第三章 有限元法应用中的若干问题.
有限元法在数学建模中的应用
有限元法在数学建模中的应用有限元法是数学建模中非常重要的一种技术，它广泛应用于工程、物理、材料等领域。
本文将重点探讨有限元法在数学建模中的应用，介绍有限元法的基本原理以及在实际问题的求解中如何使用有限元法。
一、有限元法基本原理有限元法是一种计算数值解的方法，主要用于求解偏微分方程的数值解。
有限元法的基本思想是将一个复杂的物理问题分解成许多小的单元，每个单元内近似为均匀的物理特性，然后利用这些小单元之间的相互作用来描述整个问题的行为。
具体而言，将一个有限区域分割成若干个小的有限元，形成一个有限元网格。
然后在每个有限元内选择一种适当的插值函数和数学方法，利用有限元法求解方程，计算各节点处的场量值。
最终通过将所有单元的解拼接成总体解来解决整个大型问题。
二、有限元法的应用在数学建模中，有限元法被广泛应用于求解各种物理问题。
以下几个问题是常见的应用场景。
1、弹性力学问题弹性力学问题涉及到力学中物体变形和应力分布的关系。
例如，通过有限元法求解一个材料的弹性力学问题，即在一定的边界条件下，计算出其内部的应力和变形分布等参数。
有限元法可以将复杂的材料变形和应力分布问题简化为有限元之间的局部线性问题。
在每个单元内用局部多项式函数近似表示物理量，并将各单元之间的信息连接起来，最终得到整个材料的应力和变形信息。
2、流体力学问题流体力学问题涉及到流体的流动、压力分布以及物体受到的阻力等问题。
通过有限元法求解流体力学问题，可以计算流体内部的压力、速度、流量等重要参数。
常见的有限元法方案包括有限元、有限体积法和有限差分法。
3、电磁场问题电磁场问题涉及到电磁波传播、电荷分布等问题。
通过有限元法求解电磁场问题，可以计算电荷、电势、磁场等电磁参数。
例如，有限元法可用于计算电磁波在介质中的传播和反射，以及导体中的电流分布。
三、有限元法在实践中的应用在实际应用中，有限元法需要通过软件来实现计算。
较为流行的有限元软件包有ANSYS、Comsol、ABAQUS等。
有限元法基本原理及应用第3章重庆大学龙雪峰
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 3．单元分析 • 单元分析包括位移模式选择，单元力学分析两个内容。 • 位移模式也称位移函数或插值函数，在有限元位移法中是 以节点位移为基本未知量，再由这些节点位移插值得到单 元内任意一点的位移值。单元的位移模式一般采用多项式， 因为多项式计算简便，并且随着项数的增加，可以逼近任 何一段光滑的函数曲线。 • 单元力学分析 根据所选单元的节点数和单元材料性质， 应用弹性力学几何方程和物理方程得到单元刚度矩阵。由 于连续体离散化后假定力是通过节点在单元间传递的，因 此要利用插值函数把作用在单元上的体积力、面积力和集 中力按静力等效原则移到节点上。
Hale Waihona Puke 有限元原理及应用第三章 弹性力学有限元法
• 5．结果后处理和分析 • 求解线性方程组得到位移矢量后，由几何和物理关系可以 得到应变和应力。 • 由于应变（应力）来自位移的微分可能导致单元间应力不 连续，这会使应力计算误差较大，要在节点附近进行平均 化处理。 • 通过后处理还可得到位移、应变和应力的最大最小值及其 所在位臵以及主应力、主应变或其它定义的等效应力。 • 结果的输出可以应用图表、动画等各种方式。最后还要对 这些结果进行分析以指导工程设计、产品开发等等。
有限元原理及应用第三章弹性力学有限元法?如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度ww与板厚tt的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图35所示面内的两个自由度也要一并考虑所示面内的两个自由度也要一并考虑导致单元的每个节点上a四边形弯曲单元b三角形弯曲单元图34薄板弯曲单元导致单元的每个节点上就要有五个自由度此类单元一般称为薄板单元
有限元原理及应用
结构分析的有限元法-第三章
式中
H 1 u B A yH v
(3.32)
而
H 0 u H 0 v 0 0 0 0 1 0 0 2 0 6x
(3.33)
单元刚度矩阵
再次应用式(2.70)，并进行一系列的积分运算，可以得出单元刚度矩阵的显式如下：
l
K
e
E d A B B d x
0 1 l
Av
1
2 l
0 0 1 l 2 1 l
(3.21)
MATLAB不仅可以进行数值运算，也能进行符号运算。如式(3.20)中的矩 阵Au和Av的求逆运算，我们可以在MATLAB的命令窗口下输入 >> syms L >> Au = [ 1 0 1 L ] ; >> Av = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L L^2 L^3 0 1 2*L 3*L^2] ; 第一句是定义符号变量L，后面定义两个矩阵Au和Av。然后我们再输入下 面求逆的命令 >> inv(Au) ans = 0 1 1 [ 1, 0] Au [ -1/L, 1/L] 1 l 1 l >> inv(Av) ans = 0 0 1 [ 1, 0, 0, 0] 0 1 0 1 [ 0, 1, 0, 0] A v 2 2 3 l 2 l 3 l [ -3/L^2, -2/L, 3/L^2, -1/L] 3 2 3 1 l 2 l [ 2/L^3, 1/L^2, -2/L^3, 1/L^2] 2 l
根据材料力学的有关知识，我们可以立刻写出杆单元的结点位移与结点力 之间的关系为
FNi EA l (u i u j ) FNj EA l (u j u i )
计算固体力学第三章_1
8. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.
