全国硕士研究生统一招生考试-管理综合-数学-第三章 函数、方程、不等式
【合集】2003-2004年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析
2003年考研数学（三）真题答案1.【分析】当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.2. 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y = ′0 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.【详解】由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有.22a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故.44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=3. 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当0 ≤x ≤1,0 ≤y −x ≤1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdya x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=-+=⎰⎰⎰+4. 【分析】 这里 ααT为 n 阶矩阵，而 αT= α2a 2为数，直接通过 AB =E 进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==TT T T aa E αααααααα⋅-+-11=T T T Ta a E αααααααα)(11-+-=TT T a a E αααααα21-+-=E aa E T=+--+αα)121(,于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 由于A<0,故a=-1.5.. 【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +--=E(XY)–E(X)E(Y)=cov(X,Y),且.DX DZ =于是有cov(Y,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式：D (X +a ) =DX ，cov(X ,Y +a ) =cov(X ,Y ).6.. 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i p n i i 【详解】这里22221,,,n X X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）7.【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有)0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点.【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x,则此时g(x)=,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C)三项，故应选(D).【评注2】若f(x)在0x x =处连续，则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.8..【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零,故应选(A).【评注1】本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).9.【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】若∑∞=1n na绝对收敛，即∑∞=1n na收敛，当然也有级数∑∞=1n na收敛，再根据nn n a a p +=，nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选(B).10.. 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1, 说明 A 的秩为 2，由此可确定 a,b 应满足的条件.【详解】 根据A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a b bb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠,故必有a ≠b 且a+2b=0.应选(C).【评注】n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r 11..【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα ，矛盾.可见（A ）成立.(B):若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C)s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D)s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关.其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.12.. 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.13..【分析】只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】因为)(lim 1x f x -→=)1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ=xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim11221----+-→=.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换 y=1-x ，转化为求 y →0 +的极限，可以适当简化.14..【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv f v u f ∂∂∂=∂∂∂【详解】vfx u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂，.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂故v f v f xv u f xy u f y x g ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222，.2222222222v f v f y u v f xy u f x y g ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂所以222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂=.22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.15.. 【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换：x =r cos θ, y =r sin θ，有dxdyy x e e I Dy x)sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d er ⎰⎰-πππθ令2r t =，则tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记tdt e A t sin 0⎰-=π，则tt de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos ttde =]sin cos [0tdt e te t t⎰--+-ππ=.1A e-+-π因此)1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.16..【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n xx x x f 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰由f(0)=1,得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0.由于,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.17.. 【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对 F(x)求导，并将其余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】(1)由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+=(22)x e -2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2)]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x+⎰-=.22x xCe e-+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是.)(22x x e e x F --=【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.18..【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(.故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f 因为f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf 【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考.本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.19..【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等.可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】方程组的系数行列式ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a A n n n n ++++=321321321321=).