高二数学(理)《空间向量运算的坐标表示》(课件)
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空间向量及其运算的坐标表示(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
(2)’’=(-2,2,0),cos<’,’’>=
=- .
5 8
10
10
所以EB’与A’C’所成角的余弦值为
10
y
x
方
法
引入空间向量坐标运算之后，只要将元素向量化，就将几何
总 关系转化为代数关系，利用代数计算就可解决几何问题.
结
1.3空间向量及其运算的坐标表示
思维篇
素养篇
知识篇
数
学
思
x
1
3
2
3
2
3
= 6( − )2 + 6( − )2 + ≥
方
法
z
E
F
O
6
3
空间动点问题，可以引入带参数的向量坐标来表示，利
用函数的最值来反映元素关系的极端情况.
y
数
学
思
想
问
2.如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中AB=4，AD=AA’=2;过点
D作平面A’BC’的垂线，垂足H在平面A’BC’内，求点H的
所以 = (3 − 3 + 3)2 +9 + 3( − )2 =5
1
1
8
得：( − )2 +( − )2 = ;
2
2
9
1 +−3
1 ｙ－ｘ
设M(x,y,z),易得 − =
, − ＝
.
2
3
2
３
3
3
3
所以(x+y-3)2+(y-x)2=8,即( − )2 +( − )2 =4, z=
条件的点的坐标.
=- .
5 8
10
10
所以EB’与A’C’所成角的余弦值为
10
y
x
方
法
引入空间向量坐标运算之后，只要将元素向量化，就将几何
总 关系转化为代数关系，利用代数计算就可解决几何问题.
结
1.3空间向量及其运算的坐标表示
思维篇
素养篇
知识篇
数
学
思
x
1
3
2
3
2
3
= 6( − )2 + 6( − )2 + ≥
方
法
z
E
F
O
6
3
空间动点问题，可以引入带参数的向量坐标来表示，利
用函数的最值来反映元素关系的极端情况.
y
数
学
思
想
问
2.如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中AB=4，AD=AA’=2;过点
D作平面A’BC’的垂线，垂足H在平面A’BC’内，求点H的
所以 = (3 − 3 + 3)2 +9 + 3( − )2 =5
1
1
8
得：( − )2 +( − )2 = ;
2
2
9
1 +−3
1 ｙ－ｘ
设M(x,y,z),易得 − =
, − ＝
.
2
3
2
３
3
3
3
所以(x+y-3)2+(y-x)2=8,即( − )2 +( − )2 =4, z=
条件的点的坐标.
1.3.2 空间向量运算的坐标表示课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册(共32页PPT)
证明：
不妨设正方体的棱长为 1，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，
则
E
1,1,
1 2
，
F
1 2
,
1 2
,1
，所以
EF
1 2
,
1 2
,
1 2
.
又 A1(1, 0,1) ， D(0, 0, 0) ，所以 DA1 (1,0,1) .
所以
EF
DA1
1 2
,
1 2
,
1 2
(1,
0,1)
A.4
B.6
C.8
D.10
解析：因为 a//b ，所以存在实数 t，使得 a tb ，又 a (1, m,3) ，b (2, 4, n) ，
所以
(1,
m,
3)
t(2,
4,
n)
(2t,
4t,
nt)
，所以
1 2t m 4t
，解得
t
1 2
m 2
，
3 nt
n
6
所以 m n 2 6 8 .故选：C.
例 2 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M 为 BC1 的中点 E1 ， F1 分别
在棱
A1B1
， C1D1
上，
B1E1
1 4
A1B1
，
D1F1
1 4
C1D1
.
（1）求 AM 的长.
（2）求 BE1 与 DF1 所成角的余弦值.
