换底公式及其推论
换底公式的推导及特殊换底公式及练习
一、从对数的运算性质说起
如果a 0，a 1，M 0，N 0，则有：
(1) loga (M ) loga (N ) loga (MN ); （加法）
x lg15， 即
lg 2
log2 15
lg15 lg 2
x
log2 15
lg15 lg 2
3.91.
由
log2
15
lg15 lg 2
抽象推广到一般情况可得重要
的对数转换公式： 换底公式
logb
N
loga N loga b
(其中a，b
0，a，b
1，N
0)
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面
用对数的运算性质只能解决同底数的对数运算 .
二、换底公式
1、利用计算器计算 lg和15 ；lg 2 2、利用计算器计算ln15和 ln 2.
结果：1、 lg15 1.7, 2、 ln15 2.7,
lg 2 0.3;
ln 2 0.7.
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；
对log2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类 似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程，
并思考如何将以 b为底 N 的对数转换为以 a为底的对
数的比值.
证明 设 logb N x ，根据对数的定义，有
bx N
两边取以 a为底的对数，得
loga bx loga N.
换底公式的6个推论
换底公式的6个推论首先，我们来介绍一下换底公式：对于任意实数a，b，c，且a≠1，b≠1，有以下的换底公式：1. logₐb = logcₐ / logcₒb2. logₐ(b^c) = c * logₐb3. logₐ1 = 04. logₐa = 15. logₐ(ab) = logₐa + logₐb6. logₐ(b/c) = logₐb - logₐc接下来，我们将详细说明这些换底公式的推论：推论一： logₐb = 1 / logbₐ根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，取c = b，并将logcₐ化简为1，得到 logₐb = logbₐ / logbₐ，再根据对数的倒数性质，可得 logₐb =1 / logbₐ。
推论二： loga(b^c) = logb(a^c)根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，将c替换成a^c，可得loga(b^c) = log(a^c)ₐ / log(a^c)ₒb，再根据log的指数性质loga(b^c) = logₐ(b^c)，log(a^c)ₐ = c，log(a^c)ₒb = c * log(a)ₒb，可得loga(b^c) = log(b)ₐ / log(b)ₒa^c = logb(a^c)。
推论三： loga1 = 0根据换底公式 logₐb = logₐ1 / logₐb，可以判断 logₐ1 = 0。
推论四： logaa = 1根据换底公式 logₐa = logₐa / logₐb，可以判断 logₐa = 1推论五： log(ab) = loga + logb根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，取c = a * b，并将logcₐ化简为loga + logb，可得 log(ab) = loga + logb。
推论六： log(b/c) = logb - logc根据换底公式 logₐ(b/c) = logcₐ / logcₒ(b/c)，取c = b，logcₐ化简为1 / logbₐ，logcₒ(b/c)化简为logbₒ(b) - logbₒ(c)，可得 log(b/c) = logb - logc。
换底公式的五个推论及其证明
换底公式的五个推论及其证明换底公式是指在对数运算中，当底数不一致时如何转化为同一底数进行计算。
它有五个常用的推论，分别是：推论一：对数的乘法规则对数的乘法规则是指loga(M×N) = loga(M) + loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。
该公式表明，两个正数的乘积的对数等于这两个正数的对数之和。
推论二：对数的除法规则对数的除法规则是指loga(M÷N) = loga(M) - loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。
该公式表明，两个正数的商的对数等于这两个正数的对数之差。
推论三：对数的幂次规则对数的幂次规则是指loga(M^k) = k*loga(M)，其中a表示底数，M 表示正数，k表示任意实数。
该公式表明，一个正数的幂的对数等于这个正数的对数乘以幂。
推论四：对数函数的换底公式对数函数的换底公式是指loga(M) = (logb(M))/(logb(a))，其中a 和b分别表示底数，M表示正数。
该公式表明，如果要求一些正数的以a 为底的对数，可以将其转化为以b为底的对数进行计算，其中b可以是任意一个正数。
推论五：自然对数的换底公式自然对数的换底公式是指ln(M) = (loge(M))/(loge(a))，其中M表示正数，e表示自然对数的底数。
该公式表明，如果要求一些正数的自然对数，可以将其转化为以任意一个底数a为底的对数进行计算。
下面对这五个推论进行证明：证明推论一：假设loga(M×N) = x，根据对数的定义可得a^x = M×N。
又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。
同理，假设loga(N) = z，根据对数的定义可得a^z = N。
将上述三式相乘可得(a^y)(a^z)=M×N，即a^(y+z)=M×N。
由指数运算的性质可知，a^(y+z)=a^x，因此得到x=y+z。
换底公式
(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震 级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然 对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数 或自然对数，如何转换？
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论一、 复习引入：对数的运算法则如果 a > 0 ，a - 1，M > 0， N > 0 有: log a (MN) Jog a M gN(1) 町1。
