高中数学必修-函数与方程
高中数学教案 必修1 第十讲：函数与方程
博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年级：高一日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第十讲：函数与方程授课日期教学目标1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2、理解函数的零点与方程的联系.教学内容函数与方程〖教学重点与难点〗◆教学重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法；◆教学难点：函数零点存在的条件。
〖教学过程〗一、函数的零点探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
出示表格，填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点x2-2x-3=0 x1=-1，x2=3 y=x2-2x-3 （-1，0），（3，0）x2-2x+1=0 x1= x2=1 y=x2-2x+1 （1，0）x2-2x+3=0 无实数根y=x2-2x+3 无交点（图1-1）函数y=x 2-2x-3的图像（图1-2）函数y=x 2-2x+1的图像（图1-3）函数y=x 2-2x+3的图像归纳：1.如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x 轴没有交点；2.如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x 轴有交点。
反之，二次函数图像与x 轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与x 轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。
1.函数的零点 概念：对于函数y=f(x)(x ∈D),把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数y=f(x)(x ∈D)的零点。
xy0 －32 1 12 －－－－...... . . . .x y－32 1 12 54 3yx－21 12. . .. .（1） 意义方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x 轴有交点 函数y=f(x)有零点 （2） 求函数的零点① 代数法：求方程f(x)=0的实数根② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
高中优秀教案高一数学教案：《函数与方程》
高一数学教案：《函数与方程》高一数学教案：《函数与方程》一、教材分析本节是一般高中课程规范试验教科书数学必修1的第三章第一节，是在同学学习函数的基本性质和指、对、幂三种基本初等函数基础上的后续，呈现函数图象和性质的应用。
本节重点是通过"二分法'求方程的近似解，使同学体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
本课是本章节的第一节课，结合函数图象和性质向同学介绍零点概念及其存在性，为后面"二分法'的学习打下伏笔，也为后来的算法学习作好基础。
二、学情分析通过学校的学习，同学已经娴熟把握了一次方程、二次方程求根的方法、描点作图法和一次函数、二次函数、反比例函数的图象;通过高中前两章的学习，强化了描点作图法，初步把握了对勾函数、指数函数、对数函数、幂函数的图象及基本性质，具备肯定的看图识图力量,这为本节课利用函数图象，推断方程根的存在性供应了肯定的学问基础。
但是，同学对函数与方程之间的联系缺乏了解，因此我们有必要点明函数的核心地位。
三、教学目标的确定1.学问与技能：(1)能够结合详细方程(如二次方程)，说明方程的根、相应函数图象与x轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系;(2)正确理解函数零点存在性定理：了解图象连绵不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;(3)能利用函数图象和性质推断某些函数的零点个数;(4)能顺当将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数;并会推断存在零点的区间(可使用计算器)。
2.过程与方法：通过同学活动、商量与探究，体验函数零点概念的形成过程，引导同学学会用转化与数形结合思想方法讨论问题，提高数学学问的综合应用力量。
3.情感看法价值观：让同学初步体会事物间相互转化以及由特别到一般的辨证思想，充分体验数学语言的严谨性，数学思想方法的科学性，让同学进一步受到数学思想方法的熏陶，激发同学的学习热忱。
最新版教材高中数学必修一知识讲解_函数与方程_基础
函数与方程【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一：函数的零点 1.函数的零点（1）一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则a 叫做这个函数的零点. 要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标； ③函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根．④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点）． 归纳：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． （2）二次函数的零点二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表.（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<． ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的． （2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系（1）设x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ＞0）的两实根，则x 1、x 2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：①当x 1＜x 2＜k 时，有0()02f k b k a ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩；②当k ＜x 1＜x 2时，有0()02f k b k a⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩；③当x 1＜k ＜x 2时，()0f k <；④当x 1，x 2∈（k 1，k 2）时，有12120()0()02f k f k b k k a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩；⑤当x 1、x 2有且仅有一个在（k 1，k 2）时，有12()()0f k f k <．要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k =0时，也就是一元二次方程根的零分布．（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2．①2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪>>⇔+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩；②2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪<<+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩；③1200cx x a<<⇔<； ④x 1=0，x 2＞0⇔c =0，且0b a <；x 1＜0，x 2=0⇔c =0，且0ba>． 要点三：二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==； ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．【经典例题】类型一、求函数的零点例1．