中考数学专题训练第2讲整式中的规律探究问题(解析版)
专题06 整式中规律探索的三种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册人教版)
专题06整式中规律探索的三种考法类型一、单项式规律性问题例．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，如此，则经2015次跳后它停的点所对应的数为（）A．5B．3C．2D．1【答案】C【分析】先根据题意，求出前几次跳到的点的位置，发现这是一个循环，按照3、5、2、1成一个循环，再用解循环问题的方法求解．【详解】解：按照题意，第一次在1这个点，下一次就跳到3，再下一次跳到5，再下一次跳到2，2是偶数了，就逆时针跳一个点，又回到了1这个点，发现这是一个循环，3、5、2、1是一个循环，÷ ，20154=5033∴最后到2这个点．故选：C．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是通过前几个数发现这是一个循环问题，利用解循环问题的方法求解．【变式训练1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表：【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．类型三、图形类规律探索例.根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（）根．A．8080B．6066C．6061D．6060【答案】C【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．【详解】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；故选C．【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．【变式训练1】下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（）A．69B．73C．77D．83【答案】B【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案．【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1），第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3，第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4，第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5，第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6，……【答案】57【分析】根据每个图形增加三角形的个数，找到规律即可．【详解】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…，第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=（4n﹣3）个，当n=15时，4n﹣3=4×15﹣3=57．故答案为：57．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题关键是通过图形数量的变化发现规律，并应用规律解决问题．课后训练20192020)a a -。
中考数学复习 查补重难点 整式相关运算与探索表达规律(解析版)
查补重难点01.整式相关运算与探索表达规律考点一：幂运算与乘法公式1.幂运算公式：⎪⎩⎪⎨⎧∙===∙∙+底数分别乘方的积）（积的乘法，等于各个，指数相乘）（幂的乘方，底数不变数不变，指数相加）（同底数幂的乘法，底n n n n m n m n m n m b a ab a a a a a )()(2.乘法公式：（1）平方差公式：()；22)(b a b a b a -=-+（2）完全平方公式：()2222222)(2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+；题型1.幂运算与乘法公式基本运算1）符号处理不当：在幂的运算中，很多同学计算时符号容易出错。
计算时，可以先确定计算符号，负数进行运算时，看次方，负数的奇次幂结果为负，偶次幂结果为正。
2）忽视指数为“1”的幂：在幂的运算中，有些同学会忽视指数为“1”的幂，从而导致计算的错误。
指数为“1”时通常省略不写，但是计算时不能漏加。
3）忽视0指数幂、负指数幂成立的条件：在计算零指数幂或负指数幂时，要注意，底数不能等于0.4）运用完全平方公式时，①丢掉系数的平分；②丢掉中间乘积项或漏了系数的“2倍”；③不能正确区分中间项符号特征。
5）运用平方差公式时，没找准“a ”与“b ”。
例1.（2023·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是()A ．22423m m m +=B ．243·m m m =C ．422m m m ÷=D ．246()m m =【答案】C【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解．【详解】解：22223m m m +=，故A 选项错误；24246m m m m +⋅==，故B 选项错误；42422m m m m -÷==，故C 选项正确；()42248m m m ⨯==，故D 选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．变式1.（2023年江苏省镇江市中考数学真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x 个球放入乙袋，再从乙袋中取出(22)x y +个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y 个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则+2x y 的值等于（）A ．128B ．64C ．32D ．16【答案】A 【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出2x ，2y ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．【详解】调整后，甲袋中有29-22)x y +(个球，29222292x x y y +--=-，乙袋中有(292)y -个球，52+2252x y y x +-=+，丙袋中有(52)x +个球．∵一共有29+29+5=63（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，∴调整后每只袋中有633=21÷（个）球，∴52=21x +，292=21y -，∴216x =，28y =，∴222168128x y x y +=⋅=⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．变式2．（2023·四川成都·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．22(3)9x x -=-B ．27512x x x +=C ．22(3)69x x x -=-+D ．22(2)(2)4x y x y x y -+=+【答案】C【分析】分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可．【详解】解：A 、22(3)9x x -=，故原计算错误，不符合题意；B 、7512x x x +=，故原计算错误，不符合题意；C 、22(3)69x x x -=-+，故原计算正确，符合题意；D 、22(2)(2)4x y x y x y -+=-，故原计算错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式，正确判断是解答的关键．题型2.完全平方公式变形求值（知二求二）乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形。
最新中考数学重难点专练02 规律探究问题(解析版)
重难点02 规律探究型问题【命题趋势】规律探究型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。
基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。
探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2020年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。
所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。
【满分技巧】一．从简单的情况入手﹕从简单的情况入手﹕求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二．新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识﹕二．关注问题中的不变量和变量﹕在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为n）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在．三．掌握一些数学思想方法规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1. (2019 贵州省毕节地区)下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019÷4＝504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选：C．2. (2019 河北省)对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对【答案】B【解析】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．3. (2019 湖北省鄂州市)如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D【解析】△△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，△A1B1△A2B2△A3B3△…△A n B n，B1A2△B2A3△B3A4△…△B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，△直线y＝x与x轴的成角△B1OA1＝30°，△OA1B1＝120°，△△OB1A1＝30°，△OA1＝A1B1，△A1（1，0），△A 1B 1＝1，同理△OB 2A 2＝30°，…，△OB n A n ＝30°， △B 2A 2＝OA 2＝2，B 3A 3＝4，…，B n A n ＝2n ﹣1， 易得△OB 1A 2＝90°，…，△OB n A n +1＝90°， △B 1B 2＝，B 2B 3＝2，…，B n B n +1＝2n ， △S 1＝×1×＝，S 2＝×2×2＝2，…，S n ＝×2n ﹣1×2n＝；故选：D ．4. (2019 湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的¶AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从(A A 为坐标原点）出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P 的纵坐标为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】点运动一个¶AB 用时为1202221803ππ⨯÷=秒． 如图，作CD AB ⊥于D ，与¶AB 交于点E ．在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒Q ，1602ACD ACB ∠=∠=︒，30CAD ∴∠=︒，112122CD AC ∴==⨯=，211DE CE CD ∴=-=-=，∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1；第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0； 第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为1-； 第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0； 第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1；⋯，∴点P 的纵坐标以1，0，1-，0四个数为一个周期依次循环，201945043÷=⋯Q ，∴第2019秒时点P 的纵坐标为是1-．故选：B ．