对数的换底公式及其推论(含答案)

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对数的换底公式及其推论

一、复习引入：对数的运算法则

如果a>0，a ?1，M>0，N>0有：

二、新授内容：

1.对数换底公式：

a

N N m m a log log log =(a>0,a ?1，m>0,m ?1,N>0) 证明

2.①

②②例1∴1

12log 7log 42log 56 log 33333342++=++==b ab 例2计算：①3log 12.05-②2

194log 2log 3log -⋅解：①原式=3

15555531log 3log 52.0===

②原式=2

345412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==

1?求证z

y x 1211=+；2?比较z y x 6,4,3的大小 证明1?：设k z y x ===643∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k

取对数得：3lg lg k x =，4lg lg k y =，6

lg lg k z =

∴x 1+2?x 3∴x 3又：4∴y 4∴例4由对数定义可知：b c a a x

+=log b c a a a ⋅=log a c ⋅= 解法二：

由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a

=log 由对数定义知：

b a c

x =a c x ⋅=∴ 解法三：

四、课堂练习：

①已知18log 9=a,b 18=5,用a,b 表示36log 45

解：∵18log 9=a ∴a =-=2log 1218log 1818

∴18log 2=1?a ∵b 18=5∴18log 5=b ∴a b a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 ②若8log 3=p,3log 5=q,求lg5

解：∵8log 3=p ∴3log 32＝p ⇒p 33log 2=⇒p 312log 3=

又∵1证法1则：x =∴(p a =∵0≠q 证法22．已知求证：证明：由换底公式λ====n n a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得： λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)lg()lg(2121n n a a a b b b ∴λ==

)lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n