换底公式的推导及特殊换底公式及练习.
什么是换底公式换底公式怎么推导来的
什么是换底公式换底公式怎么推导来的换底公式是数学中常用的一种技巧，用于将不同底的对数转换为同底的对数。
它在解决一些复杂计算问题时具有很大的便利性，并且被广泛应用于各个领域。
本文将详细介绍什么是换底公式以及它是如何推导而来的。
1. 换底公式的定义换底公式是指将不同底的对数转换为同底的对数的公式。
具体来说，对于任意一个正实数a、b（a、b≠1），以及任意一个正实数x，换底公式可以表示为：logₐx = logₐb * log_bx其中，logₐx表示以底数a为底的x的对数，logₐb表示以底数a为底的b的对数，log_bx表示以底数b为底的x的对数。
2. 换底公式的推导过程为了推导换底公式，我们先从上述公式入手，根据对数的定义和性质进行推算。
首先，根据对数的定义，底数a为底的x的对数可以表示为a的多少次幂等于x。
即：a^logₐx = x。
其次，我们可以将a表示为b的对数的形式，即：a = b^log_ba。
将以上两个等式代入我们的初等换底公式中，得到：a^logₐx =(b^log_ba)^logₐb * log_bx。
在指数运算中，当相同底数的幂次相乘时，其底数保持不变，幂次相加。
根据此性质，上述等式可以进一步简化为：(b^log_ba)^logₐb *log_bx = b^{(log_ba)*(logₐb)} * log_bx。
为了使等式更加简洁，我们引入一个新的变量t，令t = log_ba。
代入上式得到：b^t * log_bx = b^{t * (logₐb)} * log_bx。
进一步观察整个等式，我们可以发现b^t与b^{t * (logₐb)}是相等的，即：b^t = b^{t * (logₐb)}。
由于底数相等，所以指数也必须相等。
根据这一条件，我们得到logₐb = 1。
将这个结果代入上面的等式，我们就可以得到最终的换底公式：a^logₐx = b^t * log_bx。
3. 换底公式的应用举例现在我们来看一些实际应用，以更好地理解换底公式。
《对数的换底公式》课件
对数与换底公式在数学中的应用
总结词
对数和换底公式在数学中有广泛的应用，包括解决一些复杂的问题和简化计算过程。
详细描述
对数和换底公式在数学中有广泛的应用。例如，在解决一些复杂的问题时，可以使用对数和换底公式 来简化计算过程。此外，对数和换底公式还可以用于解决一些实际应用问题，例如在物理学、工程学 和统计学等领域中。
02
03
金融数据分析
在金融数据分析中，对数换底公式可 以用于处理涉及对数的问题，如收益 率的计算、价格指数的编制等。
PART 04
对数换底公式的扩展与深 化
对数换底公式的扩展形式
扩展公式形式
对数换底公式不仅限于以10为底或以e为底的对数， 还可以扩展到任意底数的对数形式。
证明方法
通过引入对数的换底公式，可以证明其他底数的对数 形式，进一步丰富对数理论体系。
利用对数的换底公式证明对数的运算性质。
深化习题3
已知以e为底√e的对数是1/2，求以2为底√e 的对数。
思考题
思考题1
思考对数的换底公式在数学和实际生活中 的应用。
思考题2
如何利用对数的换底公式解决实际问题？
思考题3
探讨对数的换底公式的历史背景和数学意 义。
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目 录
• 对数与换底公式的简介 • 对数的换底公式推导 • 对数换底公式的应用 • 对数换底公式的扩展与深化 • 习题与思考
PART 01
对数与换底公式的简介
换底公式的推导过程
换底公式的推导过程换底公式是数学中一种重要的公式，它能将一个底数为非自然数的对数转换为另一个底数的对数，从而方便进行计算。
换底公式在数学、物理、化学等学科的计算中有着广泛的应用。
下面我们将详细介绍换底公式的推导过程、应用实例以及其在实际问题中的意义和价值。
首先，我们来了解换底公式的定义及意义。
换底公式是指将一个底数为非自然数的对数转换为另一个底数的对数的过程。
例如，将底数为2的对数转换为底数为10的对数。
换底公式有助于简化计算，使我们能够更容易地处理不同底数的对数。
接下来，我们来推导换底公式。
换底公式的推导过程主要分为三个步骤：1.指数与对数的互化：根据对数的定义，我们知道loga(b) = c 等价于b = a^c。
当我们将底数从a变为b时，指数c需要相应地进行变化。
我们可以得到如下关系式：logab = loga(a^c) = c。
2.自然对数与常用对数的转换：自然对数的底数为e（自然常数），常用对数的底数为10。
我们可以通过换底公式将自然对数转换为常用对数，或将常用对数转换为自然对数。
转换公式如下：log_a(b) = log_e(b) / log_e(a) （将自然对数转换为常用对数）log_a(b) = log_a(b) * log_e(a) / log_e(b) （将常用对数转换为自然对数）3.换底公式的推导总结：通过以上两个步骤，我们可以得到换底公式：logab = loga(a^c) = c * loga(b)。
这个公式将一个底数为非自然数的对数转换为另一个底数的对数，从而简化了计算。
了解了换底公式的推导过程，我们来看一些实际应用。
换底公式在数学、物理、化学等学科的计算中有着广泛的应用。
