2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期学业水平模拟考试数学试题 扫描版缺答案
湖南省长郡中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 理
长郡中学2017—2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数22cossin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设A 、B 为非空集合，定义集合*A B 为如图非阴影部分的集合，若2{|2}A x y x x ==-, {|3,0}x B y y x ==>，则*A B =（ ）A ．()0,2B ．[][)0,12,+∞C ．(1,2]D ．[]()0,12,+∞3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围为( ）A ．56a ≤≤B ．56a <<C ．56a ≤<D ． 56a <≤ 4.使不等式14x +≤成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．23x ≤≤B ．63x -≤≤C 。
53x -≤≤D ．62x -≤≤ 5.已知集合{1,2,3}A =，{}3,4B =，则从A 到B 的映射f 满足(3)3f =,则这样的映射共有（ ）A ．3个B ．4个 C.5个 D ．6个0S =1i = DOS S i =+ 1i i =+LOOP UNTIL i a > PRINT S END6。
在直角坐标系中，若角α的终边经过点22sin ,cos33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，在sin()πα-=（ ） A ．12 B．2 C.12- D．2-7.定义运算*a b ,*a a b b ⎧=⎨⎩()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2x y =的值域为（ ）A ．()0,1B ．(),1-∞ C.[)1,+∞ D ．(]0,18。
若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ） A ．[1,2) B ．[]12， C.[1+)∞，D ．[2+)∞， 9。
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2017-2018学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6} D．{x|3≤x＜6}2．（6分）下列中，真是（）A．∃x0∈R，使得B．s in2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．D．64．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．y=f（x+1）一定是偶函数5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）A．B．C．D．6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣10077．（6分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．f p=f B．f p=f C．f=f p D．f=f p9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．18．已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6} D．{x|3≤x＜6}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集．解答：解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B={4，5，6}．故选B．点评：本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法．化简A、B两个集合，是解题的关键．2．（6分）下列中，真是（）A．∃x0∈R，使得B．s in2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．∀x∈R，e x＞0，即可判断出正误；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，即可判断出正误；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，即可判断出正误；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，即可判断出正误．解答：解：A．∀x∈R，e x＞0，因此是假；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，因此是假；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，因此共有3个，是假；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，因此a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，是真．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、指数函数的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；图表型．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个正三棱柱，其高已知，底面正三角形的高已知，由此可先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．解答：解：如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面连长为a，则，∴a=6．故体积．故答案为C．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的可能．4．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．y=f（x+1）一定是偶函数考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件可得x=1是函数f（x）的一条对称轴，故函数y=f（x+1）为偶函数，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x）在x=1处取最大值，∴x=1是函数f（x）的一条对称轴，将函数f（x）向左平移1个单位，得到函数f（x+1）的图象，此时函数关于y轴对称，则函数y=f（x+1）为偶函数，故A、B、C都不正确，故选：D．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数最值和对称轴之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：对于m值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f（m）•f（n）=0的个数，以及所有的个数，即可得到f（m）•f（n）=0的概率．解答：解：已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0m=3，9时，满足f（m）•f（n）=0的个数为m=3时8个m=9时8个，n=3时8个，n=9时8个，重复2个，共有30个．从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）的值有72个，所以函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为：=，故选A．点评：本题考查概率的应用，排列组合的应用，注意满足题意，不重复不要漏，考查计算能力．6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣1007考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件n＜2015，S=1，k=2；满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3；满足条件n＜2015S=2，k=4；满足条件n＜2015S=﹣2，k=5；满足条件n＜2015S=3，k=6；满足条件n＜2015S=﹣3，k=7；满足条件n＜2015S=4，k=8；…观察规律可知，有满足条件n＜2015S=1006，k=2012；满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013；满足条件n＜2015S=1007，k=2014；满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007．故选：D．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键，属于基础题．7．（6分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：求出以OP为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．解答：解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4﹣m）x=0，∴x=0或x=m﹣4，∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，∴m﹣4＞0，∴m＞4，故选：B．点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．f p=f B．f p=f C．f=f p D．