5. (2019 湖南省张家界市)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形OA 2019B 2019C 2019，那么点A 2019的坐标是（ ）A ．（，﹣）B ．（1，0）C ．（﹣，﹣） D ．（0，﹣1）【答案】A【解析】△四边形OABC 是正方形，且OA ＝1， △A （0，1），△将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，△A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)△点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．6. (2019 山东省菏泽市)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【答案】C【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选：C．7. (2019 云南省)按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+1【答案】A【解析】△x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，……由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，故选：A．8. (2019 四川省广元市)如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l 的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（）A．（）100B．（3）100C．3×4199D．3×2395【答案】D【解析】△点A0的坐标是（0，1），△OA0＝1，△点A1在直线y＝x上，△OA1＝2，A0A1＝，△OA2＝4，△OA3＝8，△OA4＝16，得出OA n＝2n，△A n A n+1＝2n•，△OA198＝2198，A198A199＝2198•，△S1＝（4﹣1）•＝，△A2A1△A200A199，△△A0A1A2△△A198A199A200，△＝（）2，△S＝2396•＝3×2395故选：D．9. (2019 河南省)如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）【答案】D【解析】△A（﹣3，4），B（3，4），△AB＝3+3＝6，△四边形ABCD为正方形，△AD＝AB＝6，△D（﹣3，10），△70＝4×17+2，△每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，△点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．10. (2019 内蒙古赤峰市)如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：△将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；△在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．【答案】C【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，第二次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．二、填空题11. (2019 山东省泰安市)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l 上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．【答案】（2n﹣1）【解析】由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，△OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，△前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，△S＝2n﹣1，△1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，△前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），12. (2019 山东省潍坊市)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）【答案】（n,2n+1 ）【解析】连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1、l 2、l 3与x 轴分别交于A 1、A 2、A 3，如图所示： 在Rt△OA 1P 1中，OA 1＝1，OP 1＝2， △A 1P 1＝＝＝，同理：A 2P 2＝＝，A 3P 3＝＝，……，△P 1的坐标为（ 1，），P 2的坐标为（ 2，），P 3的坐标为（3，），……，…按照此规律可得点P n 的坐标是（n ，），即（n ，2n+1 ）故答案为：（n ，2n+1 ）．13. (2019 浙江省衢州市)如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
整式中的两种规律探索问题(解析版)
专题05 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，据此规律，当（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0时，代数式x 2019﹣1的值为 _____． 【答案】0或﹣2【详解】解：根据题意得∶ （x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1， （x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1， （x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1， ……∶（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1 ∶（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0， ∶x 6﹣1＝0，解得：x ＝1或x ＝﹣1， 则x 2019﹣1＝0或﹣2， 故答案为：0或﹣2．【变式训练1】a 是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2021a 的值是（ ） A ．5 B ．14-C ．43D ．45【答案】B【解析】∶15a = ， 2a 是1a 的差倒数，∶211154a ==--， ∶3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，∶314151-4a ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，∶415415a ==-，根据规律可得n a 以5，1-4，45为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以202114a =-．故选B ．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______． 【答案】0 1【解析】由题意得：第3个数是101-=，第4个数是110-=，第5个数是011-=-，第6个数是101--=-， 则前6个数的和是()()0110110++++-+-=， 第7个数是1(1)0---=，第8个数是0(1)1--=， 归纳类推得：这2021个数是按0,1,1,0,1,1--循环往复的，202163365=⨯+，且前6个数的和是0，∴这2021个数的和与前5个数的和相等，即为()011011++++-=，故答案为：0，1．【变式训练3】有一列数11315,,,,228432---，…，那么第n 个数为______． 【答案】()12nnn - 【详解】解：()11122-=-⨯，()221221242==-⨯，()3333182-=-⨯， ()4414414162==-⨯，()55551322-=-⨯，…… 由此发现：第n 个数为()12nnn-． 故答案为：()12nnn - 【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则()7a b +的展开式中从左起第三项为______．()1a b a b+=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++【答案】5221a b【详解】解：根据题意，()7a b +=7652433425677213535217a a b a b a b a b a b ab b +++++++，∶()7a b +的展开式中从左起第三项为5221a b ， 故答案为：5221a b ．类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点．【答案】 6(1)2n n - 【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即()22112⨯-=；三条直线相交最多有3个交点，即()33132⨯-=；四条直线相交最多有6个交点，即()44162⨯-=，五条直线相交最多有10个交点，即()551102⨯-=，……∶n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n ≥2）． 故答案为6；(1)2n n -． 【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……n（1+n）个小球，照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n（1+n）=45，∶12解得n=9或-10（舍去），故答案为：9．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，∶摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，∶6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．n【答案】114 126【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=126n-个，故答案为：114，126n-．【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，∶第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∶6064120213-=，∶用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021．课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（）A．99B．100C．101D．102【答案】B【详解】解：观察图形知：第一个图中有3=1+2×1个正方形， 第二个图中有5＝1＋2×2个正方形， 第三个图中有7＝1＋2×2个正方形， …故第n 个图中有1＋2×n ＝2n +1=201（个）正方形， 解得n =100 故选B ．2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（ ）颗棋子．A ．85B ．86C ．87D ．88【答案】B 【详解】偶数列数与排数表： 偶数列数排数 2 2 4 3 6 4 8 5 … … n 12n∶当n =16时，排数为：192n+=，∶前16列共有棋子：()9102123+-3=2-3=872⨯+++⨯…9（颗）， ∶第16列第8排的棋子位次是：87-1=86． 故选B ．3．将一正方形按如图方式分成n 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n 的值为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．20【答案】C【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ， 根据题意得，2a +2b =3a ， 整理得，a =2b ，∶竖排的一行的长方形的个数为3a ÷b =（3×2b ）÷b =6， ∶n =3×2+6×2=6+12=18． 故选：C ．4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x +6+20=22+z +y ， 整理得：x -y =-4+z ，x +22+n =20+z +n ，20+y +m =x +z +m ，整理得：x =-2+z ，y =2z -22， ∶x -y =-2+z -(2z -22)=-4+z ，解得：z =12， ∶x +y =3z -24=12 故选：D ．