(11∑=-+ni i n a b b(1)当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为.02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零.不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α当∑=-=ni iab 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a （将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--- 由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = .原方程组的一个基础解系为.)1,,1,1(T =α【评注】本题的难点在∑=-=ni iab 1时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T)1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.20..【分析】特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】（1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得a=1,b=-2.(2)由矩阵A 的特征多项式)3()2(2020202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系.)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T 51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵.在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(20020022b a a b b a A E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得 a=1,b=2.21..【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y=F(X),然后按定义求Y 的分布函数即可。
考研数学常用不等式公式大全
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一、不等式简写
1、均等量不等式：将相对应项的系数加在一起，则变为：∑ai(xi-
x)≥0,其中 x 表示称为常数值而另一项表示可变量，假定 ai,xi 满
足 ai>0，则形式化为：∑ai xi ≥∑ai x。
2、不等式中，称左端项称为不等式恒等量：A≥0;而右端称为不
等式可变量，即 B(x)；则恒等量和可变量可形成一个不等式A≥B(x)。
二、对偶不等式公式
1、原不等式Ax+By≤c，其对偶不等式为：Y/A≥c/B-x/A。
2、原不等式 A＞B，其对偶不等式为：1/A≤1/B；原不等式
A≥B，其对偶不等式为：1/A≥1/B。
3、原不等式Ax+By≤c，其对偶不等式为：Ax-Y≥c-B。
三、限界不等式公式
1、限界不等式是若 f(x) 是定义在区间a≤x≤b上的函数，则有如下
限界不等式：下限≤f(x)≤上限。
2、因此限界不等式的具体表达可表示为：f(x)≤F；或者以斐波
纳切数列为例：不等式Fn-1+Fn≤Fn+2可分别用如下形式表示：Fn-
1≤Fn+2；Fn≤Fn+2。
历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n…（-），其中n为正整数，则(0)f=（）（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdr=（）（A）2224222202()xx xdx x y f x y dy（B）22242202()xx xdx f x y dy（C）2222220214()2xdx x y f x y dyx x（D）22220214()2xdx f x y dyx x（4）已知级数11 (1)sinni nn绝对收敛，21(1)nin条件收敛，则范围为（）（A）0<12（B）12< 1（C）1<32（D）32<<2（5）设12341234110,1,1,1c c c c 其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123，，（B ）124，，（C ）134，，（D ）234，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112，123=P （，，），1223=Q （+，，）则1=QAQ （）（A ）121（B ）112（C ）212（D ）221（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+22｛1｝（）（A ）14（B ）12（C ）8（D ）4（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N 2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X 的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t （C ）2(1)（D ）(1,1)F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cossin 4lim (tan )x xxx（10）设函数ln ,1(),(()),21,1x dy x x f x yf f x dx xx求___________.（11）函数(,)zf x y 满足2201(,)22lim0,(1)x yf x y x y xy则(0,1)dz_______.（12）由曲线4yx和直线yx 及4y x 在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A|=3，A*为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11(),(),23P AB P C 则C P （）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos 4limxxxee x（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy，其中D 为由曲线1yx yx与所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x及()()2x f x f x e1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b有无穷多解，求a，并求Ax b的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa，二次型123(,,)()f x x x x x的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：X12P121316Y 0 1 2P131313XY 0 1 2 4P71213112求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y 与.（23）（本题满分10分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，m in(,),=m ax(,).V X Y U X Y 求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E UV .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
2021年至2023年全国考研数学真题(附解析答案)
2023年全国硕士研究生招生考试考研（数学三）真题及详解1．已知函数f 一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。
A ．∂∂x f0,1)(不存在，∂∂y f 0,1)(存在B ．∂∂x f0,1)(存在，∂∂y f 0,1)(不存在C ．∂∂x f0,1)(，∂∂y f 0,1)(均存在D ．∂∂x f0,1)(，∂∂yf 0,1)(均不存在2．函数x ≤0)⎩(x +1cos x ,x >0f (x )=的原函数为（）。
A． ⎪≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln ,0B．⎪+≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln 1,0C．⎪+≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln ,0D．⎪++≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln 1,0）。
3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0n ＝1，2，…），若级数∑∞n =1a n 与∑∞n =1bn均收敛，则“级数∑∞n =1an绝对收敛”是“∑∞bnn =14．已知a n ＜b n（绝对收敛”的（）。
A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则⎝⎭⎪⎛⎫O B A E *＝（）。
A ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A B B A OB A ****B ．⎝⎭⎪⎪-⎛⎫B A A B O A B ****C ． ⎝⎭ ⎪ ⎪-⎛⎫B A B A OA B ****D ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A BA B OB A ****x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。
2021考研数学三真题(解析)
1
2
5
0
0
1
0
2 6 1
0
1
0
0
0
3
2
1
1 0 0
(F , P) ，则 P
2
1
0
；
3 2 1
1 0 1 1 0 0
0
F E
0 1
0 0
1 0 0 1 0
3 0
0
0
0 1
0 1
0 0
1 0 0 1 0
0 1 1 3 1
Λ E
，
Q
1 0 0
0 1 0
1 3 ，选 C . 1
(8) 设 A ， B 为随机变量，且 0 P(B) 1，下列命题中不成立的是
(A) 若 P( A B) P( A) ，则 P(A B) P(A) .