f=f p考点：分段函数的应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，求出f2（x）=，再对选项一一加以判断，即可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，∴f2（x）=，∴A．f p=f2（﹣1）=2，f=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；B．f p=f2（﹣2）=2，f=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立；C．f=f（﹣1）=2，f p=f2（﹣1）=2，故C成立；D．f=f（2）=﹣1，f p=f2（2）=﹣1，故D成立．故选：B．点评：本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．．故选B．点评：本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．10．（6分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．解答：解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．点评：本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．【选做题】11．（6分）如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE=6，则EC=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连结OE，由切线的性质定理得到OE⊥AC，从而可得OE∥BC．根据切割线定理得AE2=AD•AB，解出AB=，可得AO=，最后利用比例线段加以计算得到AC长，从而可得EC的长．解答：解：连结OE，∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC，又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割线定理，得AE2=AD•AB，即36=，解得AB=，因此，半圆的直径BD=，AO=BD=．可得，所以AC==9，EC=AC﹣AE=3．故答案为：3点评：本题给出半圆满足的条件，求线段EC之长．着重考查了切线的性质定理、切割线定理与相似三角形等知识，属于中档题．【【选做题】12．（3分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0上一点，点Q为曲线为参数）上一点，则|PQ|的最小值为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为直角坐标方程x﹣y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得：|PQ|=．再利用二次函数的单调性即可得出最小值．解答：解：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为x﹣y﹣4=0．由点到直线的距离公式可得：|PQ|===≥=．当且仅当t=2时取等号．∴|PQ|的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，属于基础题．【选做题】13．（3分）已知函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，若对任意的x∈R，f（x）≥f（3）=f（4）都成立，则k的取值范围为．考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的几何意义得出f（x）≥f（3）=f（4）都成立，意义为k，2k的距离之和，即：即2≤k≤3成立，求解即可．解答：解：∵函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，∴函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|的最小值为|k|，∵f（x）≥f（3）=f（4）都成立，∴根据绝对值的几何意义得出：即2≤k≤3．故答案为：点评：本题考查了绝对值不等式的解法，几何意义，关键是理解给出的条件，属于中档题．五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．（5分）设a=（sinx+cosx）dx，则二项式的展开式的常数项是﹣160．考点：二项式系数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：求定积分可得a的值，在二项式的展开式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．解答：解：∵a=（sinx+cosx）dx==2，则二项式=，它的展开式的通项公式为T r+1=（﹣1）r•，令3﹣r=0，求得r=3，故展开式的常数项是﹣=﹣160，故答案为：﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，求定积分，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．15．（5分）如果实数a，b满足条件：，则的最大值是．考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，求出的范围，利用函数的最值求解表达式的最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，如图，表示可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，设z的几何意义表示可行域内点P与原点O（0，0）连线的斜率，∵当连线OP过点B（，）时，取最大值，最大值为3，连线OP过点A（1，1）时，取最小值，最小值为1，∈．∴===2﹣，∵∈．∴的最大值为：．故答案为：．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，是中档题．16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1，•=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵•=1，•=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．点评：本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．三．解答题17．（12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，先求出其对立事件“取出的3个球恰有两个编号相同”的概率．由古典概型公式，计算可得答案．（II）X的取值为1，2，3，4，分别求出P（X=1），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和X的数学期望．解答：解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，设“取出的3个球恰有两个编号相同”为事件B，则P（B）===，∴P（A）=1﹣P（B）=．答：取出的3个球编号都不相同的概率为．（Ⅱ）X的取值为1，2，3，4．P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X 1 2 3 4PX的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=．点评：本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．18．已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在上的单调递减区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，再利用正弦定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∴f（x）的最大值为，∴=2，又m＞0，∴m=，∴f（x）=2sin（x+），令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），则f（x）在上的单调递减区间为；（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，由余弦定理得：a2+b2﹣ab=9，即（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①式代入②，得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得：ab=3或ab=﹣（舍去），则S△ABC=absinC=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间角；空间向量及应用．分析：（I）根据PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，结合菱形ABCD中AC⊥BD，利用线面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，从而得到平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，由线面平行的性质定理得到PD∥OE，从而在△PBD中得到E为PB的中点．由PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD，可证出平面EAC⊥平面ABCD，进而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，证出AE⊥BF，由二面角平面角的定义得∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°．