高中数学-函数与方程与函数模型
函数、方程与数学模型
高等数学应用教程
1.1.6 数学模型
1.1.6 数学模型
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从 数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于 实际问题的数学描述. 建立数学模型的全过程称为数学 建模（见图 1-24）.
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1.1.6 数学模型
建立函数关系式是解决实际问题时较简单的一类数学模型.
例7 ［种群生长模型］ 表1-4是生物学家皮尔 （R. Pearl）于1927年所采集的酵母细胞（以生物量度 量）在营养物中随时间（以小时度量）增长的数据.
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1.1.6 数学模型
解（利用最常用的工具软件Excel求解）
图1-28 回归曲线
图1-29 酵母数量实际观测值与预测值的偏差
图1-29中菱形点曲线是实际中大量存在的S形曲线
1. 由方程 F(x,确y)定=0的函数──隐函数
一元函数： y f (x)
一定 不一定
二元方程： F(x, y) 0
可以表示为 y f (x) 形式的函数称为显函数.
方程 x2 y2 4 隐式地（隐藏在方程中）定义了函数 f (x) 与 g(x) ，函数 f (x) 与 g(x) 称为由方程 x2 y2 4 确定的隐函数.
x 50t
y
50
3 t 1 gt2 2
（1-2）
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1.1.5 方程与函数
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x ， y 都是某个变数 t 的函数
x f (t)
y
g (t )
（1-3）
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组(1-3)所确定的点 M (x, y) 都在这条曲线上，那么方程组（1-3）就称为这条
高考数学函数基础知识清单
高考数学函数基础知识清单函数是高中数学中的重要内容和基础知识点，对于高考数学来说尤为重要。
本文将为大家总结高考数学函数基础知识清单，帮助大家复习和巩固相关概念和技能。
一、函数的定义与性质1. 函数的定义：函数是一个集合和对应关系的二元关系，通常用f(x)表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是输入变量x的取值范围，值域是函数对应值f(x)的取值范围。
3. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
二、常见的函数类型1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b是常数，k称为比例系数，b 称为常数项。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
3. 幂函数：y = x^n，其中n为整数。
4. 指数函数：y = a^x，其中a为正实数且a ≠ 1。
5. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为正实数且a ≠ 1。
6. 三角函数：正弦函数、余弦函数等。
三、函数的图像与性质1. 函数图像的表示：坐标系、平面直角坐标系。
2. 函数图像的基本性质：对称性、零点、极值等。
3. 函数的平移、伸缩和翻折：函数图像在坐标系中的变化与函数式的关系。
四、函数的运算与复合1. 函数的四则运算：加、减、乘、除。
2. 复合函数：f(g(x))，其中f(x)和g(x)是两个函数。
3. 反函数：f^(-1)(x)，满足f(f^(-1)(x)) = x和f^(-1)(f(x)) = x的函数。
五、函数方程与函数不等式1. 函数方程：包括一元函数方程和多元函数方程。
2. 函数不等式：包括一元函数不等式和多元函数不等式。
六、函数的应用1. 函数的模型：将实际问题抽象化为函数模型进行求解。
2. 函数的最大值与最小值：求极值的方法和应用。
3. 函数的应用举例：求面积、体积、最优解等实际问题。
以上是高考数学函数基础知识的清单，希望能够对大家的复习和考试有所帮助。
在复习过程中，要理解函数的定义与性质，熟练掌握各种函数的类型，能够准确绘制函数图像并分析函数的各种性质，同时要培养应用函数解决实际问题的能力。
函数与数学模型课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
高中数学
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2.增长函数模型的选取
例 2 某公司为了实现60万元的生产利润目标，准备制订一个激励生产人员的奖励方案：在生产利润
达到5万元时，按生产利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随生产利润x（单位：万元）的增加而
增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，
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【归纳】指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数
在（0，+∞）上的
y＝ax（a>1）
y＝logax（a>1）
y＝xα（α>0）
单调递增，且a越大，增长越 单调递增，且a越小，增长 单调递增，且当x>1时，α越大，增
单调性
快
越快
长越快
增长速度
越来越快
越来越慢
随着α值的不同而不同
指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度
急剧，形象地称为“爆炸式增长”.