(B) 若 P( A B) P( A) ，则 P(A B) P(A) .
(C) P(A B) P(A B) ，则 P( A B) P( A) .
1 2
，故选 D
.
(3) 设函数 f (x) ax b ln x(a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围 （ ）. a
(A) (e, ) .
(B) (0, e) .
(C) (0, 1) . e
(D) (1 , ) . e
【答案】 A .
【解析】令 f (x) ax b ln x 0 ， f (x) a b ，令 f (x) 0 有驻点 x b ，
1 0 0 1 0 1
(C)
2
1
0
，
0
1
3
3 2 1 0 0 1
【答案】 C .
【解析】
1 0 0 1 2 3
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题_真题(含答案与解析)-交互
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题(总分150, 做题时间180分钟)选择题每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1.当x →0 时，若x-tanx与x k是同阶无穷小，则 k=SSS_SINGLE_SELA1B2C3D4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C2.已知方程 x5-5x + k = 0 有个不同的实根，则 k 的取值范围SSS_SINGLE_SELA（-∞，-4）B（4，+∞）C[-4，4]D（-4，4)该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D3.已知微分方程y''+ay'+by=ce x的通解为y=（C1+C2x）e-x+e x，则a，b，c依次为SSS_SINGLE_SELA1,0,1B1,0,2C2,1,3D2,1,4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D由题干分析出-1为特征方程r2+ar+b=0的二重根，即（r+1）2=0 故a=2，b=1；又e x为y''+ay'+by=ce x的解，代入方程得c=44.SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B5.设A是四阶矩阵，A*是 A的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则A*的秩是SSS_SINGLE_SELAB1C2D3该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A由于 AX = 0 的基础解系有只有两个解向量，则由4 - R(A) = 2可得R(A) - 2 < 3，故R(A* ) = 0。
6.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2+A=2E ,且| A |=4 ,则二次型x T Ax的规范形为SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C∵A2+A=2E ,设 A的特征值为λ∴λ2+λ=2（λ+2）（λ-1）=0∴λ=-2或1∵| A |=4∴A的特征值为λ1=λ2=-2，λ3=1∴q=2，p=1∴X T Ax的规范形为y12-y22-y327.设 A,B 为随机事件，则 P(A) = P(B) 的充分必要条件是SSS_SINGLE_SELAP(A∪B) = P(A) + P(B)BP(AB) = P(A)P(B)CD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:CA选项⇔P(AB) =0 ,故 A 排除B选项⇔ A、B 独立，故 B 排除C选项⇔ P(A) - P(AB) = P(B) - P(AB)而P(A) ⇔ P(B) ，故 C 正确= 1- P(A) -P(B) + P(AB)⇔1 = P(A) + P(B) 故 D 排除8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布N（μ，σ2），则P{|X-Y|<1}SSS_SINGLE_SELA与μ无关，而与σ2有关B与μ有关，而与σ2无关C与μ,σ2都有关D与μ,σ2都无关该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A填空题每小题4分，共24分。
2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解【圣才出品】
【答案】B
【考点】矩阵相似的条件
2 0 0
1 a 1
【 解 析 】 注 意 矩 阵 0 b 0 是 对 角 矩 阵 ， 所 以 矩 阵 a b a 与 矩 阵
0 0 0
1 a 1
2 0 0 0 b 0 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等。 0 0 0
1 a 1
