新高考新题型2020数学专练

2020年4月17日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列说法正确的是（ ）A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程0.110ˆyx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位 【答案】CD 【解析】 【分析】对A,根据分层抽样的意义辨析即可. 对B,根据概率的含义辨析即可. 对C,根据回归模型的性质辨析即可.对D,根据线性回归方程的实际意义分析即可. 【详解】对A,分层抽样为根据样本特征按比例抽取,从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测不满足.故A 错误. 对B , 降水概率为90%,但仍然有10%的概率不下雨,故B 错误.对C, 在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好正确.对D, 回归直线方程0.110ˆyx =+中x 的系数为0.1,故当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy增加0.1个单位正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了概率统计中分层抽样、概率与回归直线的基本概念与性质.属于基础题. 2．关于函数22()cos sin 1f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值 B ．函数()f x 以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 D ．将()f x 的图像向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+ 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质和绝对值的性质逐一判断即可. 【详解】22()cos sin 1cos 21f x x x x =-+=+.A ：()cos2()1cos21()f x x x f x ππ+=++=+=，所以函数()f x 的周期为π.当()2k x k Z π=∈时，()cos 21cos 1222k k f k πππ=+=+=，所以函数()f x 在()2k x k Z π=∈处取得最大值，故本选项是正确的； B ：()cos 2()1cos 21()22f x x x f x ππ+=++=+=，所以函数()f x 的周期为2π. 当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，2,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos21cos21f x x x =+=-+，故函数是单调递增函数，因此本选项是正确的；C ：()cos[2()]1cos2+1=()f x x x f x -=-+=，所以函数是偶函数，由上分析，函数在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减是不正确的，故本选项是错误的； D ：将()f x 的图像向右平移1个单位得到()|cos[2(1)]|1cos(22)1g x x x =-+=-+，故本选项是错误, 故选：AB 【点睛】本题考查了余弦型函数的性质，考查了二倍角的余弦公式，考查了绝对值的性质，考查了余弦的诱导公式.3．已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】BCD 【解析】 【分析】当1x >时,利用均值定理可知()min 4f x a =+,当1x ≤时,若(1)f 为最小值,需使得对称轴满足1x a =≥,且由分段函数,(1)4f a ≤+,进而求解即可 【详解】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+, 当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小, 则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+, 即1294a a -+≤+,解得2a ≥, 故选:BCD 【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD【解析】 【分析】根据抛物线的定义进行推理判断． 【详解】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确；若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确． 【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，掌握抛物线的定义是解题基础． 5．已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（ ）A ．9100a a ⋅<B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >【答案】AD 【解析】 【分析】由等比数列的公比0q <，可知9100a a <，又由条件99a b >且1010a b >，判断9b 和10b中至少有一个数是负数，公差0d <，再判断其他选项. 【详解】Q 等比数列{}n a 的公比23q =-，9a ∴和10a 异号，9100a a ∴< ，故A 正确；但不能确定9a 和10a 的大小关系；故B 不正确；9a Q 和10a 异号，且99a b >且1010a b >， 9b ∴和10b 中至少有一个数是负数，又1120b =>Q ，0d ∴< 910b b ∴> ，故D 正确，10b ∴一定是负数，即100b < ，故C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查等差和等比数列的性质的判断和综合应用，意在考查推理和判断能力，属于中档题型.6．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =u u u v u u u v，F 为AE 的中点，则（ ）A ．12BC AB AD =-+u u u v u u uv u u u vB ．1133AF AB AD =+u u u v u u u v u u u vC ．2133BF AB AD =-+u u u v u u uv u u u vD ．1263CF AB AD =-u u u v u u u v u u u v【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题． 【详解】解：∵ AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ， 由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 12AB AD AB =-++u u u v u u u v u u u v 12AB AD =-+u u ur u u u r ，A 对；∵3BC EC =u u u r u u u r ，∴23BE BC =u u u r u u u r 1233AB AD =-+u u uv u u u v ，∴AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v 2233AB AD =+u u u v u u u v ， 又F 为AE 的中点，∴12AF AE =u u u v u u u v 1133AB AD =+u u ur u u u r ，B 对；∴BF BA AF =+u u u v u u u v u u u v 1133AB AB AD =-++u u u v u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u uv u u u v ，C 对；∴CF CB BF =+u u u r u u u r u u u r BF BC =-u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u uv u u u v 12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 1263AB AD =--u u u r u u u r ，D 错； 故选：ABC ． 