2019-2020年高中数学 第三章 函数的应用 第1节 函数与方程(3)教案 新人教A版必修1
新教材高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章第一节函数的概念课件
对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
A1 {t 0 t 0.5}
自变量的集合
S=350t 对应关系
B1 {S 0 S 175}
函数值的集合
对于 数集A1中 任一时刻t， 按照对应关系S 3，50t 在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至 少1天，至多不超过6天，公司确定工资标准 是每人每天350元，而且每周付一次工资
3
⑶当a 0时，求 f (a), f (a 1)的值。
例2下列哪个函数与 y = x 是同一函数？
⑴ y ( x)2;
⑵ y 3 x3;
⑶ y x2;
x2 ⑷ y .
x
当定义域、对应法则和值域完全一
致时，两个函数才相同.
牛刀小试：下列各组中的两个函数是否为 相同的函数？
⑴
y1
(
x
3)( x
（4）问题1和问题2中函数的对应关系相同，你 认为它们是同一个函数吗？你认为影响函数的要 素有哪些？
对于 数集A2中 任一个工作天数d， 按照对应关系W 3，50d 在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应
自变量 的集合
对应关系
函数值的 集合
问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日空 气质量指数变化图，如何根据改图确定这一 天内任一时刻t h的空气指数的值I
年份y
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
恩格尔系数r 36.69 36.81 38.17 35.69 32.15 33.53 33.87 29.89
2014
29.35
2015
28.57
表3.1-1某城镇居民恩格尔系数变化情况
高中数学第三章函数的应用第1节函数与方程(3)教案新人教A版必修1
第一节函数与方程第三课时教学设计(二)整体设计教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．教学目标1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．教学重点与难点教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．教学过程1．教学基本流程图1．大家都看过李咏主持的〈幸运52〉吧，今天咱也试一回(出示游戏)．2．竞猜中，“高了”、教学反思1．本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好地赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分地运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际(特殊)——二分法的理论(一般)——二分法的应用(特殊)”．让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美．2．引入课题的方式，(1)从生活中的常见现象——“商品价格的竞猜”引入；(2)开门见山——“继续前面的研究”引入．(附录1)解：设f(x)＝ln x＋2x－6，x∈(2,3)，先取区间的中点，再计算中点的函数我们可以将x ＝2.531 25作为函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的近似值，也即方程ln x ＋2x －6＝0根的近似值．(附录2)二分法求解方程f (x )＝0〔或g (x )＝h (x )〕近似解的基本步骤：①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a ，b )，验证f (a )·f (b )<0；②求区间(a ，b )的中点x 1(x 1＝a ＋b 2)； ③计算f (x 1)：若f (x 1)＝0，则x 1就是函数f (x )的零点，x 1就是f (x )＝0的根，计算终止；若f (a )f (x 1)<0，则选择区间(a ，x 1)；若f (a )f (x 1)>0，则选择区间(x 1，b )；④循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度ε(若是要求精确到ε，两端点精确到同一个近似值时才终止计算)．(附录3)1．练习：(1)应用计算器，求方程x 3＋3x －1＝0的一个正的近似解．(2)应用计算器，求方程2x ＋x ＝4的近似解．(3)用二分法判断方程2x ＝x 2的根的个数( )A ．1B ．2C ．3D ．4(4)方程lg(x ＋4)＝10x 的根的情况是( )A ．仅有一根B ．有一正根一负根C ．有两负根D ．无实根2．思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？(2)一天，泉州七中校区与现代中学(分校)校区的电缆线路出了故障(相距大约10 km)，电工是怎样检测的呢？答案：略。
高中数学人教A版必修1课件：第三章 函数的应用
_不__断__的一条曲线，并且有_f(_a_)_·_f_(b_)_<_0__，那么，
函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得_f_(c_)_＝__0_，这个c也就是方程f(x) ＝0的根．
1．y＝x－2的图象与x轴的交点坐标及其零
2．函数零点与方程的根的关系 根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点， 就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否 有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是 否有实数根、有几个实数根．
函数零点的求法：解方程f(x)＝0，所得实数根 就是f(x)的零点． 3．函数零点的判定 判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在 区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在 f(a)·f(b)<0，若存在，那么函数y＝f(x)在区间
A．0
B．1
C．2
D．3
【错解】 因为f(－1)＝－2，f(1)＝2，且x<0 时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，所以y＝f(x)有一 个零点，故选B.
