规律探究题训练专题
七上专题训练(规律探究)
专项训练——探究规律1. 按每组数字的规律填空：（1）2，5，8， 。
（2）103，81，59， ，15。
（3）11，17，23，( 29 )，35。
A.25 B.27 C.29 D.31（4）123，456，789，( )。
A.1122 B.101112 C.11112 D.100112（5）2，1，1/2，( )。
A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1（6）2，8，32，128，( )。
A.256 B.342 C.512 D.1024（7）2，-4，8，-16，( )。
A.32 B.64 C.-32 D.-64（8）2，4，16， 。
（9） 1，2，5，26， 。
（10）65，35，17，( )，1 A.15 B.13 C.9 D.3（11）1，4，16，49，121，( ) A.256 B.225 C.196 D.169（12）2，3，10，15，26，( ) A.29 B.32 C.35 D.372. 观察下列各数：4、10、16、22、28……。
按此规律写出的第100个数是 ； 第n 个数是 .3.“观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2014个球止，共有实心球 个。
” 4. 将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有 个五角星.第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形5. 有一组数： 269,177,105,53,21，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为________________.6. 用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星________个．…。
数学规律探究题
初中数学规律探究题一、规律探究的知识点及分类： （一）条件探索型1、（2007呼和浩特市）在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E F G H ，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 填加一个条件，使四边形EFGH 成为一个菱形．这个条件是 __ ．2、（2007荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．（1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．（2）如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．（3）在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为菱形，其理由是____________________________．(图AB DEFGHC图4CADB 图3CADB 图2 D 1C 1B 1CADB图13、图4用于探究)3、（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA ＝7，AB ＝4，∠ COA ＝60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不及点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． （1）求点B 的坐标；（2）当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标； （3）当点P 运动什么位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且AB BD ＝85，求这时点P 的坐标．（二）结论探索型4、（2007北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上， 设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠． 请你写出图中一个及A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．5、（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 及x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆及AB 相切（如图2），试探究直线EF 及⊙O 的位置关系，并证明你的结论．6、（2006年绵阳市）在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、D 作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足分别为E 、F ，如图①．（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P 在DC •的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD •的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．BOADEC图1O图27、（2005年泰州）图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC 和C ′D ′E ′叠放在一起（C 及C ′重合）.（1）操作：固定△ABC ，将△C ′D ′E ′绕点C 顺时针旋转30°得到△CDE ，连结AD 、BE ，CE 的延长线交AB 于F （图2）；探究：在图2中，线段BE 及AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（2）操作：将图2中的△CDE ，在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE 设为△PQR （图3）；探究：设△PQR 移动的时间为x 秒，△PQR 及△ABC 重叠部分的面积为y ，求y 及x 之间的函数解析式，并写出函数自变量x 的取值范围.（3）操作：图1中△C ′D ′E ′固定，将△ABC 移动，使顶点C 落在C ′E ′的中点，边BC 交D ′E ′于点M ，边AC 交D ′C ′于点N ，设∠AC C ′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；探究：在图4中，线段C ′N ·E ′M 的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C ′N ·E ′M 的值，如果有变化，请你说明理由.E ′图1C BAD ′图2FED CA图2 Q PRA CF 图3图3D ′E ′图4MNBAGC C /（C /）（C /QEDAP（三）存在探索型8、(2006武汉市)已知：二次函数y ＝x 2(m ＋1)x ＋m 的图象交x 轴于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，交y 轴正半轴于点C ，且x 12 ＋x 22 ＝10．⑴求此二次函数的解析式； ⑵是否存在过点D (0，25)的直线及抛物线交于点M 、N ，及x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．9、（2007乐山）如图（13），在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 及A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立．（1）当30CPD =∠时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使DPC △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．10、（2007呼和浩特市）如图，在矩形ABCD 中，22AB =1AD =．点P 在AC 上，PQ BP ⊥，交CD 于Q ，PE CD ⊥，交于CD 于E ．点P 从A 点（不含A ）沿AC 方PA E BCD向移动，直到使点Q 及点C 重合．．为止． （1）设AP x =，PQE △的面积为S ．请写出S 关于x 的函数解析式，并确定x 的取值范围．（2）点P 在运动过程中，PQE △的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时AP 的取值；若无，请说明理由．（四）规律探索型11、图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后及原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)1232n n n +++++=． 图 1 图 2 图 3 图4如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．（五）销售中的盈亏问题探究1：销售中的盈亏．第2层 第1层 …… 第n 层某商店的某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，•另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？要解决这类问题必须理解并熟记下列式子： （1）商品利润=商品售价-商品进价． （2）=商品利润率．（3）打x 折的售价=原售价×10x ． 对探究1提出的问题，你先大体估算盈亏，再通过准确计算检验你的判断．分析：卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，取决于这两件衣服售价多少，•进价多少，若售价大于进价，就盈利，反之就亏损．现已知这两件衣服总售价为60×2=120（元），现在要求出这两件衣服的进价． 这里盈利25%=，亏损25%就是盈利-25%．本问题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x 元，它的商品利润就是0.25x 元，根据进价+利润=售价，列方程得： x+0.25x=60 解得 x=48以下由学生自己填写．类似地，可以设另一件衣服的进价为y 元，它的利润是-0.25y 元；根据相等关系可列方程是y-0.25y=60解得y=80．两件衣服共进价128元，而两件衣服的售价和为120元，进价大于售价，•由此可知卖这两件衣服总的盈亏情况是亏损8元．解方程后得出的结论及你先前的估算一致吗？点拨：不要认为一件盈利25%，一件亏损25%，结果不盈不亏，因为盈亏要看这两件的进价．例如盈利25%的一件进价为40元，那么这一件盈利40%×25%=10（•元）•，•亏损25%的一件进价为80元，那么这一件亏损了80×25%=20（元），总的还是亏损10元，这就是说，亏损25%的一件进价如果比盈利25%的一件进价高，那么总的是亏损，•反之才盈利．你知道这两件衣服哪一件进价高吗？一件是盈利25%后，才卖60元，那么这件衣服进价一定比60元低．另一件亏损25%后，还卖60元，说明这件衣服进价一定比60•元高，•由此可知亏损25%的这件进价高，所以卖这两件衣服总的还是亏损．（六）球赛积分问题例1.在一次有12支球队参加的足球循环赛中（每两队必须赛一场），规定胜一场3分，平一场1分，负一场0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负的场数多两场，结果得18分，那么该队胜了几场？例2、在一次数学竞赛中，共有60题选择题，答对一题得2分。
七年级数学专题-----规律探究题
七年级数学专题-----规律探究题题型一：数字变化类问题1．观察下列按顺序排列的等式：，，，，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a n=__________．2.下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是．1 2 3 5 8 13 a …2 3 5 8 13 21 34 …3.观察下面的单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．4.有一组等式：2222222222222222++=++=++=++=……请观察1233,2367,341213,452021它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为_________5.把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是．5.在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。
而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的0 1 2 3 4 5 6 …十进位制二进制0 1 10 11 100 101 110 …写成十进制数为 .（二）6．观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是．，，，，，…7.观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是．8．有这样一组数据a1，a2，a3，…a n，满足以下规律：，（n≥2且n为正整数），则a2013的值为______（结果用数字表示）．9.观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…………请猜测，第n个算式(n为正整数)应表示为____________________________．10.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是A．M=mn B．M=n(m+1) C．M=mn+1 D．M=m(n+1)11.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…解答下列问题：3+32+33+34…+32013的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．712.如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是.－4 a b c 6 b －2…13.将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是85．题型二：图形变化类问题14.如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需__________根火柴棒.15.电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标,此WORD 中为方便大家识别与印刷，我还是把图乙中的0都标出来吧，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷.图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有.（请填入方块上的字母）16.如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A 1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度。
中考数学二轮-专题1-规律探究型问题针对训练