分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三角函数定义，算出OE=，由此即可得到PD：AD的值．解答：解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°设AD=BD=a，则OB=a，OA=a，在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE即a•OE=a•，解之得OE=∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2即PD：AD的值为．点评：题给出一个特殊四棱锥，要我们证明面面垂直，并在已知二面角大小的情况下求线段的比值，着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设b n=a2n﹣，则=﹣，==，由此能证明数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，得+，从而a2n﹣1+a2n=﹣2•（）n﹣6n+9，由此能求出S2n．从而能求出满足S n＞0的所有正整数n．解答：（Ⅰ）证明：设b n=a2n﹣，则=（）﹣=﹣，====，∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，∴+，由a2n=﹣3（2n﹣1），得a2n﹣1=3a2n﹣3（2n﹣1）=﹣•（）n﹣1﹣6n+，∴a2n﹣1+a2n=﹣﹣6n+9=﹣2•（）n﹣6n+9，S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）=﹣2﹣6（1+2+3+…+n）+9n==（）n﹣3（n﹣1）2+2．由题意得n∈N*时，{S2n}单调递减，又当n=1时，S2=＞0，当n=2时，S4=﹣＜0，∴当n≥2时，S2n＜0，S2n﹣1=S2n﹣a2n=﹣，故当且仅当n=1时，S2n+1＞0，综上所述，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用．21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题．分析：（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM 和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y0，则P点坐标可得．解答：解：（I）∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心是（1，0），∴椭圆的右焦点F（1，0），∵椭圆的离心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴．直线PM的方程：，化简得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0．又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，∴，∴（y0﹣m）2+x02=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+x02m2，化简得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0，同理有（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，∴，记，则，时，f'（x）＜0；时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递减，在内也是单调递减，∴，当时，|MN|取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在上为增函数，故f′（x）的值域为，即．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在上恒成立，故f（x）在上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．。
湖南省2017年普通高中学业水平考试模拟试卷二(附中版)数学(理)试题含答案
（这是边文,请据需要手工删加）2017年湖南省普通高中学业水平考试模拟试卷二(附中版）科目：数学（Ⅱ)(试题卷)注意事项：1．答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
姓名____________________准考证号____________________祝你考试顺利！数学(Ⅱ)试题卷(附中版二)第页（共4页)（这是边文,请据需要手工删加)2017年湖南省普通高中学业水平考试模拟试卷二(附中版）数学（Ⅱ）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟，满分100分．一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6｝，集合A＝错误!,B＝错误!,则A∩∁U B 等于A.错误!B.错误!C.错误!D．2．函数f（x）＝sin错误!的一个单调增区间为A。
错误! B.错误!C.错误!D。
错误!3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．9π＋42B ．36π＋18C.错误!π＋12D.错误!π＋184．已知直线l 1:错误!x －错误!y ＋2＝0,直线l 2：3x ＋my －1＝0，且l 1⊥l 2,则m 等于A ．－1 B. 6或－1 C. －6 D 。
－6或15．已知错误!是等比数列，前n 项和为S n ，a 2＝2，a 5＝错误!,则S 5＝ A 。
错误! B.错误! C.错误! D 。
错误!6．已知向量a ＝(1，k ），b ＝(2,1），若a 与b 的夹角大小为90°，则实数k 的值为A ．－12B.错误! C ．－2 D ．2 7．设变量x ,y 满足约束条件错误!，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为A ．11B ．10C ．9D ．8。
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二(下)开学数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}2．（5分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别为（）A．2，B．4，3C．4，D．2，13．（5分）若复数z＝（a+i）2（a∈R）在复平面内对应的点在y轴上，则|z|＝（）A．1B．3C．2D．44．（5分）在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，则x≤1的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线（m＞0）渐近线方程为y＝±x，则m的值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．C．D．27．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4B．9C．10D．128．（5分）已知函数f（x）＝若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．（2，3）D．[，3）9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2B．﹣1C．1D．010．（5分）设p：f（x）＝x3﹣2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；，则p 是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对11．（5分）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于（）A．B．C．﹣D．﹣12．（5分）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•＝2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）13．（5分）幂函数y＝x a在其图象上点（2，16）处的切线方程为．14．（5分）函数f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）的最大值是．15．（5分）已知非零向量，满足||＝4||，且⊥（2+），则与的夹角为．16．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE 的外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a2＝4，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA＝DB＝DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝45°，求四面体F﹣DBC的体积．19．（12分）某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（第x周）和市场占有率（y%）的几组相关数据如下表：（Ⅰ）根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x；（Ⅱ）根据上述线性回归方程，预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%（最后结果精确到整数）．参考公式：＝，＝﹣．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F 2的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，总有TA与TB的斜率之和为定值．21．