例如，在化学中，换底公式可以用于计算反应的热力学概率；在物理学中，换底公式可以用于计算能量、动量等物理量的对数；在数学中，换底公式可以用于证明一些数学定理。
总之，换底公式作为一种重要的数学工具，在实际问题的解决中具有重要意义。
换底公式及其推论
§2.7.3 换底公式及其推论
例4.已知: loga x loga c b ，求x.
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解; 另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使
变形产生困难，故可考虑将 loga c 移到等式左端，或
者将b变为对数形式.
解法一：由对数定义可知：
2) log a 1 0 (a 0 , a 1) 3) log a a 1 (a 0 , a 1)
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4) aloga N N(a 0 , a 1, N 0)
5) loga aN N(a 0, a 1)
§2.7.3 换底公式及其推论
2.积、商、幂的对数运算法则： 如果 a > 0，且a 1，M > 0， N > 0 有：
lg 5 log3 5 log3 5 3 pq log3 10 log3 2 log3 5 1 3 pq
§2.7.3 换底公式及其推论
小结 本节课学习了以下内容：
1.对数换底公式:
loga
N
logm N logm a
(a
0且a
1，m
0且m
1，N
0)
2.两个常用的推论:
§2.7.3 换底公式及其推论
教学目标：
1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、 求值、证明问题; 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总 结能力、逻辑推理能力.
教学重、难点：
1.换底公式及推论; 2.换底公式的证明和灵活应用.
§2.7.3 换底公式及其推论
一、复习引入：
1.重要公式：
换底公式的推导过程
换底公式的推导过程摘要：一、换底公式简介1.什么是换底公式2.换底公式的应用场景二、换底公式的推导过程1.指数函数的定义2.对数函数的定义3.换底公式推导三、换底公式在实际问题中的应用1.常见函数的换底计算2.实际问题中的换底应用正文：一、换底公式简介换底公式，又称换底对数公式，是数学中一种重要的公式。
它可以将一个以某个底数为底的指数函数或对数函数转换为以任意底数为底的指数函数或对数函数。
换底公式广泛应用于各种数学问题，尤其是涉及到对数和指数运算的问题。
二、换底公式的推导过程1.指数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数f(x)=a^x (x∈R)，称为以a 为底的指数函数。
2.对数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数g(x)=log_a x (x>0)，称为以a 为底的对数函数。
3.换底公式推导：设y=f(x)=a^x，我们想要找到一个与f(x) 等价的函数，即h(x)=b^x，其中b 为任意正实数且b≠1。
我们可以通过对f(x) 取对数，然后用g(x) 表示，即：log_b y = log_b (a^x) = x * log_b a这样我们就得到了h(x) = b^x，即：h(x) = b^(x * log_b a)因此，我们可以用h(x) 替代f(x)，使得以b 为底的指数函数与以a 为底的指数函数等价。
三、换底公式在实际问题中的应用1.常见函数的换底计算：在实际问题中，我们常常需要将一个函数表示为另一种底数的函数。
例如，将自然指数函数表示为以2 为底的指数函数，可以使用换底公式：2^x = e^(x * log_e 2)2.实际问题中的换底应用：在物理学、化学和工程等领域，换底公式经常用于计算各种物理和化学常数的对数。
例如，在计算气体定律问题时，我们需要计算气体的体积、温度和压强等参数的对数，这时可以使用换底公式将底数为自然常数e 的对数转换为底数为任意正实数的对数，以便进行计算。
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.2.2换底公式(带答案)
2．2 换底公式必备知识基础练知识点一 利用换底公式求值1．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．52．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．知识点二 利用换底公式计算4．(log 134)·(log 227)＝( )A ．23B ．32C ．6D ．－6 5．计算：(1)log 927；(2)log 21125 ×log 3132 ×log 513； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92).知识点三 利用换底公式证明6．证明：log a a b m ＝m n log a b (a >0，且a ≠1，n ≠0).7．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.