高中数学 第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法

第2课时零点的存在性及其近似值的求法课程标准学法解读1．结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在性定理．2．了解二分法求方程解的一般性.1．会求函数的零点，掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．(数学抽象)2．掌握用二分法求方程近似解的步骤．3．通过本节课的学习，帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法，逐步帮助学生树立数学建模的思想.必备知识·探新知基础知识1．函数零点存在定理(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，并且f(a)f(b)＜0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，__即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0__.思考1：(1)利用函数零点存在定理是否能确定零点的个数？(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)＜0?提示：(1)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)＜0，但图(1)中的函数在区间(a，b)内有4个零点．图(2)中的函数在区间(a，b)内仅有1个零点．(2)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0.如图(3)虽然在区间(a，b)内函数f(x)有零点，但f(a)·f(b)＞0.2．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法称为二分法．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精度ε，用二分法求函数f (x )零点x 0近似值x 1，使得|x 1－x 0|＜ε的一般步骤如下： 第一步：检查|b －a |＜2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b2，计算结束，如果不成立转到第二步；第二步：计算区间(a ，b )的中点a ＋b 2对应的函数，若f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≠0，转到第三步； 第三步，f (a )·f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2→b ，回到第一步；否则必有f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·f (b )＜0，将a ＋b 2→a ，回到第一步．思考2：当|b －a |＜2ε时，取区间(a ，b )的中点作为零点的近似解，区间(a ，b )上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？提示：设函数的零点是x 0，区间(a ，b )的其他点为x ′，x ′也可能是零点的近似解，即满足|x ′－x 0|＜ε，但是也可能不满足，而区间的中点一定满足，因此只取区间的中点作为近似解，而不取其他的点．基础自测1．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间[a ，b ]内( C ) A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点解析：如图所示，当f (a )＞0，f (b )＞0时，函数图像与x 轴可以有一个或两个交点，还可以没有交点．故A 、B 、D 不正确，C 正确．2．方程x 3－x －3＝0的实数解所在的区间是( C )A．[－1,0]B．[0,1]C．[1,2]D．[2,3]解析：令f(x)＝x3－x－3，易知函数f(x)＝x3－x－3在R上的图像是连续不断的，f(1)＝－3＜0，f(2)＝8－2－3＝3＞0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝－3＜0，f(3)＝21＞0，结合选项知，f(1)·f(2)＜0，故函数f(x)＝x3－x－3的零点所在的区间为[1,2]，即方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间为[1,2]．3．用二分法求函数f(x)＝－4x2＋8x－1的零点x0时，第一次计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，f(1)＞0，则由此可得零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(C)A．(0.5,1)，f(0.75)B．(0,0.5)，f(0.125)C．(0,0.5)，f(0.25)D．(0,1)，f(0.125)解析：由用二分法求函数零点的步骤，知x0∈(0,0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)．4．用二分法求函数f(x)的一个零点，参考数据如下：f(1.600 0)≈0.200f(1.587 5)≈0.133f(1.575 0)≈0.067f(1.562 5)≈0.003f(1.549 5)≈－0.029f(1.540 0)≈－0.060 据此数据，可得f(x)的一个零点的近似值(精度0.01)为__1.556__.解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.549 5)≈－0.029＜0，即f(1.549 5)·f(1.562 5)＜0，又1.562 5－1.549 5＝0.013＜0.02，所以f(x)的一个零点的近似值可取为(1.549 5＋1.562 5)÷2＝1.556.5．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币，但质量稍轻，若现在只有一台天平，最多需要称__4__次就可以发现这枚假币．解析：第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币．即最多称四次就可以发现这枚假币．关键能力·攻重难类型 函数零点所在区间的求法 ┃┃典例剖析__■典例1 (1)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( A )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)函数f (x )＝2x 2－1x 的零点所在的区间是( B )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫14，13思路探究：求函数零点所在区间的关键是判断区间端点处函数值与0的大小关系． 解析：(1)因为f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，所以f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )，因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0，所以f (a )f (b )＜0，f (b )f (c )＜0，故∃x 1∈(a ，b )，x 2∈(b ，c )，f (x 1)＝0，f (x 2)＝0，所以f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．(2)f (1)＝2－1＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝2×14－2＝－32＜0，即f ⎝⎛⎭⎫12f (1)＜0， 所以∃x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，f (x 0)＝0，且f (x )的图像在⎝⎛⎭⎫12，1内是一条连续不断的曲线，故f (x )的零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫12，1.归纳提升：判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．┃┃对点训练__■1．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－5x ＋6)g (x )＋x 2－8，其中函数y ＝g (x )的图像是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( C )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：令x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3.