已知函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-． （1）解方程(x +3)(x +1)(x ―2)=0；（2）画出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象（简图），并求出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点；（3）讨论函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-在零点两侧的函数值的正负． 【解析】（1）方程有三个根x 1=―3，x 2=―1，x 3=2．（2）函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象如右图，零点为―3，―1，2．（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．【总结升华】（1）方程(x +3)(x +1)(x ―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x +3=0或x +1=0或x ―2=0，所以x =―3或x =―1或x =2；（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；（3）在x 轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x 轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．举一反三：【变式1】已知函数()()()1()f x x a x b a b =--+<，且m ，n 是方程()0f x =的两个根（m ＜n ），则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（ ）A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．m ＜a ＜n ＜bD ．a ＜m ＜b ＜n 【答案】B【解析】由函数()()()1f x x a x b =--+，我们可以看到a 、b 为()()()g x x a x b =--的零点，且()()1f a f b ==0()()f n f m >==，如右图，则应有a ＜m ＜n ＜b ，故选B ．例2.若一次函数f （x ）=ax +b 有一个零点2，那么函数2()g x ax bx =+的零点是 ． 【思路点拨】由题意可知，2a +b =0，即b =－2a ；代入并令g （x ）=0解得x =0或12x =． 【答案】0，12【解析】∵一次函数f （x ）=ax +b 有一个零点2， ∴2a +b =0，即b =－2a ；∴令22()2(12)0g x ax bx ax ax ax x =+=-=-=， 解得，x =0或12x =； 故答案为：0，12． 【总结升华】本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系． 举一反三：【变式1】求函数：(1)223y x x =--+；(2)376y x x =-+的零点.【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2． 【解析】(1)由求根公式解得121, 3.x x ==- (2)方程3760x x -+=可化为()()()()()()()()()()322661611161161230x x x x x x x x x x x x x x x x --+=---=+---=-+-=--+= 由()()()1230x x x --+=知1233,1, 2.x x x =-==所以函数223y x x =--+的零点为-3，1；函数376y x x =-+的零点为-3，1，2.【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.类型二、函数零点的存在性定理例3．已知函数2()3xf x x =-，问：方程()0f x =在区间[]1,0-内有没有实数根？为什么？【答案】没有实数根【解析】先求出(1)f -及(0)f 的值，进而确定(1)f -和(0)f 的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定()f x 在[]1,0-上有实数根．122(1)3(1)03f --=--=-<，02(0)3010,f =-=>且函数2()3xf x x =-的图象是连续曲线，()f x ∴在区间[]1,0-内有实数根【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程()0f x =在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程()0f x =在区间[],a b 内有实数根，不一定有()()0f a f b ⋅<．举一反三：【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点： （1）[]2()318,1,8;f x x x x =--∈（2）[]3()1,1,2f x x x x =--∈-；（3）[]2()log (2),1,3f x x x x =+-∈． 【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在． 【解析】（1）(1)200,(8)220,f f =-<=>(1)(8)0f f ∴⋅<故2()318f x x x =--在[]1,8上存在零点．（2）(1)10,(2)50,f f -=-<=>(1)(2)0,f f ∴-⋅<故3()1f x x x =--在区间[]1,2-上存在零点．（3）2222(1)log 31log 210,(3)log 53log 830f f =->-==-<-=，∴(1)(3)0f f ⋅<，故2()log (2)f x x x =+-在区间[]1,3上存在零点． 【高清课程：函数与方程377543 例3】【变式2】若函数3()31,[1,1]f x x x x =+-∈-，则下列判断正确的是（ ） A ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定有解 B ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定无解 C ．函数f （x ）是奇函数 D ．函数f （x ）是偶函数【答案】A类型三、一元二次方程根的分布例4．已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0．（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求m 的取值范围． （2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m 的取值范围． 【答案】（1）5162m -<<-；（2）112m -<≤ 【解析】（1）条件说明函数2221y x mx m =+++的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，(1)20(0)210(1)420(2)650f f m f m f m -=>⎧⎪=+<⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩，∴121256m Rm m m ∈⎧⎪⎪<-⎪⎪⎨<-⎪⎪⎪>-⎪⎩．∴5162m -<<-．（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有(0)0(1)0001f f m >⎧⎪>⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎩．∴12121110m m m m m ⎧>-⎪⎪⎪>-⎨⎪≥≤⎪⎪-<<⎩或．∴112m -<≤ 【总结升华】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．举一反三：【变式1】关于x 的方程ax 2―2(a +1)x +a ―1=0，求a 为何值时： （1）方程有一根；（2）方程有一正一负根； （3）方程两根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根小于1．【答案】（1）0a =或13a =-（2）01a <<（3）不存在实数a （4）0a > 【解析】（1）当a =0时，方程变为―2x ―1=0，即12x =-，符合题意； 当0a ≠时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以1240a ∆=+=，解得13a =-．