分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点 A,M 的坐标，利用空间两点间的距离公式求出 AM 的长. （2）BE1 与 DF1 所成的角就是 BE1, DF1 的坐标运算得到结果
空间向量运算的坐标表示ppt课件
新知探究
1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
＋
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
＋＝_______________________
减法
－
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
－＝_______________________
数乘
λ
(λa1，λa2，λa3)
λ＝______________，λ∈R
数量积
·
a1b1＋a2b2＋a3b3
·＝________________
下面我们来证明空间向量的
的坐标表示：
设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则
a=a1i+a2 j+a3k ,
b=b1i+b2 j+b3k
∴a ∙ b=（a1i+a2 j+a3k） ∙ （b1i+b2 j+b3k）
∵i∙i=j∙ j=k∙ k=1
i∙j=j∙ k=k∙ i=0
∴a∙b=a1b1+a2b2+a3b3
2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有
①b1，b2，b3≠0时，∥⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)⇔
②⊥⇔·＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
【练习7 】点P(1,3,5)关于点M(2,﹣1,﹣4)的对称点的坐标是__________.
8.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，
G在棱CD上，且CG＝ CD，H是C1G的中点．
(1)求FH的长；
空间向量运算的坐标表示(课件)2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
思路分析(1)根据 c∥,设 c=λ,则向量 c 的坐标可用 λ 表示,再利用|c|=3 求 λ 值;
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
2x1－x2＝2，
x1＝1，
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，由题设可得
解得
x1＋2x2＝1，
x2＝0，
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，
b＝(0，2，－1)，
a·
b＝0－2－1＝－3， |a|＝ 3，|b|＝ 5，
a·
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15
cos〈a，b〉＝
∴
2，－2λ，－λ＝0，
λ＋1，1，2λ·
5λ2＋2λ＝3，
化简，得
2
2－2λ ＝0，
因此，a＝(0,1，－2).
解得 λ＝－1.
归纳总结
用坐标表示空间向量的步骤如下:
归纳总结
空间向量的坐标运算注意以下几点:
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
(2)∵a==(1,1,0),b==(-1,0,2),
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
思路分析(1)根据 c∥,设 c=λ,则向量 c 的坐标可用 λ 表示,再利用|c|=3 求 λ 值;
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
2x1－x2＝2，
x1＝1，
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，由题设可得
解得
x1＋2x2＝1，
x2＝0，
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，
b＝(0，2，－1)，
a·
b＝0－2－1＝－3， |a|＝ 3，|b|＝ 5，
a·
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15
cos〈a，b〉＝
∴
2，－2λ，－λ＝0，
λ＋1，1，2λ·
5λ2＋2λ＝3，
化简，得
2
2－2λ ＝0，
因此，a＝(0,1，－2).
解得 λ＝－1.
归纳总结
用坐标表示空间向量的步骤如下:
归纳总结
空间向量的坐标运算注意以下几点:
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
(2)∵a==(1,1,0),b==(-1,0,2),
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
空间向量运算的坐标表示 课件
1
1
3
(1) = ( − ) = (6,3, −4) = 3, ,-2 ,
2
则点 P 的坐标为
2
3
3, ,-2
2
2
.
(2)设点 P 的坐标为(x,y,z),
则 = ( − 2, + 1, − 2).
1
3
∵ = ( − ) = 3, ,-2 ,
2
2
-2 = 3,
3, 是的中点, 为底面的中心.
(1)求 CE 的长;
(2)求异面直线 BE 与 SC 所成角的余弦值;
(3)若 OG⊥SC,垂足为 G,求证:OG⊥BE.
分析:由于棱锥是正四棱锥, 因此底面四边形 ABCD 是正方形,
从而 OA,OB,OS 两两垂直,故可建立空间直角坐标系,进行求解和证
(5)a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(b≠0,λ∈R);
(6)a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;
(7)|a|= · =
(8)cos<a,b>=
12 + 22 + 32 ;
·
||||
=
1 1+2 2+3 3
2
2
2
21 +22 +23 1 +2 +3
以
6
,0,0
2
, 0,0,
2
2
, -
6
,0,0
2
, 0,
6
,0
2
,
6
2
,0,
4
4
.