【错因】 函数的定义域决定了函数的一切性 质，分析函数的有关问题时必须先求定义域．通
过作图可知函数 f(x)＝x＋1x的图象不是连续不 断的，因而零点存在性定理不能使用．
1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上_连__续__不__断_且_f_(a__)·_f_(_b_)<__0的 函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间_一__分__为__二__，使区间的两个端点逐步 逼近_零__点__进而得到零点的近似值的方法，叫 做二分法．由函数的零点与相应方程根的关
高中数学第三章函数的应用教案新人教A版必修1
第三章函数应用教学设计一、教学内容解析函数是描述事物运动变化规律根本数学模型，在社会学、经济学和物理学领域有着广泛应用．本章根本内容是函数与方程和利用函数解决实际问题．函数与方程严密联系表达在函数f(x)零点与相应方程f(x)＝0实根联系上．不同函数模型能够刻画现实世界不同变化规律．例如，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数就是常用描述现实世界中不同增长规律函数模型．函数模型应用，一方面是利用函数模型解决问题；另一方面是建立恰当函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些开展趋势进展预测．用函数模型解决实际问题过程中，往往涉及复杂数据处理．在处理复杂数据过程中，需要大量使用信息技术．因此在函数应用学习中要注意充分发挥信息技术作用．本章既加深了学生对已学过根本初等函数定义、图象、性质理解，又能够让学生进一步体验函数是描述客观事物变化规律根本数学模型、初步形成用函数观点理解和处理现实社会中问题意识和能力．二、目标和目标解析(1)通过本节课教学活动，使学生进一步理解和掌握本章知识，体验函数是描述客观世界变化规律根本数学模型，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中简单问题．(2)让学生养成对学过知识和方法及时归纳整理习惯，培养学生运用所学知识分析问题、认识问题和解决问题能力．(3)创设问题情境，引导学生归纳总结本章知识和方法，师生共同探究应用它们解决简单问题步骤与方法，体会数学建模根本思想．(4)通过学习，感受数学在社会生活中应用价值，培养学生学习数学兴趣，开展学生数学应用意识，提高学生数学素养．三、教学问题诊断分析本节课之前学生已经系统学习了一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数和简单幂函数，对于函数概念、图象及性质有了一定程度理解．并通过本章学习，对于函数与方程严密联系以及建立函数模型解决实际问题有了一定体验．初步感受到了函数与方程、转化与化归、数形结合数学思想和方法，增强了数学应用意识．但是学生对动态和静态认识还比拟薄弱，对函数和方程区别和联系认识还不够深刻，对应用函数思想方法分析解决问题还不够熟练．因此，在教学过程中应该适当创设问题情境，尽可能多给学生动手实践时机，让学生从亲身体验中理解和掌握知识和方法．此外，由于学生总结归纳能力还不够，在自己独立完成归纳任务时还有一些困难，学生还不能从一定高度去体会和感悟数学学习中一些思想，这就需要教师适当引导和帮助．四、教学支持条件分析本节课内容教学中会有大量复杂计算，需要准确作出图象．而要方便作出函数图象，把学生从烦琐计算和画图中解脱出来，将精力集中在本章知识构造归纳和建立函数模型解决实际问题研究上，就必须充分利用计算机中函数工具软件。
2019-2020高中数学必修一课件：3章 函数的应用
1.针对本章内容的重点及难点，学习本章应抓好以下几个 方面——学习方法、学习思想及学习工数应用问 题的基本步骤——设、建、解、答；(2)抓思想：抓住解决函数与 方程问题的数形结合、转化与化归、函数与方程、分类讨论等 数学思想；(3)抓工具：注意现代化的教学工具及信息技术的运 用(如计算机、计算器等).