关键能力综合练1.log 29log 23＝( )A ．12B ．2C ．32D ．922．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．abD ．a b3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A ．10B ．10C ．20D ．1004.1log 1419 ＋1log 1513＝( )A ．lg 3B ．－lg 3C ．1lg 3D ．－1lg 35．(多选题)已知2x ＝3y ＝a ，且(x －1)(y －1)＝1，则a 的值可能为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．66．(探究题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( )A ．ab ＋bc ＝2acB ．ab ＋bc ＝acC ．2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a7．已知log 32＝m ，则log 3218＝________．(用m 表示)8．(易错题)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258).9．计算：5log 53－log 311·log 1127＋log 82＋log 48.核心素养升级练1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足等式2x ＝3y ＝6z ，下列说法正确的是( )A ．x >y >zB ．3x ＝2yC ．1x ＋1y －1z ＝0D ．1x －1y ＋1z＝0 2．(学科素养—逻辑推理)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．2．2 换底公式必备知识基础练1．答案：A解析：∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16 ，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．答案：9解析：由换底公式，得lg 4lg 3 ×lg 8lg 4 ×lg m lg 8 ＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．解析：∵3x ＝36，4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式，得 x ＝log 3636log 363 ＝1log 363 ，y ＝log 3636log 364 ＝1log 364， ∴1x＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.4．答案：D解析：(log 13 4)·(log 227)＝(log 13 22)·(log 2(13 )－3)＝(2log 132)·(－3log 213 )＝－6·lg 2lg 13·lg 13lg 2 ＝－6. 5．解析：(1)log 927＝log 327log 39 ＝log 333log 332 ＝3log 332log 33 ＝32. (2)log 21125 ×log 3132 ×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2 ×lg 2lg 3 ×lg 3lg 5＝－15. (3)原式＝(lg 3lg 4 ＋lg 3lg 8 )(lg 2lg 3 ＋lg 2lg 9) ＝(lg 32lg 2 ＋lg 33lg 2 )(lg 2lg 3 ＋lg 22lg 3) ＝12 ＋14 ＋13 ＋16 ＝54. 6．证明： log a a b m ＝lg b m lg a n ＝m lg b n lg a ＝m n log a b .7．证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y. 关键能力综合练1．答案：B解析：由换底公式得log 39＝log 29log 23 ，又∵log 39＝2，∴log 29log 23 ＝2. 2．答案：C解析：log 27＝log 23×log 37＝ab .3．答案：A解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又m >0，∴m ＝10 ，选A.4．答案：C解析：原式＝log 19 14 ＋log 13 15 ＝log 13 12 ＋log 13 15 ＝log 13110 ＝log 310＝1lg 3 .选C. 5．答案：AD解析：由(x －1)(y －1)＝1，可得xy ＝x ＋y .当xy ＝0时，x ＝y ＝0，此时a ＝1满足；当xy ≠0时，由1x ＋1y＝1. 又2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，则1x ＝1log 2a ＝log a 2，1y ＝1log 3a＝log a 3. 