【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题． 7．已知点()1,0F 为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为（ ） A ．24y x =B ．24x y =C ．22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<） D ．22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<） 【答案】AD 【解析】 【分析】依次计算每个曲线方程的焦点判断得到答案. 【详解】A. 24y x =，抛物线的焦点为()1,0F ，满足；B. 24x y =，抛物线的焦点为()0,1F ，不满足；C. 22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<），焦点为()，或(0,或曲线表示圆不存在焦点，02πθ<<，则22cos sin cos 21θθθ-=≠，均不满足；D. 22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<），双曲线的焦点为()1,0F ，满足； 故选：AD . 【点睛】本题考查了曲线的焦点，意在考查学生对于圆锥曲线知识的综合应用.8．已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据()e e xxf x -=-与()e e xxg x -=+的单调性逐个判定即可.【详解】对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x xf x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B错误.对C, 当因为()e e x xf x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值.故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.二、解答题9．已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）求f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（1）22T ππ==（2）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后根据公式2T πω=求周期；（Ⅱ）先求23x π+的范围再求函数的最小值. 试题解析:（Ⅰ）()31sin2sin2sin2cos2sin 222223f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. （Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤.所以1sin 2sin 362x ππ⎛⎫⎛⎫+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的()sin y A ωx φ=+的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()112n n S a n -=-≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n b a +=，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】 【分析】（1）根据n S 与n a 的关系得出数列{}n a 为等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】解：（1）当2n =时，121S a =-，即2112a a =+=； 当2n ≥时，11n n S a -=-①，11n n S a +=-② 由②-①得11n n n n S S a a -+-=-，即1n n n a a a +=-，∴12n na a += 即34232a a a a ===L ，又212a a =∴数列{}n a 为等比数列，公比为2，首项为1∴11122n n n a --=⋅=（2）由（1）可得12n n a +=，2log 2n n b n ==，12n n n a b n -=⋅， ∴01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅L ③()12312122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ④③-④得()()2111212222212112nn n nnn T n n n -⋅--=++++-⋅=-⋅=-⋅--L ，∴()121nn T n =-⋅+．【点睛】本题主要考查了利用n S 与n a 的关系求数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.11．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，12AA =，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点1C 的最短路线与棱1AA 的交点记为M ，求：（1）三棱柱的侧面展开科的对角线长； （2）该最短路线的长及1A MAM的值； （3）平面1C MB 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小.【答案】（1）（2）最短路线的长为11A MAM=；（3）45o 【解析】 【分析】（1）易知正三棱柱111ABC A B C -的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,进而求解即可； （2）画出展开图,点B 运动到点D 的位置,由展开图可知1DC 为最短路径,进而求解即可； （3）连接DB ,则DB 是平面1C MB 与平面ABC 的交线,由DCB V 的性质可得CB DB ⊥,再由平面11CBB C ⊥平面ABC ,平面11CBB C ⋂平面ABC BC =,可进一步得到1C B DB ⊥,则1C BC ∠是平面1C MB 与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角）,进而求解即可 【详解】（1）正三棱柱111ABC A B C -的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,其对角线长为==（2）如图,将侧面11AA B B 绕棱1AA 旋转120︒使其与侧面11AAC C 在同一平面上,点B 运动到点D 的位置,连接1DC 交1AA 于M ,则1DC 是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点1C 的最短路线,∴1DC ====,∵11DMA A MC ∠=∠,11MAD MAC ∠=∠,11DA A C =,∴11DMA C MA ≅V V,∴1AM A M =,故11A MAM=,即最短路线的长为此时11A MAM= （3）如图,连接DB ,则DB 是平面1C MB 与平面ABC 的交线,在DCB V 中,603090DBC CBA ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒, ∴CB DB ⊥.又∵平面11CBB C ⊥平面ABC ,平面11CBB C ⋂平面ABC BC =,DB ⊂平面ABC , ∴DB ⊥平面11CBB C ,∴1C B DB ⊥,∴1C BC ∠是平面1C MB 与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角）,∵侧面11CBB C 是正方形,∴145C BC ∠=︒,故平面1C MB 与平面ABC 所成的二面角（锐角）为45︒. 【点睛】本题考查由棱柱展开图求距离最小值,考查直接法求二面角,考查空间想象能力 12．