第三页，编辑于星期日：点 三十六分。
2.通过学习本章，要深刻理解并掌握运用函数与方程、数 形结合、转化与化归以及分类讨论等思想，并及时对同类型题 进行归纳总结.
第四页，编辑于星期日：点 三十六分。
第一页，编辑于星期日：点 三十六分。
函数的应用部分，是在上一章已学习的指数函数、对数函 数、幂函数等基本初等函数模型的基础上，用来刻画现实世界 中不同的变化规律的.
本章主要内容包括函数的零点，求函数零点近似解的一种 方法——二分法，函数模型及其应用.教材以二次函数为例引出了 函数零点的概念，讨论了二次函数零点个数的判定方法，给出 了函数零点的性质.用二分法求方程的近似解是函数零点性质的 应用.
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)课件新人教A版必修第一册
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了 一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的 图象是( )
解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故 前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下 降的快，故应选 C.
答案：C
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元) 分别为 L1＝5.06x－0.15x2 和 L2＝2x，其中 x 为销售量(单位：辆)．若 该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为( )
7655tt－ －34＋ ＋22
224，3≤t<4， 299，4≤t≤5.ห้องสมุดไป่ตู้
这个函数的图象如下图所示．
当时间 t 在[0,5]内变化时，对于任意的时刻 t 都有唯一确定的 行驶路程与之相对应．根据题图，在时间段[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)， [4,5]内行驶的平均速率分别为 50 km/h，80 km/h,90 km/h，75 km/h， 65 km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样， 需要分段表述．
方法归纳
1．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法． (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为 负时，一次函数为减函数． 2．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料 最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后， 可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的 最值，从而解决实际问题．
大值．
【解析】 设每个提价 x 元(x≥0，x∈N)，利润为 y 元． 每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元， 进货总额＝8(100－10x)元， 显然 100－10x>0，即 x<10， 则 y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x) ＝(2＋x)(100－10x) ＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)． 当 x＝4 时，y 取得最大值，此时销售单价应为 14 元，最大利 润为 360 元． 答：当售价定为 14 元时，可使每天所赚的利润最大，最大利 润为 360 元. 可根据实际问题建立二次函数模型解析式．
2019_2020学年高中数学第三章函数的应用章末复习课件新人教A版必修1
3学科思想培优
一、函数零点与方程的根 根据函数零点的定义，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x) ＝0 的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判 断方程 f(x)＝0 是否有根，有几个根．从图形上说，函数的 零点就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标，函数零 点、方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标三者之间有着 内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、 方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互 转化，应引起我们的重视．
[典例 2] 我国加入 WTO 时，根据达成的协议，某产 品的市场供应量 P 与市场价格 x 的关系近似满足 P(x)＝2(1－ kt)(x－b)2(其中 t 为关税的税率，且 t∈0，12，x 为市场价格，b， k 为正常数)，当 t＝18时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求 b，k 的值； (2)记市场需求量为 Q，它近似满足 Q(x)＝211－2x，当 P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不 低于 9 元，求税率的最小值．
个零点，即方程 mx2－x－2＝0 有两个相等的实数根，所以 Δ＝1＋8m＝0，解得 m＝－18.
综上，可知当 m＝0 或 m＝－18时，函数 f(x)只有一个零 点．
3．转化与化归思想 转化与化归思想在本章中的重要应用就是将含指数型、 对数型函数的零点问题转化为二次函数等熟悉的函数的零 点问题，从而达到化难为易的目的．
第三章 函数的应用
章末复习
1知识系统整合
2规律方法收藏
1．方程的根与函数的零点 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交 点⇔函数 y＝f(x)有零点． 2．零点判断法 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一 条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a， b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就 是方程 f(x)＝0 的根．
新教材高中数学第三章函数3.3函数的应用(一)课件新人教B版必修14
的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批 香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在 冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香 菇破坏不能出售. 世纪金榜导学号
(1)若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香 菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式. (2)李经理如果想获得利润22 500元，需将这批香菇存 放多少天后出售？ (3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利 润？最大利润是多少？
②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最 大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大 值或最小值； ④根据实际背景写出答案.