（12分）已知f（x）＝（a≠0，且a为常数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＝，在区间（1，+∞）内，存在x1，x2，且x1≠x2时，使不等式|f（x1）﹣f （x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，求k的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＝8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|，g（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（l）求f（x）≥1的解集；（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t）．求a的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：D．2．【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5＝2×5＝10．∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是：′＝[（3x1﹣2）+（3x2﹣2）+（3x3﹣2）+（3x4﹣2）+（3x5﹣2）]＝[3×（x1+x2+…+x5）﹣10]＝4，S′2＝×[（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+…+（3x5﹣2﹣4）2]，＝×[（3x1﹣6）2+…+（3x5﹣6）2]＝9×[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x5﹣2）2]＝3．故选：B．3．【解答】解：复数z＝（a+i）2＝a2﹣1+2ai（a∈R），由复数z＝（a+i）2（a∈R）在复平面内的对应点在y轴上，可得a2﹣1＝0，2a≠0，解得a＝±1．则|z|＝2．故选：C．4．【解答】解：∵在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，∴x≤1的概率P＝＝，故选：A．5．【解答】解：双曲线（m＞0）的渐近线方程为y＝±x，由渐近线方程为y＝±x，可得＝，可得m＝3，故选：C．6．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，∴BD＝，PD＝＝．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．7．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．8．【解答】解：∵数列{a n}是递增数列，又∵f（x）＝，a n＝f（n）（n∈N*），∴3﹣a＞0，且a＞1且f（10）＜f（11）∴10（3﹣a）﹣6＜a2解得a＜﹣12，或a＞2故实数a的取值范围是（2，3），故选：C．9．【解答】解：当i＝1时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝2；当i＝2时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝3；当i＝3时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝4；…当i＝2n﹣1（n∈Z）时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝2n；当i＝2n（n∈Z）时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝2n+1；…当i＝2018时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝2019；当i＝2019时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为1，故选：C．10．【解答】解：因为f（x）＝x3﹣2x2+mx+1，所以f′（x）＝3x2﹣4x+m，由f（x）＝x3﹣2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，即f′（x）＝3x2﹣4x+m≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，即△＝16﹣12m≤0，解得：m，即p：m，则p是q的必要不充分条件，故选：C．11．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，∵在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝h＝BC＝a，∴BD＝AD＝a，CD＝a，在Rt△ADC中，cosθ＝＝＝，故sinθ＝，∴cos A＝cos（+θ）＝cos cosθ﹣sin sinθ＝×﹣×＝﹣．故选：C．12．【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m＝0，根据韦达定理有y1•y2＝﹣m，∵•＝2，∴x1•x2+y1•y2＝2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2＝﹣2，故m＝2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，＝．当且仅当，即时，取“＝”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）13．【解答】解：把点（2，16）代入幂函数y＝x a中，得2a＝16，解得a＝4，∴幂函数为y＝x4；求函数的导数为y′＝4x3，令x＝2，得切线斜率为k＝4×23＝32，所以过函数图象上点（2，16）处的切线方程为y﹣16＝32（x﹣2），即为y＝32x﹣48．故答案为：y＝32x﹣48．14．【解答】解：f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）＝1﹣2sin2x+6sin x＝﹣2sin2x+6sin x+1．令t＝sin x，t∈[﹣1，1]，则原函数化为y＝，∴当t＝1时，y有最大值为．故答案为：5．15．【解答】解：∵非零向量，满足||＝4||，且⊥（2+），设与的夹角为θ，则•（2+）＝2+＝2+||•4||•cosθ＝0，∴cosθ＝﹣，∴θ＝，故答案为：．16．【解答】解：∵∠DAB＝60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD＝OE＝OC＝在直角△POD中：OP2＝PD2﹣OD2＝OP＝∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P＝O'D设O'P＝O'D＝R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2＝O'D2（OP﹣O'P）2+OD2＝O'D2（﹣R）2+（）2＝R2，R＝∴体积为πR3＝故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）公差d不为零的等差数列{a n}中，a2＝4，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为a1＝d，又a1+d＝4，可得a1＝d＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）＝2n+4n，则前n项和T n＝（2+4+…+2n）+（4+16+…+4n）＝•n（2+2n）+＝n2+n+．18．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA＝DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF＝D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA＝DB＝DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA＝EB＝EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝2，DE＝2，∴S△FBC＝＝2，∴四面体F﹣DBC的体积V F﹣DBC＝V D﹣FBC＝＝．19．【解答】解：（Ⅰ）由题中的数据可知：＝（1+2+3+4+5）＝3，＝（0.03+0.06+0.1+0.14+0.17）＝0.1则＝＝0.036＝﹣＝﹣0.008所以y关于x的线性回归方程：＝0.036x﹣0.008（Ⅱ）由（Ⅰ）知，＝0.036x﹣0.008＞0.40，解得x＞11.3，所以自上市起经过12个周，该款旗舰机型市场占有率能超过0.40%20．【解答】解：（I）由题意知，4a＝8，所以a＝2．因为e＝，所以c＝1，则b＝．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0，当直线l不垂直与x轴时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2x+4k2﹣12＝0，△＝64k4﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝k2+1＞0恒成立，x1+x2＝，x1x2＝，由k TA+k TB＝+＝＝，TA，TB的斜率存在，由A，B两点的直线y＝k（x﹣1），故y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），由2x1x2﹣5（x1+x2）+8＝＝0，∴k TA+k TB＝0，∴直线TA与TB的斜率之和为0，综上所述，直线TA与TB的斜率之和为定值，定值为0．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝（a≠0，且a为常数），∴f′（x）＝＝﹣．∴①若a＞0时，当0＜x＜1，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．即a＞0时，函数f（x）单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．