2017_2018学年高中数学第三章函数的应用3-1函数与方程3-1-2用二分法求方程的近似解优化练习新人教A版必修1
2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
[配套K12]2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课
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方程的根与函数的零点(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·烟台高一检测)函数f(x)=log5(x-1)的零点是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.令log5(x-1)=0,得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2.2.(2017·开封高一检测)二次函数y=x2-kx-1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是( )A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选C.二次函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数与对应的一元二次方程f(x)=0的实根个数有关,由于Δ=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4,无论k为何实数,Δ>0恒成立,即方程x2-kx-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数y=x2-kx-1的图象与x轴应有两个交点.3.(2017·聊城高一检测)函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点是-3,则它的另一个零点是( )A.-1B.1C.-2D.2【解析】选B.设另一个零点是x,由根与系数的关系得-3+x=-=-2,所以x=1.即另一个零点是1.4.(2017·吉安高一检测)已知函数f(x)=-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0<x1<x0,则f(x1) ( )A.恒为负值B.等于0C.恒为正值D.不大于0【解析】选C.由实数x0是方程f(x)=0的解,得=log2x0,分别作出函数y=,y=log2x 的图象,由图象可知,当0<x1<x0时,>log2x1,所以f(x1)=-log2x1>0.【一题多解】因为函数y=是单调减函数,y=log2x在(0,+∞)上是增函数,所以根据函数单调性的性质可知,函数f(x)=-log2x在(0,+∞)上是减函数.因为0<x1<x0,所以f(x1)>f(x0)=0.5.(2017·黄冈高一检测)若函数f(x)在定义域{x|x∈R,且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有( )A.一个B.两个C.至少两个D.无法判断【解析】选B.因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(2)=0,所以在(0,+∞)上有且仅有一个零点2,又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点-2,所以函数f(x)的零点有两个.6.(2017·郑州高一检测)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】选B.由2a=3,3b=2,得a=log23,b=log32,ab=1,f(-1)=a-1-1-b=-1<0,f(0)=1-b=1-log32>0.所以零点所在区间是(-1,0).7.函数g(x)=x2+a存在零点,则a的取值范围是( )A.a>0B.a≤0C.a≥0D.a<0【解析】选B.函数g(x)=x2+a存在零点,则x2=-a有解,所以a≤0.【延伸探究】若本题中条件“存在零点”换为“有两个零点”,其结论又如何呢?【解析】选D.函数g(x)=x2+a有两个零点,则x2=-a有两个实数解,所以a<0,故选D.【补偿训练】函数f(x)=|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选D.在平面直角坐标系中作出函数y=|x|-1和y=ax的图象如图,结合图象可以看出:当a≥1时,两函数的图象只有一个交点,且交点横坐标小于0,即函数f(x)=|x|-ax-1仅有一个负零点.故应选D.8.已知函数f(x)=x--1,g(x)=x+2x,h(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,x3,则( )A.x2<x1<x3B.x2<x3<x1C.x3<x1<x2D.x1<x2<x3【解析】选 B.f(x)=x--1=0⇔x-1=,根据图象可得两个函数图象的交点x1>1,g(x)=x+2x=0⇔2x=-x,根据两个函数图象的交点可知x2<0,h(x)=x+lnx=0⇔lnx=-x,根据两个函数图象的交点可知0<x3<1,所以x2<x3<x1.【一题多解】选B.三个函数图象y=--1,y=2x,y=lnx与y=-x的交点横坐标比较大小,这样画在同一坐标系下也清楚交点的大小.由图可知x2<x3<x1.【补偿训练】(2017·德州高一检测)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点【解析】选C.因为f(0)·f(1)<0,故f(x)在(0,1)内一定有零点.尽管f(1)·f(2)>0,f(x)在(1,2)内也可能有零点,如图,故C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·嘉兴高一检测)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为________.【解析】当x≤1时,令2x-1=0,得x=0.当x>1时,令1+log2x=0,得x=,此时无解.