(1) =
3 6
2
,0,
4
1
3
(1) = ( − ) = (6,3, −4) = 3, ,-2 ,
2
则点 P 的坐标为
2
3
3, ,-2
2
2
.
(2)设点 P 的坐标为(x,y,z),
则 = ( − 2, + 1, − 2).
1
3
∵ = ( − ) = 3, ,-2 ,
2
2
-2 = 3,
3, 是的中点, 为底面的中心.
(1)求 CE 的长;
(2)求异面直线 BE 与 SC 所成角的余弦值;
(3)若 OG⊥SC,垂足为 G,求证:OG⊥BE.
分析:由于棱锥是正四棱锥, 因此底面四边形 ABCD 是正方形,
从而 OA,OB,OS 两两垂直,故可建立空间直角坐标系,进行求解和证
(5)a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(b≠0,λ∈R);
(6)a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;
(7)|a|= · =
(8)cos<a,b>=
12 + 22 + 32 ;
·
||||
=
1 1+2 2+3 3
2
2
2
21 +22 +23 1 +2 +3
以
6
,0,0
2
, 0,0,
2
2
, -
6
,0,0
2
, 0,
6
,0
2
,
6
2
,0,
4
4
.
(1) =
3 6
2
,0,
4
1.3.2空间向量运算的坐标表示-高二数学课件
a − b = (a1 − b1 ，a2 − b2 ，a3 − b3 )，
λa = (λa1 ，λa2 ，λa3 )，
a ∙ b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
新知探究
空间向量运算的坐标表示
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设{Ԧi，Ԧj，k}为空间的一个单位正交基底，则
上，且∠ = 90° , ∠ = 30° ,求
(1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值.
解: (1)过作 ⊥ 于，则 = ∙
1
2
1
2
= − ∙ 60° = 1 − = ,
1
2
所以点坐标为 0， − ，
又因为 0，1，0 ，
所以 = 0， −
22 + 02 + (−8)2 = 2 17.
(2) ∵ ∙ = (1， − 3，2) ∙ (2，0， − 8) = −14，
∴ < ， >=
∙
||||
=
−14
14×2 17
=−
238
.
34
例题讲解
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
z
P1
如图建立空间直角坐标系Oxyz，
k
设P1 (x1 ，y1 ，z1 )，P2 (x2 ，y2 ，z2 )是空间中任意两点，
则P1 P2 = OP2 − OP1 = (x2 − x1 ，y2 − y1 ，z2 − z1 ).
于是P1 P2 = |P1 P2 | =
P1 P2 ∙ P1 P2 =
P2
(1)求AM的长.(2)求BE1 与DF1 所成角的余弦值.
3
空间向量运算的坐标表示课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(2) 已 知 a ＋ b ＝ (2 ， 2 ， 2 3 ) ， a － b ＝ (0 ， 2 ， 0) ， 则 a ＝ ___(_1_，___2_，___3_)_____，b＝_____(_1_,0_，____3_)_____，a·b＝___4___.
[解析] (1)易得 2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，则(2a＋3b)·(a－ b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学 运算及逻辑推理素养．
必备知识•探新知
知识点 1 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘 数量积
a＋b a－b
λa a·b
a＋b＝___(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)___ a－b＝___(a_1_－__b_1_，__a_2－__b_2_，__a_3_－__b_3)___ λa＝___(_λa_1_，__λ_a_2_，__λa_3_)__，λ∈R a·b＝__a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3__
(2) 已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．( × )
(3)
若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则ab11
＝
a2 b2
＝
ab33.(
×
)
提示：(1)由 a·b＝0，得 a⊥b.