【习练·破】 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4 800m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元， 池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总 造价最低，最低总造价是多少元？
【思维·引】 (1)销售金额=售价×销售量. (2)表示出利润=销售总金额-收购成本-各种费用，再 求存放时间. (3)对利润的表达式配方求最值.
【解析】(1)由题意y与x之间的函数关系式为 y=(10+0.5x)(2 000-6x) =-3x2+940x+20 000(1≤x≤110，且x为整数). (2)由题意令-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x= 22 500，解方程得：x1=50，x2=150(不合题意，舍 去)，故需将这批香菇存放50天后出售.
(3)设利润为w，由题意得 w=-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x =-3(x-100)2+30 000. 因为a=-3<0，所以抛物线开口方向向下，所以 x=100时，w最大=30 000，所以李经理将这批香菇存 放100天后出售可获得最大利润，最大利润是30 000
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2019-2020年高中数学第三章函数的应用第1节函数与方程（3）教案新人教A版必修1教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．教学目标1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．教学重点与难点教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．教学过程1．教学基本流程图1．大家都看过李咏主持的〈幸运52〉吧，今天咱也试一回(出示游戏)．2．竞猜中，“高了”、教学反思1．本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好地赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分地运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际(特殊)——二分法的理论(一般)——二分法的应用(特殊)”．让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美．2．引入课题的方式，(1)从生活中的常见现象——“商品价格的竞猜”引入；(2)开门见山——“继续前面的研究”引入．(附录1)解：设f(x)＝ln x＋2x－6，x∈(2,3)，先取区间的中点，再计算中点的函数我们可以将x ＝2.531 25作为函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的近似值，也即方程ln x ＋2x －6＝0根的近似值．(附录2)二分法求解方程f (x )＝0〔或g (x )＝h (x )〕近似解的基本步骤：①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a ，b )，验证f (a )·f (b )<0；②求区间(a ，b )的中点x 1(x 1＝a ＋b 2)； ③计算f (x 1)：若f (x 1)＝0，则x 1就是函数f (x )的零点，x 1就是f (x )＝0的根，计算终止；若f (a )f (x 1)<0，则选择区间(a ，x 1)；若f (a )f (x 1)>0，则选择区间(x 1，b )；④循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度ε(若是要求精确到ε，两端点精确到同一个近似值时才终止计算)．(附录3)1．练习：(1)应用计算器，求方程x 3＋3x －1＝0的一个正的近似解．(2)应用计算器，求方程2x ＋x ＝4的近似解．(3)用二分法判断方程2x ＝x 2的根的个数( )A ．1B ．2C ．3D ．4(4)方程lg(x ＋4)＝10x 的根的情况是( )A ．仅有一根B ．有一正根一负根C ．有两负根D ．无实根2．思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？(2)一天，泉州七中校区与现代中学(分校)校区的电缆线路出了故障(相距大约10 km)，电工是怎样检测的呢？答案：略2019-2020年高中数学 第三章 函数的应用 第1节 函数与方程（5）教案新人教A 版必修1教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A 版)》第三章的3.1.2用二分法求方程的近似解．由于在实际问题的解决中，列出的方程可能相当复杂．设f (x )是实系数多项式或是任一实数函数，方程f (x )＝0称为代数方程或超越方程．一般说来，此类方程的根即使存在，也往往不能用公式表示，或者求出了根的表达式，却因比较复杂，难以用它来计算根的近似值．所以，当根存在时，研究求根的数值方法很有必要，本节教材向学生介绍了求零点近似值的实用且基本的方法——二分法．教材在学生了解了函数的零点与方程根的联系的基础上，从实例入手介绍了求方程近似解的二分法．