第二部分专题一类型1 数式规律1．(2018·梧州)按一定规律排列的一列数依次为：2,3,10,15,26,35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100 个数是( A )A．9 999 B．10 000C．10 001 D．10 0022．(2017·贺州)将一组数 2，2， 6，2 2， 10，…，2 10，按下列方式进行排列：2，2， 6，2 2，10；2 3， 14，4,3 2，2 5；…若2 的位置记为(1,2)，2 3的位置记为(2,1)，则38这个数的位置记为( B ) A．(5,4) B．(4,4)C．(4,5) D．(3,5)3．(2018·绵阳)将全体正奇数排成一个三角形数阵：135791113 15 17 1921 23 25 27 29…按照以上排列的规律，第25 行第20 个数是( A )A．639 B．637C．635 D．6334．(2018·枣庄)将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列：第 1 行1第 2 行234第 3 行98765第 4 行10 11 12 13 14 15 16第 5 行25 24 23 22 21 20 19 18 17则2 018 在第45 行．5 7 9 11 415．(2018·百色)观察以下一列数：3，，，，，…，则第20 个数是 .4 9 16 25 4006．(2016·贵港)已知a＝t，a＝1，a＝1，…，a ＝1(n为正整数，11＋t121－a131－a2n＋1 1－a n且t≠0,1)，则a2016＝－(用含有t的代数式表示)．t1 1 17．(218·成都)已知a＞，S1＝2－134315，…(即a S2S41当n为大于1 的奇数时，S＝；当n为大于1 的偶数时，S＝－S －1)，按此规律，Sa＋1－ .anSn－1n n－1 2 0181 1 1 18．(2018·咸宁)按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前 2 018 个数的和为2 018.2 0192 6 12 209．(2016·南宁)观察下列等式：第1 层1＋2＝3第2 层4＋5＋6＝7＋8第3 层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15第4 层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24…在上述数字宝塔中，从上往下数，2 016 在第44 层．10．(2018·桂林)将从1 开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10 记为(3,2)，自然数15 记为(4,2)…按此规律，自然数2 018 记为(505,2) .行列第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 1 行1234第 2 行8765第 3 行910 11 12第 4 行16 15 14 13………………第m行…………类型2 图形累加规律1．(2018·烟台)如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按＝此规律摆下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为( C )A ．28B ．29C ．30D ．312．(2018·重庆 A 卷)把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 4 个三角形，第②个图案中有 6 个三角形，第③个图案中有 8 个三角形，…，按此规律排列下去， 则第⑦个图案中三角形的个数为( C )A ．12B ．14C ．16D ．183．观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4 个点，第 2 个图中共有 10 个点，第 3 个图中共有 19 个点，…，按此规律第 6 个图中点的个数是( C )A ．46B ．63C ．64D ．734．(2018·自贡)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2 018个图形共有6_055 个○.5．(2018·赤峰)观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第 n 个“星阵”中 的★的个数是n22 .类型 3 图形成倍递变规律3)n －11．(2016·钦州)如图，∠M O N ＝60°，作边长为 1 的正六边形 A 1B 1C 1D 1E 1F 1，边 A 1B 1，F 1E 1 分别在射线 O M ，O N 上，边 C 1D 1 所在的直线分别交 O M ，O N 于点 A 2，F 2，以 A 2F 2 为边作正六边 形A 2B 2C 2D 2E 2F 2 ，边 C 2D 2 所在的直线分别交 O M ，O N 于点 A 3 ，F 3 ，再以 A 3F 3 为边作正六边形ABCDEF ，…，依此规律，经第 n 次作图后，点 B 到 O N 的距离是 3n －1· 3 .3 3 3 3 3 3n2．如图，在边长为 1 的菱形 A B C D 中，∠DAB ＝60°.连接对角线 A C ，以 A C 为边作第二个菱形A C C 1D 1，使∠D 1A C ＝60°.连接 A C 1，再以 A C 1 为边作第三个菱形 A C 1C 2D 2，使∠D 2A C 1＝60°，……，按此规律所作的第 n 个菱形的边长是 ( .3．(2018·贵港)如图，直线 l 为 y ＝ 3x ，过点 A 1(1,0)作 A 1B 1⊥x 轴，与直线 l 交于点 B 1，以原点 O 为圆心，O B 1 长为半径画圆弧交 x 轴于点 A 2；再作 A 2B 2⊥x 轴，交直线 l 于点 B 2， 以原点 O 为圆心，O B 2 长为半径画圆弧交 x 轴于点 A 3；……，按此作法进行下去，则点 A n 的 坐标为 (2n －1,0) .4．(2016·梧州)如图，在坐标轴上取点 A 1(2,0)，作 x 轴的垂线与直线 y ＝2x 交于点 B 1，作等腰直角三角形 A 1B 1A 2；又过点 A 2 作 x 轴的垂线交直线 y ＝2x 交于点 B 2，作等腰直角 三角形 A 2B 2A 3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到 A n (n 为正整数)点时，则 A n 的坐标 是 (2×3n －1,0) .5．(2018·广东)如图，已知等边△OAB ，顶点 A 在双曲线 y ＝ 3(x ＞0)上，点 B 的坐1 111x标为(2,0)．过B1作B1A2∥O A1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为(26，0).6．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点A6的坐标是(63,32).类型 4 图形周期变化规律1．(2018·钦州三模)如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2018处，则点A2018与点A0间的距离是( C )第 1 题图A．0 B．2C．2 3 D．42．(2018·广州改编)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1 m．其行走路线如图所示，第1次移动到A，第2次移动到A，…，第n次移动到A，则△O AA的面积是504_m2.1 2 n 2 2 018第 2 题图3．等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A(－6,0)，点B在原点，CA ＝CB ＝5，把等腰三角形 ABC 沿 x 轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第 1 次翻转到位置 ①，第 2 次翻转到位置②，…，依此规律，第 15 次翻转后点 C 的横坐标是 77 .第 3 题图14．(2018·衡阳)如图，在平面直角坐标系中，函数 y ＝x 和 y ＝－ x 的图象分别为直线2l 1，l 2，过点 A 1(1，－ 1)作 x 轴的垂线交 l 1 于点 A 2，过点 A 2 作 y 轴的垂线交 l 2 于点 A 3，过点 2A 3 作 x 轴的垂线交 l 1 于点 A 4，过点 A 4 作 y 轴的垂线交 l 2 于点 A 5，…依次进行下去，则点 A 2 018的横坐标为 21 008 .第 4 题图5．(2017·咸宁) 如图，边长为 4 的正六边形 A B C D E F 的中心与坐标原点 O 重合，A F ∥x 轴，将正六边形 A B C D E F 绕原点 O 顺时针旋转 n 次，每次旋转 60°.当 n ＝2 017 时，顶点 A 的坐标为 (2,2 3) .第 5 题图。
中考数学高频考点《规律探究题》专项测试卷-带答案
中考数学高频考点《规律探究题》专项测试卷-带答案（14道）一、单选题1．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形1OABC 是正方形 曲线12345C C C C C 叫作“正方形的渐开线” 其中12C C 23C C 34C C 45C C …的圆心依次按O A B 1C 循环．当1OA =时 点2023C 的坐标是( )A ．)12(022--，B ．)20231(-，C ．)12(023--，D ．(2022)0，2．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状 大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形 第1幅图形中“●”的个数为1a 第2幅图形中“●”的个数为2a 第3幅图形中“●”的个数为3a … 以此类推 那么123191111a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2021B ．6184C ．589840D ．4317603．（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想 数学皆有可衡”数学创新设计活动中 “智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m n 按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项 都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差 小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ） A ．m n +B ．mC ．n m -D ．2n4．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023二 填空题6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形 顶点1B 2B 3B 4B 5B …都在x 轴上 顶点1C 2C 3C 4C …都在正比例函数14y x =（0x ≥）的图象上 且21212B C A C = 32322B C A C = 43432B C A C = … 连接12A B 23A B 34A B 45A B … 分别交射线1OC 于点1O 2O 3O 4O … 连接12O A 23O A 34O A … 得到122O A B ∆ 233O A B ∆ 344O A B ∆ …．若()12,0B ()23,0B ()13,1A ，则202320242024O A B ∆的面积为 ．7．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，ABC 是正三角形 点A 在第一象限 点()0,0B ()1,0C ．将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至1CP 将线段1BP 绕点B 按顺时针方向旋转120︒至2BP 将线段2AP 绕点A 按顺时针方向旋转120︒至3AP 将线段3CP 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至4CP ……以此类推，则点99P 的坐标是 ．8．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年 我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表 人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图 根据图中各式的规律 7()a b +展开的多项式中各项系数之和为 ． 9．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 点A 在y 轴上 点B 在x 轴上4OA OB == 连接AB 过点O 作1OA AB ⊥于点1A 过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B 过点1B 作12B A AB ⊥于点2A 过点2A 作22A B x ⊥轴于点2B 过点2B 作23B A AB ⊥于点3A 过点3A 作33A B x ⊥轴于点3B … 按照如此规律操作下去，则点2023A 的坐标为 ．12．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上 顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴 且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线 垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴 交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线 垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴 交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是 ．13．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．三 解答题14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法 可以探究23...n q q q q +++++的值 其中01q <<．例求2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．方法1：借助面积为1的正方形 观察图①可知2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于该正方形的面积即23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方法2：借助函数1122y x =+和y x =的图象 观察图①可知 2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于1a 2a 3a … n a …等各条竖直线段的长度之和即两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x 轴的距为1所以 23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【实践应用】任务一 完善2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的求值过程．方法1：借助面积为2的正方形 观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象 观察图①可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．任务二 参照上面的过程 选择合适的方法 求23233334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．任务三 用方法2 求23n q q q q +++++的值（结果用q 表示）．【迁移拓展】 51+的矩形是黄金矩形 将黄金矩形依次截去一个正方形后 得到的新矩形仍是黄金矩形．观察图① 直接写出2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．参考答案一、单选题1．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形1OABC 是正方形 曲线12345C C C C C 叫作“正方形的渐开线” 其中12C C 23C C 34C C 45C C …的圆心依次按O A B 1C 循环．当1OA =时 点2023C 的坐标是( )A ．)12(022--，B ．)20231(-，C ．)12(023--，D ．(2022)0，【答案】A【分析】由题得点的位置每4个一循环 经计算得出2023C 在第三象限 与3C 7C 11C …符合同一规律 探究出3C 7C 11C ...的规律即可．【详解】解：由图得123450110()()()()(140)205C C C C C ---，，，，，，，，， 67(506)1()C C --，，， … 点C 的位置每4个一循环202350543=⨯+①2023C 在第三象限 与3C 7C 11C … 符合规律()11n --+，①2023C 坐标为)12(022--，． 故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究 理解题意求出坐标是解题关键．2．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状 大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形 第1幅图形中“●”的个数为1a 第2幅图形中“●”的个数为2a 第3幅图形中“●”的个数为3a … 以此类推 那么123191111a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2021B ．6184C ．589840D ．431760【答案】C【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律 进而求解即可． 【详解】解：1313a2824a 31535a 42446a…()2n a n n =+ ①123191111a a a a +++⋅⋅⋅+ 11111132435461921=++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯11111111111232435461921⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 11111222021⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭589840=故选①C ．【点睛】此题考查图形的变化规律 找出图形之间的联系 找出规律是解题的关键．3．