§12.1实数的概念
七年级下实数的相关概念
第一节 实数的相关概念一、基础知识1、实数的组成{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 大于大于0的数叫做正数；在正数前面加上负号“-”的数叫做负数；0既不是正数也不是负数。
2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，3、相反数只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．4、绝对值⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离5、倒数实数a(a ≠0)的倒数是a1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． 6、科学记数法、近似数和有效数字 （1）科学记数法：把一个数记成±a×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数）（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是“四舍五入”。
（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。
二、典型例题1.下列说法不正确的是（ ）A ．没有最大的有理数B ．没有最小的有理数C ．有最大的负数D ．有绝对值最小的有理数2.一个数的倒数的相反数是115,则这个数是（）A ．65B ．56C ．-65D ．－563.和数轴上的点一一对应的数是（ ）（A ）整数 （B ）有理数 （C ）无理数 （D ）实数4.零是（ ）A ．最小的有理数B ．绝对值最小的实数C ．最小的自然数D ．最小的整数5.实数可分为（ ）（A ）正数和零（B ）有理数和无理数（C ）负数和零 （D ）正数和负数6．若2a 与1－a 互为相反数，则a 等于（ ）（A ）1 （B ）－1 （C ）12 （D ）137.a 、b 、c 三个数在数轴上的点如图所示，b c c -a b a +---的值可能是（ ）A 、-2cB 、2a-2cC 、0D 、2a-2b 8. -321 的倒数是 ； 9.a 的相反数是-15,则a 的倒数是_______． 10.去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约____________11.710280.3⨯精确到________位，有________个有效数字12.－1的相反数的倒数是___________________13.和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是__________________14.数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是________，如果 |AB|=2，那么x 为_________．15.ａ,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，求|a+b|2m 2+1 +4m-3cd= 。
《12.1实数的概念》作业设计方案-初中数学沪教版上海七年级第二学期
《实数的概念》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本节课的作业设计，旨在让学生巩固实数的基本概念，理解实数与数轴的关系，掌握实数的性质及运算规则，为后续学习实数运算及实际问题解决打下坚实的基础。
二、作业内容1. 基础知识练习（1）实数的基本概念：请学生根据课本内容，总结实数的定义及分类，并举例说明各类实数的特点。
（2）数轴与实数：要求学生熟练掌握数轴的基本概念，能够准确地在数轴上表示正数、负数和零。
并理解数轴上任意一点与实数之间的对应关系。
（3）实数的性质：要求学生掌握实数的性质，如可比较性、有序性等，并能运用这些性质解决实际问题。
2. 技能提升训练（1）实数的运算法则：要求学生熟练掌握实数的加减乘除、乘方及开方运算，并能在实际运算中正确运用。
（2）应用题练习：设计几道与实数相关的应用题，如温度的表示、长度的测量等，让学生运用所学知识解决实际问题。
3. 拓展延伸学习（1）请学生查阅资料，了解实数在日常生活中的应用，如科学计算、工程设计等。
（2）引导学生思考实数与复数的关系，为后续学习复数打下基础。
三、作业要求1. 基础知识练习部分，要求学生认真总结并记录在作业本上，对于不理解的地方要及时向老师请教。
2. 技能提升训练部分，要求学生独立完成运算及解答应用题，并在解题过程中注意运算步骤的规范性及答案的准确性。
3. 拓展延伸学习部分，要求学生查阅相关资料并做好笔记，以便在课堂上进行交流与讨论。
同时，引导学生主动思考，发现实数学习的乐趣。
四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的情况进行评分，主要评价学生在基础知识掌握、技能运用及拓展延伸学习方面的表现。
2. 对于学生的优点和不足，教师将在课堂上进行点评和指导，帮助学生改进学习方法，提高学习效果。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行批改，针对学生的错误进行讲解和指导。
2. 学生应根据教师的反馈，及时订正错误，巩固所学知识。
同时，教师应鼓励学生互相交流学习心得和解题方法，以提高学习效率。
沪教版 七年级下数学12.1节-- 实数的概念【优秀课件】浦东外国语学校 励一敏
解：（1） S正方形ABCD 62 =36
36 S正方形EFGH 2 =18 EF 18
（2）这个值不是有理数。
Hale Waihona Puke AHDEGBF C
[提示]在后续课程中，我们将进一步学习 18 可化简 为3 2 。