综上可知，当0a =或13a =-时，关于x 的方程ax 2―2(a +1)x +a ―1=0有一根．（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得10a a-<．又1240,a ∆=+>解得01a <<．（3）方程两根都大于1，图象大致如图 所以必须满足0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,2(1)1,2(1)0.a a af <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩两不等式组均无解． 所以不存在实数a ，使方程两根都大于1．（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图所以必须满足0,(1)0a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0a f <⎧⎨>⎩解得0a >．类型四、用二分法求函数的零点的近似值例5.（2016 河南许昌月考）已知函数32()231f x x x x =--+．（1）求证：f （x ）在区间（1，2）上存在零点；（2）若f （x ）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f （x ）=0的一个近似解（精确到0.1）．【思路点拨】（1）根据函数零点存在定理即可判断．（2）由二分法的定义进行判断，根据其原理——零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越接近的特征选择正确答案．【答案】（1）略；（2）1.3【解析】（1）证明：∵32()231f x x x x =--+， ∴f （1）=－1＜0，f （2）=7＞0， ∴f （1）·f （2）=－7＜0且32()231f x x x x =--+在（1，2）内连续， 所以f （x ）在区间（1，2）上存在零点；（2）由（1）知32()231f x x x x =--+在（1，2）内存在零点，由表知，f （1）=―1，f （1.5）=1，∴f （1）·f （1.5）＜0，∴f （x ）的零点在（1，1.5）上，∵f （1.25）=―0.40625，∴f （1.25）·f （1.5）＜0，∴f （x ）的零点在（1.25，1.5）上， ∵f （1.375）=0.18359，∴f （1.25）·f （1.375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.25，1.375）上；∵f （1.3125）=－0.31818，∴f （1.3125）·f （1.375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.3125，1.375）上， ∵f （1.34375）=0.01581，∴f （1.3125）·f （1.34375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.3125，1.34375）上， 由于｜1.34375－1.3125｜=0.03125＜0，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3， 所以f （x ）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3．【总结升华】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解，属于基本概念的运用题．举一反三：【高清课程：函数与方程377543 例4】【变式1】若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值 用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【变式2】设()338xf x x =+-，用二分法求方程338xx +-在x ∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）A ．（1，1.25）B ．（1.25，1.5）C ．（1.5，2）D ．不能确定【思路点拨】由已知“方程3380xx +-=在x ∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，它们异号．【答案】B【解析】∵f （1.5）•f （1.25）＜0， 由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）． 故选B ．【总结升华】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y =f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f （a ）f （b ）＜0，则函数y =f （x ）在区间（a ，b ）上有零点．类型五、用二分法解决实际问题例6.某电脑公司生产A 种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A 种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．（1）求2010年每台电脑的生产成本；（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）【答案】（1）3200；（2）11% 【解析】（1）设2010年每台电脑的生产成本为P 元，根据题意，得P (1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P =3200（元）．故2010年每台电脑的生产成本为3200元．（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x ，根据题意，得5000(1－x )4=3200（0＜x ＜1）4观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x 0．取区间（0.1，0.15）的中点x 1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x 0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x 2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x 0∈(0.1，0.1125)．同理可得，x 0∈(0.1，0.10625)，x 0∈(0.103125，0.10625)，x 0∈(0.104687，0.10625)，x 0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．举一反三：考点必考知识必备 【变式1】如右图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．（1）求出盒子的体积y （cm 3）以x （cm ）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；（2）如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少？（精确到0.1 cm ）【答案】（1）y =x (15－2x )2 0＜x ＜7.5 （2）0.8 cm 或4.7 cm【解析】（1）由题意，盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式y =x (15－2x )2，其定义域为01520x x >⎧⎨->⎩，即0＜x ＜7.5．（2）原问题可转化为当y =150时，求方程x (15―2x )2=150的近似解．设g (x )=x (15―2x )2―150，由于g (0)·g (1)＜0且g (4)·g (5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm 或4.7 cm ．。
新教材人教版B版必修一 函数与方程 课件(10张)
x m, 其中m>0.若
x m,
存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是
. 解题导引
解析 f(x)的大致图象如图所示:
若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需A点在B点的下 方,即4m-m2<m,又m>0,所以m>3. 答案 (3,+∞)
2
∴f(1)·f(2)<0,
根据零点存在性定理知f(x)=ln
x-
2 x2
的零点所在的区间为(1,2).故选B.