所以有1x ＋1y＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝1，解得a ＝6. 综上所述，a ＝1或a ＝6.故选AD.6．答案：AD解析：由a ，b ，c 都是正数，可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c＝log M 9，∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1c ＋1a ＝2b ，即1c ＝2b －1a，去分母整理得ab ＋bc ＝2ac .故选AD. 7．答案：m ＋25m解析：log 23＝1log 32 ＝1m ，log 3218＝lg 18lg 32 ＝lg 2＋2lg 35lg 2 ＝15 ＋25 log 23＝15 ＋25m＝m ＋25m. 8．解析：解法一：原式＝(log 253＋log 225log 24 ＋log 25log 28 )(log 52＋log 54log 525 ＋log 58log 5125)＝(3log 25＋2log 252log 22 ＋log 253log 22 )(log 52＋2log 522log 55 ＋3log 523log 55 )＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 解法二：原式＝(lg 125lg 2 ＋lg 25lg 4 ＋lg 5lg 8 )(lg 2lg 5 ＋lg 4lg 25 ＋lg 8lg 125 )＝(3lg 5lg 2 ＋2lg 52lg 2 ＋lg 53lg 2 )(lg 2lg 5 ＋2lg 22lg 5 ＋3lg 23lg 5 )＝(13lg 53lg 2 )·(3lg 2lg 5)＝13. 解法三：原式＝(log 2 53＋log 2252＋log 235)(log 52＋log 5222＋log 5323)＝(3log 2 5＋log 2 5＋13 log 2 5)(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝(3＋1＋13 )log 2 5·3log 5 2＝3×133＝13. 9．解析：原式＝3－log 311×3log 113＋13 log 22＋32log 22 ＝3－3＋13 ＋32 ＝116 . 核心素养升级练1．答案：AC解析：设2x ＝3y ＝6z＝k (k >1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k .因为x ＝log 2k ＝1log k 2 ，y ＝log 3k ＝1log k 3 ，z ＝log 6k ＝1log k 6 ，且0<log k 2<log k 3<log k 6， 所以1log k 2 >1log k 3 >1log k 6，即x >y >z ，故A 正确； 3x ＝3ln k ln 2 ，2y ＝2ln k ln 3 ，则3x 2y ＝3ln 32ln 2>1，故B 错误； 1x ＋1y ＝log k 2＋log k 3＝log k 6＝1z，故C 正确；1x －1y ＋1z＝log k 2－log k 3＋log k 6＝log k 4≠0，故D 错误．故选AC. 2．解析：解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0， ∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∵a ，b ，c 是不等于1的正数，∴t >0且t ≠1，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t， ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.。
第2课时-换底公式
14
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1， ∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215， y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
15
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
[发散思维]
21
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
反思感悟 关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关 数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化 为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
18
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
(2)解：由 3a＝4b＝36， 得 a＝log336，b＝log436， 由换底公式得1a＝log363，1b＝log364， ∴2a＋1b＝2log363＋log364＝log3636＝1.