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3 协调模型分析
1. 建立协调模型的一般方法
大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量 原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模 型”（Conforming model)。
每个节点有三个转动 分量和三个位移分量.
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如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单 元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析 的目的是找出杆端应力集中最高的位置.
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有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维， 板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
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有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当 的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总 数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的 主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省 计算费用.
一点的位移列阵： 一点的应变列阵：
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵： 一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)
第三章-用有限元素法建立结构振动的数学模型
第三章用有限元素法建立结构振动的数学模型3．1 引言【工程要求】：对于简单的连续结构，如单件的杆、板、梁，可以建立结构振动的偏微分方程，但对于杆、板、梁组成的复杂结构，仍然采用建立偏微分方程的方法则十分困难。
如果用假设模态法（李兹方法），对实际工程结构假设出品质良好的整个结构的假设模态也十分困难。
要对结构振动进行数值分析，必须建立振动的数学模型——振动方程。
工程结构振动分析中，要采用将结构离散为有限自由度系统的方法——有限元素法，来建立结构的数学模型。
【发展简况】有限元素法，是在上一世纪五十年代中期，经过M.T.Turner及J.H.Argyris 等人的开拓性工作以及后来许多研究者的大量工作，发展起来的一种结构分析的有效方法，上一世纪六十年代初，由J.S.Archer及J.H.Argyris等人引入到结构动力学分析中来。
有限元素法发展到今天，已经非常成熟，而且与先进的计算机技术结合，已经形成了一个以有限元分析方法为基础的计算机辅助工程（CAE）的技术领域以及更进一步的虚拟产品设计（VPD）这样的先进概念。
世界上著名的CAE分析软件商主要有MSC.software和Ansys等公司的产品。
【有限元动力学分析的任务】在结构振动分析领域，有限元素法处理的问题主要是两类：结构固有振动特性计算和结构振动响应计算（包括频率响应分析与响应时间历程分析）。
两类问题中，用有限元法建立振动数学模型是最基础的工作。
【有限元素法（分析结构振动问题）的特点】：原则上，有限元素法由于其对复杂边界的适应性，它可以处理任何复杂的结构。
求解结果的精度可以根据需要不断改善，建模过程规范统一，计算形式适合于计算机求解。
【存在的问题】：随着精度要求的不断提高，所要求的计算机容量和计算时间急剧增加，从而引出了大型特征值问题的快速求解方法、将大型结构振动问题转化为若干小型结构振动问题集合的子结构求解方法，以及结构振动问题的并行求解方法等问题的研究。
第三章MATLAB有限元分析与应用
第三章MATLAB有限元分析与应用有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种工程计算方法，用于解决结构力学和流体力学等问题。
它将一个复杂的结构分割成多个简单的离散单元，通过建立数学模型和求解方程组，得到结构的力学、热力学和流体力学等性能参数。
MATLAB是一种功能强大的数学计算软件，具有直观的用户界面和丰富的工具箱，可以方便地进行有限元分析。
本章将介绍在MATLAB中进行有限元分析的基本步骤和方法，以及一些常见的应用例子。
首先，进行有限元分析需要将结构进行离散化。
常用的离散化方法有节点法和单元法。
节点法是将结构的几何形状划分为小的节点，并在节点上进行计算。