某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示. 已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 .（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职工多少名？ （3）已知，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.【答案】（1）144（2）12（3）49【解析】第一问中利用等概率抽样求解样本容量．可知由,解得第二问中，由于用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查 因此先求第三批的人数，然后按比例抽样得到第三批中抽取的人数 第三问中，结合古典概型概率公式求解得到． 解: (1)由,解得. ……………3分(2)第三批次的人数为,设应在第三批次中抽取m 名，则，解得12m =.∴应在第三批次中抽取12名. ……………6分（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(,)y z ，由（2）知200,(,,96,96)y z y z N y z +=∈≥≥，则基本事件总数有：，共9个，而事件A 包含的基本事件有：(101,99),(102,98),(103,97),(104,96)共4个， ∴4()9P A =. ……………………………………12分 13．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，M 是椭圆短轴的一个顶点，且12MF F ∆是面积为1的等腰直角三角形. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知直线l ：0x my t --=与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，若椭圆E 上存在点P ，使得四边形OAPB 恰好为平行四边形，求直线l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）4【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形可得1,b c a ===E 的标准方程；（2）由题意可设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2212x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，根据韦达定理和四边形OAPB 恰好为平行四边形可得点P 的坐标，将其代入椭圆方程可得2242t m =+，再利用面积公式和基本不等式可得最小值. 【详解】（1）由已知得12(,0),(,0)F c F c -，设(0,)M b .12MF F ∆Q 是面积为1的等腰直角三角形，1,b c a ∴===∴椭圆E 的方程为2212x y +=（2）由题意可设()11,A x y ，()22,B x y .联立2212x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2222220m y mty t +++-=，则()22820m t ∆=+->.根据韦达定理得12221222222mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为四边形OAPB 恰好为平行四边形，所以OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r.所以12222P mty y y m -=+=+， ()1212122422P tx x x my t my t m y y t m =+=+++=++=+因为点P 在椭圆C 上，所以()()22222221641222t m t m m+=++，整理得()()22224212m t m +=+，即2242t m =+在直线l ：0x my t --=中，由于直线l 与坐标轴围成三角形，则0t ≠，0m ≠. 令0x =，得ty m=-，令0y =，得x t =.所以三角形面积为2112121||||28||8||84t m S t m m m m ⎛⎫+=-=⋅=+≥⨯= ⎪⎝⎭ 当且仅当22m =，21t =时，取等号，此时240∆=>. 所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为4. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的交点问题，考查了三角形的面积公式，考查了基本不等式求最小值，考查了运算求解能力，属于中档题. 14．已知函数()()()4log 1,0,1a f x x a a =+->≠的反函数()1fx -的图象经过点()5,1P -，函数()2(),21x g x b b R =-∈+为奇函数. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()22xF x g x =+-的零点；(3)设()g x 的反函数为()1gx -，若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立，求正实数k 的取值范围.【答案】(1)()()24log 1f x x =+-；(2)4log 3x =；(3)(]0,4. 【解析】 【分析】(1)根据原函数与反函数的关系可知，函数()f x 过点()1,5-，代入求解a 值，即可. (2)由题意可知()00g =，解得1b =，从而确定()22121xxF x =-+-+，令()0F x =，即()()21212x x-+=，即43x =，解方程，即可.(3)由题意可知，()()121log ,1,11xgx x x-+=∈--，则不等式()()1g k x f x -+<变形为()2214log 1x k x-<++，令()1,0,1t x t =+∈，则244log 4k t t⎛⎫<++- ⎪⎝⎭，令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据函数的单调性，可知244log 44y t t ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，从而求解正实数k 的取值范围. 【详解】(1)由题意，()f x 过点(1,5)-，即()14log 25a f -=+=，解得2a = 所以()()24log 1f x x =+-. (2)Q ()g x 为R 上的奇函数 ∴()0201021g b b =-=-=+，解得1b =，即()2121xg x =-+ 则()()22xF x g x =+- 令()0F x =，即221021x x-+-=+ 则()()()2212121412xxx x -+=-=-=即43x =，解得4log 3x =. (3)由(2)可知()2121x g x =-+ ∴()()121log ,1,11xg x x x-+=∈-- 即()()()12214log 1log 1x k f x gx x x-+<-=+---()()()2222114144log 4log 11x x x xx-+-++=+=+++令()1,0,1t x t =+∈，则2224444log 4log 4t t k t t t -+⎛⎫<+=++- ⎪⎝⎭令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()0,1t ∈ Q 244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在()0,1t ∈单调递减 ∴22444log 44lo 41g 14y t t ⎛⎫⎛⎫=++->++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若关于x 的不等式()()1gk x f x -+<在区间()1,0-上恒成立,则4k ≤又Q k 为正实数 ∴(0,4]k ∈. 【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.15．