19
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
A．1a＋1b＝1
B．2a＋1b＝lg 20
C．1a＋2b＝2
D．1a＋2b＝12
解析：AB a＝log210，b＝log510，1a＋1b＝log1210＋log1510＝lg 2＋lg 5＝1，
故 A 正确；
2a＋1b＝log2210＋log1510＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故 B 正确；1a＋2b＝log1210＋log2510 ＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故 C，D 都不正确．
2．已知 2x＝3，log483＝y，则 x＋2y 的值为( A )
换底公式推导过程
换底公式推导过程如下：
换底公式：$log_{b}a=log_{c}a \div log_{c}b$，其中$c>0$且$c \neq 1$。
证明：设$log_{b}a=x$，则$b^{x}=a$。
同时，设$log_{c}a=y$，则$c^{y}=a$。
因为$c^{x}=a$，所以有$c^{x}=c^{y}$，根据指数函数的性质可知，当底数相等时，指数相等。
所以$x=y$，即$log_{b}a=log_{c}a \div log_{c}b$。
换底公式在各种数学、物理、工程领域都有广泛的应用。
拓展资料
换底公式是高中数学常用对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。
计算中常常会减少计算的难度，更迅速的解决高中范围的对数运算。
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底的自然对数或者是转换为以10为底的常用对数，方便运算；有时也通过用换底
公式来证明或求解相关问题；
在计算器上计算对数时需要用到这个公式。
例如，大多数计算器有自然对数和常用对数的按钮，但却没有[log2]的。
要计算，你只有计算（或，两者结果一样）；
在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式。
例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a 为底b为真数的对数函数，只有以常用对数（即以10为底的对数）或自然对数（即e为底的对数）。
此时就要用到换底公式来换成以e 或者10为底的对数，表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而处理某些实际问题。
对数的换底公式课件
真数必须大于0
换底公式中的真数必须大于0，因为对数定义域的限 制。
换底公式使用时的注意事项
正确选择底数
选择适当的底数可以帮助简化计算， 例如在科学计算中常用以10为底或以
e为底的换底公式。
避免计算错误
换底公式涉及多个对数的运算，容易 出错，需要仔细核对每一步的计算结
推导过程中需要特别注意处理对数的运算次序、底数和指数 的关系，以及不同底数之间的转换关系，以确保推导的正确 性和严谨性。
换底公式证明
换底公式的证明主要基于对数的定义 和性质，通过数学演绎推理的方法进 行证明。证明过程中需要利用已知的 对数运算法则和性质，逐步推导出换 底公式。
证明的关键在于理解对数的基本性质， 掌握对数运算法则的应用，以及能够 灵活运用数学演绎推理的方法。
03
换底公式的应用
利用换底公式进行对数计算
01
换底公式可以将对数计算从一种底数转换为另一种底数，简化 计算过程。
02
利用换底公式可以快速比较不同底数对数值的大小，有助于解
决一些数学问题。
在科学计算中，换底公式可以用于将不同单位或不同来源的数
03
据统一到相同的对数底数下，便于分析和比较。
利用换底公式解决实际问题
与对数的运算律结合
换底公式可以与对数的运算律结合使用，如 log_a(m^n) = n * log_a(m)，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)等。
与指数和对数互化结合
换底公式可以与指数和对数互化的性质结合使 用，如e^(log_a(b)) = b，log_a(e^b) = b等。
05
什么是换底公式换底公式怎么推导来的
什么是换底公式换底公式怎么推导来的换底公式是数学中的一个重要概念，用于解决对数运算中不同底数的情况。
在本文中，我将详细讲解什么是换底公式，并介绍它是如何推导出来的。
换底公式是指将对数的底数做变换，使其与常用对数（底数为10）或自然对数（底数为e）等进行计算。
它能够将一个底数为a的对数转换为底数为b的对数形式。
具体来说，对于任意正数a、b，以及任意正实数x，换底公式可以表达为：log（x）以a为底 = log（x）以b为底 / log（a）以b为底其中，log（a）以b为底表示以底数为b的对数a的值。
接下来，我们将推导换底公式的过程。
首先，设y = log（x）以a为底。
根据对数的定义，我们可以将y表示为：a^y = x。
然后，我们取对数，底数为b，得到：log（a^y）以b为底 = log（x）以b为底。
利用对数的性质，将a^y表示为（b^log（a）以b为底）的形式，即：log（b^log（a）以b为底）以b为底 = log（x）以b为底。
再利用换底公式，将右侧的对数形式转化为以常用对数或自然对数为底的形式。
假设常用对数为底数10，那么换底公式可以写为：log（b）以b为底 = 1，log（a）以b为底 = log（a）以10为底 / log （b）以10为底，log（x）以b为底 = log（x）以10为底 / log（b）以10为底。
将这些结果代入原等式中，得到：log（b^（log（a）以10为底 / log（b）以10为底））以b为底 = log（x）以10为底 / log（b）以10为底。
继续运用对数的性质，将指数与对数互换，得到：（log（a）以10为底 / log（b）以10为底）log（b）以b为底 = log（x）以10为底。
化简后可得：log（x）以10为底 = （log（a）以10为底 / log（b）以10为底）log（b）以b为底。
最后，我们可以总结出换底公式的最终形式：log（x）以a为底 = log（x）以b为底 / log（a）以b为底。