②若a＜0时，当0＜x＜1，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．即a＜0时，函数f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．（2）由（1）知，f（x）＝在区间（1，+∞）上单调递减，不妨设x2＞x1＞1，则f（x1）＞f（x2），∴不等式|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|可化为f（x1）﹣f（x2）≥k（lnx2﹣lnx1）．即f（x1）+klnx1≥f（x2）+klnx2，令F（x）＝f（x）+klnx，则F（x）在区间（1，+∞）上存在单调递减区间，∴F′（x）＝f′（x）+＝+＝＜0有解，即kx＜lnx（x＞1），∴k＜有解，令G（x）＝，则G′（x）＝，由G′（x）＝0得x＝e，当x∈（1，e）时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减．∴G（x）max＝G（e）＝，故k＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2＝16，即ρ＝±4．∴A、B两点的极坐标为：或．（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ＝8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8，得到普通方程为x2﹣y2＝8．将直线代入x2﹣y2＝8，整理得．∴|MN|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|，故f（x）≥1，等价于|2x+1|﹣|2x﹣3|≥1，令2x+1＝0，解得x＝﹣，令2x﹣3＝0，解得x＝，则：不等式等价于：，或，或．解①求得x∈∅，解②求得，解③求得x．综上可得，不等式的解集为{x|}．（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t），可得g（x）min≥f（x）max，∵函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|≤|2x+1﹣2x+3|＝4，∴f（x）max＝4．∵g（x）＝|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣x+a|＝|a+1|，故g（x）min＝|a+1|，∴|a+1|≥4，∴a+1≥4或a+1≤﹣4，求得a≥3或a≤﹣5．故所求的a的范围为{a|a≥3或a≤﹣5}．。
湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（文科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.1. 设集合，，则集合为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：化简集合，再由交集的定义，即可得到所求集合.详解：集合，，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集的运算，其中正确求解集合的解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 若复数是纯虚数，则实数等于（）A. 2B. -2C. -1D. 1【答案】A【解析】分析：复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．详解：因为，是纯虚数，所以a=2．故选：A．点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，且是上的增函数，故选D.4. 已知：命题：若函数是偶函数，则；命题：，关于的方程有解.在①；②；③；④中真命题的是（）A. ②③B. ②④C. ③④D. ①④【答案】D【解析】分析：先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．详解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p为真；当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．综上可得真确命题为①④．故选：D．点睛：本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p，q的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题．（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．5. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：用已知函数值的角表示要求的角，再由两角和差公式得到结果.详解：=因为，,,故代入得到结果为：.故答案为：A.6. 已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（）A. B. 最小 C. D.【答案】B【解析】由题设可得，即，所以答案D正确；由等差数列的性质可得，则，所以答案A正确；又，故答案C正确。
湖南省长沙市长郡中学2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题理2018082401144
x ； 10
g ( x) (2 x
1800 x 2 13 90) x% 40(1 x%) x 58 ； x 50 10
x
（1）当 t e 时，求函数 f ( x) 的单调区间； （2）若对于任意 x (0, 2] ，不等式 f ( x) 0 恒成立，求实数 t 的取值范围. 24. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上 班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当 S 中 x% ( 0 x 100 )的成员自驾时, 自驾群体的人均通勤时间为
长郡中学 2017-2018 学年度高二第二学期期末考试 数学（理科）
一、选择题：本大题共 15 个小题,每小题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.复数 z cos A．第一象限
2 2 i sin 在复平面内对应的点在（ 3 3
B．第二象限 C．第三象限
3 ，则 a 在 b 方向上的投影
19.已知函数 f ( x) 2 x sin x ，若正实数 a ， b 满足 f ( a ) f (2b 1) 0 ，则 值是 ．
1 4 的最小 a b
20.已知集合 {a, b, c} {2,3, 4} ，且下列三个关系： a 3 ， b 3 ， c 4 中有且只有一个正
①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件 17.对 于
a，
b N ，
规
定
a b, a与b的奇偶性相同 ， a *b a b, a与b的奇偶性不同
．
集
合
M a, b a * b 36, a, b N ，则 M 中的元素的个数为
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.1．（3分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}2．（3分）若复数是纯虚数，则实数a等于（）A．2B．﹣2C．﹣1D．13．（3分）下列函数中，与函数y＝x3的单调性和奇偶性一致的函数是（）A．B．y＝tan x C．D．y＝e x﹣e﹣x 4．（3分）已知：命题p：若函数f（x）＝x2+|x﹣a|是偶函数，则a＝0．命题q：∀m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有解．在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）A．②③B．②④C．③④D．①④5．（3分）若，，则sinα的值为（）A．B．C．D．6．（3分）已知数列{a n}是等差数列，满足a1+2a2＝S5，下列结论中错误的是（）A．S9＝0B．S5最小C．S3＝S6D．a5＝07．（3分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（）（单位：m）A．10B．10C．10D．108．（3分）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）设数列{a n}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，若是等差数列，则＝（）A．4026B．4028C．4030D．403210．（3分）将函数f（x）的图象向左平移φ个单位，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）＝sin x的图象，若函数f（x）在（）上单调递增，则φ的值不可能为（）A．B．C．D．11．（3分）已知函数f（x）＝ae x﹣x2﹣（2a+1）x，若函数f（x）在区间（0，ln2）上有极值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）12．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD 的中点，则＝（）A．B．C．D．13．（3分）已知函数f（x）＝6sinωx cosωx﹣8cos2ωx+3（ω＞0），y＝f（x）+1的部分图象如图所示，且f（x0）＝4，则f（x0+1）＝（）A．6B．4C．﹣4D．﹣614．（3分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，2S n＝（n+1）a n，若关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为（）A．B．C．D．15．