（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想 数学皆有可衡”数学创新设计活动中 “智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m n 按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项 都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差 小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ） A ．m n + B ．mC ．n m -D ．2n【答案】D【分析】先逐步分析前面5次操作 可得整式串每四次一循环 再求解第四次操作后所有的整式之和为：0m n n m m n n m ++----+= 结合202345053÷=⋅⋅⋅ 从而可得答案．【详解】解：第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后得到整式串m n n m - m - n - 第4次操作后得到整式串m n n m - m - n - n m -+ 第5次操作后得到整式串m n n m - m - n -n m -+m⋅⋅⋅⋅⋅⋅归纳可得：以上整式串每六次一循环 ①202363371÷=⋅⋅⋅①第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等 ①这个和为2m n n m n ++-= 故选D【点睛】本题考查的是整式的加减运算 代数式的规律探究 掌握探究的方法 并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．4．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点 即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点 即2A 到()91,1A 第3圈有16个点 即10A 到()252,2A 依次类推 第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上 且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上 且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确 故选B ．【点睛】本题考查图形与规律 利用所给的图形找到规律是解题的关键．5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致 故202023在第20列 即20b = 向前递推到第1列时 分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点 解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．二 填空题6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形 顶点1B 2B 3B 4B 5B …都在x 轴上 顶点1C 2C 3C 4C …都在正比例函数14y x =（0x ≥）的图象上 且21212B C A C = 32322B C A C = 43432B C A C = … 连接12A B 23A B 34A B 45A B … 分别交射线1OC 于点1O 2O 3O 4O … 连接12O A 23O A 34O A … 得到122O A B ∆ 233O A B ∆ 344O A B ∆ …．若()12,0B ()23,0B ()13,1A ，则202320242024O A B ∆的面积为 ．【答案】2023202494【分析】根据题意和图形可先求得12312290A B B B B A ∠∠=︒= 34323290A B B B B A ∠∠=︒=45434390A B B B B A ∠∠=︒=11190n n n n n n B A B B A B +--∠∠=︒= 333,02B ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭233,02n n B -⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得2022202433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2023202533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2023202220232024202533333222B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2022202220232024143332342O n B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⨯⎝⎭⨯⨯⎭⎝ 利用三角形的面积公式即可得解．【详解】解：①()12,0B ()23,0B ()13,1A①点()13,1A 与点()23,0B 的横坐标相同 12OB = 12321B B =-= 121A B = 23OB = ①12A B x ⊥轴 ①1290A B O ∠=︒ ①21212B C A C = ①21212B C A C = ①四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形 ①1122A B A B ∥ 222A C OB ∥ 233A B OB ∥ 2223A B C B = 1121A B B C = ①112223A B B A B B ∠=∠ 12212C A C C B O ∠=∠ 12212C C A C OB ∠=∠ 2222111232B A B A B A BC == ①12212C C A C OB ∠∽ ①21222212232OB C B OB C A C A B B === ①23211322B B OB ==⨯①1222123232B B B B B A B C == 3233322OB OB ==⨯ ①212312A A B B B B ∽ ①12312290A B B B B A ∠∠=︒= ①333,02B ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭同理可得34323290A B B B B A ∠∠=︒= 45434390A B B B B A ∠∠=︒=11190n n n n n n B A B B A B +--∠∠=︒=2433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭233,02n n B -⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2022202433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2023202533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2023202220232024202533333222B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①2022202333,2O n ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在14y x =上 ①2022202220232024143332342O n B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⨯⎝⎭⨯⨯⎭⎝①202320242024202320232202302240464220242025404820240211333222223944O A B SB O A B ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⨯⎭⎝⎭故答案为：2023202494．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质 平行四边形的性质 坐标与图形 坐标规律 熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键．7．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，ABC 是正三角形 点A 在第一象限 点()0,0B ()1,0C ．将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至1CP 将线段1BP 绕点B 按顺时针方向旋转120︒至2BP 将线段2AP 绕点A 按顺时针方向旋转120︒至3AP 将线段3CP 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至4CP ……以此类推，则点99P 的坐标是 ．【答案】(49,503-【分析】首先画出图形 然后得到旋转3次为一循环 然后求出点99P 在射线CA 的延长线上 点100P 在x 轴的正半轴上 然后利用旋转的性质得到99100CP = 最后利用勾股定理和含30︒角直角三角形的性质求解即可．【详解】如图所示由图象可得 点1P 4P 在x 轴的正半轴上 ①．旋转3次为一个循环 ①99333÷=①点99P 在射线CA 的延长线上 ①点100P 在x 轴的正半轴上 ①()1,0C ABC 是正三角形 ①由旋转的性质可得 11AC CP == ①112BP OC CP =+=①()12,0P ①212BP BP ==①3223AP AP OP AO ==+= ①433314CP CP CA AP ==+=+= ①445BP BC CP =+= ①()45,0P①同理可得 ()78,0P ()1011,0P ①()100101,0P ①100101BP = ①1001011100CP =-=①由旋转的性质可得 99100CP = ①如图所示 过点99P 作99P E x ⊥轴于点E①60ACB ∠=︒ ①9930EP C ∠=︒ ①991502EC P C == ①49EO EC OC =-= 229999503P E P C EC -=①点99P 的坐标是(49,503-． 故答案为：(49,503-．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转 勾股定理 等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．8．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年 我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表 人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图 根据图中各式的规律 7()a b +展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】128【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开 即可得出结果． 【详解】根据题意得：()5a b +展开后系数为：1,5,10,10,5,1 系数和：515101051322+++++==()6a b +展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1系数和：61615201561642++++++==()7a b +展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1系数和：71721353521711282+++++++== 故答案为：128．【点睛】此题考查了多项式的乘法运算 以及规律型：数字的变化类 解题的关键是弄清系数中的规律． 9．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．【答案】(3【分析】先确定前几个点的坐标 然后归纳规律 按规律解答即可．【详解】解：由图形可得：()()()()()()2356892,0,3,0,5,0,6,0,8,0,9,0,A A A A A A 如图：过1A 作1A B x ⊥轴①12,OA A①111cos601,sin603,OB OA A B OA =︒⨯==︒⨯= ①(13A ,同理：(((47104,3,3,10,3,A A A -①点1A 的横坐标为1 点2A 的横坐标为2 点3A 的横坐标为3 ……纵坐标三个一循环 ①2023A 的横坐标为2023 ①202336741÷= 674为偶数①点2023A 在第一象限 ①(20233A ． 故答案为(3．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质 解直角三角形 坐标规律等知识点 先求出几个点 发现规律是解答本题的关键．10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解． 【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律 找到规律是解题的关键．11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 点A 在y 轴上 点B 在x 轴上4OA OB == 连接AB 过点O 作1OA AB ⊥于点1A 过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B 过点1B 作12B A AB ⊥于点2A 过点2A 作22A B x ⊥轴于点2B 过点2B 作23B A AB ⊥于点3A 过点3A 作33A B x ⊥轴于点3B … 按照如此规律操作下去，则点2023A 的坐标为 ．【答案】20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据题意 结合图形依次求出123,,A A A 的坐标 再根据其规律写出2023A 的坐标即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中 点A 在y 轴上 点B 在x 轴上 4OA OB == OAB ∴是等腰直角三角形 45OBA ∠=︒1OA AB ⊥1OA B ∴是等腰直角三角形同理可得：1111,OA B A B B 均为等腰直角三角形 1(2,2)A ∴根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形 依次可得：()2342211113,1,4,,4,,2222A A A ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可推出：点2023A 的坐标为20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征 以及点的坐标变化规律问题 等腰直角三角形的性质 解题的关键是依次求出123,,A A A 的坐标 找出其坐标的规律．12．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上 顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴 且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线 垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴 交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线 垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴 交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是 ．【答案】23【分析】解直角三角形得出30AOB ∠=︒ 60BOC ∠=︒ 求出3ABC S 证明111ABC A B C ∽△△222ABC A B C ∽ 得出1114A B C ABCSS= ()22222242A B C ABCABCSSS=⋅=⋅ 总结得出()2222n n nn n A B C ABCABCSSS== 从而得出202320232023220232323A B C S⨯=【详解】解：①22OB =①()22,0B ①AB x ⊥轴①点A 的横坐标为2①13:l y =①点A 32622①2633tan 22AB AOB OB ∠==①30AOB ∠=︒ ①2:3l y x =①设(),C C C x y ，则3C C y x ①tan 3CCy BOC x ∠==①60BOC ∠=︒①1cos602222OC OB =⨯︒==3sin 60226BC OB =⨯︒==①130AOC BOC AOB ∠=∠-∠=︒ ①1AOB AOC ∠=∠ ①OA 平分BOC ∠ ①12AC l ⊥ AB OB ⊥ ①126AC AB ==①1AB AC = OA OA = ①1Rt Rt OAB OAC ≌ ①122OC OB ==①112222CC OC OC =-=①12ABCOABACC BOCSSSS=--126126122226222=⨯⨯--3①2BC l ⊥ ①90BCO ∠=︒①906030CBO ∠=︒-︒=︒ ①112B C l ⊥ 2BC l ⊥ 222B C l ⊥ ①2112B B C C B C ∥∥①112230C B O C B O CBO ∠=∠=∠=︒ ①1122C B O C B O CBO AOB ∠=∠=∠=∠ ①1AO AB = 112AO A B = ①AB x ⊥轴 11A B x ⊥轴①112OB OB = 1212OB OB =①AB x ⊥轴 11A B x ⊥轴 22A B x ⊥轴①1122AB A B A B ∥∥ ①11112AB OB A B OB ==22214AB OB A B OB == ①2112B B C C B C ∥∥ ①11112BC OB B C OB ==22214BC OB B C OB == ①1111AB BCA B B C = ①111903060ABC A B C ∠=∠=︒-︒=︒ ①111ABC A B C ∽△△ 同理222ABC A B C ∽ ①1114A B C ABCS S=()22222242A B C ABC ABCSSS=⋅=⋅ ①()2222n n nn n A B C ABCABCS SS==①202320232023220232323A B C S⨯=故答案为：23【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质 解直角三角形 三角形面积的计算 平行线的判定和性质 一次函数规律探究 角平分线的性质 三角形全等的判定和性质 解题的关键是得出一般规律()2222n n nn n A B C ABCABCSSS==．