E A a b a (2 (b 2) 2b 2a2 )
Dk
A．I1＞0
B．I2＞0
C．I3＞0
D．I4＞0
【答案】B
【考点】二重积分的性质
2 / 19
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【解析】方法一：由极坐标系下二重积分的计算可知
π
Ik
( y x)dxdy
k
d 2
(k 1) π
1
(sin
cos
)r
2dr
0
Dk
2
1
3
k π
2 k 1π
(sin
2
cos )d
1 3
sin cos
kπ
|2
k 1π 2
所以 I1＝I3＝0，I2＝2π/3，I4＝－2π/3。
方法二：I1＝I3＝0。因为在 D2 内，y＋（－x）＞0，则
I2 y (x)d 0 D2
因为在 D4 内，y＋（－x）＜0，则
1 a 1
故可知 2b－2a2＝2b，即 a＝0，b 为任意常数。
7．设 X1、X2、X3 是随机变量，且 X1～N（0，1），X2～N（0，22），X3～N（5，32）， Pi＝P{－2≤Xi≤2}（i＝1，2，3），则（ ）。
A．P1＞P2＞P3 B．P2＞P1＞P3
考研数学三1987真题
(A)有界函数
(2) 函数 f (x) x sin x (
(B)单调函数 )
(C)周期函数
(D)偶函数
(A)当 x 时为无穷大
(B)当 x 时有极限
(C)在（ ， ）内有界
(D) 在（ ， ）内无界
(3)设 f (x)在x a 处可导，则 lim f (a x) f (a x) 等于( )
（1）（5 分）若 f x在a,b 内可导，且导数 f x恒大于零，则 f (x)在a,b内单调增加。
（2）（5 分）若 g(x)在x c 处二阶导数存在，且 g(c) 0, g(c) 0.则 g(c)为g(x) 的一个极大值。
七、（本题满分 10 分）
dx
计算不定积分
（其中 a,b 为不全为零的非负数）
x0
x
(A) f (a) (B) 2 f (a) (C)0 (D) f (2a)
s
(4)设 f (x) 为已知连续函数， I t t f (tx)dx, s 0,t 0,则I 的值( ) 0
(A)依赖与 s 和 t
(B) 依赖与 s、t、x
(C) 依赖与 t 和 x，不依赖与 s (D) 依赖与 s，不依赖与 t
a2 sin 2 x b2 cos2 x
八、（本题满分 15 分）
（1）（7 分）求微分方程 x dy dx
x y, 满足条件 y
x
2
0 的解。
（2）（8 分）求微分方程 y 2 y y xex 的通解。
九、选择题（每小题 4 分，满分 16 分）
(1) f (x) x sin ecosx , x 是 ( )
t t
,
求
dy dx
,
d2 dx
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第三章函数、方程、不等式考情分析应该说，函数、方程和不等式是整个联考的核心，要作为一个密不可分的整体来进行复习，要求考生掌握常见的图形和性质的规律，能够迅速求解一简单方程或不等式，以及由方程和不等式的解的特性研究其参数，包括会利用方程和不等式的思想解决实际应用问题。
此类题每年考试一般有4题。
第一节函数大纲要求本节主要考查一次函数、分段函数、二次函数、均值函数（不等式）、指数函数与对数函数的图像与性质，以及它们的实际运用等。
函数的性质比较重要的有最值的性质、单调性等。
核心指点一般求解函数的最值问题时，可以利用二次函数、均值函数这样的工具进行求解，也可以利用图形等相关方法求解。
考点精讲一、集合1.集合的概念集合：将能够确切指定的一些对象看成一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
元素：集合中各个对象叫做这个集合的元素。
2.常用数集及记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N。
N或+Z。
正整数集：非负整数集内除0的集合，记作*整数集：全体整数的集合，记作Z 。
有理数集：全体有理数的集合，记作Q 。
实数集：全体实数的集合，记作R 。
【注】（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。
（2）非负整数集内排除0的集，记作*N ，,,Q R Z 等其它数集内排除0的集，也是这样的表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z 。
3.集合的分类有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
规定：空集是不含任何元素的集合。
4.元素与集合的关系属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈； 不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉； 5.集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里或者不在，不能模棱两可； 互异性：集合中的元素没有重复；无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）；【注】（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如,,,,A B C P Q 等，元素通常用小写的拉丁字母表示，如,,,,a b c p q 等；（2）""∈的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写。