5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．【答案】16 674【详解】 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，∴第n 行的最后一个数字为：1+3(1)32n n -=-，∴第6行最后一个数字为：36216⨯-=；322020n -=，解得：674n =，故答案为：16,674．6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中11m =，12n =，则M 的值为________．【详解】解：∶1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，∶右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∶M =m （n +1）， ∶M =11×(12+1)=143． 故答案为：143．7．为了求220211222+++⋯+的值，可令220211222S =+++⋯+，则220222222S =++⋯+，因此2022221S S -=-，所以220212022122221+++⋯+=-．按照以上推理计算出1220211333---+++⋯+的值是______． 【答案】2021332-- 【详解】解：令1220211333S ---=+++⋯+， 则1220212022133333S ----=++⋯++， 因此20221313S S --=-，则20222313S --=-，得：2021332S --=，所以20211220213313332-----+++⋯+=． 故答案为：2021332--．8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n （n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．【答案】（6n +2） 【详解】解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人． 拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人． 拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人． …拼接n （n 为正整数）张桌子，可以坐（6n +2）人． 故答案是：（6n +2）．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147⨯-⨯=，172316247⨯-⨯=，不难发现，结果都是7． 2012年8月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 262728293031（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？ （3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【答案】（1）111710187⨯-⨯=，符合；（2）392107⨯-⨯=；（3）见解析 【详解】解：（1）由题意得：111710187⨯-⨯=，符合；（2）392107⨯-⨯=；答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x ，则其后的数为（x +1），第二行的两个数分别为（x +7），（x +8）， 根据题意，得22(1)(7)(8)8787x x x x x x x x ++-+=++--=．10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表： 边上的小圆圈数1 2 3 4 5每个图中小圆圈的总数（3）如果用n 表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和n 的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）2331m n n =-+【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示， 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61（3）结合（1）（2）可知，m 与n 之间的函数关系为：()()()()()1...212...1m n n n n n n n n n n =+++++-++-++-++++首尾相加得()()21...(2)1m n n n n n n =+++++-++-⎡⎤⎣⎦()()21322213312n n n n n --=+-=-+ 2331m n n =-+．11．对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m ＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m ＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m 是“筋斗数”，且m 与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m ．【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”； 理由见解析(2)m 的值为9909或2110或6422【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：∶6=3+3，9=2×3+3，∶9633是“筋斗数”；∶6=4+2，28+2≠，∶2642不是“筋斗数”；(2)设m 的个位数为a ，0≤a ≤9，十位数为0＜b ≤9，且a 、b 为整数∶m 是“筋斗数”，∶m 的百位数为a +b ，千位数为2b +a ；∶m =1000（2b +a ）+100（a +b ）+10b +a =1100a +110b +2000b +a∶m 与13的和能被11整除，∶1100a +110b +2000b +a +13能被11整除，∶2b +a ≤9且a 、b 为整数，∶b ≤4.5∶1100a +110b 能被11整除，∶2000b +a +13能被11整除，∶b =0，a =9或b =1，a =0或b =2，a =2或b =3，a =4，或b =4，a =6，∶a +b =9，2b +a =9或a +b =1，2b +a =2或a +b =4，2b +a =6或a +b =7，2b +a =10（舍去）或a +b =10，2b +a =14（舍去），∶m 的值为9909或2110或6422 12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：1111111112481632641282562n++++++++＝_______． 并使用代数方法证明你的结论． (2)请给利用图（2），再设计一个能求：2341111122222n+++++的值的几何图形． 【答案】(1)112n - ，证明见解析；(2)见解析 【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n 时 ， 1111111112481632641282562n ++++++++的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：112n - ， 1111111111124816326412825622n n ∴++++++++=-； ②设1111111112481632641282562n s =++++++++ ， 111111111212481632641282n s -=++++++++ ， 1212n s s ∴-=-，即112n s =-，1111111111124816326412825622n n∴++++++++=-； (2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，则2341111122222n +++++的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：112n -。
河南省中考数学复习专题2规律探索型问题课件
2．解图形规律探索题的方法： 第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后 一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化， 然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数； 函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数 看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组 数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
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1．解数字或数式规律探索题的方法： 第一步：标序号； 第二步：找规律，分别比较各部分与序号数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其蕴含 的规律用含序号数的式子表示出来； 第三步：根据找出的规律表示出第 n 个数式． 需要熟记的规律有： (1)正整数和：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n2＋1）(n≥1)； (2)正奇数和：1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2(n≥1)； (3)正偶数和：2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)(n≥1)
专题二 规律探索型问题
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规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、 图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推 理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数字规律”“数式规 律”“图形规律”等题型．
1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系， 先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
解：解析：∵直线 y＝x＋1，x＝0 时，y＝1，∴A1B1＝1，点 B2 的坐标为(3，2)，∴A1 的 纵坐标是：1＝20，A1 的横坐标是：0＝20－1，∴A2 的纵坐标是：1＋1＝21，A2 的横坐标是： 1＝21－1，∴A3 的纵坐标是：2＋2＝4＝22，A3 的横坐标是：1＋2＝3＝22－1，∴A4 的纵坐标 是：4＋4＝8＝23，A4 的横坐标是：1＋2＋4＝7＝23－1，即点 A4 的坐标为(7，8)．据此可以 得到 An 的纵坐标是：2n－1，横坐标是：2n－1－1.即点 An 的坐标为(2n－1－1，2n－1)．∴点 A6 的 坐标为(25－1，25)．∴点 B6 的坐标是：(26－1，25)即(63，32)．
九年级数学中考规律探究题(附答案)
专题6 数学规律探究问题根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。
解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。
一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同位置的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+数列的变化规律③ 1、3、7、15……2n -1④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 数列的和⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第n个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：1×12=1-12n=12×23=2-23n=23×34=3-34n=34×45=4-45n=4观察相应位置上变化的数字与序列号的对应关系（注意分清正整数的奇偶）易观察出结果为：n ×1n n +=n-1n n +例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么 32009的个位数字是 。
人教版数学七年级上册：难点探究专题《整式中的规律探究(选做)》练习课件(附答案)
4.(2019·铜仁中考)按一定规律排列的一列数依次为
－ a2 ，a5 ，－ a8 ，a11 …(a≠0)，按此规律排列下去，
2 5 10 17 这列数中的第 n 个数是
(1)n
a3n1 n2 1
(n 为正整
数).