答案 B
考向二 函数零点的应用
例2 (2017江西赣州一模,11)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x
1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是 ( )
A.1<x1<2,x1+x2<2
第三步,计算f(x1): (i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (ii)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); (iii)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)); 第四步,判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否 则,重复第二、三、四步.
与方程的根
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使① f(x)=0 的实数x叫做函数
y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与② x轴
有交点⇔函数y=f(x)有③ 零点 .
2.函数零点存在性定理
注意 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能 判断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上 至多有一个零点. 3.二分法 (1)对于区间[a,b]上连续不断的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 从而得到零点近似值的方法,叫做二分法. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证④ f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1;
高中数学必修一函数与方程知识点总结
高中数学必修一函数与方程知识点总结函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
从本质上讲，函数与方程没是没有什么区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。
可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
典型例题1：很多时候，在高考数学学习中，如果我们能实现函数与方程的互相转化、接轨，就能达到解决问题的目的。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了联系和变化的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
典型例题2：典型例题3：函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答。
第三章-3.2-函数与方程、不等式之间的关系高中数学必修第一册人教B版
知识点4 二分法
例4-5 (2024·广东省梅州市期中)用二分法研究函数 的零点时，经过第一次计算得, ，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
D
A., B., C., D.,
【解析】因为,，所以 ,故由用二分法求函数零点的步骤，知,第二次应计算的函数值为 .
题型6 不等式恒成立与能成立问题
例20 (2024·陕西省渭南市期中)设函数 .
（1）若对于一切实数,恒成立，求 的取值范围;
【解析】当 时，（此题易忽略对二次项系数的讨论,从而造成漏解）显然， 恒成立;当时，则有 解得 .的取值范围为 .
（2）对于,恒成立，求 的取值范围.
【解析】方法1当时，恒成立，即 恒成立.令, .当时，在 上是增函数, .，解得. .
例15（1） 解关于的不等式： .
【解析】将不等式变形为 .当，（根据与的大小关系分类讨论）即或 时，不等式的解集为或 ；当，即或时,不等式的解集为 ；当，即时，不等式的解集为或 .
（2）解关于的不等式: .
【解析】若，（题干未说明是二次不等式时，切勿忘记对 进行讨论）则原不等式为，故解集为 .若, .①当,即时，方程的两根为 , , 当时，原不等式的解集为 }.②当，即时，原不等式的解集为 .③当，即时，原不等式的解集为 .若， .
考向1 求函数的零点个数
例22 (天津高考题)已知函数函数 ,则函数 的零点个数为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】方法1当时，,所以, ,此时函数的小于零的零点为 ;当时，,, ,函数无零点；当时， , , ,函数大于2的零点为 .综上可得函数 的零点的个数为2.