13．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心 半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得 故2023A 点坐标为()2023,1-． 故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索 通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．三 解答题14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法 可以探究23...n q q q q +++++的值 其中01q <<．例求2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．方法1：借助面积为1的正方形 观察图①可知2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于该正方形的面积即23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方法2：借助函数1122y x =+和y x =的图象 观察图①可知 2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于1a 2a 3a … n a …等各条竖直线段的长度之和即两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x 轴的距为1所以 23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【实践应用】任务一 完善2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的求值过程．方法1：借助面积为2的正方形 观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象 观察图①可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．任务二 参照上面的过程 选择合适的方法 求23233334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．任务三 用方法2 求23n q q q q +++++的值（结果用q 表示）．【迁移拓展】 51+的矩形是黄金矩形 将黄金矩形依次截去一个正方形后 得到的新矩形仍是黄金矩形．观察图① 直接写出2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】任务一、方法1：2 方法2：()2,2 2 任务二 3 任务三 1qq- [迁移拓展] 51- 【分析】任务一、仿照例题 分别根据方法1 2进行求解即可 任务二 借助函数3344y x =+和y x =得出交点坐标 进而根据两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点()2,2到x 轴的距为2 即可得出结果任务三 参照方法2 借助函数y qx q =+和y x =的图象 得出交点坐标 即可求解 [迁移拓展]观察图①第一个正方形的面积为051111-⨯==⎝⎭ 第二个正方形的面积为2251511⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ……进而得出则2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于长51+的矩形减去1个面积为1的正方形的面积 即可求解． 【详解】解：任务一、方法1：借助面积为2的正方形 观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2故答案为：2． 方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象 观察图①可知 因为两个函数图象的交点的坐标为()2,2所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．故答案为：()2,2 2．任务二：参照方法2 借助函数3344y x =+和y x =的图象 3344y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 解得：33x y =⎧⎨=⎩ ①两个函数图象的交点的坐标为()3,3232333334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．任务三 参照方法2 借助函数y qx q =+和y x =的图象 两个函数图象的交点的坐标为,11q q q q ⎛⎫⎪--⎝⎭①231n qq q q q q +++++=- [迁移拓展]根据图① 第一个正方形的面积为051111-⨯==⎝⎭ 第二个正方形的面积为2251511⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ …… 则2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭51+的矩形减去1个面积为1的正方形的面积即24625151515151511122n⎛⎫----+-+++++=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了一次函数交点问题 正方形面积问题 理解题意 仿照例题求解是解题的关键．。
【初中数学】人教版七年级上册专题训练（三）整式规律探究(练习题)
人教版七年级上册专题训练（三）整式规律探究(150) 1.观察下列等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，9×4+5=41，…猜想：第n(n为正整数)个等式应为．2.观察1×3=3，3×5=15，5×7=35，…，你发现了什么规律?请用含n的式子表示出来．3.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规定确定x的值为（）A.135B.170C.209D.2524.观察下列数表：请猜想第n行第n列上的数是．5.如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（）A.71B.78C.85D.896.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…，按此规律第5个图中共有点的个数是A.31B.46C.51D.667.按如图的规律摆放三角形：（1）第④堆三角形的个数为 ；（2）第堆三角形的个数为 ．8.用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，求第n 个图形中棋子的数量．(用含n 的式子表示)9.已知一组数：1，3，5，7，9，…，按此规律，则第n 个数是 ．10.观察下列一组数：32，1，710，917，1126，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n 个数是 ．(n 为正整数)11.按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x ，y ，z 表示这列数中的连续三个数，猜想x ，y ，z 满足的关系式是 ．参考答案1.【答案】:9(n−1)+n=10(n−1)+1【解析】:横看，等式左边有“×”“+”两种运算，每个等式可表示成：×+=；纵看，每个等式中第一个数字都是9，“×”号后面的数字在变化：0，1，2，3，…，等式右边的数个位上都是1，十位上在变化：0，1，2，3，…从这些数的变化规律看出，若“×”号后面的数字用“n−1”表示，则“+”号后面的数字用“n”表示，等号右边的数十位上的数字用“n−1”表示(此时，n=1，2，3，…)．最后，还要注意等号右边两位数的表示方法：十位数字×10+个位数字×12.【答案】:所发现的规律为(2n−1)(2n+1)=(2n)2−1(n≥1且n为整数)．验证：当n=2时，代入后正好是3×5=42−1=15【解析】:我们把上式改写成①1×3=22−1，②3×5=42−1，③5×7=62−1，…．先看每一项的数字特征，再看整体结构．发现左边是两个连续奇数相乘，右边正好是这两个连续奇数所夹的偶数的平方再减去1.左边两个连续的奇数分别表示为2n−1,2n+1.3.【答案】:C【解析】:通过观察表格，可知每个表格中右上角的数依次是4，6，8，10，…，20，假设20是第n个表格中的数字，则2(n+1)=20，因此n=9，每个表格中左上角的数依次是1，2，3，4，…，a，因此a=9，b=a+1=10，x=20b+a=200+9=2094.【答案】:2n−1【解析】:通过观察、分析、比较，可知：第1行第1列，第2行第2列，第3行第3列，第4行第4列上的数依次为1，3，5，7，它们是连续的奇数，所以可猜想第n行第n列上的数为2n−15.【答案】:D【解析】:第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n 个图形共有小正方形的个数为(n+1)2+n，所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=896.【答案】:B7.【答案】:14；3n+2【解析】:第①堆三角形的排列特点是中间3=(1+2)个,左右各1个,即图①中三角形的总个数为1+(1+2)+1；第②堆三角形的排列特点是中间4=(2+2)个，左右两边各2个，即图②中三角形的总个数为2+(2+2)+2；第③堆三角形的排列特点是中间5=(3+2)个，左右两边各3个，即图③中三角形的总个数为3+(3+ 2)+3；…，图中三角形的总个数为n+(n+2)+n=3n+2.所以第④个图形中三角形的个数，也就是当n=4时，式子3n+2的值，即3n+2=3×4+2=148.【答案】:第一个图需棋子3+1=4(枚)；第二个图需棋子3×2+1=7(枚)；第三个图需棋子3×3+1=10(枚)；…第n个图需棋子(3n+1)枚【解析】:第一个图需棋子3+1=4(枚)；第二个图需棋子3×2+1=7(枚)；第三个图需棋子3×3+1=10(枚)；…第n个图需棋子(3n+1)枚9.【答案】:2n−110.【答案】:2n+1n2+111.【答案】:xy=z【解析】:根据这列数的排列规律，可把这列数中的连续三个数x,y,z分别用x= 2m,y=2n表示,则z=2m+n,根据幂的运算性质有xy=z，故答案为xy=z。
2023学年浙江七年级数学上学期专题训练专题02 运算思维之规律探究(解析版)
专题02运算思维之规律探究专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知一列数1a ，2a ，3a ，…，具有如下规律：211n n n a a a ++=+，2n n a a =（n 是正整数）．若11a =，则37a 的值为（ ）A ．1B ．5C ．7D ．11【答案】D【分析】 根据题干公式寻找规律，从而逐步推出结果．【详解】解：由a 2n +1=a n +a n +1，a 2n =a n （n 是正整数）可得：a 37=a 18+a 19=2a 9+a 10=2（a 4+a 5）+a 5=2a 4+3a 5=2a 2+3（a 2+a 3）=5a 2+3a 3=8a 1+3a 2=11a 1=11． 故选：D ．【点睛】本题考查数字变化规律，解题关键是根据题中规律拆项．2．把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，…，则第5个数字是（ ）A ．78B ．80C ．82D ．89【答案】A【分析】 观察根据排列的规律得到第1个数字为0，第2个数字为0加6个数即为6，第3个数字为从6开始加15个数得到21，第4个数字为从21开始加24个数即45，…，由此得到后面加的数比前一个加的数多9，由此得到第5个数字为0+6+（6+9×1）+（6+9×2）+（6+9×3）．【详解】解：∵第一个数字为0，第二个数字为0+6=6，第三个数字为0+6+15=21，第四个数字为0+6+15+24=45，第五个数字为0+6+15+24+33=78，故选：A ．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，发现数在变化过程中各边上点的数字的排列规律是解题关键．3．有一列数：123,,,,n a a a a …，若112a =-，从第2个数起，每一个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”，那么2021a 的值为（ ）A ．2-B ．12-C ．23D ．3【答案】C【分析】根据每一个数都等于1与它前面那个数的差的倒数多列举几个数字，找出规律即可．【详解】解：a 1=12-，13122⎛⎫--= ⎪⎝⎭， a 2=23，21133-=， a 3=3，132-=-，a 4=12-， …，从上面的规律可以看出每三个数一循环，2021÷3=673......2，∵a 2021=a 2=23， 故选：C ．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳数字的变化规律是解题的关键．4．定义一种对正整数n 的“F ”运算：∵当n 为奇数时，结果为35n +；∵当n 为偶数时，结果为2k n ；（其中k 是使2k n 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取26n =．则：26134411F F F −−−→−−−→−−−→①②③第一次第二次第三次若49n =，则第2020次“F 运算”的结果是（ ）A ．152B ．19C ．62D ．31【答案】D【分析】计算出n =49时第1、2、3、4、5、6、7次运算的结果，找出规律再进行解答即可求解．【详解】解：本题提供的“F 运算”，需要对正整数n 分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n =49为奇数应先进行F ∵运算，即3×49+5=152（偶数），需再进行F ∵运算，即152÷23=19（奇数），再进行F ∵运算，得到3×19+5=62（偶数），再进行F ∵运算，即62÷21=31（奇数），再进行F ∵运算，得到3×31+5=98（偶数），再进行F ∵运算，即98÷21=49（奇数），再进行F ∵运算，得到3×49+5=152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，2020÷6=336…4，则第2020次“F 运算”的结果是31．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴涵了次数、结果规律探索问题，检测学生阅读理解、抄写、应用能力．5．观察图形并判断照此规律从左到右第四个图形是() A．B．C．D．【答案】D【详解】观察图形可知：单独涂黑的角顺时针旋转，只有D符合.故选：D.6．如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（）A．28B．29C．30D．31【答案】C【详解】分析：根据题目中的图形变化规律，可以求得第个图形中玫瑰花的数量，然后令玫瑰花的数量为120，即可求得相应的n的值，从而可以解答本题．详解：由图可得，第n个图形有玫瑰花：4n，令4n=120，得n=30，故选C．点睛：本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出题目中图形的变化规律．7．如图，用火柴棍分别搭一排三角形组成的图形和一排正方形组成的图形，三角形、正方形的每一边用一根火柴棒．如果搭这两个图案一共用了2030根火柴棒，且正方形的个数比三角形的个数的少4个，则搭成的三角形的个数是（）A．429B．409C．408D．404【答案】C【分析】根据搭建三角形和正方形一共用了2030根火柴，且三角形的个数比正方形的个数多4个，即可得搭建三角形的个数．【详解】解：∵搭建三角形和正方形一共用了2030根火柴，且三角形的个数比正方形的个数多4个，观察图形的变化可知：搭建n个三角形需要（2n+1）根火柴棍，n个正方形需要（3n+1）根火柴棍，所以2n+1+3（n-4）+1=2030，解得n=408．故选：C．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．