换底公式
换底公式
对数基本性质：
loga 1 0 loga a 1
b
对数基本性质：
2 2 （3）： log2 4 log ? 2 2log2 2 2
对数恒等式：
b loga a
log2 5 Байду номын сангаас？ 能否用确切的实数表示出来
能否用确切的实数表示出来 log2 5 ？
4：化简求值：（ log2 3 log4 9 log8 27 ...... log2n 3n ) log9 n 32
2
7 log 48 49 log18 5 9 log 49 7 18 9 log18 5 log log18 9 74 log18log 9 log log 3 16 18 4 3 log
7
7
18 2 log18 2 2(log18 ) 9 2(log18 18 log18 9) 16 2(1 a )
设
x log 25 思路：对数运算：对于底数是 10的常用对数和底数是e的 对数式与指数式的互化： loga N b ab N 2 x 自然对数，我们可以利用计算器去求得其确切值，所以对 5
于2为底的对数我们是否可以转化为10或e为底的对数？ 左右两边取10为底的对数，值不变 lg 2 x lg 5
x lg 2 lg 5
loga 对数运算性质：
M n n loga M
lg 5 0.69897 x lg 2 0.30103
3.32
lg 5 log2 5 lg 2
logb N ？ 能否换成a 底数的对数？
logb N ？ 能否换成a 底数的对数？
§4.2 换底公式
§4.2 换底公式【学习目标】 1、掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
2、培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力。
【学习重点】：对数运算的性质与换底公式的应用【学习难点】：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值预习案Ⅰ、相关知识用常用对数表示：2log 152lg15:log 15,15lg 2lg15lg 2t t t t ==∴=∴=分析设则2这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=2lg 15lg ≈3.9068906. 同理也可以使用科学计算器计算ln 键算出㏒215=2ln 15ln ≈3.9068906. 由此我们有理由猜想㏒b N=bN a a log log ( a,b>0,a,b ≠1,N>0). ⒈ 换底公式：aN N m m a log log log = ( N>0；a > 0 且a ≠ 1 ；m>0且m ≠1) 证：设 log a N = x , 则 a x = N两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ aN N m m a log log log = 两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a2︒ b mn b a n a m log log =（ a , b > 0且均不为1） ()n n a a :logb =log b 特例 请用换底公式证明上面两个推论：Ⅱ、预习自测⑴ 9log 27 ⑵ 827log 9.log 322．计算25100lg 20log +的结果是（ ）A ．5B ．10C ．2D ．43．若3log log 5b aa ⋅=，则b 等于（ ）A ．3aB ．5aC ．53D ．35探究案Ⅰ、知识探究1．设a 、b 、c 都是正数，且346a b c ==，那么（）A ．111c a b =+B ．221c a b =+C ．122c a b =+ D ．212c a b =+2．计算：（1）2549235log log g lo ⋅⋅=（2）1164g 2791log ()4lo +=3．已知35log ,54b a ==，求1225log 的值. 1．计算训练案1. ⑴ 21log log 9log 7log 414923=⋅⋅x 则x= ⑵ 若n m ==3lg ,2lg ，则=6log 52. 已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）3. 已知3632==n m ，则=+n m 114. 求值：12log 221033)2(lg 20log 5lg -++⋅。
换底公式
(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震 级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然 对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数 或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
换底公式练习
专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．特别地，log a b·log b a＝1，log b a＝【典例应用】【例1】计算：log1627log8132.1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．【例2】已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.2．(1)已知log142＝a，试用a表示log27.(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245..【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( )2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( )A.b a B ．ab C ．a b D ．b a 3．式子log 916·log 881的值为( )A ．18B ．118 C.83D ．384．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( )A ．a －bB ．ab C ．ab D ．a ＋b5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32 D ．92 6．log 332·log 227＝________. 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519.专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝【典例应用】【例1】 计算：log 1627log 8132.[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．