[小结] 1、无理数的概念及举例； 2、实数的分类。
【提示】 1、由于后续课程得需要，同学们须熟记500以内 的平方数。例如，192= ，202= ，212=
12.1
实数的概念
从本章起，数的范围将从有理数
扩大到实数。为此，需要先引入 “无理数”的概念。
整数 有理数
？？
分数
[问题引入]小正方形的边长是1。
？？？
大正方形的面积是2，它的边长是多少？
[无理数举例] 1、带“ ”的数； 2、与 π 有关的数； 3、某些带省略号形式的小数。 0.1010010001…(每两个1之间0的个数依次多1个)
……。 2、请同学们课后阅读《课本》-P36上关于无理数 的拓展知识。
作业：《练习册》-习题12.1。 【说明】《一课一练》暂时不做统一要求，如 果已经有这本书，可以按照教学进度完成，并 批、订。
[注意]此类小数不要与无限循环小数混淆！
[练习]请举出3个介于4~5之间的无理数。
实数的分类（P4）：
[实数还有其他分类方法]
整数
有理数
？实？数？
分数
无？理？数？
3
2
2
[例1]将下列各数放入图中适当的位置：
9
0，-2 4， 9
练习：P5/2
2, 5 ,
0.3737737773…
[例2]如图，已知正方形ABCD的边长是6，在各边 上依次取中点连成正方形EFGH。借助图形面积的 方法我们能否求出线段EF的长？这个值是不是有 理数？
什么是实数的定义
什么是实数的定义
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
扩展资料
性质：
封闭性
实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
有序性
实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab。
传递性
实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c。
阿基米德性
实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b。
稠密性
实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。
实数的概念
实数的概念
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n 为正整数，包括整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
[1]相反数（只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数，叫做互为相反数）实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
[2]绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变），a是它本身；
②a为0时，|a|=0，a也是它本身；
③a为负数时，|a|= -a（为a的绝对值），-a是a的相反数。
(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负数。
)
[3]倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）
[4]数轴
定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
（2）数轴上的点与实数一一对应。
特别规定0的算术平方根是根号0
实数分类
按性质分类是：正数、0、负数；
按定义分类是：有理数、无理数。
沪教版(上海)数学七年级下册-12.1《实数的概念》 教案
《实数的概念》教案【教学目标】1、通过动手操作，回顾历史，经历发现无理数的过程，能通过二分法的原理对已知无理数进行估值，了解无理数的客观存在，以及在数轴上和有理数是稠密排列共存的。
2、通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，能够辨析一个数是不是无理数。
3、了解熟悉从整数到有理数，再到实数的一个扩充的过程，理解实数系统的构成结构，感受数学中严谨的分类思想。
【教学重点】对无理数简单的估值方法，理解无理数在数轴上是存在的。
【教学难点】理解无理数是无限不循环小数，以及实数与数轴上的点一一对应的关系【教学过程设计】一、复习引入我们对数的研究经历了一个漫长的过程，小时候自然数帮我们解决了数数的问题，直到学习了数轴我们知道了与正整数相对的还有负整数，它们与0统称为整数，至此我们学习的数的范围扩展了。
随着学习的深入我们发现在实际运算中：例如6÷3=2能整除，5÷3不能整除，因此我们有对数的学习进行了扩展，加入了分数的概念，我们知道分数可写成pq 形式，其中对p 、q 有没有什么要求呢？（p 、q 为整数，p 、q 互素，且P 不为0）。
平时为了感受分数的大小，又能够将分数p q 化为有限小数或者无限循环小数。
特别的当P=1时，p q 可以表示一个整数。
由此，我们将分数和整数统称为有理数，它们均可用pq 来表示。
问题1：数扩充至此，是不是我们生活中的所有数都是有理数，都能够表示成p q （p 、q 为整数，且P 不为0）的形式？即：有没有不是有理数的数？【分析】不是所有的数都能用这个形式表示，例如我们学的圆周率 即是一个无限不循环小数。
二、新课讲授 【活动一】正方形剪拼，引出2。
我们将桌面上的两个边长为1的正方形，分别沿着它的一条对角线剪开，得到四个形状大小相同的直角三角形，他们的面积都是21，再把这四个直角三角形拼成一个正方形。
问题1：新的这个正方形的面积是多少？（21121=+=+=S S S 正）问题2：这个正方形的边长是我们学过的有理数么？（不是，若设边长为x ，则可以得到22=x 。
实数ppt课件