二、函数 1.二次函数形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数。
（1）它的图像是一条抛物线；（2）a 决定开口的方向和大小：0a >时开口向上， 0a <时开口向下； a 越大开口越小，a 越小开口越大； （3）对称轴：2b x a=-（4）顶点：24(,)24b ac b a a-- （5）与y 轴的交点：(0,)c例1 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，则能确定c b a ,,的值. （1）曲线)(x f y =经过点)0,0(和点)1,1(. （2）曲线)(x f y =与直线b a y +=相切.例2 1+=ax y 与)0(12≠++=a bx ax y 的图像可能是（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）例3（2010-1） 甲商店销售某种商品，该商品的进价为每件90元。
若每件定价为100元，则一天内能售出500件，在此基础上，定价每增加1元，一天便少售出10件。
甲商店欲获得最大利润，则该商品的定价应为（）（A）115元（B）120元（C）125元（D）130元（E）135元2.幂函数（1）定义形如a=的函数叫做幂函数。
其中x是自变量，a是常数。
y x（2）性质在函数a=中，当幂指数0y xa>时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，且在第一象限a<时，幂函数的图像都经过和(1,1)点，且在第一象限内函数内函数单调增加；当幂指数0单调递减并以坐标轴为渐近线。
3.指数函数和对数函数（1）指数和对数运算公式（2）图像及性质（3）分数指数幂的意义0,,,1)mna a m n Z n +=>∈>1(0,,,1)mnmna a m n Z na-+==>∈>例4 若使函数3)1252lg()(22--+=xxxxf有意义，则x的取值范围包括（）个正整数. （A）0（B）1（C）2（D）3（E）无数第二节方程大纲要求本节主要考查一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、绝对值方程、指数方程、对数方程等内容。
考生要求掌握求解一个方程的能力，以及由方程的解研究参数的变化情况。
核心指点求解一个一元二次方程的主要方法有因式分解法、配方法、求根公式法。
另外，如果解决方程根与系数的关系时，需要使用判别式∆和韦达定理等。
考点精讲一、方程、方程的解含有未知数的等式称为方程，能使方程左右两端相等的未知数的值为方程的解。
例如：对方程()()f xg x=来说。
若a值存在，且使得：()()f ag a=成立，则x a=是方程()()f xg x=的解。
又如方程为()0f x=形式，其中()f x为代数多项式，则若存在a，使()0f a=成立，可称a为方程()0f x=的根。
二、方程的元和次“元”是指方程中所含未知数的个数，“次”是指方程中未知数最高的指数，比如：20(0ax bx c a +=≠＋）这个关于x 的方程称为一元二次方程。
【注】大纲要求应考者掌握一元一次方程及一元二次方程。
但也考过一元三次方程及指数方程、对数方程。
三、一元一次方程含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的方程，称为一元一次方程，其一般形式为：(0)ax b a =≠，方程的解为abx =. 例5 某学生在解方程12131=+-+x ax 时，误将式中的1+x 看成1-x ，得出的解为1=x ，那么a 的值和原方程的解应是（ ） （A ）7,1==x a （B ）5,2==x a （C ）7,2==x a（D ）2,5==x a （E ）71,5==x a 四、一元二次方程 1.一元二次方程的概念只含一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程。
其一般形式为：）（002≠=++a c bx ax .2.一元二次方程的解法 （1）直接开方法例如：2228042x x x -=⇒=⇒=±（2）配方后再开方例如：22420(2)60x x x --=⇒--= （3）分解因式法例如：23520(31)(2)0x x x x --=⇒+-= 由11310,3x x +==-得；由220,2x x -==得。
（4）求根公式法对于一元二次方程20,ax bx c ++=它的解为2(40)2b x b ac a-±=-≥，其中24b ac -称为一元二次方程的根的判别式，记为24.b ac ∆=-0∆<，方程无实根，0∆=，方程有两个相等的实根12,2b x x a=-。
0∆>，方程有两个不等的实根ab x x 2,21∆±-=。