三、数的循环规律 5.如图是钢琴键盘的一部分，若从 4 开始，依次弹 出 4，5，6，7，1，4，5，6，7，1，…，按照上述 规律弹到第 2021 个音符是 4 .
四、数表中的规律 8.如图，下列各图中的三个数之间具有相同规律.依 此规律用含 m，n 的式子表示 y，则 y＝ m(n＋2) .
9.如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规 律填写的，根据此规律确定 x 的值为 370 .
解析：∵左下角数字为偶数，右上角数字为奇数， ∴2n＝20，m＝2n－1.解得 n＝10，m＝19.∵右下角 数字：第一个为 1＝1×2－1，第二个为 10＝3×4－ 2，第三个为 27＝5×6－3，∴第 n 个为 2n(2n－1)－ n.∴x＝19×20－10＝370.故答案为 370.
10.如图所示的数表是由 1 开始的连续自然数排列而 成的，根据你观察的规律完成下面问题：
(1)第 8 行共有 15 个数，最后一个数是 64 ；
(2) 第 n 行 共 有 (2n－1) 个 数 ， 第 一 个 数 是 (n－1)2＋1 ，最后一个数是 n2 .
11.(2019·青海中考)如图，将图①中的菱形剪开得到 图②，图中共有 4 个菱形；将图②中的一个菱形剪 开得到图③，图中共有 7 个菱形……如此剪下去， 第 5 个图中共有 13 个菱形，第 n 个图中共有 (3n－2) 个菱形.
7.如图，是一个运算程序示意图.若第一次输入 k 的 值为 125，则第 2020 次输出的结果是 5 .
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
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整式中的规律探究问题一．选择题组1．（2021·重庆市育才中学九年级月考）用同样大小的圆按下列方式组成图案.第1个图形有7个圆.第2个图形有19个圆.第3个图形有37个圆.第4个图形有61个圆.….则第7个图中有（ ）个圆．A ．126B ．148C ．169D ．212【答案】C【解析】解：根据图形可知.第1个图形中有7个圆.第2个图形中有7+2×6个圆.第3个图形中有7+2×6+3×6个圆.第4个图形中有7+2×6+3×6+4×6个圆.....∴第7个图形就有7+2×6+3×6+4×6+5×6+6×6+7×6=7+(2+3+4+5+6+7)×6=169(个).故选：C ．2．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学九年级月考）如图.“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一.从图中取一列数1.3.6.10.….记11a =.2312a ==+.36123a ==++.….那么911i 83a a a +-=.则i 的值是（ ）A ．13B ．10C ．8D ．7【答案】D【解析】解：由a 1＝1.a 2＝3.a 3＝6.a 4＝10.….知a n ＝1+2+3+…+n ()12n n +=.∴a 99102⨯==45、a i ()12i i +=、a 1111122⨯==66.则a 9+a 11﹣a i ＝83.可得：45+66()12i i +-=83.解得：i ＝7.（负根舍去）故选：D ．3．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统.图2是某个学生的识别图案.灰色小正方形表示1.白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为a .b .c .d .那么可以转换为该生所在班级序号.其序号为a×23+b×22+c×21+d×20.如图2.第一行数字从左到右依次为0.1.0.1.序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5.表示该生为5班学生．表示10班学生的识别图案是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由题知.A选项班级序号为1×23+0×22+1×21+0×20＝10.B选项班级序号为0×23+1×22+1×21+0×20＝6.C选项班级序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9.D选项班级序号为0×23+1×22+1×21+1×20＝7.故选：A．4．（2021·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）中国奇书《易经》中记载.远古时期.人们通过在绳子上打结来计数.即“结绳计数”．如图.一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结.满5进1.用来记录孩子自出生后的天数由图可知.孩子自出生后的天数是（）．A．10 B．89 C．164 D．294【答案】D【解析】∵从右到左满5进1.∴右边第一列为n个1.即05.右边第二列为n个5.即15.右边第三列为n个25.即25.右边第四列为n个125.即35.∴孩子出生的天数为32⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案选D．251535412945．（2021·重庆市实验中学九年级月考）如图.下列图形都是由黑色和白色的棋子按一定的规律排列组成的.其中第①个图形中有2颗黑色棋子.第②个图形中有8颗黑色棋子.第③个图形中有将17颗黑色棋子……按此规体.则第⑧个图中黑色棋子的颗数是（）A ．83B ．95C ．107D ．134【答案】C【解析】解：设第n 个图形中有a n 颗黑色棋子（n 为正整数）.∵a 1＝2×1＝2.a 2＝3×3−1＝8.a 3＝4×5−1−2＝17.a 4＝5×7−1−2−3＝29.….∴a n ＝（n ＋1）（2n −1）−1−2−…−（n −1）＝（n ＋1）（2n −1）−())21(11n n --＋＝32n （n ＋1）−1（n 为正整数）.∴a 8＝32×8×（8＋1）−1＝107．故选：C ．6．（2021·江苏镇江·中考真题）如图.小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n 是正整数）.每行的三个式子的和自上而下分别记为A 1.A 2.A 3.每列的三个式子的和自左至右分别记为B 1.B 2.B 3.其中.值可以等于789的是（ ）A ．A 1B ．B 1C ．A 2D ．B 3【答案】B【解析】解：由题意得：A 1＝2n +1+2n +3+2n +5＝789.整理得：2n ＝260.则n 不是整数.故A 1的值不可以等于789.A 2＝2n +7+2n +9+2n +11＝789.整理得：2n ＝254.则n 不是整数.故A 2的值不可以等于789.B 1＝2n +1+2n +7+2n +13＝789.整理得：2n ＝256＝28.则n 是整数.故B 1的值可以等于789.B 3＝2n +5+2n +11+2n +17＝789.整理得：2n ＝252.则n 不是整数.故B 3的值不可以等于789.故选：B ．7．（2021·云南广南·九年级期末）按一定规律排列的单项式：2a -.43a .65a -.87a .…….第n 个单项式是 （ ） A ．2(21)n n a ±- B ．2(21)n n a ±+ C ．2(1)(21)n n n a -- D ．2(1)(21)n n n a -+【答案】C【解析】解：∵一列单项式：2a -.43a .65a -.87a .