原点
数轴上的零点，表示0。
正半轴
数轴上右边的点表示正实数。
负半轴
数轴上左边的点表示负实数。
实数在数轴上的表示
实数
在数轴上有唯一确定的点与之对 应。
相反数
在数轴上与原点对称的点表示相反 数。
绝对值
在数轴上到原点的距离表示绝对值 。
数轴上的点与实数的关系
点与实数一一对应
数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数。
实数的四则运算
01
总结词：实数的四则运算是加 法、减法、乘法和除法的统称
。
02
详细描述
03
04
1. 加法和减法：实数的加法 和减法满足交换律、结合律和
相反律。
2. 乘法和除法：实数的乘法 和除法满足交换律、结合律和
分配律。
03
实数与数轴
数轴的定义
01
02
03
04
数轴
一条水平的直线，用来表示实 数的连续范围。
实数还可以根据其正 负性分为正实数、负 实数和零。
无理数：无限不循环 小数，如π、根号2 等。
02
实数的运算
加法与减法
详细描述
2. 结合律：加法或减法的结合律 是指括号如何结合不会影响结果 。例如，a+(b+c)=(a+b)+c和a(b+c)=a-(b+c)。
总结词：实数的加法与减法是基 础运算，它们具有交换律、结合 律和相反律。
2. 结合律：乘法或除法的结合律是指括 号如何结合不会影响结果。例如， a(bc)=(ab)c。
详细描述
1. 交换律：乘法或除法的交换律是指改 变运算顺序不会影响结果。例如， ab=ba和a/b=b/a。
12.1 实数的概念 课件
问题6 ： 2是个什么数？
有理数
有p (q限 小0) 数 q无限循环小数
无限不循环小数
问题7： 像这样的无限不循环小数还有吗？
0.101001000100001… (它的位数无限、相邻的两个1之间0的个数依次加1)
0.123456789101112131415161718192021…
(连续不断地有依次限写小正整数数) 有理数
12.1 实数的概念
以生命为代价de发现
古希腊的毕达哥拉斯学派 （公元前约470年前）
“万物皆为数”（指有理数）
希帕斯（Hippasus）
这意味着什么？
发现了一种实际存在的数， 却不能表示为分数。
问题3 ：面积为2的正方形边长是多少？
1
Байду номын сангаас
2
1
？
问题1 ：面积为1
的正方形的边长是多 少？
4
2
问题2： 面积为4 的正方形的边长 是多少？
实数
无限循环小数
无理数
无限不循环小数
2
例题1、将下列各数放入图中适当的位置：
22
-00..21.30.、10015000、100001、、00.3、7-323、733237、…4(3、它之3的间.1位74的、数个无7数限依且次相加邻1的) 两个
有理数 -0.101001000100001、
3.14、
22
.. 、0.23
7
整数
0、 -2
无理数
2 5
0.373373337……
正整数
4
例题2 判断下列说法是否正确，并说明理由：
1）无限小数都是无理数；…………………………（ ） 2）无理数都是无限小数；…………………………（ ） 3）正实数包括正有理数和正无理数；…………（ ）
沪教版数学七年级下册12.1《实数的概念》教学设计
沪教版数学七年级下册12.1《实数的概念》教学设计一. 教材分析沪教版数学七年级下册12.1《实数的概念》是学生在学习了有理数的基础上，进一步扩大数的概念，认识实数的教材。
这部分内容是整个初中数学的基础，对于学生来说，具有承前启后的作用。
本节内容主要介绍实数的概念，包括实数的定义、性质以及实数与数轴的关系等。
教材通过丰富的实例和生动的语言，引导学生逐步理解实数的概念，体会实数在数学中的重要性。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的相关知识，具备了一定的数学基础。
但实数的概念相对抽象，需要学生具有一定的抽象思维能力。
此外，实数与生活实际联系紧密，学生需要能够将抽象的数学概念与实际问题相结合。
根据学生的实际情况，我在教学过程中要注重启发学生思维，培养学生的抽象思维能力，同时注重联系生活实际，提高学生的学习兴趣。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解实数的概念，掌握实数的性质，能够运用实数解决一些简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、交流等活动，培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学语言表达和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：实数的概念、性质以及实数与数轴的关系。
2.教学难点：实数的性质的理解和运用，实数与数轴的关系的把握。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数轴等教学工具，直观展示实数的概念和性质，提高学生的学习兴趣和理解能力。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的相关知识，引导学生回顾数的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.探究实数的定义：引导学生观察实例，思考实数的定义，并通过讨论、交流得出实数的定义。
3.学习实数的性质：学生进行小组合作学习，探讨实数的性质，引导学生发现并证明实数的性质。
12.1实数的概念
思考：有没有学习过不能化为分数的数？ 如：π
活动2
新知探索
我们知道，用四个面积为1的正方形可以 拼成一个面积为4的正方形；
如何将面积为1的两个正方形拼成一个面
积为2的正方形？
C
A
D
B
正方形ABCD的边长怎么表示？
活动2
新知探索
解：设正方形ABCD的边长为x，那么x2=2 即：x的平方是2.
