奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。
在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。
21世纪
在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。
在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的
细节。
这包括密歇根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。
2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但佩雷尔曼拒绝接受该奖。
数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
2010年3月18日，克雷数学研究所对外公布，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼因为破解庞加莱猜想而荣膺千禧年大奖。
在颁奖之后，关于猜想的第一证明者的归属问题在学术界曾引发激烈争议：2006年6月3日，曹怀东和朱熹平公开声称佩雷尔曼对于庞加莱猜想证明中有漏洞，由他们补全，做出最终证明，于《亚洲数学期刊》发表论文。
据报道，丘成桐曾表示曹怀东和朱熹平才是第一个给出了庞加莱猜想的完全证明。
2006年8月28日出版的《纽约客》杂志发表西尔维亚·娜莎和大卫·格鲁伯的长文《流形的命运——传奇问题以及谁是破解者之争》。
该文介绍了佩雷尔曼等人的工作并描画了“一个令人厌恶的丘成桐的形象，暗示他为他的学生曹怀东和他支持的朱熹平的工作宣传了过多的功劳。
”，因曹怀东与朱熹平的论文未经同行评审，丘成桐被质疑以期刊主编的身份，发表有利于他们研究团队的论文成果。
此文发表后，引发了很大争议。
丘成桐表示可能采取法律行动，由律师发出信函，要求杂志更正，包括汉密尔顿在内的多名数学家发表声明表示文章没有正确地反映他们对丘的评价。
一名加州理工学院的研究者指出曹、朱论文中引理7.1.2与克莱纳和洛特2003年发表的成果几乎完全相同。
据此，洛特指责曹和朱两人有剽窃的行为。
此后，曹怀东和朱熹平在原刊发表纠错声明，确认了此引理是克莱纳和洛特的成果，解释没有指明出处是由于编辑上的差错，并为此向两位原作者致歉。
在12月发表的修正论文《庞加莱猜想与几何化猜想的汉米尔顿－佩雷尔曼证明》（Hamilton-Perelman's Proof of the Poicare Conjecture and the Geometrization Conjecture）中，曹怀东与朱熹平不再宣称是由他们做出最终证明，他们的工作只是对汉米尔顿－佩雷尔曼证明做出详尽阐述。
至此这一困扰人类一个世纪的数学证明才算是落下了帷幕。