图3.2-13
区间端点值或区间中点值
苏教版高中数学必修一知识讲解_函数与方程_基础
函数与方程【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一：函数的零点 1.函数的零点（1）一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则a 叫做这个函数的零点. 要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标； ③函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根．④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点）． 归纳：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． （2）二次函数的零点二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表.（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<． ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的． （2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系（1）设x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ＞0）的两实根，则x 1、x 2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：①当x 1＜x 2＜k 时，有0()02f k b k a ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩；②当k ＜x 1＜x 2时，有0()02f k b k a⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩；③当x 1＜k ＜x 2时，()0f k <；④当x 1，x 2∈（k 1，k 2）时，有12120()0()02f k f k b k k a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩；⑤当x 1、x 2有且仅有一个在（k 1，k 2）时，有12()()0f k f k <．要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2．①2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪>>⇔+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩；②2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪<<+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩；③1200cx x a<<⇔<； ④x 1=0，x 2＞0⇔c=0，且0b a <；x 1＜0，x 2=0⇔c=0，且0ba>． 要点三：二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==； ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．【经典例题】类型一、求函数的零点例1．已知函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-． （1）解方程(x+3)(x+1)(x ―2)=0；（2）画出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象（简图），并求出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点；（3）讨论函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-在零点两侧的函数值的正负． 【解析】（1）方程有三个根x 1=―3，x 2=―1，x 3=2．（2）函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象如右图，零点为―3，―1，2．（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x ―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x ―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2；（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；（3）在x 轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x 轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．举一反三：【变式1】已知函数()()()1()f x x a x b a b =--+<，且m ，n 是方程()0f x =的两个根（m ＜n ），则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（ ）A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．m ＜a ＜n ＜bD ．a ＜m ＜b ＜n 【答案】 B【解析】由函数()()()1f x x a x b =--+，我们可以看到a 、b 为()()()g x x a x b =--的零点，且()()1f a f b ==0()()f n f m >==，如右图，则应有a ＜m ＜n ＜b ，故选B ．例2. 求下列函数的零点. (1)()32f x x =-； (2)()41f x x =-.【答案】（1）23；（2）-1，1． 【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根. (1)由()320f x x =-=得23x =，所以函数的零点是23； (2)由()()()()421111f x x x x x =-=++-，令()0f x =得x=1，-1，故函数的零点是-1，1. 【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式1】求函数：(1)223y x x =--+；(2)376y x x =-+的零点.【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2． 【解析】(1)由求根公式解得121, 3.x x ==- (2)方程3760x x -+=可化为()()()()()()()()()()322661611161161230x x x x x x x x x x x x x x x x --+=---=+---=-+-=--+= 由()()()1230x x x --+=知1233,1, 2.x x x =-==所以函数223y x x =--+的零点为-3，1；函数376y x x =-+的零点为-3，1，2.【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.类型二、函数零点的存在性定理例3．已知函数2()3xf x x =-，问：方程()0f x =在区间[]1,0-内有没有实数根？为什么？【答案】没有实数根【解析】先求出(1)f -及(0)f 的值，进而确定(1)f -和(0)f 的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定()f x 在[]1,0-上有实数根．122(1)3(1)03f --=--=-<，02(0)3010,f =-=>且函数2()3xf x x =-的图象是连续曲线，()f x ∴在区间[]1,0-内有实数根【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程()0f x =在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程()0f x =在区间[],a b 内有实数根，不一定有()()0f a f b ⋅<．举一反三：【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点： （1）[]2()318,1,8;f x x x x =--∈（2）[]3()1,1,2f x x x x =--∈-；【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在． 【解析】（1）(1)200,(8)220,f f =-<=>(1)(8)0f f ∴⋅<故2()318f x x x =--在[]1,8上存在零点．（2）(1)10,(2)50,f f -=-<=>(1)(2)0,f f ∴-⋅<故3()1f x x x =--在区间[]1,2-上存在零点．【课程：函数与方程377543 例3】【变式2】若函数3()31,[1,1]f x x x x =+-∈-，则下列判断正确的是（ ） A ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定有解 B ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定无解 C ．函数f （x ）是奇函数 D ．函数f （x ）是偶函数【答案】A类型三、一元二次方程根的分布例4． 已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0．（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求m 的取值范围．（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m 的取值范围．【答案】（1）5162m -<<-；（2）112m -<≤ 【解析】 （1）条件说明函数2221y x mx m =+++的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，(1)20(0)210(1)420(2)650f f m f m f m -=>⎧⎪=+<⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩，∴121256m Rm m m ∈⎧⎪⎪<-⎪⎪⎨<-⎪⎪⎪>-⎪⎩．