8．将图∵所示的正六边形进行分割得到图∵，再将图∵中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图∵，再将图∵中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第2014个图形中，共有（）个正六边形．A．4027B．6040C．6061D．10066【答案】B【分析】观察第二个图形，有1+3=4个；第三个图形，有1+3+3=7个；依此类推，发现规律即可解答．【详解】解：第二个图形中有1+3=4个；第三个图形中有1+3+3=7个；...∵第n个图形中有1+3（n-1）=3n-2个；∵第2014个图形中有1+3×（2014-1）=6040个；故选B．【点睛】本题考查了图形的变化规律：结合图形观察前几个具体数值，即可发现每一次总是多3个正六边形是关键．二、填空题9．如表是一组密码的一部分，目前已破译出“守初心”的对应口令是“担使命”，根据上述破译方法，破译出“找差距”的对应口令是_______．【答案】抓落实【分析】根据表格中汉字所在行及列的位置以及对应口令所在行和列的位置探索规律，从而求解．【详解】解：由题意“守”位于第3行第4列，其对应口令“担”位于第1行第3列“初”位于第5行第2列，其对应口令“使”位于第3行第1列“心”位于第4行第7列，其对应口令“命”位于第2行第6列∵位于第n行第m列的汉字，其对应口令位于第（n-2）行第（m-1）列，由此，“找”位于第7行第2列，其对应口令位于第5行第1列，即“抓”“差”位于第3行第2列，其对应口令位于第1行第1列，即“落”“距”位于第5行第7列，其对应口令位于第3行第6列，即“实”故答案为：抓落实．【点睛】本题考查规律探索，准确理解题意，分析汉字所在位置的规律是解题关键． 10．如图各网格中四个数之回都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为_________．【答案】119【分析】从图中观察出各个格子中的数据的规律，找出第九个格子的各个数字即可．【详解】解：由图中的数字可知，左上角的数字是一些连续的正整数，从1开始，左下角的数字是对应的左上角的数据加1，右上角的数字是对应的左下角的数字加2， 右下角的数字是左下角的数字与右上角的数字乘积再加左上角数字的和，故第9个正方形中的左上角的数字是9，左下角的数字是10，右上角的数字是11，右下角的数字是：10×11+9=119；故答案为：119．【点睛】本题考查数字变化的规律的相关内容，解题的关键是找出各个数字之间的规律． 11．观察下列各式：∵2204-=；∵22318-=；∵224212-=；∵225316-=；∵226420-=；……；用含自然数n 的等式表示你发现的规律：__________________．【答案】（n +2）2-n 2=4（n +1）【分析】分别列出n =0，1，2，3，4，5…的情况，再进行总结归纳即可．【详解】解：∵n =0，（0+2）2-02=4×1，∵n =1，（1+2）2-12=4×2，∵n =2，（2+2）2-22=4×3，∵n =3，（3+2）2-32=4×4，∵n =4，（4+2）2-42=4×5，…，所以n =n 时，（n +2）2-n 2=4（n +1），故答案为：（n +2）2-n 2=4（n +1）．【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．12．设123,,a a a ，…是一列正整数，其中1a 表示第一个数，2a 表示第二个数，……，n a 表示第n 个数（n 是正整数）．若12a =，()()221411n n n a a a +=---，则（1）2a =_______（2）2021a =______．【答案】4 4042【分析】先将4a n =（a n +1-1）2-（a n -1）2，变形，结合a 1=2，a 1，a 2，a 3……是一列正整数，得出递推公式a n +1=a n +2，进而可得a n =2n ，将n =2021代入即可求得答案．【详解】解：∵a 1=2，4a n =（a n +1-1）2-（a n -1）2，a 1，a 2，a 3……是一列正整数，∵a n -1≥0，（a n +1-1）2=（a n -1）2+4a n =（a n +1）2，∵a n +1-1=a n +1，∵a n +1=a n +2，∵a 1=2，∵a 2=4，a 3=6，a 4=8，a 5=10，…∵a n =2n ，∵a 2021=2×2021=4042．故答案为：4；4042．【点睛】本题考查了数字的变化规律，由已知条件推出递推关系式，进而得出含n 字母的各项的表达式，是解题的关键．13．观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________． 【答案】()221n n --．【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【详解】解：∵22110=-，22321=-，22532=-，…∵第n 个等式为：()22211n n n -=-- 故答案是：()221n n --．【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．14．数202020212022379⋅⋅的个位数字是____．【答案】7【分析】由3n 的个位数字是3，9，7，1四次一循环，7n 的个位数字是7，9，3，1四次一循环，9n 的个位数字是9，1，9，1四次一循环，继而可以求得32009×72010×132011的个位数字．【详解】解：∵3n （n 为从1开始的正整数）的个位数字是3，9，7，1四次一循环， 7n 的个位数字是7，9，3，1四次一循环，9n 的个位数字是9，1，9，1四次一循环，又∵2020÷4=505，2021÷4=505…1，2022÷4=505…2，∵32020的末尾数字为1，72021的末尾数字为7，92022的末尾数字为1，∵1×7×1=7，∵32020×72021×92022的个位数字是7．故答案为：7．【点睛】此题考查了尾数特征．此题难度适中，注意得到3，7，9为底数的整数幂的个位数字的规律是解此题的关键．15．阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级…逐步增加时，楼梯的上法数依次为1，2，3，5，8，13，21，…（这就是著名的裴波那契数列），请你仔细观察这列数的规律后回答：（1）上10级台阶共有__________种上法．（2）这列数的前2020个数中共有________个偶数．【答案】89 673【分析】（1）认真观察不难发现，这列数中，任意相邻两个数的和都等于相邻的后一个数，也就是第10个数应该是第8个、9个的和；（2）观察发现，每3个数中必有一个偶数，且偶数在3个数中间，依此规律可求出问题答案．【详解】解：（1）∵1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55，34+55=89，∵上10级台阶共有89种上法；（2）∵2020÷3=673…1，∵偶数个数为673个．【点睛】本题考查了数字型规律，根据已知条件找寻数列中的规律是解题的关键．16．数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…的排列规律：前两个数是1，从第3个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波契数列，在斐波契数列前2020个数中共有_______个偶数．【答案】673【分析】由于数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…中是两个奇数然后一个偶数，接着又是两个奇数，一个偶数，由此即可确定斐波那契数列的前2020个数中共有多少个偶数．【详解】∵数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，中是两个奇数然后一个偶数，而÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；余数是1，那么这个数列的第2020个数是奇数，202036731∵斐波那契数列的前2020个数中共有673个偶数．故答案为：673.【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，解题时首先正确理解题意，然后根据题意找出隐含的规律即可解决问题．17．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第一幅图中有1个菱形，第二幅图中有3个菱形，第三幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2021个菱形，则n为____________．【答案】1011【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2-1=3个，第3幅图中有2×3-1=5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【详解】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2021个菱形时，2n-1=2021，所以：n=1011，故答案为：1011．【点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．18．如图，边长为12320202021、、、、的正方形套在一起，形成一个庞大的回宫格，则阴影部分的面积是_______．【答案】2043231【分析】若只有1个阴影部分，则面积为20212-20202，有2个阴影部分，面积为（20212-20202）+（20192-20182），…【详解】解：阴影部分的面积为（20212-20202）+（20192-20182）+（20172-20162）+…+（32-22）+1=2021+2020+2019+2018+…+3+2+1=() 1202120212+⨯=1011×2021=2043231，故答案为：2043231．【点睛】本题考查图形的变化规律；得到阴影部分面积的组成是解决本题的难点；找到相应的计算方法是解决本题的突破点．19．如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为______．【答案】119【分析】观察序号与网格中上面最左边的数字的关系，第二个数字与序号的关系，左下角的数字与序号的关系，右下角数字与上面所说三个数字的关系，确定好计算即可【详解】根据题意，得网格中上面最左边的数字等于序号，第二个数字与序号+1，左下角的数字与序号+2，右下角数字等于对角线上的数字积加上序号，∵第n个网格中，右下角的数字=（n+1）（n+2）+n，当n=9时，（n+1）（n+2）+n=10×11+9=119，故答案为：119．【点睛】本题考查了数字中规律，仔细思考各数字与序号的关系是解题的关键．2,3，20．把所有的正整数按如图所示规律排列形成数表．若正整数6对应的位置记为() 12,7对应的正整数是_______．则()【答案】138【分析】2,3，可得表示方法，观察出1行1根据表格中的数据，以及正整数6对应的位置记为()列数的特点为12-0，2行2列数的特点为22-1，3行3列数的特点为32-2，…n行n列数的特点为（n2-n+1），且每一行的第一个数字逆箭头方向顺次减少1，由此进一步解决问题．【详解】2,3，解：∵正整数6对应的位置记为()即表示第2行第3列的数，12,7表示第12行第7列的数，∵()由1行1列的数字是12-0=12-（1-1）=1，2行2列的数字是22-1=22-（2-1）=3，3行3列的数字是32-2=32-（3-1）=7，…n行n列的数字是n2-（n-1）=n2-n+1，∵第12行12列的数字是122-12+1=133，∵第12行第7列的数字是138，故答案为：138．【点睛】此题考查观察分析归纳总结顾虑的能力，解答此题的关键是找出两个规律，即n 行n 列数的特点为（n 2-n +1），且每一行的第一个数字逆箭头方向顺次减少1，此题有难度． 21．数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点1A ，第2次从点1A 向右移动6个单位长度至点2A ，第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点3A ，…，按照这种移动方式进行下去，如果点n A 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是_______． 【答案】13 【分析】序号为奇数的点在点A 的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A 的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A 13表示的数为-17-3=-20，A 12表示的数为16+3=19，则可判断点A n 与原点的距离不小于20时，n 的最小值是13． 【详解】解：第一次点A 向左移动3个单位长度至点A 1，则A 1表示的数，1-3=-2； 第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2，则A 2表示的数为-2+6=4； 第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点A 3，则A 3表示的数为4-9=-5； 第4次从点A 3向右移动12个单位长度至点A 4，则A 4表示的数为-5+12=7； 第5次从点A 4向左移动15个单位长度至点A 5，则A 5表示的数为7-15=-8； …则A 7表示的数为-8-3=-11，A 9表示的数为-11-3=-14，A 11表示的数为-14-3=-17，A 13表示的数为-17-3=-20，A 6表示的数为7+3=10，A 8表示的数为10+3=13，A 10表示的数为13+3=16，A 12表示的数为16+3=19，所以点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是13． 故答案为13． 【点睛】本题考查了规律型问题，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决问题的关键．22．下列图形是由同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，每一个小正方形表示一块地砖，如果按图1、2、3 的次序铺设地砖，把第n 个图形用图n 表示，那么图100中的白色小正方形地砖的块数是_______．【答案】703 【分析】根据图象中地砖个数发现规律，图n 中有()32n +块黑色地砖，图n 中一共有()105n +块地砖，就可以得到白色地砖数，令100n =即可求出结果． 【详解】解：图1中有5块黑色地砖，图2中比图1中多3块黑色地砖，有8块黑色地砖， 图3中比图2中多3块黑色地砖，有11块黑色地砖， …图n 中有()53132n n +-=+块黑色地砖， 图1中一共有5315⨯=块地砖， 图2中一共有5525⨯=块地砖， 图3中一共有5735⨯=块地砖， …图n 中一共有()521105n n +=+块地砖，∵图100中白色小正方形地砖的块数是：()10100531002703⨯+-⨯+=（块）． 故答案是：703． 【点睛】本题考查找规律，解题的关键是找出图形中的规律，并用n 将规律通过代数式表示出来． 23．2020年6日1日，湖州市政府发布了全新湖洲城市形象标识，小周同学对新形象标识很感兴趣，用电脑绘画软件绘制了如下图形，其中第（1）个图形有3个形象标识，第（2）个图形有7个形象标识，第（3）个图形有13个形象标识，按此规律绘制下去．（1）小周绘制的第（5）个图形中有_________个形象标识．（2）小周绘制的第（n）个图形中有_________个形象标识．【答案】31 （n2+n+1）【分析】观察图形可知，每个图形中形象标识的个数为序号数的平方+序号数+1，依此可求第5个和第n个图有多少个形象标识．【详解】解：由图形可知，第1个图形有12+1+1=3个形象标识，第2个图形有22+2+1=7个形象标识，第3个图形有32+3+1=13个形象标识，第4个图形有42+4+1=21个形象标识，（1）小周绘制的第（5）个图形中有52+5+1=31个形象标识．（2）小周绘制的第（n）个图形中有（n2+n+1）个形象标识．故答案为：31；（n2+n+1）．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键．三、解答题24．探究：211112222122-=⨯-⨯=，32222-=⨯-⨯=，222212243333-=⨯-⨯=，2222122……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n个等式；（3）计算：12320192020++++-．22222【答案】（1）25-24=2×24-1×24=24；（2）2n+1-2n=2×2n-1×2n=2n；（3）-2【分析】（1）根据给出的内容，直接可以仿写25-24=2×24-1×24=24，（2）2n +1-2n =2×2n -1×2n =2n ，（3）将原式进行变形，即提出负号后，就转化为原题中的类型，利用（1）（2）的结论，直接得出结果． 【详解】解：（1）由题意可得： 25-24=2×24-1×24=24； （2）2n +1-2n =2×2n -1×2n =2n ； （3）1232019202022222++++-=()1232019202022222++++-=1232018201922222++++-... =2-22 =-2 【点睛】此题主要考查了数字变化规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：2n +1-2n =2n 成立． 