单元法是将结构划分为多个小的单元，并在每个单元内进行计算。
在MATLAB中，可以通过创建节点和单元的矩阵来描述结构和单元的关系。
例如，创建一个2D结构形式的节点矩阵：nodes = [0 0; 1 0; 0 1; 1 1];然后，通过创建描述节点连接关系的矩阵，来定义结构的单元：elements = [1 2 3; 2 4 3];这里的每一行代表一个单元，数字表示节点的编号。
接下来，需要定义材料的力学参数和边界条件。
材料的力学参数包括弹性模量、泊松比等。
边界条件包括支座约束和加载条件。
在MATLAB中，可以通过定义力学参数和边界条件的向量来描述。
例如，定义弹性模量和泊松比的向量：E=[200e9200e9];%弹性模量nu = [0.3 0.3]; % 泊松比定义支座约束的向量（1表示固定，0表示自由）：constraints = [1 1; 0 0; 0 1; 0 1];定义加载条件的向量（包括点力和面力）：最后，通过求解方程组得到结构的应力和位移等结果。
在MATLAB中，可以利用有限元分析工具箱中的函数进行计算。
例如，可以使用“assem”函数将节点和单元的信息组装成方程组，并使用“solveq”函数求解方程组。
有限元法实际应用中若干问题的讨论
位移插值函数的构造
选择单元位移函数的一般原则
（3）选择多项式应由低阶到高 阶，尽量选取完全多项式以提高 单元的精度。由于项数限制不能 选取完全多项式时，选择的多项 式应具有坐标的对称性。并且一 个坐标方向的次数不应超过完全 多项式的次数。
在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布置较密 的网格，在应力变化平缓的区域可布置较稀疏的网格。这样可 以同时满足精度和效率两方面的要求。这一原则的实施要求分 析者在分析前，对问题的应力分布特点应该有基本的了解。在 一般情况下，为了使计算结果达到必要的精度，可以采用以下 一些措施： 粗糙的网格足以用来预测趋势。 对应力变化激烈的区域局部加密网格进行重分析。 采用自适应网格剖分。
选用高阶单元可提高计算精度因为高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数所以当结构形状不规则应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元
有限元法原理及应用
第四章 有限元法实际应用中若干问题 的讨论
有限元法实际应用中若干问题的讨论
目的：掌握有限元法实际应用中模型建立、求 解、计算结构处理与改善所面临的问题。
网格数量
杆单元：单元内部应力是一样的，即使分得再细 也不会改变精度。相反如果将一根构件分成多个 杆，就会变成不稳定结构。
网格疏密
疏密不同的网格主要用于应力分析(包括静应力和动应力)， 而计算固有特性时则趋于采用较均匀、规则的网格形式。 这是因为固有频率和振型主要取决于结构刚度分布，而且 还取决于质量分布，同时不存在类似应力集中的现象。 对称结构尽量使用对称的网格。对称结构若使用不对称的 网格可能导致错误的模态分析结果。采用均匀网格可使结 构刚度矩阵和质量矩阵的元素不致相差太大，可减小数值 计算误差，提高模态计算精度。
有限元分析法第3章 杆单元
提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第三章
杆单元
§ 3 –1
习题2：
一维等截面杆单元
已知：
求：杆两端的支反力
解
第三章 杆单元
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：
第三章
杆单元
§ 3 –2
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
u1 v1 u2
v2
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
单元2：2-3
135，l
按公式计算杆应力：
二维空间中的杆单元
得：
0 E 2 L 0 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 1 L 2 EA P 2A 1 P2
P 1 E 2 L P2 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 2 L 2 EA 0 2 A 0
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：
~ d i Tdi
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
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二次曲线的线性近似 (不理想结果)
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.
节点 单元
真实的二次曲线
.
.
节点 单元
.