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知a ＝3，sin sin sin c C a A b B =+，且B ＝60°.（1）求△ABC 的面积；（2）若D ，E 是BC 边上的三等分点，求sin DAE ∠.【答案】（1；（2【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，可得△ABC 为直角三角形，然后可计算b ，可得结果.（2）计算,AE AD ，然后根据余弦定理，可得cos DAE ∠，利用平方关系，可得结果. 【详解】（1）△ABC 中，由csinC ＝asinA +bsinB ，利用正弦定理得c 2＝a 2+b 2，所以△ABC 是直角三角形.又a ＝3，B ＝60°,所以tan 60b a ==o所以△ABC 的面积为12S ab ==. （2）设D 靠近点B ，则BD ＝DE ＝EC ＝1.AE ==AD =所以222cos 2AE AD DE DAE AE AD +-∠==⋅所以sin DAE ∠==. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记121n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-；（2）69nn +. 【解析】 【分析】（1）先设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可得出结果；（2）由裂项相消法，直接求解，即可得出结果． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为 24S =，525S =，则：1124545252a d a d +=⎧⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，所以12(1)21n a n n =+-=-． （2）由于21n a n =-， 所以()()1211111212322123n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭．则1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，以及求数列的和，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于基础题型．17．在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，//AB CD ，CD AD ⊥，22AD CD AB ===，,E F 分别为,PC CD 的中点，DE EC =.（1）求证：平面ABE ⊥平面BEF ；（2）设PA a =，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角[,]43ππθ∈，求a 的取值范围.【答案】(1)详见解析; (2).【解析】 【分析】 【详解】 （Ⅰ），分别为的中点，为矩形，∵DE=EC ，∴DC ⊥EF ，又AB ∥CD ，∴AB ⊥EF ∵BF∩EF=F ，∴AB ⊥面BEF ，又AE ⊂面ABE ， ∴平面ABE ⊥平面BEF ． (Ⅱ),又，又,所以面, 法一：建系AB 为x 轴，为y 轴，为z 轴,，,平面法向量1(0,0,1)n =u r，平面法向量·，可得.法二：连交于点,四边形为平行四边形，所以为的中点，连, 则,面,, 作于点，所以面,连,则,即为所求在中，,解得.18．为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望()E X．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（1）没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关；（2）分布列见解析，20()9E X=【解析】【分析】（1）根据独立性检验的思想即可判断.（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，X的可能取值为01234，，，，，求出各随机变量的概率，列出分布列即可求出期望.【详解】（1）完善列联表如下所示：222()60(14201016) 1.111 2.706()()()()30302436n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯∴==≈<++++⨯⨯⨯，故没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，故X 的可能取值为01234，，，，，55591(0)126C P X C ===,41545920(1)126C C P X C ===,32545960(2)126C C P X C ===, 23545940(3)126C C P X C ===,5944155(4)126C C P X C ===， 故X 的分布列为：所以1206040520()012341261261261261269E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验以及数学期望，解题的关键是列出列联表和分布列，属于基础题.19．顺次连接椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>面积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)Q -的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1OA OB k k ⋅=-，其中O 为坐标原点，求||AB ．【答案】(1) 2212x y += (2) AB =【解析】【分析】（1）利用已知建立a ，b 的方程，解出a ，b 即可.（2）先考虑斜率不存在时，则OA k 与OB k 不存在，可设直线为2y kx =-，与椭圆联立，利用韦达定理结合条件解得k ，再利用弦长公式计算AB 即可.【详解】（1）由题可知2ab =223a b +=，解得a =1b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线l 斜率不存在时，明显不符合题意，故设l 的方程为2y kx =-， 代入方程2212x y +=，整理得()2212860k x kx +-+=. 由()226424210k k ∆=-+>，解得232k >， 所以122812k x x k +=+，122612x x k =+. ()21212121212241OA OB k x x k x x y y k k x x x x -++⋅===-， 解得25k =.11AB ==. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设而不求，利用韦达定理是解决此类问题的常见方法，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数()()21,,x f x ax x a e a R e =-++∈为自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a 的值； （2）若函数()f x 在()0+∞，内存在两个极值点，求a 的取值范围.【答案】(1) 14a = (2)1(0,)4 【解析】【分析】 （Ⅰ）()()221x f x ax a x a e ⎡⎤=+-+⎣⎦'，由题设知()10f '=，求得a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在()0+∞，内存在两个极值点，则方程()2210ax a x a +-+= 在()0,+∞内由两个不等实根,可列不等式组()221212214012010a a a x x a x x ⎧∆=-->⎪-⎪+=>⎨⎪⋅=>⎪⎩,即可求a 的范围 【详解】解：（Ⅰ）()()221x f x ax a x a e ⎡⎤=+-+⎣⎦'，由题设知()10f '=，故14a = （Ⅱ）由题知，()2210ax a x a +-+=在()0,+∞内由两个不等实根， ()221212214012010a a a x x a x x ⎧∆=-->⎪-⎪∴+=>⎨⎪⋅=>⎪⎩ 104a ∴<<. 【点睛】本题考查了函数在一点处导数的几何意义，导数在极值中的应用,利用极值求参数的范围.。