各地高考数学含答案解析 (19)

普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（宁夏、 海南卷）

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上

的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2．选择题答案使用2Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，

非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的

标号涂黑．

参考公式： 样本数据1x ，2x ，

，n x 的标准差

锥体体积公式

222121

[()()()]n s x x x x x x n

=

-+-++-

13

V Sh =

其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V Sh =

24πS R =，34π3

V R =

其中S 为底面面积，h 为高

其中R 为球的半径

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B =（ ）

Ａ．{}|2x x >-

Ｂ．{}

1x x >-|

Ｃ．{}|21x x -<<-

Ｄ．{}|12x x -<<

【答案】：A

【分析】：由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，,可得A B ={}|2x x >-.

2．已知命题:p x ?∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ??∈R ，sin 1x >

Ｄ．:p x ??∈R ，sin 1x >

【答案】：C

【分析】：p ?是对p 的否定，故有：,x ?∈R sin 1.x >

3．函数πsin 23y x ?

?=-

??

?在区间ππ2??

????

，的简图是（ ）

【答案】：A

【分析】：π3()sin 2,32f ππ?

?=-

=- ??

?排除Ｂ、Ｄ，π()sin 20,663f ππ??=?-= ??

? 排除Ｃ。也可由五点法作图验证。 4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量13

22

-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，

Ｃ．(10)-，

Ｄ．(12)-，

【答案】：D 【分析】：

13

22

-=a b (12).-，

5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）

Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652

y x

1 1-

2π-

3

π-

O 6π π

y

x

1

1-

2

π

- 3π- O 6

π π y

x

1 1- 2

π- 3

π

O

6π- π

y

x

π 2

π-

6

π- 1

O

1-

3

π Ａ．

Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

开始

1k =0S =

50?k ≤

是

2S S k =+

1k k =+

否

输出S 结束

P

D

C

B

A

【答案】：C

【分析】：由程序知，150

21222502502550.2

S +=?+?+

+?=?

?= 6．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线2

23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1

Ｄ．2-

【答案】：B

【分析】：曲线2

23y x x =-+的顶点是(12)，，则：1, 2.b c ==由a b c d ，，，

成等比数列知，12 2.ad bc ==?=

7．已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，点11

1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ， 在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=

Ｂ．22

2

123FP FP FP +=

Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2

2

13FP FP FP =·

【答案】：C

【分析】：由抛物线定义，2132()()(),222

p p p

x x x +

=+++即：2132FP FP FP =+． 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），

可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．

3

4000cm 3

Ｂ．

3

8000cm 3

Ｃ．3

2000cm

Ｄ．3

4000cm

【答案】：B

【分析】：如图，180********.33

V =???=

20

20

正视图 20侧视图

10

10

20俯视图

A O

S

C

B

9．若

cos 22

π2sin 4αα=-

?

?- ?

?

?，则cos sin αα+的值为（ ） Ａ．72

-

Ｂ．12

-

Ｃ．

12

Ｄ．

72

【答案】：C

【分析】：22cos 2cos sin 22(sin cos ),π22sin (sin cos )42

αααααααα-==-+=-??-- ???

1

cos sin .2

αα?+=

10．曲线x

y e =在点2

(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．2

94

e

Ｂ．2

2e

Ｃ．2

e

Ｄ．2

2

e

【答案】：D

【分析】：(),x x y e e ''?==曲线在点2

(2)e ，处的切线斜率为2

e ，因此切线方程

为22(2),y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2

(1,0),(0,),A B e -所以：

22

11.22

AOB

e S e ?=??= 11．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，

球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，2AC r =，

则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）

Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π 【答案】：D 【分析】：如图，2,90,2,AB r ACB BC r ?=∠==

3

111122,3323ABC V SO S r r r r ?∴=??=????=三棱锥

333441

,::4.333

V r V V r r πππ=∴==球球三棱锥

12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5

5

乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4

6

丙的成绩

环数 7 8 9 10 频数 4 6 6

4

C

B

F

A

O

y x

Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．213s s s >>

【答案】：B 【分析】：

(78910)5

8.5,20

x +++?=

=甲

22222

1

5[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]

1.25,20

s ?-+-+-+-=

= (710)6(89)4

8.5,20

x +?++?=

=乙

222222

6[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]

1.45,20

s ?-+-+?-+-=

= (710)4(89)6

8.5,20

x +?++?=

=丙

222223

4[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]