（3）对数函数模型
对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速
度平缓.
（4）幂函数模型
当x>0，α>1时，幂函数y＝xα是增函数，且当x>1时，α越大其函数值的增长速度就越快.
d/cm
1
2
3
4
5
描点画出弹簧伸长的长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式.
【解】图象如图所示，通过图象中点的分布特征，可以考虑用函数d＝kf+b（k≠0）
【高中数学】函数模型及其应用
函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。
高一数学知识点及公式归纳
高一数学知识点及公式归纳在高中阶段的数学学习中，高一是一个重要的起点，学生们正式开始接触高中数学的各个分支和知识点。
本文将对高一数学的一些重要知识点及公式进行归纳总结，帮助学生们更好地理解和掌握这些内容。
一、函数与方程1. 一次函数：y = ax + b，其中a为斜率，b为纵截距。
2. 二次函数：y = ax² + bx + c，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
3. 绝对值函数：y = |x|，当x>=0时，y=x；当x<0时，y=-x。
4. 基本函数图像：常数函数图像为水平直线，y = k；一次函数图像为一条斜线，y = ax + b；二次函数图像为抛物线，y = ax² +bx + c。
二、概率与统计1. 基本概念：样本空间、随机事件、事件的概率等。
2. 加法原理与乘法原理：根据事件的定义和相关性，计算多个事件发生的概率。
3. 排列与组合：计算有序排列和无序组合的方式数，应用于求解排列组合问题。
4. 正态分布：对连续型随机变量的分布进行描述和计算，应用于统计和预测问题。
三、数列与数学归纳法1. 等差数列：数列中的每一项与它前一项的差相等，常用公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：数列中的每一项与它前一项的比相等，常用公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列：数列中的每一项都是前两项的和，常用公式为an = an-1 + an-2，其中a1 = a2 = 1。
4. 数学归纳法：通过证明基本情况成立及递归关系成立，得出结论对于所有情况成立的一种证明方法。
四、三角函数与解析几何1. 三角函数：正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等，了解其周期、图像和性质。
2. 弧度制与角度制：将角度换算成弧度，或将弧度换算成角度的方法。
3. 平面直角坐标系与向量：了解平面直角坐标系的基本概念和性质，学习向量的定义、运算和应用。
2020届高考数学命题猜想及专题练习--函数与方程﹑函数模型及其应用2(含解析)
2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国卷Ⅱ）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【答案】见解析【解析】（2）由于，所以等价于．设=，则g ′（x ）=≥0，仅当x=0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=，f （3a+1）=，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，满足f ′(x1)＝f （b ）－f （a ）b －a ，f ′(x2)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称实数x1，x2为[a ，b]上的“对望数”，函数f(x)为[a ，b]上的“对望函数”．已知函数f(x)＝13x3－x2＋m 是[0，m]上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，3 B ．(2，3) C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，2 3 D ．(2，2 3)【答案】A【命题热点突破三】 函数模型及其应用解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】8【变式探究】随着网络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.1 、(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a 等于 A.－12B.13C.12 D.1【解析】f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1) ＝(x －1)2＋a[ex －1＋e －(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g(t)＝f(t ＋1)＝t2＋a(et ＋e －t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e －t ＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12 .【答案】C.2、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】81.【2016高考新课标1卷】函数在[]2,2-的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D2.【2016高考山东文数】已知函数其中0m>，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】() 3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b=有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得3m >。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 2-8函数与方程、函数模型及其应用 新人教A版
2-8函数与方程、函数模型及其应用基础巩固强化1.(2011·北京东城一模)已知函数f(x)＝(12)x－x13，在下列区间中，含有函数f(x)零点的是( )A．(0，13) B．(13，12)C．(12，1) D．(1,2)[答案] B[解析] f(0)＝1>0，f(13)＝(12)13－(13)13>0，f(12)＝(12)12－(12)13<0，∵f(13)·f(12)<0，且函数f(x)的图象为连续曲线，∴函数f(x)在(13，12)内有零点．[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．2．(文)(2011·杭州模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C[解析] 在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|与y＝ln x的图象，∵ln e＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f(x)有两个零点．(理)(2011·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点[答案] B[解析] 在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝x 和y ＝cos x 的图象，如图，由于x >1时，y ＝x >1，y ＝cos x ≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x －cos x ＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.3．(文)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝sin x 的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．(理)(2011·深圳一检)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1[答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.4．