（3分）已知函数f（x）＝若方程f（﹣x）＝f（x）有五个不同的实根，则实数a的取值范围（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣e）二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．（3分）＝．17．（3分）若复数z＝x+yi（x，y∈R）满足（1+z）i＝3﹣i，则x+y的值为．18．（3分）设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，，则＝．19．（3分）下列命题中：（1）的充分不必要条件；（2）函数f（x）＝|2cos x﹣1|的最小正周期是π；（3）△ABC中，若cos A cos B＞sin A sin B，则△ABC为钝角三角形；（4）若a+b＝0，则函数y＝a sin x﹣b cos x的图象的一条对称轴方程为；其中是真命题的为．20．（3分）若a，b是函数f（x）＝x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21．（8分）已知点A（1，﹣2）和向量＝（2，3）（1）若向量与向量同向，且||＝2，求点B的坐标；（2）若向量与向量＝（﹣3，k）的夹角是钝角，求实数k的取值范围．22．（8分）在等比数列{a n}中，a1＝1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝，（n∈N*）．求数列{b n}的前n项和S n．23．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B﹣cos2C＝．（1）求角C；（2）若，△ABC的面积为，M为AB的中点，求CM的长．24．（8分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+（a﹣1）lnx，（a＞1）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a＜5，则对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有．25．（8分）已知函数f（x）＝a+（bx﹣1）e x，（a，b∈R）（1）如曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，求a，b的值；（2）若a＜1，b＝2，关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，求a的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.1．【解答】解：集合A＝{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．【解答】解：∵＝是纯虚数，∴，即a＝2．故选：A．3．【解答】解：函数y＝x3是奇函数且是增函数，对于A，函数是非奇非偶函数，对于B，函数在定义域上无单调性，对于C，函数的定义域上无单调性，对于D，函数是奇函数且是增函数，故选：D．4．【解答】解：若函数f（x）＝x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|＝x2+|x﹣a|，即有|x+a|＝|x﹣a|，易得a＝0，故命题p为真；当m＞0时，方程的判别式△＝4﹣4m不恒大于等于零，当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．综上可得真确命题为①④．故选：D．5．【解答】解：∵，，可得：sinα＞0，∴cosα+sinα＝，可得：cosα＝+sinα，又∵sin2α+cos2α＝1，可得：sin2α+（+sinα）2＝1，整理可得：2sin2α+sinα﹣＝0，∴解得：sinα＝，或﹣（舍去）．故选：A．6．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝a1+2a2，∴，解得：a1＝﹣4d．∴＝0，故A正确；＝﹣10d，不一定最小，故B错误；S3＝3a1+3d＝﹣9d，，故C正确；a5＝a1+4d＝0，故D正确．∴错误的结论是B．故选：B．7．【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝x，从而有BC＝，AC＝，在△BCD中，CD＝10，∠BCD＝60°+30°+15°＝105°，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°由正弦定理可得，可得，BC＝＝10＝则x＝10；所以塔AB的高是10米；故选：B．8．【解答】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sin x＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选：A．9．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，可得a n＝q n﹣1，由是等差数列，即﹣为常数，可得q＝1，即a n＝1，＝1，即有＝2×2014＝4028．故选：B．10．【解答】解：将g（x）＝sin x得图象横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin2x，然后将函数图象向右平移φ个单位，得到f（x）＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），∵函数f（x）在（）上单调递增，∴2x﹣2φ∈（﹣2φ，π﹣2φ），则，得﹣kπ≤φ≤﹣kπ，当k＝0时，≤φ≤，当k＝﹣1时，≤φ≤，显然不可能取得，故选：C．11．【解答】解：f′（x）＝ae x﹣2x﹣（2a+1）＝g（x），由函数f（x）在区间（0，ln2）上有极值⇔g（x）在区间（0，ln2）上单调且存在零点．∴g（0）g（ln2）＝（a﹣2a﹣1）（2a﹣2ln2﹣2a﹣1）＜0，可得a+1＜0，解得a＜﹣1．此时g′（x）＝ae x﹣2在区间（0，ln2）上单调递减．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：A．12．【解答】解：四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，可得•＝2×2×cos60°＝2，则＝（+）•＝（+）•（﹣）＝（×4﹣4+×2）＝﹣，故选：D．13．【解答】解：∵f（x）＝6sinωx cosωx﹣8cos2ωx+3＝3sin2ωx﹣4cos2ωx﹣1＝5sin（2ωx﹣φ）﹣1，其中sinφ＝，cosφ＝，∴设函数f（x）的最小正周期为T，则T＝（θ+）﹣θ＝，可得：T＝2，∵f（x0）＝4，可得：sin（2ωx0﹣φ）＝1，即f（x）关于x＝x0对称，而x＝x0+1与x＝x0的距离为半个周期，∴sin[2ω（x0+1）﹣φ）＝﹣1，∴f（x0+1）＝5sin[2ω（x0+1）﹣φ]﹣1＝5×（﹣1）﹣1＝﹣6．故选：D．14．【解答】解：∵a1＝1，2S n＝（n+1）a n，∴n≥2时，2S n﹣1＝na n﹣1，∴2a n＝2（S n﹣S n﹣1）＝（n+1）a n﹣na n﹣1，整理得＝，∴＝＝…＝＝＝1，∴a n＝n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，∴0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，可知n＝1，2．∴1≤t＜，故选：A．15．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（﹣x）＝，显然x＝0是方程f（﹣x）＝f（x）的一个根，当x＞0时，e x＝﹣ax①，当x＜0时，e﹣x＝ax②，显然，若x0为方程①的解，则﹣x0为方程为②的解，∵方程f（﹣x）＝f（x）有5个不同的根，∴方程①在（0，+∞）上有两解，做出y＝e x（x＞0）和y＝﹣ax（x＞0）的函数图象，如图所示，设y＝kx与y＝e x相切，切点为（x0，y0），则，解得x0＝1，k＝e，∵y＝e x与y＝﹣ax在（0，+∞）上有两个交点，∴﹣a＞e，即a＜﹣e，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．17．【解答】解：由z＝x+yi（x，y∈R）且（1+z）i＝3﹣i，得（1+x+yi）i＝3﹣i，即﹣y+（1+x）i＝3﹣i，∴，即x＝﹣2，y＝﹣3．∴x+y＝﹣5．故答案为：﹣5．18．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，，∴f（）＝f（﹣）＝4×（﹣）2﹣2＝，＝f（）＝．故答案为：．19．【解答】解：对于（1）若“”成立则能推出“”成立，反之若“”成立，则有即推不出“”成立，所以的充分不必要条件；故（1）对对于（2）函数f（x）＝|2cos x﹣1|的最小正周期是2π故（2）错对于（3），若cos A cos B＞sin A sin B则cos（A+B）＞0则A+B为锐角，则C为钝角，则△ABC 为钝角三角形故（3）对对于（4），∵a+b＝0∴a＝﹣b∴y＝a sin x﹣b cos x＝a（sin x+cos x）＝∴是图象的一条对称轴故（4）对故答案为（1）（3）（4）20．【解答】解：由题意可得：a+b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p＝a+b＝5，q＝1×4＝4，则p+q＝9．故答案为：9．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21．【解答】解：（1）设B（x，y），则＝（x﹣1，y+2），若向量与向量同向，则有3（x﹣1）＝2（y+2），若||＝2，则（x﹣1）2+（y+2）2＝52，解可得或，当时，＝（﹣4，﹣6），与向量反向，不合题意，舍去；当时，＝（4，6），与向量同向，则B的坐标为（5，4）；（2）若向量与向量＝（﹣3，k）的夹角是钝角，则有•＝﹣6+3k＜0且2k+9≠0，解可得k＜2且k≠﹣，故k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，2）．22．