…….∴第n 个单项式是2(1)(21)n n n a --．故选：C8．（2021·云南·一模）观察下列关于x 的单项式.探究其规律：2345,3,5,7,9x x x x x ---⋅⋅⋅，.按照上述规律.第2021个单项式为（ ） A ．20214041x - B ．20214041xC ．20204041xD ．20204039x【答案】A【解析】系数的规律：第n 个对应的系数是(1)(21)n n -⨯-.指数的规律：第n 个对应的指数是n .∴第2021个单项式是20214041x -.故选：A ． 9．（2021·全国·九年级专题练习）观察下列等式：=123456733,39,327,381,3243,3729,32187,======．解答下列问题：234202033333+++++的末尾数字是 （ ）A ．0B ．2C ．3D ．9【答案】A 【解析】解：∵31=3.32=9.33=27.34=81.35=243.36=729.37=2187….∴3=3.3+9=12.12+27=39.39+81=120. 120+243=363.363+729=1092.1092+2187=3279....通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是3.2.9.0.3.2.9.0.可知每四个为一个循环∵2020÷4=505∴3+32+33+34+…+32020的末位数字是0 故选A ．10．（2021·云南昭通·二模）如图是一组有规律的图案.它们是由大小相同的“”图案组成的.依此规律.第2021个图案中含有“”图案的个数为（ ）A ．10106B ．10105C ．11005D ．11006【答案】A【解析】由题可知.第1个图案共有12+1+13=6⨯⨯个所求图案.第2个图案共有22+1+23=11⨯⨯个所求图案.第3个图案共有32+1+33=16⨯⨯个所求图案.第4个图案共有42+1+43=21⨯⨯个所求图案.……则第n 个图案共有2+1351n n n ⋅+⋅=+个所求图案.∴第2021个图案中含有“”图案的个数为520211=10106⨯+故答案选：A ．11．（2021·江苏洪泽·二模）代数式：x ﹣3x 2+5x 3﹣7x 4+9x 5+…的第n 项为（ ）A ．（﹣1）n ﹣1（2n ﹣1）x nB ．（﹣1）n （2n ﹣1）x nC ．（﹣1）n ﹣1（2n +1）x nD ．（﹣1）n ﹣1nx n【答案】A【解析】解：x ＝（2×1﹣1）x .﹣3x 2＝（﹣1）2﹣1（2×2﹣1）x 2.5x 3＝（﹣1）3﹣1（2×3﹣1）x 3..∴第n 项是：（﹣1）n-1（2n ﹣1）x n .故选：A ．12．（2021·广西玉林·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图.若第n 个图树枝数用n Y 表示.则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【解析】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==- 则：9921Y =-.∴944942121312Y Y -=--+=⨯.故答案选：B ．二、填空题组13．（2021·四川省内江市第六中学三模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放.请仔细观察.第n 个图形有___________个小圆．（用含n 的代数式表示）【答案】25n n -+【解析】第1个图有0×1+5个小圆.第2个图有1×2+5个小圆.第3个图有2×3+5个小圆.…第n 个图形有2-5n n +个小圆．故答案为2-5n n +．14．（2021·湖南新田·九年级期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折.记第1次对折后得到的图形面积为S 1.第2次对折后得到的图形面积为S 2.….第n 次对折后得到的图形面积为S n .请根据图2化简. 12320202021S S S S S +++++=______．【答案】202111()2-【解析】解：∵42320211234202111111111,(),(),(),()242821622S S S S S ========设S =42320211234202111111()()()()22222S S S S S +++++=+++++① 123202*********11222222S S S S S S ∴=+++++4232021202211111()()()()+()22222=++++② ①-②得.2022111()222S ∴=-202111()2S ∴=-故答案为：202111()2-．15．（2021·山东龙口·九年级期中）如图.在正方形ABCB 1中.AB ＝1.AB 与直线l 的夹角为30°.延长CB 1交直线l 于点A 1.做正方形A 1B 1C 1B 2.延长C 1B 2交直线l 于点A 2.做正方形A 2B 2C 2B 3.延长C 2B 3交直线l 于点A 3.….依此规律.则A 2023B 2023＝_______．【答案】2023(3)【解析】解：∵四边形ABCB 1为正方形.∴AB 1＝AB ＝1.∵A 1C ∥AB .∴∠B 1A 1A ＝30°.∴A 1B 1313AA 1＝2AB 1＝2.∵四边形A 1B 1C 1B 2为正方形.∴A 1B 2＝A 1B 1＝3∵A 2C 1∥A 1B 1.∴∠B 2A 2A 1＝30°. ∴A 2B 231B 23×332.……∴A n B n 3n .∴A 2023B 202332023.故答案为：32023．16．（2021·西藏·中考真题）按一定规律排列的一列数依次为23.14.215.112.235.….按此规律排列下去.这列数中的第n 个数是___________________． 【答案】221n -【解析】解：观察一列数可知：223122=-.214123=-.2221541=-.2211251=-.2223561=-.…. 按此规律排列下去.这列数中的第n 个数是：221n -.故答案为：221n -． 17．（2021·辽宁·沈阳市第七中学九年级开学考试）在一条直线上.按如图所示的规律放置若干●与〇.组成图案：●〇●●〇●●●〇●●●●〇….当图案恰好以〇收尾.且图案中●的个数是2278时.则该图案中●与〇的个数之和是_______． 【答案】2345【解析】解：设该图案中有x 个〇.则有1+2+3+⋯+x =(1)2x x +个●.依题意得.(1)2x x +=2278.整理得.x 2+x -4556=0.解得.x 1=-68（舍去）.x 2=67.∴该图案中●与〇的个数之和是：67+2278=2345.故答案为：2345．18．（2021·海南海口·九年级期中）火柴棒按以下方式搭图形.按照这样的规律搭下去.第7个图形需要火柴棒______根.第n 个图形需要火柴棒______根．【答案】37 ()52n +【解析】解：∵搭第1个图形需要7根火柴棒.7=5+2.搭第2个图形需要12根火柴棒.12=5×2+2.搭第3个图形需要17根火柴棒.17=5×3+2.….∴搭第7个图形需要火柴棒数为：5×7+2=37.搭第n 个图形需要的火柴棒的根数是5n +2．故答案为：37.5n +2．19．（2021·广西梧州·中考真题）如图.直线l 的函数表达式为y ＝x ﹣1.在直线l 上顺次取点A 1（2.1）.A 2（3.2）.A 3（4.3）.A 4（5.4）.….A n （n +1.n ）.构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S 1.S 2.S 3.