∴5162m -<<-． （2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有(0)0(1)0001f f m >⎧⎪>⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎩．∴12121110m m m m m ⎧>-⎪⎪⎪>-⎨⎪≥≤-⎪⎪-<<⎩或．∴112m -<≤ 【点评】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．举一反三：【变式1】 关于x 的方程ax 2―2(a+1)x+a ―1=0，求a 为何值时：（1）方程有一根；（2）方程有一正一负根； （3）方程两根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根小于1．【答案】（1）0a =或13a =-（2）01a <<（3）不存在实数a （4）0a > 【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x ―1=0，即12x =-，符合题意； 当0a ≠时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以1240a ∆=+=，解得13a =-．综上可知，当0a =或13a =-时，关于x 的方程ax 2―2(a+1)x+a ―1=0有一根．（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得10a a-<．又1240,a ∆=+>解得01a <<．（3）方程两根都大于1，图象大致如图 所以必须满足0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩两不等式组均无解． 所以不存在实数a ，使方程两根都大于1．（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图 所以必须满足0,(1)0a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0a f <⎧⎨>⎩解得0a >．类型四、用二分法求函数的零点的近似值例5.求函数()32236f x x x x =+--的一个正数零点(精确到0.1). 【答案】1.7【解析】由于()()160,240f f =-<=>，可取区间[]1,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.【总结升华】应首先判断x 的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.举一反三：【课程：函数与方程377543 例4】【变式1】若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值 用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【变式2】用二分法求函数()25f x x =-的一个正零点（精确到0.01） 【答案】2.24【解析】⑴由()()21, 2.5 1.25f f =-=，()()2 2.50f f <可知函数的一个正零点在[]2,2.5区间中； ⑵取[]2,2.5的区间中点2.25；⑶计算()2.25 5.062550.0625f =-=；⑷由于()()2 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2,2.25 ⑸取[]2,2.25的区间中点2.125；⑹计算()2.125 4.49442550.505575f =-=-；⑺由于()()2.125 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.125,2.25； ⑻取[]2.125,2.25的区间中点2.1875；⑼计算()2.1875 4.785156350.248437f =-=-；⑽由于()()2.1875 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.1875,2.25； ⑾取[]2.1875,2.25的区间中点2.21375；⑿计算()2.21375 4.90068950.099311f =-=-；⒀由于()()2.21375 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.21375,2.25； ⒁取[]2.21375,2.25的区间中点2.231875⒂计算()2.231875 4.98126650.018734f =-=-；⒃由于()()2.231875 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.231875,2.25； ⒄取[]2.231875,2.25的区间中点2.2409375； ⒅计算()2.2409375 5.02208150.022081f =-=； ⒆由于()()2.231875 2.24093750f f <，⒇由于()()2.23640625 2.24093750f f <，则有零点的新区间为[]2.236406255,2.2409375；又因为零点要求精确到0.01，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数()25f x x =-的一个正零点为：2.24.类型五、用二分法解决实际问题例6.某电脑公司生产A 种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A 种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．（1）求2010年每台电脑的生产成本；（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）【答案】 （1）3200；（2）11% 【解析】 （1）设2010年每台电脑的生产成本为P 元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）．故2010年每台电脑的生产成本为3200元．（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x ，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x ＜14精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x 0．取区间（0.1，0.15）的中点x 1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x 0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x 2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x 0∈(0.1，0.1125)．同理可得，x 0∈(0.1，0.10625)，x 0∈(0.103125，0.10625)，x 0∈(0.104687，0.10625)，x 0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．举一反三：【变式1】 如右图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．（1）求出盒子的体积y （cm 3）以x （cm ）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；（2）如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少？（精确到0.1 cm ）【答案】（1）y=x(15－2x)2 0＜x ＜7.5 （2）0.8 cm 或4.7 cm【解析】（1）由题意，盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式y=x(15－2x)2，其定义域为01520x x >⎧⎨->⎩，即0＜x ＜7.5． （2）原问题可转化为当y=150时，求方程x(15―2x)2=150的近似解．设g(x)=x(15―2x)2―150，由于g(0)·g(1)＜0且g(4)·g(5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为 4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm 或4.7 cm ．。
高中数学的函数与方程
高中数学的函数与方程函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是数学中的基础概念，无论是在理论上还是在实际应用中都有着广泛的意义和应用。
本文将从以下几个方面对高中数学中的函数与方程进行论述。
一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数的定义包括自变量、因变量和对应关系，常用的表示方法有函数箭头、函数表达式和函数图像等。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，这些性质能够帮助我们更好地理解和分析函数的特点。
二、常见的函数类型在高中数学中，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
线性函数是最简单的函数，它的图像是一条直线；二次函数的图像是抛物线；指数函数的图像是逐渐增长或递减的曲线；对数函数是指数函数的逆运算；三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在几何和物理问题中有着广泛的应用。
三、方程的解与解法方程是数学中的等式，它含有未知数，求解方程就是要找出使得等式成立的未知数的值。
方程的解是指能够满足方程的未知数的取值，有时方程可能有一个解，有时可能有多个解，还有时可能没有解。
求解方程的方法有代入法、消元法、因式分解法、配方法、二次根式法等，不同的方程类型和解法适用于不同的问题。
四、函数与方程的应用函数与方程在实际问题中有着广泛的应用。
例如，线性函数可以用来描述物体的直线运动、温度的变化等；二次函数可以用来描述物体的自由落体运动、抛物线的形状等；指数函数可以用来描述人口增长、金融投资的收益等；对数函数可以用来解决指数方程等。
通过将函数与方程应用到实际问题中，我们可以更好地理解和解决实际问题。
综上所述，高中数学的函数与方程是数学中的重要内容，它们不仅具有理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
了解函数与方程的定义、性质、类型以及应用，可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识，提高数学思维和解决问题的能力。