当选择了某种单元类型时，即确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数
形状的选择与结构构形有关。三角形适合于不规则
的形状，而四边形则比较适合于规则形状。
单元阶次的选择与求解域内应力变化的特点有关，
第三章 有限元法应用中的若干问题
有限元模型的建立
单元划分的基本原则
有限元分析过程及位移解的下限性质
应力计算结果的性质和处理
第一节 有限元模型的建立
应用有限元法分析实际问题的目的是方便、快捷的 得到可靠性的结果，其分析过程的有效性和计算结 果的可靠性成为有限元法的两大核心问题。 它涉及到合理的有限元模型的建立，恰当的分析方 案和计算方法的选择以及对计算结果的正确解释和 处理这三个方面。 对一个实际问题进行有限元分析的首要步骤是建立 合理的有限元模型。其中最主要的是单元类型和形 状的选择以及网格的安排和布置。
分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载 荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这 一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论 主要体现在这一过程中。
有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力 法、有限元混合法。在有限元位移法中，选节 点位移作为基本未知量；在有限元力法中，选 节点力作为未知量；在有限元混合法中，选一 部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未 知量为节点力。
2 ）划分单元的大小，可根据部位不同有所不同， 在位移或应力变化大的部位取得单元要小；在 位移或应力变化小的部位取得单元要大，在边 界比较平滑的部位，单元可大。
3 ）划分单元的形状，一般均可取成三角形或等 参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时也 可以将不同单元混合使用，但要注意，必须节 点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。
2、单元的形状 从单元的几何形状上区别，可以分为一维、二维和 三维单元。
一维单元可以是一直线，也可以是一曲线； 二维单元可以是三角形单元、矩形单元或四边形单元； 三维单元可以是四面体、五面体、长方体或一般的六 面体。 具有轴对称几何形状和轴对称物理性质的三维域能用 二维单元绕对称轴旋转形成的三维环单元进行离散。
有限元位移法计算过程的系统性、规律性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，特
别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。
单元形函数是一种数学函数，提供一种描述单元内部 结果的“形状”，规定了从节点DOF值到单元内所有点
处DOF值的计算方法。
2-D Solid Linear PLANE42 3-D Solid SOLID45 SOLID185 SOLID95 SOLID92 SOLID186 3-D Shell SHELL63 SHELL181 Line Elements LINK1,8,10 BEAM3，4 BEAM188 Quadratic PLANE82 PLANE2 SHELL93 BEAM189
1.1单元类型和形状的选择
1、单元的类型
一般来说，单元类型和形状的选择依赖于结构或总体
求解域的几何特点和方程的类型以及求解所希望的精 度等因素。根据分析对象的物理属性，可选择固体力 学单元、流体力学单元、热传导单元等。 在固体力学单元类型中，还可根据对象的几何特点，
选择二维、三维实体单元，梁、板、壳结构单元等。
由程序自动加密网格，或者提高单元阶次后
进行重分析，直至满足精度要求为止。
2、疏密网格的过渡 在一个实际问题的有限元分析中，不同区域采用疏
密不同的网格经常是必要的。以二维问题的不同疏密
划分的四边形网格为例，通常有以下三种方案。
1）采用形状不规则的单元，此方案的不足是可能单元 形状不好而影响局部的精度； 2）采用三角形单元过渡，其不足是可能因引入不同形 式的单元而带来不便； 3）采用多节点约束方法过渡。
1）对于应力变化激烈的区域局部加密网格进行重
分析。这可以在原网格中进行，也可以将高应力区
截取出来进行网格加密，并将前一次全结构分析的
结果作为边界条件施加在局部加密的网格边界上进 行重分析。后一种方法称为总体——局部分析方法。
2）采用自适应分析方法。即对前一次分析的
结果作出误差估计，如果误差超过规定，再
应力梯度大的区域，单元阶次应较高，否则即使网
格密度很密也很难达到理想的结果。
1.2网格的划分
1.网格疏密的合理布置
在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布
置较密的网格，在应力变化平稳的区域可布置较稀
疏的网格。这样可以同时满足精度和效率的要求。 一般情况下，为了使结果达到必要的精度，可以采 取以下一些措施：
第二节 单元划分原则
2.1梁、杆单元划分的原则
两个节点之间的杆构成一个单元，节点可按以下原则划
分：
1）杆件的交点一定要选为节点(梯子）； 2）阶梯形杆截面变化处一定取为节点（阶梯轴）；
3）支撑点与自由端要选为节点（悬臂梁）；
4）集中载荷作用处最好选为节点； 5）欲求位移的点要选为节点；
6）单元长度最好基本相同。
2.2平面单元划分原则
1.单元形状：
常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等参数单元。 他们的特点是单元的节点数越多，其计算精度越高，三角形 单元与等参数单元可适应任意边界。 2.划分原则：
1）划分单元的个数，视计算机要求的精度和计算机容量而定， 单元分得越多，块越小其精度越高，但需要的计算机容量越 大，因此，须根据实际情况而定。
4 ）单元各边的长不要相差太大，否则将影响 求解精度。 5 ）尽量把集中力或集中力偶的作用点选为节 点。 6 ）尽量利用对称性，以减少计算量（有限元 法的最大优点在于使用了矩阵的方法）。
第三节 有限元分析过程及位移解的下限性质
3.1有限元法分析过程
有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后 处理三大步骤。 对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元分析 模型，这一过程是有限元的前处理过程。在这一阶 段，主要包括构造计算对象的几何模型、划分有限 元网格、生成有限元分析的输入数据，这一步是有 限元分析的关键。