….S n .则S 2021＝___．【答案】4044．【解析】解：根据题意.∵A 1（2.1）.A 2（3.2）.A 3（4.3）.A 4（5.4）.….A n（n +1.n ）.∴11135(12)1(23)142222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=.21157(23)1(34)162222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=.31179(34)1(45)182222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=.……∴22n S n =+.∴20212202124044S =⨯+=．故答案为：4044．20．（2021·湖北荆门·中考真题）如图.将正整数按此规律排列成数表.则2021是表中第____行第________列．【答案】64 5【解析】通过观察发现：1=1.3=1+2.6=1+2+3.10=1+2+3+4.…….故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +. 则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--.即1(1)2n n -+1. 设2021是第n 行第m 列的数字.则：1(1)2021()2m m n n n +=<-.即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积.2263=396964=4096,,m n ，为正整数.64n ∴=.当64n =时.=5m .故答案为：64.5 三、解答题组21．（2021·安徽·九年级月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列.如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2.某同学发现杨辉三角给出了()na b +（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如.在三角形中第三行的三个数1.2.1.恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数.第四行的四个数1.3.3.1.恰好对应着()3322333a b a a b ab b +=+++展开式中各项的系数等等．（1）填出()4a b +展开式中共有 项.第三项是 ． （2）直接写出()512y -的展开式． （3）利用上面的规律计算：26541126215222⎫⎫⎛⎛+⨯⨯-+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭33212021522⎫⎛+⨯⨯-+⨯ ⎪⎝⎭456111621222⎫⎫⎫⎛⎛⎛⨯-+⨯⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭． 【答案】（1）5.226a b .（2）()523451211040808032y y y y y y -=-+-+-.（3）66564【解析】解：（1）由杨辉三角的系数规律可得.()4432234464a b a a b a b ab b +=++++.∴展开式共有5项.第三项是226a b ．（2）()543225345510105a a b a b a a a b b b b =++++++.当1a =.2b y =-时.原式()()2152102y y =+⨯-+⨯-()()()345102522y y y +⨯+⨯--+-234511*********y y y y y =-+-+-.()523451211040808032y y y y y y ∴-=-+-+-．（3）由杨辉三角可知.原式61212⎫⎛=-- ⎪⎝⎭6312⎫⎛=- ⎪⎝⎭729164=-66564=．22．（2021·重庆市广益中学校九年级月考）阅读下列材料解决问题：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是13的倍数.则这个数能被13整除．如：593814.814－593＝221.221是13的17倍.所以593814能被13整除．（1）若对任意一个七位数.末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是13的倍数.证明这个七位数一定能被13整除.（2）已知一个五位自然数.末三位为m ＝500＋10y ＋52.末三位以前的数为n ＝10（x ＋1）＋y （其中1≤x ≤8.1≤y ≤9且为整数）.交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除.求这个五位数．【答案】（1）见解析.（2）这个五位数为：94592.41562.33582.59642.67622.75602【解析】（1）证明：设任意七位数的末三位为s .末三位以前的数为t .则这个七位数为1000t s +.由题意可令t －s ＝13k （k 为整数）．1000t ＋s ＝1000t －13k ＋t ＝1001t －13k ＝13（77t －k ）.∴这个七位数一定能被13整除.（2）解：①当1≤y ≤4时.m ＝500＋10（5＋y ）＋2．交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m ′＝100（5＋y ）＋52.m ′－n ＝100（5＋y ）＋52－10（x ＋1）－y ＝99y －10x ＋542＝13（42＋8y －x ）－（4＋5y －3x ）.∵1≤x ≤8.1≤y ≤4.且x .y 都为整数.∴－21≤－（4＋5y －3x ）≤15．∴－（4＋5y －3x ）的值为13或0或－13．Ⅰ．若－（4＋5y －3x ）＝13.则92x y ==，(舍去)．Ⅱ．若－（4＋5y －3x ）＝0.则84x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩.∴这个五位数为94592.41562．Ⅲ．若－（4＋5y －3x ）＝－13.则23x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为33582．②当5≤y ≤9时.m ＝600＋10（y －5）＋2．交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m ′＝100（y －5）＋62.m ′－n ＝100（y －5）＋62－10（x ＋1）－y ＝99y －10x －448＝13（8y －x －34）－（6＋5y －3x ）.∵1≤x ≤8.5≤y ≤9.且x .y 都为整数.∴－48≤－（6＋5y －3x ）≤－7．∴－（6＋5y －3x ）的值为－39.－26.－13．Ⅰ．若－（6＋5y －3x ）＝－39.则49x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为59642．Ⅱ．若－（6＋5y －3x ）＝－26.则57x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为67622．Ⅲ．若－（6＋5y －3x ）＝－13.则65x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为75602．