(2)若 x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝ 12＋12＋12＝ 3，所以 a 不是单位向量．
则 B(0,1,0)，M(1,0,1)，N0，12，1. (1)∵B→M＝(1，－1,1)，
[解析] (1)易得 2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，则(2a＋3b)·(a－ b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学 运算及逻辑推理素养．
必备知识•探新知
知识点 1 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘 数量积
a＋b a－b
λa a·b
a＋b＝___(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)___ a－b＝___(a_1_－__b_1_，__a_2－__b_2_，__a_3_－__b_3)___ λa＝___(_λa_1_，__λ_a_2_，__λa_3_)__，λ∈R a·b＝__a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3__
(2) 已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．( × )
(3)
若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则ab11
＝
a2 b2
＝
ab33.(
×
)
提示：(1)由 a·b＝0，得 a⊥b.
(2)若 x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝ 12＋12＋12＝ 3，所以 a 不是单位向量．
则 B(0,1,0)，M(1,0,1)，N0，12，1. (1)∵B→M＝(1，－1,1)，
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.5 空间向量运算的坐标表示(共22张ppt)
空间向量的坐标表示
设a =(a1,a2),b =(b1,b2)则 设a =(a1,a2,a3),b =(b1,b2,b3)则
a b (a1b1, a2 b2 );
a b a1b1 a2b2 ;
a (a1,a2 ),( R).
a b (a1b1, a2 b2 , a3 b3 );
设 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3).
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32.
| b |2 b b b12 b22 b32.
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线 的长度.
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A ( x1 , y1 , z1 ) 、
解：a + b =(2,-3,5)+(-3,1,-4)=(-1,-2,1), a - b =(2,-3,5)-(-3,1,-4)=(5,-4,9), |a|= 22 +(-3)2 +52 = 38, 8a = 8(2,-3,5)=(16,-24,40), ab =(2,-3,5)(-3,1,-4)= 2×(-3)+(-3)×1+5×(-4) = -29.
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
.
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1时，a 与 b 同向. （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向.
则p =
3
,q =
4
空间向量运算的坐标表示 课件
(2)S△BMN= ·|BM|·|BN|·sin∠MBN.
2
∵cos∠MBN=cos<, >
·
||||
=
=
3
2
∴sin∠MBN= 1故
1
S△BMN=2 ×
即△BMN
5
3× 2
=
15
5
15
,
5
2
=
10
,
5
5
10
3× 2 × 5
6
的面积夹角、距离公式的坐标表示
若向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)|a|= · =
12 + 22 + 32 ;
·
(2)cos<a,b>=
||||
=
1 1 +2 2 +3 3
21 +22 +23 21 +22 +23
即-4+2y-18=0,解得 y=11.
(3)由已知得 2a-b=(-4,8,-6-x),a+3b=(5,-10,3x-3),而
(2a-b)∥(a+3b),
-4
所以
5
=
8
-10
=
-6-
,解得
3-3
x=6.
空间向量夹角与模的计算
【例3】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC
中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.
(1)求 + , -2, · ;
(2)若点 M 满足 =
1
2
3
+ ,求点
4
2
∵cos∠MBN=cos<, >
·
||||
=
=
3
2
∴sin∠MBN= 1故
1
S△BMN=2 ×
即△BMN
5
3× 2
=
15
5
15
,
5
2
=
10
,
5
5
10
3× 2 × 5
6
的面积夹角、距离公式的坐标表示
若向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)|a|= · =
12 + 22 + 32 ;
·
(2)cos<a,b>=
||||
=
1 1 +2 2 +3 3
21 +22 +23 21 +22 +23
即-4+2y-18=0,解得 y=11.
(3)由已知得 2a-b=(-4,8,-6-x),a+3b=(5,-10,3x-3),而
(2a-b)∥(a+3b),
-4
所以
5
=
8
-10
=
-6-
,解得
3-3
x=6.
空间向量夹角与模的计算
【例3】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC
中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.
(1)求 + , -2, · ;
(2)若点 M 满足 =
1
2
3
+ ,求点
4