[解] log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516.1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．2．换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m ＝mn log a b .1．计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)． [解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2·3lg 22lg 3＝54.【例2】 已知log 189＝a,18b ＝36[解] 法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a ， 又5＝18b ，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b ＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a .法二：∵18b ＝5， ∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b2－a. 法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用.2．(1)已知log 142＝a ，试用a 表示log27.(2)若log 23＝a ，log 52＝b ，试用a ，b 表示log 245. [解] (1)法一：因为log 142＝a ，所以log 214＝1a . 所以1＋log 27＝1a . 所以log 27＝1a －1. 由对数换底公式， 得log 27＝log27log 22＝log 272.所以log27＝2log 27＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a －1＝2(1－a )a . 法二：由对数换底公式，得log 142＝log 22log 214＝2log 27＋2＝a .所以2＝a (log 27＋2)，即log27＝2(1－a )a .(2)因为log 245＝log 2(5×9)＝log 25＋log 29＝log 25＋2log 23，而log 52＝b ，则log 25＝1b ，所以log 245＝2a ＋1b ＝2ab ＋1b . 【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b a B ．ab C ．a b D ．b a B [log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .]3．式子log 916·log 881的值为( ) A ．18 B ．118 C.83D ．38C [原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.故选C.]4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B ．a b C ．abD ．a ＋bB [因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝ab .]5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32D ．92B [log 49log 43＝log 39＝2log 33＝2.]6．log 332·log 227＝________.15 [log 332·log 227＝lg 32lg 3·lg 27lg 2＝5lg 2lg 3·3lg 3lg 2＝15.] 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.1 [因为2a ＝3b ＝6，所以a ＝log 26，b ＝log 36，所以1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 66＝1.]8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 12a ＋1 [log 123＝log 33log 312＝12log 32＋1＝12a ＋1] 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 9 [因为log 34·log 48·log 8m ＝2， 所以lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， 化简得lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9.]10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519. [解] (1)原式＝lg 27lg 4·lg 8lg 25·lg 5lg 9 ＝3 lg 32lg 2·3lg 22lg 5·lg 52 lg 3＝98. (2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2 ＝2lg 5lg 2·(－4)lg 2lg 3·(－2)lg 3lg 5＝16.。
log之间的转换公式
log之间的转换公式
log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)。
这个公式被称为对数的换底公式。
它允许我们将一个对数表达
式转换为另一个底数的对数表达式。
这个公式的推导涉及到对数的
性质和换底公式的证明，但在使用时我们只需要记住这个公式即可。
举个例子来说明，假设我们有log_2(8)，我们想将其转换为以
底数为10的对数形式。
根据换底公式，我们可以使用以下步骤进行
转换：
log_2(8) = log_10(8) / log_10(2)。
然后我们可以利用常用对数的值（如log_10(2)和log_10(8)）
来计算得到最终结果。
需要注意的是，换底公式适用于任意正数a、b和c，只要这些
对数是有意义的。
另外，当我们在实际计算中使用换底公式时，要
注意对计算精度和结果的有效性进行检验，以避免错误的结果。
换底公式及其应用
引入
已知lg 2 0.3010,lg 3 0.4771,求log23的值.
解：设log23 x, 则2x 3.
两边取以10为底的对数, 得
lg 2x lg 3,
即 x lg 2 lg 3, 得 x lg 3 ,
lg 2
把一个对数写成了 与此对数的底数不 同的两个底数相同 的对数商。
即
log2
3
lg 3 lg 2
0.4771 0.3010
1.5851.
理论
换底公式：
换底公式把一个对数变 成了与原来对数的底数 不同的两个对数的商。
loga
b
logc logc
b a
(a
0, 且a
1, c
0, 且c
1; b
0)
换底公式的意义就在于把对数的 度数改变，把不同底问题转化为 同底问题，为使用运算法则创造
条件，更方便化简求值。
例题
例1.求 log8 9glog27 32的值.