综上所述：这个五位数为：94592.41562.33582.59642.67622.75602． 23．（2021·内蒙古松山·九年级期中）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项.记为a 1.排在第二位的数称为第二项.记为a 2.依此类推.排在第n 位的数称为第n 项.记为a n .所以.数列的一般形式可以写成：a 1.a 2.a 3.….an .…．一般地.如果一个数列从第二项起.每一项与它前一项的差等于同一个常数.那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用d 表示． 如：数列1.3.5.7.…为等差数列.其中a 1＝1.a 2＝3.公差为d ＝2． 根据以上材料.解答下列问题：（1）等差数列5.10.15.…的公差d 为 .第5项是 ．（2）如果一个数列a 1.a 2.a 3.….a n .….是等差数列.且公差为d .那么根据定义可得到：a 2﹣a 1＝d .a 3﹣a 2＝d .a 4﹣a 3＝d .….a n ﹣a n ﹣1＝d .…．所以a 2＝a 1+d .a 3＝a 2+d ＝（a 1+d ）+d ＝a 1+2d .a 4＝a 3+d ＝（a 1+2d ）+d ＝a 1+3d .…．由此.请你填空完成等差数列的通项公式：a n ＝a 1+（ ）d ．（3）﹣4045是不是等差数列﹣5.﹣7.﹣9…的项？如果是.是第几项？【答案】（1）5.25.（2）1n -.（3）是.2021【解析】（1）依题意得1055d =-=.315a =.4315520a a d ∴=+=+=.5420525a a d ∴=+=+=.故答案为：5,25.（2）a 2＝a 1+d .a 3＝a 2+d ＝（a 1+d ）+d ＝a 1+2d .a 4＝a 3+d ＝（a 1+2d ）+d ＝a 1+3d .……1(1)n a a n d ∴=+-.故答案为：1n -.（3）﹣5.﹣7.﹣9⋅⋅⋅是等差数列∴通项公式为：52(1)n a n =---.若n a =﹣4045.则404552(1)n -=---.解得2021n =．∴﹣4045是等差数列﹣5.﹣7.﹣9…的项.它是此数列的第2021项． 24．（2021·江苏·九年级专题练习）如果下列图形由相同的小正方形组成.观察图形的变化.回答下列问题：（1）第6个图形有________个小正方形.第n 个图形有________个小正方形.（2）若第n 个图形有576个小正方形.求n 的值．【答案】（1）49.()21n +（或221n n ++）.（2）第23个图形有576个小正方形．【解析】（1）根据前四个图知：第一个图有4个.第二个图有9个.第三个图有16个.第四个图有25个.则依次类推每个图都有()21n +个.则第六个图有49个.故答案为：49.()21n +（或 221n n ++）.（2）根据题意.得()21576n +=.解得125n =-（舍去）.223n =.故第23个图形有576个小正方形．25．（2021·重庆市育才中学三模）材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字小.我们称它为“下滑数”．如果一位三位“下滑数”满足个位数字与十位数字之和等于百位数字.那么称这个数为“下滑和平数”．例如：A＝321.满足1＜2＜3.且1+2＝3.所以321是“下滑和平数”.B＝643.满足3＜4＜6.但3+4≠6.所以643不是“下滑和平数”．材料二：对于一个“下滑和平数”m＝100a+10b+c（1≤a.b.c≤9且a.b.c为整数）交换其百位和个位数字得到新数m'＝100c+10b+a.规定：F（m）＝m﹣m'．例如：m＝321为“下滑和平数”.m'＝123.F（m）＝321﹣123＝198．（1）请任意写出两个三位“下滑数”.并判断你所写的两个三位“下滑数”是不是“下滑和平数”？并说明理由．（2）若m与m'的和能被7整除.求F（m）的最小值．【答案】（1）两个下滑数：645.987.都不是“下滑和平数”.理由见解析.（2）396【解析】解：（1）两个下滑数：645.987．∵4+5≠6.7+8≠9．∴645.987都不是“下滑和平数”．（2）设m＝100a+10b+c.则m′＝100c+10b+a（a．b.c均为整数）∵m是“下滑和平数”．∴b+c ＝a.且1≤c＜b＜a≤9．m+m′＝101a+20b+101c．F（m）＝m﹣m′＝99（a﹣c）＝99b．∴要使F（m）最小.只需b最小．∵m+m′能被7整除．∴①当b＝2.a＝3.c＝1.m+m′＝444.不合题意.舍去．②当b＝3.a＝4.c＝1或a＝5.c＝2．当a＝4.c＝1.m+m′＝515.不合题意.舍去．当a＝5.c＝2.m+m′＝767.不合题意.舍去．当b＝4.a＝5.c＝1或a＝6.c＝2或a＝7.c＝3．当a＝5.c＝1时.m+m′＝686.686能被7整除．综上所述.满足上述条件的b的最小值为4．∴F（m）最小＝500+40+1﹣145＝396．26．（2021·山东南区·二模）实际问题：有n支队伍.每支队伍都有足够多的水平完全相同的队员.要从这n支队伍中抽调部分队员安排到一张有四个位置的方桌进行竞技比赛.四个位置可以出现来自于同一队伍的队员.为了防止他们作弊.需要避免同队的队员坐在相邻的座位上．那么一共有多少种不同的安排方法？问题探究：探究一：如果有两支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？不妨设两支队伍分别为,A B．从①号位开始.我们有2种选择.即A队员或B队员.②③号位置都只有1种选择（另一支队伍的队员）．④号位也只有1种选择．这样就得到了21112⨯⨯⨯=.一共有两种不同的安排方法．探究二：如果有三支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？A B C．让我们运用上面的方法试试①号位置有3种队员可以选择.不妨设三支队伍分别为,,即A队员、B队员或C队员.②③两个位置选择队员时.我们需要考虑两种不同的情形：第一种：若②③号位队员来自于同一队伍.则②号位有2种选择.③号只有1种选择.④号位会⨯⨯⨯=种安排方法.有2中选择.此时会有321212位也只有1种选择.此时会有32116⨯⨯⨯=种安排方法．把上述两种情况的结果加起来得到12＋6＝18.一共有18种不同的安排方法．探究三：如果有四支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？（请按照前面的探究方法.描述如果有四支参赛队伍时.会有多少种结果的推算过程）归纳探究：如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？无论有多少支参赛队伍.我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自于同一个队伍.②③号位队员来自于不同的队伍．（1）如果有n 支参赛队伍.①号位有 种队员可以选择.②号位有 种队员可以选择．（2）若②③号位队员来自于同一队伍.则③号位只有1种选择.④号位有 种选择.这样我们就有 种安排方法（结果不需化简）.（3）若②③号位队员来自不同队伍.则③号位有 种选择.④号位有 种选择.这样我们就有 种安排方法．（结果不需化简）（4）如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有 种不同的安排方法．（结果不需化简）【答案】探究三：48种.归纳探究：（1）n .()1n -.（2）()1n -.()21n n -.（3）()2n -.()2n -.()()212n n n --.