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高中数学必修函数与方程1.函数零点的概念对于函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x),x∈D的零点.注意：函数的零点是实数,而不是点;并不是所有的函数都有零点,若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.2.函数的零点与方程根的联系由函数零点的概念可知,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3.二次函数的零点对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其零点个数可根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式来确定,具体情形如下表:Δ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有两个不相等的实数根有两个相等的实数根无实数根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点个数有两个零点有一个零点无零点函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象a>0a<0函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴的交点个数有两个交点有一个交点无交点4.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.注意：在上述定理的条件下,只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.【辨析比较】f (a )·f (b )<0与函数f (x )存在零点的关系①.若函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )<0,则函数y =f (x )一定有零点.图1②.由函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0,如图1.所以f (a )·f (b )<0是y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点的充分不必要条件.事实上,只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时,函数值才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号.注意：若函数f (x )在[a ,b ]上单调,且f (x )的图象是连续不断的一条曲线,则f (a )·f (b )<0⇒函数f (x )在[a ,b ]上只有一个零点. 5.二分法的概念对于在区间[a ,b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y =f (x ),通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 6.用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε,用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间[a ,b ],验证f (a )·f (b )<0,给定精确度ε. 第二步:求区间(a ,b )的中点x 1. 第三步:计算f (x 1).(1)若f (x 1)=0,则x 1就是函数的零点;(2)若f (a )·f (x 1)<0,则令b =x 1(此时零点x 0∈(a ,x 1)); (3)若f (x 1)·f (b )<0,则令a =x 1(此时零点x 0∈(x 1,b )).第四步:判断是否达到精确度ε,即若|a -b |<ε,则得到零点近似值a (或b ),否则重复第二、三、四步. 7.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．(2)反比例函数模型：y ＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)．(3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．8.三种函数模型之间增长速度的比较题型一：判断函数零点问题【例1】函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3【例2】函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是()A．(0,1) B．(1,2) C．(－2，－1) D．(－1,0)【例3】已知函数和在的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程有且仅有6个根②方程有且仅有3个根)(xfy=)(xgy=]2,2[-)]([=xgf0)]([=xfg③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.【过关练习】1.设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)2.函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ） A.B.C.D.(1,2)4.函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >g ，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）. A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数为偶数D. 零点个数为k ，k N ∈题型二：根据零点求取值范围【例1】函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【例2】已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________． 【例3】已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．【过关练习】1.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)0)]([=x f f 0)]([=x g g ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ．(0,3)D ．(0,2)2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．3.若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．4.若函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 .5.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范 围 。
6.若方程2(1)2(1)0m x m x m -++-=的根都为正数，求m 的取值范围.题型三：函数模型的实际应用【例1】某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )A B C D【例2】已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )A B C D【例3】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【过关练习】1.某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图291①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图291②.(注：利润和投资单位：万元)①②图291(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？2.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1，则总利润L(Q)的最大值是________万元．20Q23.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．104.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y ＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是( )A.12B.14 C ．2 D.18课后练习【补救练习】1.已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 2.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）. A. 1a >- B. 1a <- C. 1a > D. 1a <4.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.5.某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x 小时后，病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个.【巩固练习】1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1,0]D ．(0,1)3.已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围4.已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m 的取值范围.5.一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③ 【拔高练习】1.已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78 D ．－382.函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)4.若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．5.若关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，求实数a 的取值范围.。