∵f (2)＝4－8＝－4＜0，f (3)＝9－8＝1＞0，又易知函数f (x )的图像在R 上连续不间断，∴函数f (x )在(2,3)内必有零点，故方程f (x )＝0在(2,3)内必有实数根． 类型 用二分法求函数零点的近似值 ┃┃典例剖析__■典例2 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．思路探究：先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间a 0＝1，b 0＝2 f (1)＝－6，f (2)＝4 [1,2] x 1＝1＋22＝1.5 f (x 1)＝－2.625<0 [1.5,2] x 2＝1.5＋22＝1.75f (x 2)≈0.234 4>0 [1.5,1.75] x 3＝1.5＋1.752＝1.625 f (x 3)≈－1.302 7<0 [1.625,1.75] x 4＝1.625＋1.752＝1.6875 f (x 4)≈－0.561 8<0 [1.687 5,1.75] x 5＝1.687 5＋1.752＝1.718 75f (x 5)≈－0.171<0[1.718 75,1.75]x 6＝1.718 75＋1.752＝1.734 375f (x 6)≈0.03>0 [1.718 75,1.734 375]因此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数精确到0.1的实数解．归纳提升：用二分法求函数零点的近似值，关键是找一个区间[m ，n ]，使f (m )·f (n )＜0.用二分法求函数零点的近似值的步骤如下：(1)依据图像估算初始区间(一般采用估值的方法完成)；(2)取区间[m ，n ]的中点c ＝m ＋n 2，计算f (c )，确定有解区间是[m ，c ]还是[c ，n ]，逐步缩小区间的长度，直到区间的长度小于2ε，求出此时的区间中点，即可得到函数零点的近似值．┃┃对点训练__■2．(1)用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( A ) A ．[－2,1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2](2)用二分法求f (x )＝0的近似解，f (1)＝－2，f (1.5)＝0.625，f (1.25)＝－0.984，f (1.375)＝－0.260，下一个求f (m )，则m ＝__1.437 5__.解析：(1)二分法求变号零点时所取初始区间[a ，b ]，应满足f (a )·f (b )＜0.本题中函数f (x )＝x 3＋5，由于f (－2)＝－3，f (1)＝6，显然满足f (－2)·f (1)＜0，因此∃x 0∈(－2,1)，f (x 0)＝0，故函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是[－2,1]．(2)根据题意，方程f (x )＝0的根应该在区间(1.375，1.5)上，则m ＝1.375＋1.52＝1.437 5.类型 零点存在定理的综合应用 ┃┃典例剖析__■典例3 已知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)与(1,2)内，求实数m 的取值范围．思路探究：根据函数零点存在定理，求解不等式，确定参数的取值范围．解析：由函数零点存在定理以及二次函数图像的特征，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (0)＜0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2>0，2m ＋1＜0，4m ＋2<0，6m ＋5>0，解得－56＜m ＜－12，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12. 归纳提升：二次函数的零点问题，一般需要考虑以下四个方面：(1)判别式．(2)端点函数值的正负．(3)对称轴与区间的位置关系．(4)根与系数的关系．┃┃对点训练__■3．若函数f (x )＝3x 2－5x ＋a 的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a 的取值范围是__(－12，0)__.解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图：由图可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＞0，f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，27－15＋a ＞0，解得－12＜a ＜0.易混易错警示 错用零点存在性定理 ┃┃典例剖析__■典例4 函数f (x )＝2－4－x 2(x ∈[－1,1])的零点个数为__1__.错因探究：解答本题时易产生如下错解：因为f(－1)＝2－3＞0，f(1)＝2－3＞0，所以函数没有零点．事实上，由于f(x)在定义域内是大于等于0的，所以不能使用函数零点存在定理．解析：令2－4－x2＝0，解得x＝0，所以函数在[－1,1]上仅有一个零点．误区警示：利用函数零点存在定理判断函数是否存在零点时，两个条件是缺一不可的．因此，判断函数在已知区间上是否存在零点时，应先判断函数图像在该区间上是不是连续不断的，而且不能一味地将区间[a，b]的左、右端点值代入解析式，根据f(a)·f(b)＜0是否成立来判断，这是因为某些函数的零点所在区间可能是已知区间的子区间或函数零点可能为不变号零点．学科核心素养二分法的思想就是通过“无限逼近”思想来体现的，二分法不仅可以求根，还可以用于查找线路、水管、煤气管等的故障，也有用于实验设计、资料查询等，在日常生活中有着广泛的应用．┃┃典例剖析__■典例5在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生故障，这是一条10 km长的笔直的线路，怎样迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km有200多根电线杆．想一想，维修线路的工人师傅怎样查找故障最合理？思路探究：可以参照用二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间．解析：如下图，工人师傅可以从线段AB的中点C处开始查找，分别测试AC段和BC段的线路，若发现AC段正常，断定故障在BC段；再查线段BC的中点D，若发现BD段正常，则故障在CD段；再查CD的中点E……依次类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出，要把故障范围缩小到50 m～100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了．课堂检测·固双基1．函数图像与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是(B)解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．2．函数f(x)＝5－x2的负数零点的近似值(精确到0.1)是(C)A．－2.0B．－2.1C．－2.2D．－2.3解析：f(－2.1)＝5－4.41＝0.59>0，f(－2.3)＝5－5.29＝－0.29<0，故选C．3．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间__(1.25，1.5)__.解析：本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理．由f(1.25)<0，f(1.5)>0和f(1.25)·f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根落在区间(1.25，1.5)．4．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x 12345 6f(x)136.13515.552－3.9210.8852.488232.064__2__解析：由题表可知函数f(x)的零点至少有一个在(2,3)内，一个在(3,4)内．5．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．解析：设函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图像开口向上，零点x1∈(0,1)，x2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋(k －2)＋2k －1<04＋2(k －2)＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，23.。