25．一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a 1＝﹣1，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n ＝111n a --．（1）求a 2，a 3的值；（2）求a 1+a 2+a 3+…+a 2021的值． 【答案】（1）212a =，32a =；（2）1009 【分析】（1）将11a =-代入2111a a =-计算可得2a ，再将2a 代入3211a a =-，可求出3a ；（2）根据规律可得出结果． 【详解】解：（1）把11a =-代入2111a a =-得， 2111(1)2a =--=，把212a =代入3211a a =-得，312112a ==-，∵212a =，32a =； （2）将32a =代入4311a a =-得， 41112a ==-- 同理5111(1)2a ==--， 62a =，71a =-，812a =， ⋯⋯12345678920172018201932a a a a a a a a a a a a ++==++=++=⋯=++， 所以1232021111112121212222a a a a +++⋯+=-++-++-++⋯⋯-+31673122=⨯-+ 1009=．【点睛】本题考查有理数的混合运算，探索数字的变化规律，正确的计算2a ，3a ，4a ，5a ⋯⋯进而得出变化规律是解决问题的关键． 26．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，将以上三个等式两边分别相加得：111122334++⨯⨯⨯11111122334=-+-+-13144=-=． （1）猜想并写出：1(1)n n =+________． （2）直接写出结果：111112233420182019++++=⨯⨯⨯⨯___________．（3）计算111124466820182020++++⨯⨯⨯⨯．【答案】（1）111n n -+；（2）20182019；（3）10094040【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的猜想； （2）先裂项，然后再计算即可；（3）根据题目中式子的特点，每项提取12，再裂项计算即可． 【详解】解：（1）由题意可得：111(1)1n n n n =-++；（2）111112233420182019++++⨯⨯⨯⨯=111111112233420182019-+-+-++- =112019- =20182019； （3）111124466820182020++++⨯⨯⨯⨯=111111111224466820182020⎛⎫-+-+-++- ⎪⎝⎭=111222020⎛⎫- ⎪⎝⎭ =1100922020=10094040【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 27．阅读下列材料：11112(123012)23(234123)34(345234)333⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯；由以上三个等式相加，可得1122334345203⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯=．读完以上材料，请你计算下列各题： （1）计算：12233499100⨯+⨯+⨯++⨯（写出过程）（2）直接写出直接：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+=_________． （3）计算：123234345181920⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯（写出过程）【答案】（1）333300；（2）()()1123n n n ++；（3）35910 【分析】根据给定等式的变化找出变化规律()()()()()1112113n n n n n n n n +=++--+⎡⎤⎣⎦；（1）根据变化规律将算式展开后即可得出原式=1991001013⨯⨯⨯，此题得解； （2）根据变化规律将算式展开后即可得出原式=()()1123n n n ++，此题得解；（3）通过类比找出变化规律“n （n +1）（n +2）=14[n （n +1）（n +2）（n +3）-（n -1）n （n +1）（n +2）]”，依此规律将算式展开后即可得出结论． 【详解】解：观察，发现规律：112(123012)3⨯=⨯⨯-⨯⨯，123(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯，134(345234)3⨯=⨯⨯-⨯⨯，…，∵()()()()()1112113n n n n n n n n +=++--+⎡⎤⎣⎦； （1）12233499100⨯+⨯+⨯++⨯=()()()111123012234123 (9910010198991003)33⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯ =1991001013⨯⨯⨯ =333300；（2）122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+=()()()()()()111230122341231121.13..33n n n n n n ++--+⎡⎤⎣⎦⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++ =()()1123n n n ++；（3）123234345181920⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=()()()1111234012323451234 (181920211718192044)4⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =1181920214⨯⨯⨯⨯ =35910 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，利用类比的数学思想解答．28．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案，请仔细观察，并回答下列问题：（1）第4个图案中有白色纸片多少张？（2）第n个图案中有白色纸片多少张？（3）第几个图案有白色纸片有2011张？（写出必要的步骤）【答案】（1）13；（2）（3n+1）张（3）第670个图案有白色纸片有2011张，见解析【分析】（1）观察图形的变化可得第4个图案中有白色纸片有3×4+1＝13张；（2）结合（1）即可得规律，第n个图案中有白色纸片（3n+1）张；（3）结合（2）发现的规律即可求得白色纸片有2011张是第几个图案．【详解】（1）观察图形的变化可知：第1个图案中有白色纸片张数为：3×1+1＝4；第2个图案中有白色纸片张数为：3×2+1＝7；第3个图案中有白色纸片张数为：3×3+1＝10；第4个图案中有白色纸片张数为：3×4+1＝13；（2）根据（1）发现规律：第n个图案中有白色纸片张数为：（3n+1）张．（3）根据（2）可知：3n+1＝2011，解得n＝670．答：第670个图案有白色纸片有2011张．【点睛】此题考查规律型-图形的变化类，解题的关键是根据图形的变化寻找规律．29．图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明为了研究这片网的结点数（V），网眼数（F），边数（E）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：V F E之间（1）表中“∵”处应填的数字为__________；根据上述探索过程，可能猜想,,满足的数量关系是__________．（2）如图2，若网眼形状为六边形，请仿照小明的探索方法，完成下面表格并猜想,,V F E 之间满足的数量关系．根据上述探索过程，可以猜想,,V F E 之间满足的数量关系是________． 【答案】（1）17，1V F E +-=；（2）表见解析，1V F E +-= 【分析】（1）根据表格中的数据可以得到表中“∵”处应填的数字并猜想出V ，F ，E 之间满足的等量关系；（2）根据（1）中的例子，可以猜想出若网眼形状为六边形，V ，F ，E 之间满足的等量关系． 【详解】解：（1）由表格可得， 表中“∵”处应填的数字为17，根据上述探索过程，可以猜想V ，F ，E 之间满足的等量关系为：V+F -E=1， 故答案为：17，V+F -E=1； （2）若网眼形状为六边形 当V=6时，F=1，E=6， 当V=10时，F=2，E=11， 当V=16时，F=4，E=19， 当V=22时，F=6，E=27，则V ，F ，E 之间满足的等量关系为V+F -E=1， 故答案为：V+F -E=1【点睛】30．先阅读下面文字，然后按要求解题．例：123100?+++⋅⋅⋅+=如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的．因为11002993985051101+=+=+=⋅⋅⋅=+=，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果． （1）补全例题解题过程；123100(1100)(299)(398)(5051)101++++=++++++++=⨯_____=_____．（2）计算：2468100++++⋅⋅⋅+（3）计算：()(2)(3)(99)a a b a b a b a b +++++++⋅⋅⋅++． 【答案】（1）50，5050；（2）2550；（3）1004950a b + 【分析】（1）根据题干中的示例计算即可得解；（2）根据两数之和为102，再乘以数字的个数即可得；（3）将所有的a 相加、所有含b 的式子相加，含b 的代数式利用以上求和方法求解可得． 【详解】解：（1）123100+++⋯+(1100)(299)(398)(5051)++++++⋯++10150=⨯5050=，故答案为：50、5050； （2）2468100++++⋅⋅⋅+1(2100)22100=+⨯⨯10225=⨯ 2550=；（3）原式100(23499)a b b b b b =+++++⋯+99(199)1002a b ⨯+=+1004950a b =+．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握(1)1232n n n ++++⋯+=．。
专题01 规律探究压轴题真题训练汇总(解析版)-2023年中考数学解答题压轴真题汇编
挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题01规律探究压轴题真题训练一．尾数特征（共1小题）1．（2022•内蒙古）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．8【答案】C【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…∴7n的尾数1，7，9，3循环，∴70+71+72+73的个位数字是0，∵2023÷4＝505…3，∴70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同，∴70+71+…+72022的结果的个位数字是7，故选：C．二．算术平方根（共1小题）2．（2022•烟台）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（）A．（2）5B．（2）6C．（）5D．（）6【答案】C【解答】解：由题知，第1个正方形的边长AB＝1，根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC＝，根据勾股定理得，第3个正方形的边长CF＝（）2，根据勾股定理得，第4个正方形的边长GF＝（）3，根据勾股定理得，第5个正方形的边长GN＝（）4，根据勾股定理得，第6个正方形的边长＝（）5．故选C．三．规律型：数字的变化类（共12小题）3．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】A【解答】解：原数据可转化为：，﹣，，﹣，，﹣，…，∴＝（﹣1）1+1×，﹣＝（﹣1）2+1×，＝（﹣1）3+1×，..．∴第n个数为：（﹣1）n+1，∴第10个数为：（﹣1）10+1×＝﹣．故选：A．4．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）A．98B．100C．102D．104【答案】B【解答】解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，∴第9行最后一个数为90，∴第10行第5个数是90+2×5＝100，故选：B．5．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（）A．（2n﹣1）x n B．（2n+1）x n C．（n﹣1）x n D．（n+1）x n【答案】A【解答】解：∵单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，∴第n个单项式为（2n﹣1）x n，故选：A．6．（2021•十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B【解答】解：由题意可知：行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数，∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）＝1012个数，∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1＝2023．故选：B．7．（2021•随州）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B【解答】解：通过观察可得规律：p＝n2，q＝（n+1）2﹣1，∵q＝143，∴（n+1）2﹣1＝143，解得：n＝11，∴p＝n2＝112＝121，故选：B．8．（2020•娄底）下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x的值为（）A．135B．153C．170D．189【答案】C【解答】解：分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1+1，3＝2+1，4＝3+1；∴18＝2b，b＝a+1．∴a＝8，b＝9．又∵9＝2×4+1，20＝3×6+2，35＝4×8+3，∴x＝18b+a＝18×9+8＝170．故选：C．9．（2022•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是．【答案】【解答】解：∵，，，……，∴第n个数是，当n＝30时，＝＝，故答案为：．10．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是．【答案】（10，18）【解答】解：∵第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数，∴99＝102﹣1在第10行倒数第二个，第10行有：2×10﹣1＝19个数，∴99的有序数对是（10，18）．故答案为：（10，18）．11．（2021•荆门）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第行第列．【答案】64，5．【解答】解：由图可知，第一行1个数字，第二行2个数字，第三行3个数字，…，则第n行n个数字，前n行一共有个数字，∵＜2021＜，2021﹣＝2021﹣2016＝5，∴2021是表中第64行第5列，故答案为：64，5．12．（2020•德阳）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，我们称4是第2组第1个数字，16是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝．【答案】65【解答】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，∴第m组有m个连续的偶数，∵2020＝2×1010，∴2020是第1010个偶数，∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，∴2020是第45组第1010﹣990＝20个数，∴m＝45，n＝20，∴m+n＝65，故答案为：65．13．（2020•泰安）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a4+a200＝．【答案】20110【解答】解：观察“杨辉三角”可知第n个数记为a n＝（1+2+…+n）＝n（n+1），则a4+a200＝×4×（4+1）+×200×（200+1）＝20110．故答案为：20110．14．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．四．规律型：图形的变化类（共10小题）15．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297B．301C．303D．400【答案】B【解答】解：观察图形可知：摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；…第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．