(2012·河南六市模拟)若定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －1 x >12xx ≤1，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6 [答案] B[解析] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，又x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，∴f (x )的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g (x )的图象，可见y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝2x (x ≤1)有5个交点，y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝log 3(x －1)(x >1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．5．(2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中，函数f (x )＝x 3－4x 2－x ＋4不存在零点的区间是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[3,4][答案] C[解析] ∵f (0)＝4，f (1)＝0，f (3)＝－8<0，f (4)＝0，f (2)＝－6，由于在区间[0,1]，[1,2]，[3,4]内都存在零点，故选C.[点评] 注意，不能由f (2)＝－6<0，f (3)＝－8<0，做出判断f (x )在区间[2,3]内无零点．6.如图，A 、B 、C 、D 是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量之比为6 2 3 4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P 、Q 、R 、S 中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )A ．P 点B ．Q 点C ．R 点D ．S 点 [答案] B[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a (a >0)，设s i (i ＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i (i ＝1,2,3,4)的大小．如果选在P 点，s 1＝6a ＋2a ×2＋3a ×3＋4a ×4＝35a ，如果选在Q 点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×3＋2a ×2＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．7．(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] 本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识．∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a2)2.∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则(x ＋a2)2<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴(－a 2＋c )－(－a2－c )＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9.8．有一批材料可以建成200m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．[答案] 2500m 2[解析] 设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝⎛x ＋200－x 22＝2500m 2，等号当且仅当x ＝100时成立． 9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1，y 3≥y 2，y 3≥y 4，d <200.⇒50≤d <200，故n ＝50.10．当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km ；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km ；③一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．[解析] (1)设出租车行驶的时间为t 天，所耗费的汽油费为W 元，耗费的液化气费为P 元，由题意可知，W ＝200t 12×2.8＝140t3(t ≥0且t ∈N )， 200t 16×3≤P ≤200t15×3 (t ≥0且t ∈N )， 即37.5t ≤P ≤40t .又140t3>40t ，即W >P ， 所以使用液化气比使用汽油省钱． (2)①设37.5t ＋5000＝140t3，解得t ≈545.5， 又t ≥0，t ∈N ，∴t ＝546. ②设40t ＋5000＝140t3，解得t ＝750. 所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t ∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.能力拓展提升11.(文)(2012·天津理)函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f (x )＝2x＋x 3－2,0<x <1，∴f ′(x )＝2x ln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递增．又f (0)＝20＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，f (0)f (1)<0，则f (x )在(0,1)内至少有一个零点，又函数y ＝f (x )在(0,1)上单调递增，则函数f (x )在(0,1)内有且仅有一个零点． [点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数． (理)(2011·舟山月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 x >0－x x ＋1 x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )共有3个零点．12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2x D ．y ＝100log 2x ＋100[答案] C[解析] 观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评] 也可以将x ＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．13．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝12x－1＋12C ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －xD ．f (x )＝lgsin x[答案] C[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点．经验证：f (x )＝|x |x 不存在零点；f (x )＝12x －1＋12不存在零点；f (x )＝e x －e －x e x ＋e－x 的定义域为全体实数，且f (－x )＝e －x －e x e －x ＋e x ＝－f (x )，故此函数为奇函数，且令f (x )＝e x －e －xe x ＋e－x ＝0，得x ＝0，函数f (x )存在零点；f (x )＝lgsin x 不具有奇偶性．14．(文)(2011·山东济宁一模)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定[答案] B [解析]分别作出y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x 的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以，f (x 0)<0.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1 x ≤0f x －1＋1 x >0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案] C[解析] 当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x－1；当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；… ∴当x ≤0时，g (x )的零点为x ＝0；当0<x ≤1时，g (x )的零点为x ＝1；当1<x ≤2时，g (x )的零点为x ＝2；…当n －1<x ≤n (n ∈N *)时，g (x )的零点为n ， 故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＝n －1.15．