…N ⑵ log.M n 二 nlog a M(n R) (3)二、 新授内容：1. 对数换底公式：log a NJ°gmN( a > 0,alog m a=1 ，m > 0 ,m = 1,N>0)x证明：设 log a N = x , 贝U a = N ■两边取以m 为底的对数：log m a x = log m N = x log m a2. 两个常用的推论① log a b log b a =1 , log a b log b c 」og c a = 1 ” ②log a mb n =卫 log a b ( a, b > 0且均不为 1) *m证：① logab logb 「罟■晋"三、讲解范例:例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b,1解：因为 log 2 3 = a ，则 log 3 2a② log a m b nlgb n mlganlg bm lga二log4256log 356 log 3 42 log 3 7 3 log 32 log 37 log 3 2 ■ 1ab 3 ab b 1从而得:log m N x 二log m alog a Nlog m N log m a用a, b 表示log 42 又log 37 = b,厂1-log023 例2计算：①5 0 2解：①原式-5 %23② log43 log92 -log j 432.5log5-5 3115②原式=-log 2log 3log 22例 3 设x, y, z 二（0,：：）且3x=4y=6z证明 1 ：设3x取对数得: 2y z=4y=6z=klg4x 2y lg k 2lg k2 3x-4y=（三lg 33x :: 4y又：4y -6z =（4••• 4y :: 6z2 比较3x,4y,6z的大小*•/ x, y, z （0, ：：）• k 1igk zQig62lg3 lg4 2lg3 2lg22lgk 2lgk lg6lgk644）lgklg4lg 4 lg6.3x :: 4y :: 6z* lg 64 - lg 81lgklg3lg4 lg3lg 4::06）lgk」g36T g64lgk =lg2lg6lg2lg6例 4 已知log a x= log a c+b，求x，分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为 两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a c 移到等式左端,或者将b 变为对数形式. 解法由对数定义可知：x = a log a 」b =a log ac a b =c a b ・解法二：x由已知移项可得log a x 「log a c 二b ，即log a b*c由对数定义知：—=a b . x=ca b .c解法三：bb b bb =log a a logx=logc loga logca . x =ca四、课堂练习：①已矢卩 log 18 9 = a , 18b = 5 ,又•••log 35=q ••• lg5 二逐 血込log 310 log 3^log 351 + 3pq三、 小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、 课后作业：1 .证明：1 log a blog ab x用 a, b 表示 log 36 45解：T log 18 9 = a18-log i8— =1 _log i8 2…log 182 = 1 _a•/ 18b = 5log 36 45••• log 18 5 =blog 18 45 log 18 9 log 18 5 a b log 18 36 1 +log 18 2一 2 -alog 3 5 = q ,求 lg 5•- log 23 3 = p = log 23 =3 p =解：Tlog 8 3 = p②若 log 8 3 = p ,证法 1： 设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r 则:X =a p X = (ab)q = a q b qb=a r••• a p =(ab)q =a q(1 r) 从而 p =q(1 • r) ■/ q = 0• p= 1 r 即：log a X=1 log a b (获证) qlog ab X证法2：由换底公式 左边=log a X= logxab= gg a ab = 1 log a b =右边log ab X log X a2•已知 log a ! d = log a 2 b ?二 二 log a . b n 二’ 求证：砸玄侵a n (b 1b 2bn )='【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内 容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】证明：由换底公式lg d _ lg b 2 lg a 1 lg a 2lg b n lg a n 由等比定理得:lg b 1 lg b^ 亠 lgb n = g lga ?亠 亠 lg a .lg(db 2 b n ) lg(ae 2 a n )•- log a 。
对数的换底公式及其推论
课 题：2.7.3 对数的换底公式及其推论教学目的：1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 教学重点：换底公式及推论教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=二、新授内容：1.对数换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)证明：设 a log N = x , 则 xa = N两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m xm log log log log =⇒=从而得：a N x m m log log =∴ aN m m a log log =2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a na m log log =（ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a②b m na mb n ab b a mn na m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例：例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 13=a, 又∵3log 7 = b, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab例2计算：①3log 12.05- ②2194log 2log 3log -⋅ 解：①原式 =315555531log 3log 52.0=== ②原式 =245412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例3设),0(,,+∞∈z y x 且zy x 643==1︒ 求证zy x 1211=+ ； 2︒ 比较z y x 6,4,3的大小 证明1︒：设k zy x ===643 ∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x =， 4lg lg ky =， 6lg lg k z = ∴zk k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2︒ k y x lg )4lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164lglg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43<又：k z y lg )6lg 64lg 4(64-=-06lg 2lg 169lglg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64< ∴z y x 643<<例4已知a log x=a log c+b ，求x分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式解法一：由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a⋅=log a c ⋅=解法二：由已知移项可得b c x a a =-log log ，即cxa =log 由对数定义知：b a cx= a c x ⋅=∴ 解法三：b a a b log = b a a a ac x l o g l o g l o g +=∴b a a c ⋅=l o g ba c x ⋅=∴四、课堂练习：①已知 18log 9 = a , b18 = 5 , 用 a, b 表示36log 45 解：∵ 18log 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818∴18log 2 = 1-a ∵ b18 = 5 ∴ 18log 5 = b ∴ aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836②若8log 3 = p , 3log 5 = q , 求 lg 5解：∵ 8log 3 = p ∴3log 32 ＝p ⇒p 33log 2=⇒p312log 3=又∵q =5log 3 ∴ 5log 2log 5log 10log 5log 5lg 33333+==pqpq313+=三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业： 1．证明：b xxa ab a log 1log log +=证法1： 设 p x a =log ，q x ab =log ，r b a =log则：p a x = qqqb a ab x ==)( ra b =∴)1()(r q qpa ab a +== 从而 )1(r q p +=∵ 0≠q ∴r qp+=1 即：b x x a ab a log 1log log +=（获证） 证法2： 由换底公式 左边＝b ab aab x x a a x x ab a log 1log log log log log +===＝右边2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121 求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n 证明：由换底公式λ====nn a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得：λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)lg()lg(2121n n a a a b b b∴λ==)lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n五、板书设计（略） 六、课后记：【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
高一数学对数的换底公式及其推论
4
解：二) log4 3 log2 8 log2 4 log2 4 log 1 log2 2 3 9 3 1 2 2 ( 2) ( 1 ) 2 3 1 4 2 2 2
作业：课本P74的4（3）、5
1.课本P74，第1,2,3,4,5,7题 1．求值：
3) log4 3 log9 2 log1
2
32
3 3） 2
条件求值
例2．已知
用a, b 表示
log2 3 a, log3 7 b
l og6 21
l og3 21 l og3 ( 3 7) 解： l og6 21 l og3 ( 2 3) l og3 6
l og3 3 l og3 7 l og3 2 l og3 3
(log2 5 log4 0.2)(log5 2 log25 0.5)
2．若 log3 4 log4 8 log8 m log4 2,求m
3 若l og 8 3 p, l og 3 5 q,
2.各小组数学负责人17:50办公室
用p, q表 示 l g5
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附赠 中高考状元学习方 法
前 言 高考状元是一个特殊的群体，在许
多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺 目的星星那样遥不可及。但实际上他们和 我们每一个同学都一样平凡而普通，但他 们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之 处就是在学习方面有一些独到的个性，又 有着一些共性，而这些对在校的同学尤其 是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
2
小结:
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 三个推论:
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1 a log3 2
又
log3 7 b
log
42
56
log3 56 log3 42
log3 7 3 log3 2 log3 7 log3 2 1
b 3
b
1
a 1
ab 3 ab a 1
a
§2.7.3 换底公式及其推论
例3计算：
(1)
51log0.2 3
(2) log4 3log9 2 log1 4 32
(3)log23 • log57 • log35 •log7 4
(4)(log95 log35)(log253 log1259)
3
(1)
10
(2)
(3)
2
7
(4)
29
4
§2.7.3 换底公式及其推论
例2. 已知log2 3 a, log3 7 b 用 a, b 表示log42 56
解：
log2 3 a,
x cab
§2.7.3 换底公式及其推论
四、课堂练习：
①已知: log18 9 a, 18b 5 用 a, b 表示 log36 45.