故选：B．16．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【解答】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3＝10，故选：B．17．（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C【解答】解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，即1+2＝3，第③个图案中有5个菱形即1+2+2＝5，……则第n个图案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）个，∴第⑥个图案中有2×6﹣1＝11个菱形，故选：C．18．（2021•玉林）观察下列树枝分叉的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9﹣Y4＝（）A．15×24B．31×24C．33×24D．63×24【答案】B【解答】解：由题意得：第1个图：Y1＝1，第2个图：Y2＝3＝1+2，第3个图：Y3＝7＝1+2+22，第4个图：Y4＝15＝1+2+22+23，•••第9个图：Y9＝1+2+22+23+24+25+26+27+28，∴Y9﹣Y4＝24+25+26+27+28＝24（1+2+22+23+24）＝24×（3+4+8+16）＝24×31．故选：B．19．（2020•十堰）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n＝（）A．17B．18C．19D．20【答案】B【解答】解：根据图形规律可得：上三角形的数据的规律为：2n（1+n），若2n（1+n）＝396，解得n不为正整数，舍去；下左三角形的数据的规律为：n2﹣1，若n2﹣1＝396，解得n不为正整数，舍去；下中三角形的数据的规律为：2n﹣1，若2n﹣1＝396，解得n不为正整数，舍去；下右三角形的数据的规律为：n（n+4），若n（n+4）＝396，解得n＝18，或n＝﹣22，舍去故选：B．20．（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料根．【答案】【解答】解：由图可知：第一个图形有木料1根，第二个图形有木料1+2＝3（根），第三个图形有木料1+2+3＝6（根），第四个图形有木料1+2+3+4＝10（根），.....．第n个图有木料1+2+3+4+......+n＝（根），故答案为：．21．（2022•聊城）如图，线段AB＝2，以AB为直径画半圆，圆心为A1，以AA1为直径画半圆①；取A1B的中点A2，以A1A2为直径画半圆②；取A2B的中点A3，以A2A3为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为．【答案】π【解答】解：∵AB＝2，∴AA1＝1，半圆①弧长为＝π，同理A1A2＝，半圆②弧长为＝（）2π，A2A3＝，半圆③弧长为＝（）3π，.....．半圆⑧弧长为＝（）8π，∴8个小半圆的弧长之和为π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．故答案为：π．22．（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为．【答案】（1+）2022【解答】解：由题意可得，P 1K1＝OP1•tan60°＝1×＝，P 2K2＝OP2•tan60°＝（1+）×＝（1+），P3K3＝OP3•tan60°＝（1+++3）×＝（1+）2，P 4K4＝OP4•tan60°＝[（1+++3）+（1+）2]×＝（1+）3，…，P n K n＝（1+）n﹣1，∴当n＝2023时，P2023K2023＝（1+）2022，故答案为：（1+）2022．23．（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有．【答案】485【解答】解：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3+2＝2×32﹣1＝17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2＝2×33﹣1＝53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2＝2×34﹣1＝161，第五个图形正三角形的个数为161×3+2＝2×35﹣1＝485．如果是第n个图，则有2×3n﹣1个故答案为：485．24．（2021•黑龙江）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依次规律继续作正方形A n B n∁n A n+1，且点A0，A1，A2，A3，…，A n+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n的面积为S n，则S2021＝．【答案】【解答】解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，∴A1D1∥A2C1，∴，∴，∴，同理可得：，∴，，，…，，∴，故答案为：．五．完全平方公式（共2小题）25．（2020•贺州）我国宋代数学家杨辉发现了（a+b）n（n＝0，1，2，3，…）展开式系数的规律：以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）8展开式的系数和是（）A．64B．128C．256D．612【答案】C【解答】解：由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）8展开式中所有项的系数和为（1+1）8＝28＝256．故选：C．26．（2019•烟台）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128B．256C．512D．1024【答案】C【解答】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，•••当n＝9时，展开式的项系数和为＝29＝512，故选：C．六．点的坐标（共1小题）27．（2004•南宁）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，离O点的距离是米．【答案】15【解答】解：由题意可知：OA1＝3；A1A2＝3×2；A2A3＝3×3；可得规律：A n﹣1A n＝3n，当机器人走到A6点时，A5A6＝18米，点A6的坐标是（9，12）；所以当机器人走到A6点时，离O点的距离是＝15米．故答案为：15．七．规律型：点的坐标（共9小题）28．（2019•日照）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（）A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（1，505）【答案】A【解答】解：观察图形可以看出A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；...每4个为一组，∵2019÷4＝504 (3)∴A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，∴A2019的横坐标为﹣（2019﹣3）×＝﹣1008．∴A2019的坐标为（﹣1008，0）．故选：A．29．（2014•威海）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4…，则依此规律，点A2014的纵坐标为（）A．0B．﹣3×（）2013C．（2）2014D．3×（）2013【答案】D【解答】解：∵∠A2OC2＝30°，OA1＝OC2＝3，∴OA2＝OC2＝3×；∵OA2＝OC3＝3×，∴OA3＝OC3＝3×（）2；∵OA3＝OC4＝3×（）2，∴OA4＝OC4＝3×（）3，∴OA2014＝3×（）2013，而2014＝4×503+2，∴点A2014在y轴的正半轴上，∴点A2014的纵坐标为：3×（）2013．故选：D．30．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4 (x)上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A 2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝x交于点B1，B2，B3，B4…记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2022＝．【答案】24041【解答】解：∵OA1＝1，OA2＝2OA1，∴OA2＝2，∵OA3＝2OA2，∴OA3＝4，∵OA4＝2OA3，∴OA4＝8，把x＝1代入直线y＝x中可得：y＝，∴A1B1＝，把x＝2代入直线y＝x中可得：y＝2，∴A2B2＝2，把x＝4代入直线y＝x中可得：y＝4，∴A3B3＝4，把x＝8代入直线y＝x中可得：y＝8，∴A4B4＝8，∴S1＝OA1•A1B1＝×1×＝×20×（20×），S 2＝OA2•A2B2＝×2×2＝×21×（21×），S 3＝OA3•A3B3＝×4×4＝×22×（22×），S 4＝OA4•A4B4＝×8×8＝×23×（23×），..．∴S2022＝×22021×（22021×）＝24041，故答案为：24041．31．（2022•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，…，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是．【答案】（）2022【解答】解：∵y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，），∴OA＝3，OB＝，∴tan∠BAO＝，∴∠BAO＝30°，∵BC1⊥l，∴∠C1BO＝∠BAO＝30°，∴BC1＝＝2，∵B1C1⊥x轴，∴∠B1C1B＝30°，∴B1C1＝＝，同理可得，B2C2＝C1＝（）2，依此规律，可得B n∁n＝（）n，当n＝2022时，B2022C2022＝（）2022，故答案为：（）2022．32．（2021•齐齐哈尔）如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点P n（n为正整数）的坐标是．【答案】（0，n2+n）【解答】解：∵点A1（1，1），∴OA1＝，∠A1OP1＝45°，∵A1B1⊥OA1，∴△A1OP1是等腰直角三角形，∴∠A1P1O＝∠B1P1P2＝45°，OP1＝2，∴P1（0，2），∵B1A2⊥A1B1，∴△B1P1P2是等腰直角三角形，设P1P2＝2a，则：点B1（﹣a，2+a），把点B1（﹣a，2+a）代入y＝x2得：a2＝2+a，解得：a＝2或a＝﹣1（舍），∴P1P2＝4，∴P2（0，6），同理：△A2P3P2是等腰直角三角形，设P3P2＝2b，则：点A2（b，b+6），把点A2（b，b+6）代入y＝x2得：b2＝b+6，解得：b＝3或b＝﹣2（舍），∴P3P2＝6，∴P3（0，12），由P1（0，2），P2（0，6），P3（0，12）可推：点P n（0，n2+n）．故答案为：（0，n2+n）．33．（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是．【答案】22020【解答】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积＝＝2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的腰长为＝2，∴第2个等腰直角三角形的面积＝＝4＝22，∵A4（10，4），∴第3个等腰直角三角形的腰长为10﹣6＝4，∴第3个等腰直角三角形的面积＝＝8＝23，…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．34．（2019•绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是．【答案】（，）【解答】解：由题意知，A1（，）A2（1，0）A3（，）A4（2，0）A5（，﹣）A6（3，0）A7（，）…由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：，0，，0，﹣，0这样循环，∴A2019（，），故答案为：（，）．35．（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt △OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【答案】（﹣22017，22017）【解答】解：由题意得，A1的坐标为（1，0），A 2的坐标为（1，），A 3的坐标为（﹣2，2），A4的坐标为（﹣8，0），A 5的坐标为（﹣8，﹣8），A 6的坐标为（16，﹣16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，点A1，A2，A3，A4，…的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x轴正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x轴负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A3的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017，故答案为：（﹣22017，22017）．36．（2018•资阳）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是．【答案】（0，21009）【解答】解：由已知，点A每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍∵2018＝252×8+2∴点A2018的在y轴正半轴上，OA2018＝＝21009故答案为：（0，21009）八．坐标确定位置（共1小题）37．（2008•湛江）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．【答案】（6，5）【解答】解：观察图表可知：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．实数15＝1+2+3+4+5，则17在第6排，第5个位置，即其坐标为（6，5）．故答案为：（6，5）．九．一次函数图象上点的坐标特征（共5小题）38．（2021•兴安盟）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为．【答案】（，）【解答】解：∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，∴A1（1，0），B1（1，），∵四边形A1B1C1A2是正方形，∴A2（，0），B2（，），A3（，0），B3（，），A4（，0），B4（，），……A n（，0），B n（，），∴点B2021的坐标为（，），故答案为：（，）．39．（2021•泰安）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形A n B n B n+1∁n的边长为（结果用含正整数n的代数式表示）．【答案】×（）n﹣1．【解答】解：设直线y＝x与x轴夹角为α，过B1作B1H⊥x轴于H，如图：∵点B1的横坐标为2，点B1在直线l：y＝x上，令x＝2得y＝1，∴OH＝2，B1H＝1，OB1＝＝，∴tanα＝＝，Rt△A1B1O中，A1B1＝OB1•tanα＝，即第1个正方形边长是，∴OB2＝OB1+B1B2＝+＝×3，Rt△A2B2O中，A2B2＝OB2•tanα＝×3×＝×，即第2个正方形边长是×，∴OB3＝OB2+B2B3＝×3+×＝×，Rt△A3B3O中，A3B3＝OB3•tanα＝××＝×，即第3个正方形边长是×＝×（）2，∴OB4＝OB3+B3B4＝×+×＝×，Rt△A4B4O中，A4B4＝OB4•tanα＝＝××＝×，即第4个正方形边长是×＝×（）3，.....．观察规律可知：第n个正方形边长是×（）n﹣1，故答案为：×（）n﹣1．40．（2019•朝阳）如图，直线y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作AB⊥AM，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，A n﹣1B n﹣1C n﹣1A n中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，S n，则S n可表示为．【答案】【解答】解：在直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣3；∴OA＝1，OM＝3，∴tan∠AMO＝，∵∠OAB+∠OAM＝90°，∠AMO+∠OAM＝90°，∴∠OAB＝∠AMO，∴tan∠OAB＝，∴OB＝．∵，∴，易得tan，∴，∴，∴，同理可得，，…，＝＝＝．故答案为：．41．（2019•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝．【答案】【解答】解：直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝＝，故答案为：．42．