（4）()()2133n n n n --+【解析】解：不妨设为,,,A B C D 四支队伍.让我们运用上在的方法试试.①号位置有4种队员可以选择.即A 队员、B 队员或C 队员或 D 队员.②③两个位置选择队员时.我们需要考虑两种不同的情形：第一种：②③号位队员来自于同一队伍.②号位有3种选择.那么③号位与②号位队友相同.所以③号只有1种选择.④号位就会有3种选择.此时会有：431336⨯⨯⨯=种安排方法.同.③号位只有2种选择.那么④号位只有2种选择.此时会有432248⨯⨯⨯=种安排方法． 把上述两种情况的结果加起来得到36＋48＝84.一共有84种不同的安排方法．归纳探究：如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员.那么有多少种不同的安排方法呢？无论有多少支参赛队伍.我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自于同一个队伍.②③号位队员来自于不同的队伍．（1）如果有n 支参赛队伍.①号位有n 种队员可以选择.②号位有()1n -种队员可以选择. （2）若②③号位队员来自于同一队伍.则③号位只有1种选择.这样.④号位有()1n -种选择.这样我们就有()()()21111n n n n n ⨯-⨯⨯-=-种安排方法（结果不需要化简）.（3）若②③号位队员来自于不同队伍.则③号位有()2n -种选择.④号位有()2n -种不同的队员可以选择.这样我们就有 ()()()()()212212n n n n n n n ⨯-⨯-⨯-=--种安排方法（结果不需要化简）.（4）如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员.那么把（2）、（3）种情况的结果加起来得到有：()()()()()()()2111122133n n n n n n n n n n n ⨯-⨯⨯-+⨯-⨯-⨯-=--+种安排方法． 27．（2021·山东·青岛市崂山区教育教学研究室一模）问题提出：在平面上.给出n 个圆把平面至多分割成多少个区域？问题探究：为探究规律.我们采用一般问题特殊化的策略.先从简单的情形入手.再逐次递进.最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题．探究一：1条直线可以将平面分成2个区域.2条直线时.要使分成的区域尽量多.则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分.3条直线时.如图1.要使分成的区域尽量多.就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交.避免多条直线相交于一点和平行关系的出现.这样就会得到2个交点.这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段.而每条射线和线段将已有的区域一分为二.这样就多了2+13=个区域.所以3条直线至多将平面分成7个区域.4条直线时.如图2.要使分成的区域尽量多.就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交.避免多条直线相交于一点和平行关系的出现.这样就会得到3个交点.这3个交点将第4条直线分为了2条射线和422-=条线段.而每条射线和线段将已有的区域一分为二.这样就多了2+24=个区域.所以4条直线至多将平面分成11个区域.5条直线时.如图3.要使分成的区域尽量多.就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交.避免多条直线相交于一点和平行关系的出现.这样就会得到4个交点.这4个交点将第5条直线分为了2条射线和523-=条线段.而每条射线和线段将已有的区域一分为二.这样就多了2+35=个区域.所以5条直线至多将平面分成16个区域.由此可推断6条直线可以将平面至多分成 个区域.依此类推n 条直线可以将平面至多分成 个区域．探究二：1个圆可以将平面分成2个区域.2个圆时.要使分成的区域尽量多.2个圆相交将平面分成4个区域.3个圆时.要使分成的区域尽量多.第3个圆与前2个圆都相交被分成了2(31)4-=条弧.将平面至多分成了448+=个区域.4个圆时.要使分成的区域尽量多.第4个圆与前3个圆都相交被分成了2(41)6-=条弧.将平面至多分成了8614+=个区域.以此类推5个圆可以将平面分成 个区域．问题解决：n 个圆至多可以将平面分成 个区域．问题拓展：仿照前面的过程.n 个三角形至多可以将平面分成 个区域．【答案】探究一：22.222n n ++ .探究二：22.问题解决：(22n n -+).问题拓展：(2332n n -+) 【解析】解：探究一：根据题意：1条直线.将平面分成了112+=个区域.2条直线.将平面分成了1124++=个区域.3条直线.将平面分成了11237+++=个区域.4条直线.将平面分成了1123411++++=个区域.5条直线.将平面分成了11234516+++++=个区域.6条直线.将平面分成了112345622++++++=个区域..n 条直线.将平面分成了()2121123122n n n n n ++++++++=+=个区域.故答案为：22.222n n ++. 探究二：根据题意：1个圆.分成了()11122-⨯+=个区域.2个圆.分成了()21224-⨯+=个区域.3个圆.分成了()31328-⨯+=个区域.4个圆.分成了()414214-⨯+=个区域.5个圆.分成了()515222-⨯+=个区域.故答案为：22.问题解决：n 个圆.分成了()2122n n n n -⨯+=-+个区域.故答案为：(22n n -+).问题拓展：设n 个三角形最多将平面分为n a 个区域.1n =时.12a =.2n =时.第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点.三条边与第一个三角形有236⨯=个交点.6个交点将第二个三角形的边分成了6段.这6段的每一段都将原来的每1个区域分成了2个区域.从而增加了6个区域.即22238a =+⨯=.2n =时.第三个三角形与前面两个三角形最多有4312⨯=个交点.从而增加了12个区域.即32234320a =+⨯+⨯=.一般地.第n 个三角形与前面(n -1)个三角形最多有()213n -⨯个交点.从而增加了()213n -⨯个区域.故()22343213n a n =+⨯+⨯++-⨯()224213n ⎡⎤=++++-⨯⎣⎦()231n n =+-2332n n =-+. 故答案为：(2332n n -+)．28．（2021·安徽合肥·二模）观察下面由“※”组成的图案和算式.并解答问题：21342+==.213593++==.21357164+++==. 213579255++++==．（1）试猜想13573739++++⋯++=____________.（2）试猜想()()()135********n n n +++++⋯+-++++=____________.（3）按上述规律计算：10110310520172021+++⋯++的值．【答案】（1）400.（2）2(2)n +.（3）1019621【解析】（1）∵2n -1=39.∴n =20.根据规律.得13573739++++⋯++=220=400.（2）设2m -1=2n +3, ∴m =n +2.根据规律.得()()()135********n n n +++++⋯+-++++=2(2)n +.（3）根据题意.得原式=(1357910110310520172021)+++++++++⋯++-(1357999)++++++.=22101150-=1019621．。