log 36
45
log 18 log 18
45 36
log 18 9 log 18 1 log 18 2
5
a 2
b a
②若 log8 3 p log3 5 q , 求 lg 5 .
(1). 3 (2).2 2lg 2 lg 3
(3). 15
§2.7.3 换底公式及其推论
例4.已知: loga x loga c b ，求x.
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解; 另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使
变形产生困难，故可考虑将 loga c 移到等式左端，或
1，m
0且m
1，N
0)
证明：设 loga N x 则ax N
两边取以m 为底的对数：
logm ax logm N x logm a logm N
x logm N logm a
log a
N
logm N logm a
§2.7.3 换底公式及其推论
2.两个常用的推论:
(1) loga b logb a 1, loga b logb c logc a 1
2
解：(1)原式
5 5log0.2 3
(2)原式 1 log 2
23
55
5log5
1 3
1
1 3
15 5
2 log3 2 4 log
2
2
153 44 2
例4 (1) 已知log34 log48 log8m= log42, 求m的值;
(2)已知lg2=a,lg3=b, 求lg75的值;
(3)设3a=5b=m,且 1 1 2,求m的值. ab
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
log a N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
§2.7.3 换底公式及其推论
▪思考: 利用关系式ab N b loga N证明下式：
loga
N
logm N logm a
.
证明：设loga N b则有N ab
lg 5 log3 5 log3 5 3 pq log3 10 log3 2 log3 5 1 3 pq
§2.7.3 换底公式及其推论
小结 本节课学习了以下内容：
1.对数换底公式:
loga
N
logm N logm a
(a
0且a
1，m
0且m
1，N
0)
2.两个常用的推论:
(1) loga b logb a 1, loga b logb c logc a 1
2) log a 1 0 (a 0 , a 1) 3) log a a 1 (a 0 , a 1)
新疆 王新敞
奎屯
4) aloga N N(a 0 , a 1, N 0)
5) loga aN N(a 0, a 1)
§2.7.3 换底公式及其推论
2.积、商、幂的对数运算法则： 如果 a > 0，且a 1，M > 0， N > 0 有：
而 logm N logm ab b logm a b logm a logm a logm a
即证得
log
a
N
logm N logm a
－－－－这就是对数里很重要的一个公式：
换底公式
§2.7.3 换底公式及其推论
二、新授内容：
1.对数换底公式：
loga
N
logm N logm a
(a
0且a
(2) logam
bn
n m
loga
b(a
0且a
1，b
0)
证明：
(1) loga
b logb
a
lg b lg a
lg a lg b
1
(2) logam
bn
lg bn lg am
n lg b m lg a
n m
log
a
b
三、讲解范例：
例1 计算下列各式的值
(1)log9 27
(2)log8 9 •log2732
者将b变为对数形式.
解法一：由对数定义可知：
x a loga cb aloga c ab cab
§2.7.3 换底公式及其推论
解法二：由已知移项可得 log a x log a c b
即loga
x c
b
x
即由对数定义知：
ab
c
x cab
解法三： b log a ab 又 loga x loga c b log a x log a c log a ab log a c a b
(2) logam
bn
n m
loga
b(a
0且a
1，b
0)
课后训练
书面作业
1．证明：
log a x log ab x
1 log a
b
2．已知: log a1 b1 log a2 b2 log an )
<<教材>> 习题2.2 5
§2.7.3 换底公式及其推论
教学目标：
1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、 求值、证明问题; 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总 结能力、逻辑推理能力.
教学重、难点：
1.换底公式及推论; 2.换底公式的证明和灵活应用.
§2.7.3 换底公式及其推论
一、复习引入：
1.重要公式：
1) 负数和零没有对数。