解：
log8 9glog27 32
lg9 lg32 lg32 lg25 = lg8glg27 lg23 glg33
2lg3 5lg2 3lg2g3lg3
10 . 9
例题
例2计算下列各式的值：
(1)log5 2glog49 81;
log25
1 3
gl2)log4 3glog9 2 log1 4 32;
2
lg 2 lg81
解：（1）原式=
lg5 lg 1
3 lg25
• lg49 lg 3 4 • lg7
1 lg2 2 lg5
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。
§4 4.2 换底公式
思考1:假设 思考1:假设 1: 从而有 3 x
=5
log 2 5 = x ,则 log 2 3
log 2 5 = x log 2 3 = log 2 3x
.进一步可得到什么结论？ 进一步可得到什么结论？
log2 5 x = log3 5,即 = log3 5 log2 3
思考2:你能用lg2和lg3表示log 思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？ 2:你能用lg2 表示
(1) log a b ⋅ log b a = 1
(2) log a m n b = log a b m
n
知识应用
例1.计算： 1.计算： 计算
(1) log 9 27
(2)log8 9 ⋅ log27 32
解:
log 3 27 3 (1) log 9 27 = = ; log 3 9 2
(2) log 8 9 ?log 27 32
互为倒数 思考2: 思考2: 有什么关系？ log a n N 与 log a N 有什么关系？
1 log a n N = log a N n 思考3: 可变形为什么？ 思考3: (log a M) ÷ (log a N) 可变形为什么？
log N M
知识深化
两个推论: 两个推论:
a,b>0且均不为1,则 且均不为1, 设 a,b>0且均不为1,则
lg 8 lg 27 3lg 2 3lg 3 = ? 2 lg 3 5 lg 2 lg 9 lg 32
9 10
1 1 1 (2)log2 ⋅ log3 ⋅ log5 = −3log2 5 ⋅ (−5log3 2) ⋅ (− log5 3) 125 32 3
lg5 lg 2 lg3 = −3 ⋅ (−5) ⋅ (−1) = −15 lg 2 lg3 lg5
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教材： 换底公式
目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
过程：
一、复习：对数的运算法则
导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ 二、换底公式：a
N
N m m a log log log =
( a > 0 , a ≠ 1 ) 证：设 log a N = x , 则 a x = N
两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log =
∴ a
N
N m m a log log log = 两个较为常用的推论：
1︒ 1log log =⋅a b b a 2︒ b m
n
b a n a m log log =
（ a , b > 0且均不为1） 证：1︒ 1lg lg lg lg log log =⋅=
⋅b
a
a b a b b a 2︒ b m n a m b n a
b b a m n n
a
m log lg lg lg lg log === 三、例一、计算：1︒ 3log 12.05- 2︒ 42
1432log 3log ⋅
解：1︒ 原式 =
153
15
5
5
553
1log 3
log 5
2.0==
= 2︒ 原式 =
2
345412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例二、已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示） 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 12
18
log 1818
∴log 18 2 = 1 - a
∵ 18 b = 5 ∴ log 18 5 = b ∴ a
b
a -+=
++==
22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 例三、设 1643>===t z y x 求证：y
x z 21
11=
- 证：∵1643>===t z y x ∴ 6
lg lg 4lg lg 3lg lg t
z t y t x =
==
，， ∴
y
t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11=
==-=- 例四、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5
解：∵ log 8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p 又∵ q ==
3
lg 5
lg 5log 3 ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pq
pq
3135lg +=
以下例题备用：
例五、计算：42
1938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++
解：原式4
5
2
13
3222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++=
45
)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++=
25
4545452log 233log 6532=+=+⋅=
例六、若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m 求 m 解：由题意：
218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ∴3lg 2
1
lg =m ∴3=m 四、小结：换底公式及其推论
五、作业：
1． 求下列各式的值：
1︒ 6
5
353log 9--+ )(4
1
-
2︒
7
log 15
log 1
8649
25+ (10)
3︒ )5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++ )(41
4︒ )243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++ )(1225
2．已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x 求 222log x 的值。
)(4
7
3．已知 lg 5 = m , lg 3 = n 用 m , n 表示 log 30 8
))
((
m
m +-113 4．已知 a
a
-=12log
3
求 log 12 3 (a ) 5．设 a , b , c 为不等于 1 的正数，若 z y x c b a == 且 01
11=++z
y x 求证：ab c = 1 6．求值：12log 2
210
33)2(lg 20log 5lg -++⋅ 7．求值：2
lg 2)
32(3
log
10)347(log 2
2
++
-++ ( -189)。