1.05,20

s ?-+-+?-+-=

= 22213213.s s s s s s >>>>2由得

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，

则该双曲线的离心率为 ． 【答案】：3 【分析】：如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别

向其渐近线作垂线，垂足分别为B 、C ，

则：

||||6

3.||||2

OF FC c OA AB a =?== 14．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ． 【答案】：-1 【分析】：

(1)(1)2(1)0, 1.f f a a =-?+=∴=-

15．i 是虚数单位，2

3

8i 2i 3i 8i ++++= ．

（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 【答案】：44i - 【分析】：2

3

8i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.+++

+=

16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ． 【答案】：

1

2

【分析】：46563,a a a +=?=151513

5510 1.22

a a a S a ++=?=?=?= 511

.512

a a d -∴=

=-

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．

解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．

由正弦定理得sin sin BC CD

BDC CBD

=

∠∠． 所以sin sin sin sin()

CD BDC s BC CBD β

αβ∠=

=∠+·．

在ABC Rt △中，tan sin tan sin()

s AB BC ACB θβ

αβ=∠=+·．

18．（本小题满分12分）

如图，A B C D ，，，为空间四点．在ABC △中，22AB AC BC ===，．

等边三角形ADB 以AB 为轴运动．

（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ； （Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？

证明你的结论． 解：

（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，， 因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥． 当平面ADB ⊥平面ABC 时，

因为平面ADB 平面ABC AB =， 所以DE ⊥平面ABC ， 可知DE CE ⊥

由已知可得3

1DE EC ==，，在DEC Rt △中，222CD DE EC =+=．

（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．

证明：

（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，

所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．

（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知AB DE ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥．

又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ?平面CDE ，得AB CD ⊥．

综上所述，总有AB CD ⊥．

19．（本小题满分12分）设函数2

()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）求()f x 在区间3144

??-????

，的最大值和最小值．

解：()f x 的定义域为32??-+ ???

，

∞． D

B

A

C

E

D

B

C

A

（Ⅰ）224622(21)(1)

()2232323

x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -

<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当1

2

x >-时，()0f x '>．

从而，()f x 分别在区间3

12

??-- ???

，

，12

??-+ ???

，∞单调增加，在区间112??

-- ??

?

，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144??-????

，的最小值为11

ln 224f ??

-=+ ???

．

又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ????

??-

-=+--=+=- ? ? ???????

0<． 所以()f x 在区间3144??

-????，的最大值为11

7

ln 416

2f ??

=

+ ???．

20．（本小题满分12分）设有关于x 的一元二次方程2

2

20x ax b ++=．

（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，

求上述方程有实根的概率． （Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，

求上述方程有实根的概率．

解：设事件A 为“方程2

2

20a ax b ++=有实根”．

当0a >，0b >时，方程2

2

20x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．

（Ⅰ）基本事件共12个：

(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．

其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93

()124

P A =

=． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}

()|0302a b a b ，，≤≤≤≤．

构成事件A 的区域为{}

()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．

所以所求的概率为2

1

32222323

?-?==?．

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2

2

12320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ， 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；

（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线？如果存在，求k 值；

如果不存在，请说明理由．

解：

（Ⅰ）圆的方程可写成2

2(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，

且斜率为k 的直线方程为2y kx =+． 代入圆方程得2

2(2)12320x kx x ++-+=， 整理得2

2(1)4(3)360k x k x ++-+=． ① 直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于

2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ?=--?+=-->，

解得304k -

<<，即k 的取值范围为304??

- ???

，

． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，

由方程①，

122

4(3)

1k x x k

-+=-

+ ② 又1212()4y y k x x +=++． ③

而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，

，，，． 所以OA OB +与PQ 共线等价于1212()6()x x y y +=+， 将②③代入上式，解得3

4

k =-

． 由（Ⅰ）知304k ??∈ ???

，

，故没有符合题意的常数k ．

22．请考生在Ａ、Ｂ两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，

用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点． （Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．

（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．

因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．

于是180OPA OMA ∠+∠=°．

由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补， 所以A P O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠．

由（Ⅰ）得OP AP ⊥．

由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°．

A

P

O

M C

B A

P

O

M C

B

22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．

（Ⅰ）把

1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求经过

1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．

解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，

两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得2

4cos ρρθ=．

所以2

2

4x y x +=． 即2

240x y x +-=为

1O 的直角坐标方程． 同理2

2

40x y y ++=为

2O 的直角坐标方程．

（Ⅱ）由222240

40

x y x x y y ?+-=??++=??

解得1100x y =??=?，，222

2

x y =??

=-?． 即

1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．

过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．