（2018•湖北）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y＝﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依．据图形所反映的规律，S2018＝【答案】【解答】解：如图，分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，∴OC＝CA1＝P1C＝3，设A1D＝a，则P2D＝a，∴OD＝6+a，∴点P2坐标为（6+a，a），将点P2坐标代入y＝﹣x+4，得：﹣（6+a）+4＝a，解得：a＝，∴A1A2＝2a＝3，P2D＝，同理求得P3E＝、A2A3＝，∵S1＝×6×3＝9、S2＝×3×＝、S3＝××＝、……∴S2018＝，故答案为：．十．两条直线相交或平行问题（共1小题）43．（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝x交于点A 1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A n的纵坐标为（）A．（）n B．（）n+1C．（）n﹣1+D．【答案】A【解答】解：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x＝，y＝，故A1（，）；则点B1（，0），则直线B1A2的表达式为：y＝x+b，将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3＝x﹣，将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x＝，y＝，即点A2的纵坐标为；同理可得A3的纵坐标为，…按此规律，则点A n的纵坐标为（）n，故选：A．十一．三角形的面积（共3小题）44．（2021•黑龙江）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD 至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝．【答案】24038【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，∴∠ADC＝120°，AD＝CD＝1，∴∠ADA1＝60°，∵DA1＝CD，∴AD＝DA1，∴△ADA1为等边三角形且边长为1，同理：△A1D1A2为等边三角形且边长为2，△A2D2A3为等边三角形且边长为4，△A3D3A4为等边三角形且边长为8，…，△A2021D2021A2022为等边三角形且边长为22021，∴S1＝×12，S2＝×22，S3＝×42，…，S n＝×22n﹣2，∴S2021＝×24040＝24038，故答案为24038．45．（2020•辽宁）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD 与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则S n等于．（用含有正整数n的式子表示）【答案】×4n﹣1【解答】解：设△ADC的面积为S，由题意，AC∥B1B2，AC＝AB＝2，B1B2＝4，∴△ACD∽△B2B1D，∴＝（）2＝，∴＝4S，∵＝＝，CB1＝2，∴DB1＝，同法D1B2＝，∵DB1∥D1B2，∴＝＝，∴＝，∴S1＝S+＝，∵△A1C1D1∽△ACD，∴＝（）2＝，∴＝4S，同法可得，＝，∴S2＝4S+＝＝×4，…S n＝×4n﹣1，∵S＝×2×＝，∴S n＝×4n﹣1．故答案为：．46．（2020•丹东）如图，在矩形OAA1B中，OA＝3，AA1＝2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2＝OA1，连接OA2交A1B于点C；以OA2为边，作矩形OA2A3B2，使A2A3＝OA2，连接OA3交A2B1于点C1；以OA3为边，作矩形OA3A4B3，使A3A4＝OA3，连接OA4交A3B2于点C2；…按照这个规律进行下去，则△C2019C2020A2022的面积为．【答案】【解答】解：在矩形OAA1B中，∵OA＝3，AA1＝2，∴∠A＝90°，∴OA1＝＝＝，∵＝＝，∴＝，∵∠OA1A2＝∠A＝90°，∴△OA1A2∽△OAA1，∴∠A1OA2＝∠AOA1，∵A1B∥OA，∴∠CA1O＝∠AOA1，∴∠COA1＝∠CA1O，∴OC＝CA1，∵∠A2OA1+∠OA2A1＝90°，∠OA1C+∠A2A1C＝90°，∴∠CA2A1＝∠CA1A2，∴CA1＝CA2＝OC，同法可证OC1＝A3C1，∴CC1∥A2A3，CC1＝A2A3，∴＝，∵A1A2＝，∴OA2＝＝＝，∴A2A3＝×＝，∴CC1＝A2A3＝，∴＝＝××＝，同法可证＝S，由题意，＝＝＝，∵△C2A3C1∽△C1A2C，∴相似比为：＝，∴＝（）2×＝，＝，…，由此规律可得，△C2019C2020A2022的面积为．故答案为．十二．等边三角形的性质（共1小题）47．（2019•锦州）如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n﹣1BA n，记△OO1A 的面积为S1，△O1O2A1的面积为S2，△O2O3A2的面积为S3，…，△O n﹣1O n A n 的面积为S n，则S n＝．（n≥2，且n为整数）﹣1【答案】（）n﹣1•【解答】解：由题意：△OO1A∽△O1O2A1∽△O2O3A2，…，∽△O n﹣1O n A n﹣1，相似比：＝＝sin60°＝，∵S 1＝＝×1×＝，＝，∴S2＝S1，S3＝（）2•S1，…，S n＝（）n﹣1•S1＝（）n﹣1•，故答案为：（）n﹣1•．十三．含30度角的直角三角形（共2小题）48．（2020•营口）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为．【答案】（1+）2019【解答】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°＝，∵A1B1∥A2B2，∴＝，∴＝，∴A2B2＝（1+），同法可得，A3B3＝（1+）2，…由此规律可知，A2020B2020＝（1+）2019，故答案为（1+）2019．49．（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA 1＝．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于．【答案】219【解答】解：∵B1O＝B1A2，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，∴B1A1＝A2B2，∴A2B2＝2A1B1，同法可得A3B3＝2A2B2＝22•A1B1，…，由此规律可得A20B20＝219•A1B1，∵A1B1＝OA1•tan30°＝×＝1，∴A20B20＝219，故答案为219．十四．勾股定理（共1小题）50．（2020•烟台）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA n的长度为（）A．（）n B．（）n ﹣1C．（）n D．（）n﹣1【答案】B【解答】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2＝；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2＝；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝2＝．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4＝，……∴OA n的长度为（）n﹣1．故选：B．十五．正方形的性质（共1小题）51．（2019•鞍山）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形A n B n∁n A n+1，且点A0，A1，A2，A3，…，A n+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n的面积为S n，则S2019＝．【答案】×42018【解答】解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，∴A1D1∥A2C1，∴＝，∴＝，∴A1D1＝，同理可得：A2D2＝，∴S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×42，…，S n＝4n ﹣1﹣×4n﹣1＝×4n﹣1，∴S2019＝×42018，故答案为：×42018．十六．扇形面积的计算（共1小题）52．（2019•抚顺）如图，直线l 1的解析式是y＝x，直线l2的解析式是y＝x，点A1在l1上，A1的横坐标为，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以点A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以点A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2………按照此规律继续作下去，则S n＝．（用含有正整数n的式子表示）【答案】（﹣）×（）2n﹣2【解答】解：过A1作A1D⊥x轴于D，连接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，∵点A1在l1上，A1的横坐标为，点A1（，），∴OD＝，A1D＝，∴OA1＝＝＝，∴在Rt△A1OD中，A1D＝OA1，∴∠A1OD＝30°，∵直线l2的解析式是y＝x，∴∠B1OD＝60°，∴∠A1OB1＝30°，∴A1B1＝OA1•tan∠A1OB1＝1，∵A1B1⊥l1交l2于点B1，∴∠A1B1O＝60°，∴∠A1B1B2＝120°，∴∠B1A1C1＝60°，∵四边形A1B1B2C1是菱形，∴△A1B1C1是等边三角形，∴S 1＝2（S﹣S）＝2×（﹣×12）＝﹣，∵A1C1∥B1B2，∴∠A2A1C1＝∠A1OB1＝30°，∴A2C1＝，A2B2＝A2C1+B2C1＝，∠A2B2O＝60°，同理，S 2＝2（S﹣S）＝2×[﹣×（）2]＝（﹣）×（）2，S3＝（﹣）×（）4，…∴S n＝（﹣）×（）2（n﹣1）＝（﹣）×（）2n﹣2．故答案为：（﹣）×（）2n﹣2．十七．相似三角形的判定与性质（共1小题）53．（2021•东营）如图，正方形ABCB 1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…，依此规律，则线段A2020A2021＝．【答案】2×（）2020【解答】解：根据题意可知AB1＝AB＝，∠B1AA1＝90°﹣60°＝30°，∴tan∠B1AA1＝＝，∴A1B1＝AB1×＝×＝1，AA1＝2A1B1＝2，A2B2＝A1B2×＝A1B1×＝，A1A2＝2A2B2＝2×，A3B3＝A2B3×＝A2B2×＝×＝（）2，A2A3＝2A3B3＝2×（）2，∴A2021B2021＝A2020B2021×＝（）2020，A2020A2021＝2A2021B2021＝2×（）2020，故答案为：2×（）2020．十八．概率公式（共1小题）54．（2020•济宁）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵第1个图形中正方体的个数为1，第2个图形中正方体的个数3＝1+2，第3个图形中正方体的个数6＝1+2+3，∴第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝＝5050（个），其中写有“心”字的正方体有100个，∴抽到带“心”字正方体的概率是＝，故选：D．。
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第二轮复习-----规律探究题专项训练
1．观察规律并填空：
（1）4，7，10，13，16，，……；第100个数是，第n个数是。
（2）2，4，8，16，32，，……；第100个数是，第n个数是。
（3）1，4，9，16，25，，……；第100个数是，第n个数是。
（4）0，3，8，15，24，，……；第100个数是，第n个数是。
2．（2009 梅州）如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共
3．（2009 丹东）如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第100个图案需棋子枚．
4．（2009 福建）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中
有个点．
5．（2009
广西）下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2009个梅花图案中，共有__________个“”图案．
6．（2011曲靖）将一列整式按某种规律排成x,－2x2,4x3,－8x4,16x5…则排在第六个位置的整式为________；
8．（2010 辽宁）观察下列数据:
3
2
x
,
15
3
x
,
35
4
x
,
63
5
x
,
99
6
x
，…它们是按一定规律排列
的，依照此规律，第n个数据是________ .
9．（2010 贵州）木材加工厂堆放木料的方式如图所示，依此规律，可得出第6堆木料的根数是。
……
……
第1幅第2幅第3幅第n幅
图案1 图案2 图案3
……
（1）（2）（3）（4）（5）
……
……
…… 10．（2009 聊城）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 ．
12．（2010年广东）如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2
（如图（2））；以此下去···，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为__________。
13．（2011荆州）图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一
个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个;若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个;如此下去，可铺成一个n×n 的近似正方形图案.当得到完整的菱形共181个时，n 的值为（ ） A.7 B.8 C.9 D.10
图（1）
A 1
B 1
C 1
D 1
A B
C D D 2
A 2
B 2
C 2
D 1
C 1
B 1
A 1 A B
C D 图（2）
14．（2011常州）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点分别为A ()1,1、B ()1,1-、C ()1,1--、D ()1,1-，y 轴上有一点P ()2,0。
作点P 关于点A 的对称点1P ，作1P 关于点B 的对称点
2P ，作点2P 关于点C 的对称点3P ，作3P 关于点D 的对称点4P ，作点4P 关于点A 的对
称点5P ，作5P 关于点B 的对称点6P ┅，按如此操作下去，则点2011P 的坐标为 （ ） A ．()2,0 B ．()0,2 C ．()2,0- D ． ()0,2-
15．（2011龙岩）如图，依次以三角形、四边形、…、n 边形的各顶点为圆心画半径为l 的
圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为3S ，四边形与各圆重叠部分面积之和记为4S ，…。
n 边形与各圆重叠部分面积之和记为n S ．则90S 的值为_________．(结果保留π)
16．（2011钦州）如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是 ．
17．（2011贵州安顺）一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动
到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ） A ．(4，O) B.(5，0) C ．(0，5) D ．(5，5)
第17题图
(1，1)
(5，1)
(9，1)
(3，2)
(7，2)
(11，2)
(2，0) (4，0) (6，0) (8，0) (10，0) (12，0)
x y O
…
18．（2011
岳阳）将边长分别为
、
、
、…的正方形的面积记作
1234S S S S ，，，…．计算213243S S S S S S ---，，
…．若边长为(n 为正整数)的
正方形面积记作n S ．根据你的计算结果，猜想1n n S S +-=__________。
19．（2011吉林）用形状相同的两种菱形拼成如图所示的图案，用a 表示第n 个图案中菱
形的个数，则a n =___________（用含n 的式子表示）
a 1
=4
a 2
=10a 3
=16
20．（2011徐州）如图，每个图案都由若干个棋子摆成．依照此规律，第n 个图案中棋子的总个数可用含n 的代数式表示为__________．
21．（2011抚顺）用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星________个．
22．（11菏泽）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的
值是
.
23．（2011太原）如图是用相同长度的小棒摆戍的一组有规律的图案，图案(1)需要4根小
棒，图案(2)需要10根小棒……，按此规律摆下去，第n 个图案需要小棒________________根(用含有n 的代数式表示)。
第1个 第2个 第3个 第4个。