综上所述,函数零点为0.答案:010.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围为________.【解析】易知函数f(x)=x2+x+a的图象开口向上,且对称轴为直线x=-.若函数f(x)在区间(0,1)上有零点,则只需满足f(0)·f(1)<0,即a(a+2)<0,解得-2<a<0.答案:-2<a<0【补偿训练】已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=f(x).若f(x)有2015个零点,则这2015个零点之和为________.【解析】设x0为其中一根,即f(x0)=0,因为函数f(x)满足f(-x)=f(x),所以f(-x0)=f(x0)=0,即-x0也为方程一根,又因为方程f(x)=0有2015个实数解,所以其中必有一根x1,满足x1=-x1,即x1=0,所以这2015个零点之和为0.答案:0三、解答题(每小题10分,共20分)11.判断函数f(x)=lnx-在区间[1,3]内是否存在零点.【解析】因为函数f(x)=lnx-的图象在[1,3]上是连续不断的一条曲线,且f(1)=-1<0,f(3)=ln3->0,从而由零点存在性定理知,函数在[1,3]内存在零点.12.(2017·大同高一检测)已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)的零点.(2)若f(x)有零点,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1.令f(x)=0,即2·(2x)2-2x-1=0,解得2x=1或2x=-(舍去),所以x=0,所以函数f(x)的零点为0.(2)若f(x)有零点,则方程2a·4x-2x-1=0有解.于是2a==+=-,因为>0,所以2a>-=0,即a>0.【补偿训练】已知函数f(x)=x2-bx+3.(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点.(2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的范围.【解题指南】第(2)问将函数的零点转化为函数图象与x轴交点的横坐标,利用图象找出关于b的不等式,然后解不等式即可.【解析】(1)因为f(0)=f(4),所以3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3,令f(x)=0即x2-4x+3=0得x1=3,x2=1.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图.需f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4.【能力挑战题】已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1.求当m为何值时,函数f(x)有两个零点.【解析】函数f(x)有两个零点,即方程2(m+1)x2+4mx+2m-1=0有两个不相等的实根,所以解得m<1且m≠-1,所以当m<1且m≠-1时,函数f(x)有两个零点.。
2018版高中人教A版数学必修1课件：第三章 函数的应用3
答案：连续不断 f(a)· f(b)＜0
f(c)＝0
[想一想] 1．函数 y＝f(x)的零点是点吗？为什么？
答案：不是．函数的零点的本质是方程 f(x)＝0 的实数根，因 此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个 实数时，函数值为零．
2．任何函数都有零点吗？
1 答案：并非所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝ 无零点，因 x 1 为方程 ＝0 无实根． x
由图可知函数 y＝ln x，y＝－x＋3 的图象只有一个交点，即 函数 f(x)＝x－3＋ln x 只有一个零点． 解法二：因为 f(3)＝ln 3>0， 2 f(2)＝－1＋ln 2＝ln <0， e 所以 f(3)· f(2)<0，说明函数 f(x)＝x－3＋ln x 在区间(2,3)内有 零点． 又 f(x)＝x－3＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只 有一个零点．
[巧归纳]
解题时把方程的根的个数转化为函数图象的交点
个数，数形结合的方法是判断方程根(函数零点)的个数的有效方 法．
[练习 2]判断函数 f(x)＝x－3＋ln x 的零点个数．
解：解法一：令 f(x)＝x－3＋ln x＝0， 则 ln x＝3－x.在同一平面直角坐标系内画出函数 y＝ln x 与 y＝－x＋3 的图象，如图所示．
类型 3
判断函数零点所在区间
[要点点击] 函数 f(x)在区间[a，b]上的零点的情况 (1)有唯一零点： 此时，f(x)在[a，b]上与 x 轴有唯一公共点或 f(x)在[a，b]上 满足以下三条： ①图象是连续不断的一条曲线； ②f(a)· f(b)<0； ③f(x)在[a，b]上是单调函数．
[典例 2] 已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝ g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是(
2018版高中人教A版数学必修1课件：第三章 函数的应用3-2-2-2 精品
W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)， 所以 W＝ －0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2. 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.6 万元，此时 B 商品的投 资为 9 万元． 故该经营者下个月把 12 万元中的 3 万元投资 A 种商品，9 万元投资 B 种商品，可获得最大利润，约为 4.6 万元．
R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中 x 是仪器的月产量． 80 000，x>400.