(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400kg ，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400kg 不需要保管)．(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1(元)关于x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y (元)最少，并求出这个最小值．[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400kg 原材料不需要保管，第二天用掉的400kg 原材料需保管1天，第三天用掉的400kg 原材料需保管2天，第四天用掉的400kg 原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400kg 原材料需保管x －1天．∴每次购买的原材料在x 天内的保管费用为y 1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝6x 2－6x .(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x ＝6x 2＋594x ＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y ＝600x＋6x ＋594≥2600x·6x ＋594＝714.当且仅当600x＝6x ，即x ＝10时，取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元． (理)(2011·日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (t)满足函数关系x ＝2000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (t)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少？[解析] (1)工厂的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)． w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s)2＋10002s，当t ＝(1000s)2时，w 取得最大值．所以工厂取得最大年利润的年产量t ＝(1000s)2(t)．(2)设农场净收入为v 元， 则v ＝st －0.002t 2.将t ＝(1000s )2代入上式， 得v ＝10002s－2×10003s 4.又v ′＝－10002s 2＋8×10003s5＝100028000－s 3s 5，令v ′＝0，得s ＝20. 当0<s <20时，v ′>0； 当s >20时，v ′<0.所以当s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s 为20元/吨时，获得最大净收入． *16.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，证明方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)；(3)是否存在a 、b 、c ∈R ，使f (x )同时满足以下条件：①当x ＝－1时，函数f (x )有最小值0；②对任意实数x ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2.若存在，求出a 、b 、c 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为f (－1)＝0， 所以a －b ＋c ＝0，故b ＝a ＋c .因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2. 当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点； 当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点． (2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 1－f x 22，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 2－f x 12，因为g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0(f (x 1)≠f (x 2))，所以g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．(3)假设a 、b 、c 存在，由①得－b 2a ＝－1，4ac －b 24a＝0，即b ＝2a ，b 2＝4ac ，所以4a 2＝4ac ，故a ＝c .由②知对任意实数x ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2.令x ＝1，得0≤f (1)－1≤0，所以f (1)－1＝0，即a ＋b ＋c ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，b ＝2a ，a ＝c ，解得a ＝c ＝14b ＝12.当a ＝c ＝14，b ＝12时，f (x )＝14x 2＋12x ＋14＝14(x ＋1)2，其顶点为(－1,0)满足条件①，又f (x )－x ＝14(x －1)2，所以对任意x ∈R ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2，满足条件②.所以存在a 、b 、c ∈R ，使f (x )同时满足条件①②.1．(2012·昆明一中检测)已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] 解法1：不妨设a <b ，∵f (x )＝|lg(x －1)|，f (a )＝f (b )，∴1<a ≤2，b >2，∴f (a )＝－lg(a －1)，f (b )＝lg(b －1)，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2>2a －1b －1＋2＝4.解法2：结合f (x )的图象得－lg(b －1)＝lg(a －1)，得lg(a －1)＋lg(b －1)＝0，所以(a －1)(b －1)＝1，化简得，a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b 1，所以a ＋b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab＋2＝4，当a ＝b 时取“＝”，而由已知a ≠b ，故选B.2．(2011·温州十校模拟)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)[答案] B[解析] 当m ≤0时，显然不合题意；当m >0时，f (0)＝1>0，①若对称轴4－m2m ≥0即0<m ≤4，结论显然成立；②若对称轴4－m2m <0，即m >4，只要Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可，即4<m <8.综上0<m <8，选B.3．(2011·江南十校联考)定义域为D 的函数f (x )同时满足条件：①常数a ，b 满足a <b ，区间[a ，b ]⊆D ，②使f (x )在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ](k ∈N *)，那么我们把f (x )叫做[a ，b ]上的“k 级矩形”函数．函数f (x )＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a ，b )共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对[答案] C[分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知，f (x )＝x 3的定义区间为[a ，b ]时，值域为[a ，b ]，可考虑应用f (x )的单调性解决．[解析] ∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上单调递增， ∴f (x )的值域为[a 3，b 3]．又∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上为“1级矩形”函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a b 3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，故满足条件的常数对共有3对．