2 ：读作根号2
提问： 它是有理数吗？
还有没有其它的无理数？ 0.1010010001…(它的位数无限，相邻 两个1之间0的个数依次加1) 0.123456789101112…(连续不断的依次 写正整数)
活动2
新知探索
概念：无限不循环小数叫做无理数.
无理数也有正负之分.如：-π， 2
实数
有理数 无理数
整数 分数
3, 0.3,
2,
0,
3.1,
2,
7,
2.2151515
5
3
非负数
负数
3, 0, 3.1,
7 , 2.2151515 3
0.3, 2 , 2 5
活动1
知识回顾
整数 有理数
分数
正有理数 有理数 零
负有理数
由于整数可以化为分母为1的分数， 有理数可以看做能化为分数的数.
七年级下册第十二章 实数
活动1
知识回顾
1. 把下列各数填入适当的位置：
3, 0.3,
2,
0,
3.1,
2,
7,
2.2151515
5
3
整数 3，0，-2
分数
0.3,
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0.3737737773 (相邻两个“3”之间“7”的个数依次加1个)．
22 0.23 、 3.14、 7
、 2、 5、
0.3737737773
0、 –2 4
是分数， 所以是有理数
22 7
活动3
探究新知－知识应用
例题2 判断下列说法是否正确，并说明理由 . 正有理数 正实数 (1) 无限小数都是无理数； (×) 正无理数 无限循环小数和无限不循环小数 实数 零 负有理数 (2) 无理数都是无限小数； (√ ) 负实数 无限不循环小数 负无理数
思考1：能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正 方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何表示？ 设该正方形的边长为x， 那么 x 2 2． 读作“根号2”.
3，读作“根号3”
这时将边长用 2 来表示；
另一种 剪拼方 法
思考2：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若 面积为5呢？ 5，读作“根号5”
，
23 0.013、 、 0.3 正有理数有 ， 7 23 、 7、 0.013、、 0 、 、 0.3 0.818118111811118 非负数有 ， 7
整数有
0
．
活动4
课堂练习－及时巩固
2．请写成几个在3和4之间的无理数． 方法一：由 构成；
方法二：由正方形面积构成； 方法三：按规律生成； „
活动3
探究新知－
2 的再认识
1.思考：有理数就是分数，分数可以化为什么小数？ 有理数 2.
2
p 分数 有限小数或无限循环小数 q ( p、q为整数，q 0)
2
不是分数. 无限不循环小数
2
3. 除了
3、
，无限不循环小数还有吗？
5、
、பைடு நூலகம்
0.202002000200002 、 0.1234567891011121314
七年级下册第十二章实数
活动1
1.请举出几个有理数. 2. 整数
复习引入－有理数知识
和 分数 统称为有理数. 整数 分母为1的分数 分数
有理数
p 分数 q ( p、q为整数，q 0)
p ( p、q为整数，q 0) 3.是不是所有的数都能表示为 分数 q
的形式？
不是，如：
活动2
探究新知－操作剪拼
3．课本P5 练习2
活动5
自我小结－反思建构
1.无理数：无限不循环小数叫做无理数. 2.实数：有理数和无理数统称为实数. 3.实数的分类.
正有理数
有理数 零 负有理数 实 数 正无理数 无理数 负无理数 有限小数 正实数 或无限循环小 正无理数 数 实 数 零 无限不循环 小数 负实数
正有理数
负有理数 负无理数
(3) 正实数包括正有理数和正无理数；(√ )
(4) 实数可以分为正实数和负实数两类．( ×)
零既不是正实数，也不是负实数
活动4
课堂练习－及时巩固
（每相邻两个“8”之间的“1”的个数从左到右依次递 增且是无限小数）中， 无理数有
7、 - 2、、 0.818118111811118
1 23 和0.818118111811118 1.在 7、 0.013、 -2 、、 0 - 2、 、 、 0.3 2 7
活动3
探究新知－实数概念
1.无理数：无限不循环小数叫做无理数. 2.实数：有理数和无理数统称为实数. 正有理数 有理数 零 负有理数 实数 有限小数 或无限循环小数
正无理数 无理数
负无理数 无限不循环小数
活动3
探究新知－知识应用
例题1 将下列各数放入图中适当的位置： 22 0、–2、 2 、4、3.14、0.23 、 5 、π、 、 7