学生不难理解函数的零点及其求法，而困难的地方在于使用二分法求函数零点的计算过程相当繁杂．在教学中应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题，借助计算器或计算机处理繁杂的计算、理解数学概念、探索数学结论．学情分析学生在学习了方程的根与函数的零点后，对于不能用公式法求根的方程f (x )＝0来说，我们可以将它与函数y ＝f (x )联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．本节课的学习历经直观感知、观察发现、归纳类比等思维过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断，因此教师在教学过程中应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，开拓他们的创新意识和“逐步逼近”的数学思想．教学目标知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感态度和价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．重点难点重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．课前准备1．学生要准备能进行较为复杂运算的计算器．2．课前学习材料：分治算法．分治是实际生活中使用得比较广泛的一种解决问题的方法．在程序设计中，分治算法的设计思想是：将一个规模比较大的、难以直接解决的问题，分割成一些规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同；然后将这些子问题各个击破，分而治之．值得注意的是，分治算法的设计思想很自然地导致了递归算法的应用．它的一般设计模式如下：if 问题规模小到可以直接解决then 直接解决该问题else 将问题分解成k个规模较小的子问题end iffor i＝1 to k递归调用该分治算法，分别解决每一个子问题next i将各子问题的解合并为原问题的解．设计意图从学生感兴趣的计算机编程问题引入，引导学生分析分治算法的思想与方法，为后面引出二分法的思想与方法做铺垫．教学环节创设情境教学过程一、创设情境，引出课题问题：现有大小与形状完全相同的金属小球16个，其中有一个是实心的，其余都是空心的．用一架天平需测量几次一定能找出实心小球？(要求测量次数尽可能少) 让学生思考、讨论，并得出结论．学生可能会得出这样的结论：先将这16个小球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球在较重的这部分球中，再将较重的这部分球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球又在较重的这部分球中，依此类推，所以只要四次一定能找到实心小球．学生也有可能将小球分成相同的四部分，再两部分两部分地去称，也可得到结果，等等．教师根据学生得出的方法进行总结．设计意图以实际问题为载体，通过学生亲自产生的思维方法体会二分法查找的思想与方法．二、组织探究，导出算法1．问题：通过上一节课的学习，我们知道函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内有零点(如下图所示)．那我们能否找出这个零点呢？或者能找出这个零点的近似值吗？设计意图上面的问题有着承上启下的作用，它既是对前面一节课结果的进一步的深入，也揭示了本节课所要解决的问题．2．将学生分成几组进行合作学习，并要求学生将自己的求解过程进行记录、归纳．设计意图由于这一任务具有一定的难度，问题又具有一定的挑战性，有利于激发学生的主动性与小组学习活动的激情及发挥学习共同体的创造性，因此采用了小组合作学习的方式进行教学．这一环节借助信息技术功能提倡学生通过观察、思考、讨论来归纳结论，体现了学生自主探究的学习方式．3．通过学生的合作学习，由一个小组代表发言求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的过程，以将x＝2.531 25作为函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值，也即方程ln x＋2x－6＝0根的近似值．4．给定精确度ε，再请一个小组代表发言求函数f(x)零点近似值的基本步骤(教师引导，由其他小组补充，逐步完善)(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)：①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]；(4)判断是否达到精度ε；即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.设计意图从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验．这种教学方式易于学生接受和形成二分法的算法思想与计算原理．三、探索发现，寻找内涵1．教师：通过前面的探究，我们得出了求函数f(x)零点近似值的一种方法，我们来给这种方法取个名字，叫什么好呢？(学生可能会取“分割法”、“二分法”、“中点法”等，教师最后进行评析)设计意图从学生探究创造中下定义，便于学生深刻理解定义的内涵，这也是新课程提倡的教学理念之一．2．问题：是不是所有有零点的函数都适合用二分法求零点的近似值呢？