(1)将利润表示为月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少 元？(总收益＝总成本＋利润)
[解析] (1)设每月产量为 x 台，则总成本为 20 000＋100x，
[想一想] 函数拟合与预测的一般步骤有哪些？
答案：(1)根据原始数据、表格，绘出散点图； (2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制， 为决策和管理提供依据．
类型 1 已知函数模型的应用问题 [典例 1] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：
f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当 x＝300 时，f(x)取最25 000 元．
[练习 1]某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的 剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克)与时 间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
[解析] 设每年购买和贮存元件总费用为 y 元，其中购买成
本费为固定投入，设为 c 元，
则 y＝500n＋2×8 0n00×12＋c
2018学年高一数学人教A版必修一 课件 第三章 函数的应用 3.1.2 精品
教案·课堂探究
二分法的概念 自主练透型 下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
解析： 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在 B 中， 不满足 f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D 中零点两侧函数值异 号，故可采用二分法求零点．
(2)函数 f(x)的图象如图所示，能用二分法求函数 f(x)的零点个数为( )
A： (1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值 异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故 A 错；二分法有规律可循， 可以通过计算机来进行，故 C 错；求方程的近似解也可以用二分法，故 D 错．
2．求函数 f(x)＝x2－5 的负零点．(精确度 0.1)
解析： 由于 f(－2)＝－1<0，
f(－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点 中点函数值(或近似值)
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.062 5
(－2.25，－2)
谢谢观看！
解析： 由题意知选C. 答案： C
2．用二分法求方程 f(x)＝0 在(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，
f(1.25)<0，则方程的根在区间( )
A．(1.25,1.5)
B．(1,1.25)
C．(1.5,2)
D．不能确定
解析： 由题意知 f(1.25)·f(1.5)<0，
[化解疑难] 对二分法定义的理解 (1)二分法的基本思想：逼近思想； (2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数 的不变号零点不适用.
2017版高中人教A版数学必修1课件：第三章 函数的应用3-2-1
y＝xn (n>0)
在(0，＋∞)上 单调递增
的增减性
单调递增 单调递增
随 x 增大逐渐 随 x 增大逐渐 随 n 值 图象的变化
________ ________ 而不同
答案：变陡 变缓
第五页，编辑于星期六：三点 二十二分。
二、指数函数 y＝ax(a＞1)，对数函数 y＝logax(a＞1)和幂函 数 y＝xn(n＞0)增长速度的比较
第三章 函数的应用
第一页，编辑于星期六：三点 二十二分。
3．2 函数模型及其应用
第二页，编辑于星期六：三点 二十二分。
3.2.1 几类不同增长的函数模型
第三页，编辑于星期六：三点 二十二分。
第四页，编辑于星期六：三点 二十二分。
[填一填]
一、三种函数模型的性质
性质
函数
y＝ax (a>1)
y＝logax (a>1)
模拟函数较好？说明理由．
第二十二页，编辑于星期六：三点 二十二分。
解：若用函数 y＝ax＋b(a≠0)，取(1,50)，(2,52)， 有a2＋a＋b＝b＝505，2， 得ab＝ ＝24， 8， ∴y＝2x＋48， 当 x＝3 时，y＝54. 若用函数 y＝ax＋b，取(1,50)，(2,52)， 有aa＋2＋bb＝＝5502，， 得ab＝ ＝24， 8， ∴y＝2x＋48. 当 x＝3 时，y＝56.
第十六页，编辑于星期六：三点 二十二分。
[ 巧 归 纳 ] (1) 解 答 此 类 问 题 的 关 键 是 明 确 “ 指 数 爆 炸”“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于 两者之间的．
(2)体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．
第十七页，编辑于星期六：三点 二十二分。
2018学年高一数学人教A版必修一 课件 第三章 函数的应用 3 章末高效整合 精品
解析：
(1)依题意得 y＝6t，0≤t≤1，
－23t＋230，1<t≤10.
(2)设第二次服药时在第一次服药后 t1 小时，则－23t1＋230＝4，解得 t1＝4， 因而第二次服药应在 11∶00.
设第三次服药在第一次服药后 t2 小时，则此时血液中含药量应为前两次服 药后的含药量的和，即有－23t2＋230－23(t2－4)＋230＝4，解得 t2＝9 小时，故第三 次服药应在 16∶00和 y＝x＋a 的图象如图：结合 图象可知方程|ax|＝x＋a 有两个解时，有 a>1.