[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．4．(2012·龙岩质检)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝(110)x 在[0，103上根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图象，结合y ＝(110)x 的图象可知，方程f (x )＝(110)x 在x ∈[0，103时有3个根．[点评] 要注意在x ∈(3，103]时方程无解． 5．已知函数f (x )＝a x－x －a (a >0，a ≠1)，那么函数f (x )的零点个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．至少1个[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象，a >1时，如图(1)，0<a <1时，如图(2)，故选D.[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法．6．设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116 D.34[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1＋a －b ≤0，f 2＝8＋2a －b ≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8.a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为11167．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ，x ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1，x ∈0，＋∞，若方程f (x )－m ＝0有且仅有两个实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．－1<m ≤1B ．－1<m <0或m ＝1C ．－1<m ≤0或m ＝1D ．－1<m ≤1[答案] C[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－xx ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1 x ∈0，＋∞，∴当x ≤0时，f (x )＝11－x单调递增，且0<f (x )≤1，又x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ≥1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－1，∴当m ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象有两个交点，当－1<m ≤0时，直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有两个交点，故选C.8．(2011·龙岩模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a ≤12)、4m ，不考虑树的粗细，现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD .设此矩形花园的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花园内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )[答案] C[解析] 设BC ＝x ，则DC ＝16－x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，16－x ≥4，得a ≤x ≤12，矩形面积S ＝x (16－x ) (a ≤x ≤12)，显然当a ≤8时，矩形面积最大值u ＝64，为常数，当a >8时，在x ＝a 时，矩形面积取最大值u ＝a (16－a )，在[a,12]上为减函数，故选C.9．(2012·湖南文)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8 [答案] B[解析] 本题考查函数奇偶性，利用导数研究函数单调性，图象交点个数等． 由x ∈(0，π)，x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0知， 当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当x ∈(π2，π)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x∈(－π，0)时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，则画出函数y＝f(x)示意图如下：而y＝f(x)－sin x的零点个数，即f(x)＝sin x的根，即y＝sin x与y＝f(x)图象交点个数．由图象知有4个交点．10．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0.①有三个实根②当x<－1时，恰有一实根③当－1<x<0时，恰有一实根④当0<x<1时，恰有一实根⑤当x>1时，恰有一实根正确的有________．[答案] ①②[解析] ∵f(－2)＝－5.99<0，f(－1)＝0.01>0，即f(－2)·f(－1)<0，∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象知，方程在(－∞，－1)上恰有一个实根．所以②正确．又∵f (0)＝0.01>0，结合图象知f (x )＝0在(－1,0)上没有实数根，所以③不正确． 又∵f (0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f (1)>0.所以f (x )＝0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根．∴f (x )＝0在(0,1)上有两个实根．所以④不正确．由f (1)>0结合图象知，f (x )＝0在(1，＋∞)上没有实根，∴⑤不正确，由此可知①正确．11．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10 7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能最快完成全部任务？[分析] 弄清题意，建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系，转化为求函数的最值问题．[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x )名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为P (x )＝1007x制作200把椅子所需时间为Q (x )＝2001030－x ＝2030－x， 完成全部任务所需的时间为P (x )与Q (x )的最大值F (x )．为求得F (x )的最小值，需满足P (x )＝Q (x )，即1007x ＝2030－x，解得x ＝12.5， 考虑到x 表示人数，所以x ∈N *.∵P (12)>P (13)，Q (12)<Q (13)，故考查P (12)与Q (13)．P (12)＝10084Q (13)＝2017≈1.18. 即F (12)>F (13)．所以用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．。
(完整版)高中常见数学模型案例
高中常见数学模型案例中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
”教材中常见模型有如下几种：一、函数模型用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。
函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系(数学模型)，然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。
1、正比例、反比例函数问题例1:某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x与按新价让利总额y 之间的函数关系是_____________ 。
分析：欲求货物数x与按新价让利总额y之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。