请同学们先看下面几个函数的图象再回答．图一图二图三学生通过上图的比较与分析，可以得出上图中一、三两个函数是无法用二分法求零点的近似值的，因此要用二分法求零点的近似值的函数必须具备两个特征：函数f(x)在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0.这时教师对二分法的定义进行完善：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．设计意图通过学生自己的观察、比较、分析，深化学生对定义的认识与理解，进一步挖掘二分法的内涵，使学生对二分法的算法思想与计算原理有了新的感悟．3．教师进一步指出，从“数”的角度看，函数的零点即是使f(x)＝0的实数；从“形”的角度看，函数的零点即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标．若函数f(x)的图象在x ＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．设计意图引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，进一步明确二分法的适用范围．四、尝试练习，体会应用1．例题：借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1) 分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．注意：(1)第一步确定零点所在的大致区间(a，b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间．(2)(在教学中教师要引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．学生要根据二分法的思想与步骤独立完成思考，并进行交流、讨论、评析．) 设计意图该例题是对这节课前面所学知识和数学思想的综合运用和巩固，解题过程体现了数学表达的简洁性和数学思维的严谨性，也体现了函数思想在解方程中的应用．2．学生练习：已知f(x)＝2＋2x－x2，(1)如果g(x)＝f(2－x2)，求g(x)的解析式；(2)借助计算器或计算机，画出函数g(x)的图象；(3)求出函数g(x)的零点．(精确到0.1)分析：本题第(1)问是一道代入法复合函数解析式的问题，第(2)、(3)问需用本节知识进行解决．另外在求g(x)的零点时，不妨用函数g(x)的奇偶性，只需用二分法求出其中一个零点，另一个便知道了．答案：(1)g(x)＝2＋2x2－x4；(2)(3)±1.7.设计意图利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法，以求达到教学目标．本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的课改理念．五、小结体会，教师归纳以学生发言的形式对本堂课进行小结，教师归纳强调：1．二分法求方程的近似解，要求函数f(x)在某一区间[a，b]内连续，并且在此区间端点的函数值异号．2．用二分法不能求二次重根．3．在学习中要注意运用函数与方程的思想、数形结合的思想和“逐步逼近”的数学思想．设计意图关注学生学习的主动性，培养学生表达交流数学的能力．学生的课堂小结既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固．六、作业回馈，巩固知识1．教材习题3.1(A组)第3～6题、(B组)第4题．2．提高作业：(1)已知函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.①m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？②如果函数的一个零点在原点，求m的值．(2)用二分法求33的近似值(精确到0.01)．设计意图1为巩固作业，2为课外拓展作业，培养学生的探究、创造能力．七、课外活动，培养能力查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)．设计意图增强探索精神，培养创新意识．相关链接利用函数图象解方程和函数问题1．求方程x＋lg x＝3的近似解．求某些方程的解，不容易通过笔算来获得，可以通过函数图象，但往往不太容易直接画图，而且画出的图象也不准确，此时利用图形计算器帮助我们画出图象(很多复杂的函数都可以很快在图形计算器上画出)，对于我们来说，方法是更重要的．第一步：按Y＝键，输入函数：y1＝lg x，y2＝3－x.第二步：按Graph键，画出两个函数的图象，如下图所示：第三步：按F5键：intersection(求交点)，屏幕会出现对话框：选择第一条曲线、第二条曲线、下限、上限之后，屏幕上会给出交点值：x c：2.587 17，y c：0.412 826，则x＝2.587 17即为方程x＋lg x＝3的近似解．小结：利用函数图象的交点解方程是一个重要方法，而图形计算器为我们提供了一个强有力的工具．2．一片树林中现有木材30 000米3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y米3，写出x、y间的函数关系式，并且利用图象，求约经过多少年，木材可以增加到40 000米3？(结果保留一位有效数字)画出函数图象后，可以通过用Trace键移动光标，寻找当y＝40 000时的x值；也可再作函数y2＝40 000的图象，用intersection求图象的交点即可．。