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，a1＝1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．即有a1+a3﹣1＝2a2，即为1+q2﹣1＝2q，解得q＝2（0舍去），即有a n＝a1q n﹣1＝2n﹣1；（2）b n＝＝＝2n﹣1+﹣，数列{b n}的前n项和S n＝（1+2+…+2n﹣1）+（1﹣+﹣+…+﹣）＝+1﹣＝2n﹣．23．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B﹣cos2C ＝．∴sin2C﹣sin2B＝sin2A﹣．由正弦定理，得c2﹣b2＝a2﹣，即．又由余弦定理，得cos C＝＝＝．∵0＜∠C＜π，∴∠C＝．（2）∵，∴△ABC为等腰三角形，且顶角．故＝，解得a＝4．在△MBC中，由余弦定理，得：CM2＝MB2+BC2﹣2MB•BC cos B＝4+16+2×2×＝28．解得CM＝2．24．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．（i）若a﹣1＝1即a＝2，则故f（x）在（0，+∞）单调增．（ii）若a﹣1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，则当x∈（a﹣1，1）时，f′（x）＜0；当x∈（0，a﹣1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0故f（x）在（a﹣1，1）单调减，在（0，a﹣1），（1，+∞）单调增．（iii）若a﹣1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a﹣1）单调减，在（0，1），（a﹣1，+∞）单调增．（2）考虑函数g（x）＝f（x）+x＝则由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）单调增加，从而当x1＞x2＞0时有g（x1）﹣g（x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）+x1﹣x2＞0，故，当0＜x1＜x2时，有25．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，f′（x）＝be x+（bx﹣1）e x＝（bx+b﹣1）e x，∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，∴，∴，解得：；（2）当b＝2时，f（x）＝a+（2x﹣1）e x，（a＜1），关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，等价于关于x的不等式a+（2x﹣1）e x﹣ax＜0的整数解有且只有1个，构造函数F（x）＝a+（2x﹣1）e x﹣ax，x∈R，故F′（x）＝e x（2x+1）﹣a，1°x≥0时，∵e x≥1，2x+1≥1，故e x（2x+1）≥1，又a＜1，故F′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）递增，∵F（0）＝﹣1+a＜0，F（1）＝e＞0，∴在[0，+∞）存在唯一整数x0，使得F（x0）＜0，即f（x0）＜ax0；2°当x＜0时，为满足题意，函数F（x）在（﹣∞，0）上不存在整数使得F（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，﹣1]上不存在整数使得F（x）＜0，∵x≤﹣1，∴e x（2x+1）＜0，①当0≤a＜1时，函数F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，﹣1]递减，∴≤a＜1；②当a＜0时，F（﹣﹣1）＝﹣+2a＜0，不合题意，综上，a的范围是[，1）．。
(解析版)湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高二12月月考(第二次模块检测)数学(文)试题
长郡中学2017—2018学年度高二第一学期第二次模拟检测数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A.2. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，，则，，故选D.3. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为的实部与虚部相等，，所以，解得，故选A.4. 如图，在矩形区域的两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由图形知，无信号的区域面积，所以由几何概型知，所求事件概率，故选A．考点：几何概型．视频5. 已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，渐近线方程，因此左顶点到一条渐近线的距离为，即该双曲线的标准方程为，选A.考点：双曲线渐近线6. 设平面，直线，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由平面与平面平行的判定定理可知，若直线、是平面内两条相交直线，且有“，”，则有“”，当“”，若，，则有“，”，因此“，”是“”的必要不充分条件.选B.考点：1.平面与平面平行的判定定理与性质；2.充分必要条件7. 若实数满足条件，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：画出所表示的可行，如图，当直线过时，的最大为，故选C.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 函数且的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故函数是奇函数，函数图象关于原点对称，所以排除，取，则，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循. 解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9. 若函数分别是上的奇函数，偶函数，且满足，则有（）A. B.C. D.【答案】D..................点睛：函数的奇偶性、单调性最大最小值是函数的重要性质，也高考及各级各类考试的重点考查的知识点。
湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B。
2. 设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若| ，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．详解：依据定义，A B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义：A*B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．点睛：本小题考查函数的定义域和值域，考查集合交并运算的知识，考查运算能力，属于中档题．3. 阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C4. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.5. 已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题6. 在直角坐标系中，若角的终边经过点，在（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角的终边经过点，即点，则，由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7. 定义运算，，例如，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．8. 若在区间上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．详解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.9. 已知，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.10. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】分析：由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．详解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos ＜（+，＞=0，即为||=cos ＜+，＞，当cos ＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C ．点睛：本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．11. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 0【答案】C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.12. 设，则使得的的取值范围是（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由函数f （x ）的解析式分析可得函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，当x ≥1时，对函数f （x ）求导分析可得函数f （x ）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f （|x|）＜f （|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x 的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f （x ）=﹣x 2+2x﹣2（e x﹣1+e 1﹣x ）=﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（e x﹣1+e 1﹣x ）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）=﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．