答案： (1)C (2)A
用二分法求函数的零点或方程的近似解 用二分法求方程近似解注意的问题： (1)看清题目的精确度，它决定着二分法的结束． (2)根据 f(a0)·f(b0)<0 确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始 区间． (3)初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二 分的次数相差较大． (4)取区间中点 c 计算中点函数值 f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an， bn)中，an 与 bn 按精确度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．
(1.625,1.75) 1.687 5 －0.561 8
(1.687 5,1.75) 1.718 75 －0.170 7
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以可将 1.75 作为函数零点的近似值．
函数模型及应用 1．函数模型的应用实例主要包含三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题．
4．不同函数增长模型的对比 “直线上升”“指数爆炸”“对数增长”分别反映了一次函数、指数函数、 对数函数的增长趋势，幂函数的增长介于指数函数与对数函数之间．即总会存在 一个 x0，使得当 x>x0 时，有 logax<xn<ax(a>1，n>0)．
2017-2018学年人教版高中数学必修一 第三章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例
5 当x＝ ，即涨价125%时，每天的营业额最大． 4 (2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，
x 4 x 1＋ · 1－ · · 则需m· n＞m· n， 10 5 10
即2x2－5x＜0，变形得x(2x－5)<0.
5 5 又x>0，故0＜x＜ .∴x的取值范围为0，2. 2
60x，0≤x≤20， (2)依题意并结合(1)可得f(x)＝1 x200－x，20＜x≤200. 3 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为 60×20＝1 200； 1 1 10 000 2 当20＜x≤200时，f(x)＝ x(200－x)＝－ (x－100) ＋ 3 3 3 10 000 ≤ ，当且仅当x＝100时，等号成立． 3 10 000 所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值 . 3 10 000 综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值 3 ≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大 值约为3 333辆/时．
3．2.2
函数模型的应用实例
[导入新知] 1．常见的函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝ kx (k 为常数，k≠0)； k (2)反比例函数模型：f(x)＝ x (k 为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f(x)＝ kx＋b (k，b 为常数，k≠0)；
2 ax (4)二次函数模型：f(x)＝ ＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)；
[化解疑难] 求解函数应用题的程序
二次函数模型
[例1] 已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量减
4 少 x(其中x>0)成． 5 (1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？ (2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．
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用二分法求方程的近似解
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
答案：B
2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A ．ε越大，零点的精确度越高
B ．ε越大，零点的精确度越低
C ．重复计算次数就是ε
D ．重复计算次数与ε无关
答案：B
3．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A ．[－2, 1]
B ．[－1,0]
C ．[0,1]
D ．[1,2] 解析：f (－2)＝－3<0，f (1)＝6>0
逐次验证得出初始区间为A.
答案：A
4．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )<0，用二分法求x 0时，当f ⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0时，则函数f (x )的零点是( ) A ．(a ，b )外的点
B ．x ＝a ＋b 2
C ．区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2或⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2，b 内的任意一个实数 D ．x ＝a 或x ＝b
答案：B
5．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x
＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2)
D ．不能确定
解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则由f(1.25)·f(1.5)<0可知方程根落在(1.25,1.5)上．
答案：B
6．用二分法研究函数f(x)＝x2＋6x－2的零点时，第一次经过计算f (0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
解析：由零点的存在性可知，x0∈(0,0.5)，取该区间的中点0.5
2
＝0.25，∴第二次应计算
f(0.25)．
答案：(0,0.5) f(0.25)
7．求方程log3x＋x＝3的解所在区间是________．
解析：构造函数f(x)＝log3x＋x－3，找出函数零点所在的初始区间，
∵f(2)<0，f(3)>0，∴x0∈(2,3)．
答案：(2,3)
8．若方程x3－x＋1＝0在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上有一根，
则a＋b＝________.
解析：设f(x)＝x3－x＋1，则f(－2)＝－5＜0，
f(－1)＝1＞0可得a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3.
答案：－3
9．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解．(精确度0.1)
解析：设f(x)＝2x3＋3x－3，∵f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，∴函数在(0,1)内存在零点，即方程在(0,1)内有实数解，取(0,1)作为初始区间，利用二分法逐次计算，列表如下：。