若设新价为b,则售价为b( 1 -20%),因为原价为a,所以进价为a (1 - 25%)5 解：依题意，有b(1 0.2) a(1 0.25) b(1 0.2)0.25 化简得b a，所以45 ay 0.2bx a 0.2 x，即y x, x N4 42、一次函数问题例2:某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h 的速度返回A地，把汽车离开A地的路x ( km)表示为时间t ( h)的函数，并画出函数的图像。
分析：根据路程=速度X时间，可得出路程x和时间t得函数关系式x (t);同样，可列出v(t)的关系式。
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高中数学- 函数第10课 函数与方程 【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点．2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个． 【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+， 则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根； ③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根； ④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根． 其中，正确的结论有___________． 分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a =-，由图知，当222a -<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②．点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >． 求证：（1）0a >且12-<<-ab； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换．证明：（1）(0)0f c =>Q ，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a <<，即1(2,1)b ca a=--∈--，即证． （2）11()024f a =-<Q ，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证．点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负是首选目标，如不能实现1()02f <，则应在区间内选取其它的值．本题也可选3ba-，也可利用根的分布来做．【反馈演练】1．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是 1(,1)(,)2-∞-⋃+∞．2．设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =解的个数为（ C ） A ．1 B ．2C ．3D ．43．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题： ①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立；③若0a <，则必存在实数0x ，使00[()]f f x x >④若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立． 其中正确命题的序号是 ①②④ ．4．设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．求实数a 的取值范围．解：令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<-． 故所求实数a的取值范围是(03-，．5．已知函数2()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数,求k 的值； 解： ()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=22log (41)log (41)x x kx kx -∴+-=++220x kx ∴+=由于此式对于一切x R ∈恒成立，1k ∴=-6．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(．若a>b >c ， 且f （1）=0，证明f （x ）的图象与x 轴有2个交点.证明： 2(1)0,00,40,f a b c a b c a c b ac =++=>>∴><∴∆=->Q 且且的图象与x轴有两个交点.f x()第11课 函数模型及其应用 【考点导读】1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题．3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力． 【基础练习】1今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，①2log v t = ②12log v t =③212t v -=④22v t =-其中最接近的一个的序号是______③_______．2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式； (Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x )－1×(1 + x ) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）整理得 y = －60x 2 + 20x + 200（0 < x < 1）. （Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y即⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x 解不等式得310<<x .答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0 < x < 0.33.【范例解析】例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p =f (t )；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天) 解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为()⎩⎨⎧≤<-≤≤-=.3002003002,2000300t t t t t f ，， 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2+100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )，即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.30020021025272001,20002175********t t t t t t t h ，，当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )=－2001(t －50)2+100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得：h (t )=－2001(t －350)2+100， 所以，当t =300时，h (t )取得区间（200，300]上的最大值87.5． 综上:由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【反馈演练】1．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是______2cm ．2．某地高山上温度从山脚起每升高100m 降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m ．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1=5.06x －0.15 x 2和L 2=2 x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元． 4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少时用料最省?解：由题意得 xy +41x 2=8，∴y =xx 482-=48x x -(0<x <42). 则框架用料长度为l =2x +2y +2(x 22)=(23+2)x +x 16≥4246+.当(23+2)x =x16,即x =8－42时等号成立.此时，x =8－42，y =故当x 为8－42m ，y为m 时，用料最省.第4题。