例6 方程022=++ax x 与022=--a x x 有一个公共实数解。
（1）3=a ； （2）2-=a例7 已知关于x 的方程062242=-++++a x a x x 有两个不等的实根，则系数a 的取值范围是（ ）（A ）2-=a 或2>a （B ）2-=a 或1=a （C ）2-=a 或1>a（D ）2-=a （E ）以上结论均不正确3.一元二次方程的根与系数的关系设方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,,x x 则有：12,b x x a +=- 12cx x a=（韦达定理）利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值 （1）12121211x x x x x x ++=. （2）212122221212()211()x x x x x x x x +-+=.（3）21221221214)()(x x x x x x x x -+=-=-.（4）2122122212)(x x x x x x -+=+.（5）22121212()()x x x x x x -=+-.（6）332212121121()()x x x x x x x x +=+-+]3))[((2122121x x x x x x -++=.（7）221222214241)(2)(x x x x x x -+=+.例8 已知方程012223=+--x x x 有三个根321,,x x x ，其中11-=x ，则32x x -等于（ ） （A ）5 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）7例9 设b b a a 31,3122=+=+且b a ≠，则代数式2211ba +的值为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （E ）7例10 若n m ,分别满足05199922=++m m ，02199952=++n n ，且1≠mn ，则=+mmn 1（ ） （A ）51999-（B ）51999（C ）19995-（D ）19995（E ）21999-例11 若βα,是方程0132=+-x x 的两根，则=+34218βα（ ）（A ）377 （B ）64 （C ）37 （D ）2 （E ）14.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2y ax bx c =++图像的关系 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像是一条抛物线，它的对称轴是2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，0a >时开口向上， 0a <时开口向下； a 越大开口越小，a 越小开口越大；（2）如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为12,x x ，则二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交于点12(,0),(,0)x x . 5.一元二次方程根的分布 （1）类型1.正负根①方程有两个不等正根⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆⇔0002121x x x x②方程有两个不等负根⎪⎩⎪⎨⎧><+>∆⇔0002121x x x x③方程有一正根一负根.0021<⇔<⇔ac x x ④方程有一正根一负根且正根的绝对值大⎩⎨⎧>+<⇔002121x x x x ，即⎩⎨⎧<<00ab ac⑤方程有一正根一负根且负根的绝对值大⎩⎨⎧<+<⇔002121x x x x ，即⎩⎨⎧><00ab ac （2）类型2.区间根区间根问题，使用“两点式”解题法，即看顶点（横坐标相当于看对称轴，纵坐标相当于看∆）、看端点（根所分布的端点）； 为了讨论方便，我们只讨论0>a 的情况，考试时，如果a 的符号不定，则需要先讨论开口方向。
①若0>a ，方程的一根大于1，另外一根小于1，则0)1(<f .（看端点）②若0>a ，方程的根1x 位于区间)2,1(上，2x 位于区间)4,3(，21x x <，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>0)4(0)3(0)2(0)1(f f f f （看端点） ③若0>a ，方程的根1x 和2x 均位于区间)2,1(上，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆<-<>>02210)2(0)1(a b f f （看端点、看顶点） ④若0>a ，方程的根112>>x x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∆>->0120)1(a b f （看端点、看顶点） （3）类型3.有理根若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的系数c b a ,,均为有理数，方程的根为有理数，则∆需能开方。