13. 已知函数，其中为函数的导数，则（）A. 2B. 2019C. 2018D. 0【答案】A【解析】由题意易得：∴函数的图象关于点中心对称，∴由可得∴为奇函数，∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，∴∴故选：A14. 中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则( )A. 7B. 8C. 5D. 6【答案】A【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故选：A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．15. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．详解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12=故所求的最小值为故选：C．点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件【答案】①【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．17. 对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．【答案】41【解析】分析：由⊕的定义，a b=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：a b=36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．18. 已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是__________．【答案】【解析】分析：根据向量的模求出•=1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2•=3，解得•=1，∴在方向上的投影是=，故答案为：点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．19. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得因此，当且仅当时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20. 已知集合，且下列三个关系：，，中有且只有一个正确，则函数的值域是__________．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程，巧解韦达定理表示，解得其值.试题解析：（1）由曲线C的原极坐标方程可得，化成直角方程为．（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，∵，于是点P在AB之间，∴．点睛：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为 (t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)22. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若点在边上，且是的平分线，，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.23. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是；单调递减区间是.（2）【解析】试题分析：(1)，根据题意，由于函数当t=-e时，即导数为,,函数的单调递增区间是；单调递减区间是（2) 根据题意由于对于任意，不等式恒成立，则在第一问的基础上，由于函数,只要求解函数的最小值大于零即可，由于当t>0,函数子啊R递增，没有最小值，当t<0，那么可知，那么在给定的区间上可知当x=ln（-t）时取得最小值为2，那么可知t的取值范围是．考点：导数的运用点评：主要是考查了导数的运用，以及函数最值的运用，属于中档题。
湖南省长郡中学2017-2018学年高二12月月考(第二次模块检测)数学(理)---精校解析 Word版
，则在复平面内对应的点位于（第一象限 B.【解析】对应的点为的终边在第一象限，则“”是“===π＞β”是“sin在区间上随机地取一个数，则事件“B. C. D.【答案】故答案选C。
4. 已知向量，且与互相垂直，则的值是（）B. C. D.【解析】==由与B. C. D.【答案】名女生站成一排有种排法，种排法，根据分步计数原理，不同排法种数有种，选已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（B. C. D.【答案】和的夹角是，则由空间向量的数量积公式和題意得,所以以和，故选考点：1、空间向量的数量积公式；已知点是抛物线的焦点，是抛物线上两点，，则B. C. D.【答案】中，，直线所成的角为与平面所成的角为，则（）B. C. D.【答案】，∵正方体的棱长OB=BD==点睛：本题考查了空间角的计算通过证明线线垂直找到异面直线所成的角为，确定的平面区域为，由不等式组确定的平面区域为，在的取一点，则点落在区域B. C. D.【答案】【解析】试题分析：区域为曲边图形，区域为矩形，故.视频设曲线上任意一点处的切线为处的切线，使得，则实数A. B. C. D.，所以直线的斜率分别为，则由题，即，又因为对任意，都有存在，即存在使得，故，即，应选答案点睛：本题将导数的几何意义与函数的切线的斜率有解地整合在一起，旨在考查导数的几何意义、全称命求出两条切线的斜率，再借助题设条件得到方程的含义建立不等式，从而使得问题简捷、巧妙获解。
双曲线的左右焦点分别为是右支上一点，且，直线相切，则的离心率为（B. C. D.【答案】=2c，则三角形与圆那么可知，结合等腰三角形的性质可知，2a+2c=4b,考点：双曲线的性质已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为（B. C. D.看作曲线看作直线为，所以，选运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图__________【答案】【解析】由定积分的几何意义知所求为四分之一个以（故答案为某班级要从【答案】若直线与曲线相切，则【答案】【解析】即求曲线过原点切线的斜率，设切点为，斜率，切线方程为，故.16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形，如三角形数，第个三角形数为个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数：；正方形数：；五边形数：；六边形数：由此推测__________【答案】【解析】原已知式子可化为：:五边形数六边形数……由此推测由归纳推理可得故17. 已知命题，命题方程表示焦点在）命题为真命题，求实数的取值范围；”为真，命题“”为假，求实数（或.为真时的的范围，再根据含有逻辑连接词的命题的真假判的真假，从而得的范围．得，即，由，即）命题为真，；一真一假，因此有或，所以或已知函数.）若函数在处有极值，求的值；）若对于任意的在上单调递增，求））由，根据题意设有解得，进行检验舍去对任意的都成立，所以对任意的都成立，因为上为单调增函数或为常数函数，①当为常数函数时，；②当为增函数时，对任意都成立，求二次函数最大值.于是，根据题意设有或，时，所以函数时，所以函数，所以无极值点，所以对任意的对任意的，所以在为常数函数时，为增函数时，对任意都成立，，所以，所以所以的最小值为.某工厂生产不同规格的一种产品，其合格产品的质量与尺寸关于的回归方程（提示：由已知，是当产品质量与尺寸的比在区间对于一组数据其回归直线【答案】（1）；（）【解析】试题分析：（Ⅰ）对y=ax由最小二乘法求得系数及（Ⅱ）由，记“恰好取得两件优等品”为事件从件的方法数为件合格品取3件恰好2件为优等品的取法有，两边取自然对数得，，得，故所求回归方程为.，解得，记“恰好取得两件优等品”为事件从件的方法数为件为优等品的取法有种，则在三棱锥中，底面分别是的中点，在）求证：平面）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出.AF与平面所以，求得平面的法向量为，平面法向量为，由二面角的大小为，，又，求得.）由是的中点，得底面，所以中，，所以，又因为，，，即，因为底面所以，又，所以平面假设满足条件的点，以为坐标原点，分别以为轴建立空间之间坐标系，所以，所以的法向量为，，取，得，设平面的法向量为，，取，得，，由二面角的大小为，得，，又，求得，于是满足条件的点存在，且.已知椭圆的中心在原点焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线）求椭圆已知点在椭圆点是椭圆上不同于的两个动点，且满足：试问：直线.）定值【解析】试题分析：对于（，结合已知即可求出，当即可求出轴上，∴设椭圆标准方程为∵椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线(0,2，=12的标准方程与椭圆x2，y2），=, y1﹣+3]=直线AB斜率为点睛：本题考查椭圆的性质以及抛物线的性质，直线与椭圆的综合问题，解答的关键是认真审题，理清问函数）求函数，且，是否存在实数恒成立，若存）若正项数列满足，且数列的前项和为，试判断与的大小，并）存在.....................试题解析：(1),则，所以函数单调递减，函数单调递增．从而（2）若恒成立，则，设函数，又，则只需函数在上为单调递减函数，即在上恒成立，则，，从而在上单调递减，在，，使得不等式恒成立．）由．，由因为，由（）知时，即考点：利用导数求解闭区间上的函数的最值；利用导数研究函数的单调性；数列的求和与不等式的证明．。