等比数列求和1
等比数列求和公式有哪些
等比数列求和公式有哪些等比数列是数学中的一种常见数列，其中每个项都与前一项的比值相等。
求等比数列的和是数学中的基础问题，对于等比数列的求和，常用以下两个公式：1. 等比数列前n项和公式：等比数列的前n项和记作Sn，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比，n为等比数列的项数。
2. 等比数列无穷项和公式：等比数列的无穷项和记作S∞，公式为：S∞ = a / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比。
当公比r的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和存在。
这两个公式是求等比数列和的基本公式，可以用来计算等比数列的和。
下面将通过例子来说明这两个公式的使用。
例1：已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的前5项和Sn和无穷项和S∞。
解：根据等比数列前n项和公式，代入已知条件，可得：Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)= 2 * (1 - 243) / (-2)= 2 * (-242) / (-2)= 242根据等比数列无穷项和公式，代入已知条件，可得：S∞ = 2 / (1 - 3)= 2 / (-2)= -1所以，该等比数列的前5项和Sn为242，无穷项和S∞为-1。
例2：已知等比数列的首项a为5，公比r为0.5，求该等比数列的前10项和Sn和无穷项和S∞。
解：根据等比数列前n项和公式，代入已知条件，可得：Sn = 5 * (1 - 0.5^10) / (1 - 0.5)= 5 * (1 - 0.0009766) / (0.5)= 5 * (0.9990234) / (0.5)= 9.990234根据等比数列无穷项和公式，代入已知条件，可得：S∞ = 5 / (1 - 0.5)= 5 / (0.5)= 10所以，该等比数列的前10项和Sn为9.990234，无穷项和S∞为10。
通过以上例子可以看出，等比数列的求和公式能够方便地计算等比数列的和。
10.等比数列的求和公式1
一：复习回顾: 等比数列 {an} an+1 (1) 等比数列: =q (定值) an (2) 通项公式: an=a1• q n-1
(3) 重要性质: m+n=p+q
an= am• qn-m an •am = ap
•
aq
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
二、导入新课：
国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋 有这样一个传说。国王要奖赏国际象棋的发 明者，问他有什么要求，发明者说：“请在 棋盘的第一个格子里放上１粒麦子，在第２ 个格子里放上２粒麦子，在第３个格子里放 上４粒麦子，在第４个格子里放上８粒麦子， 依此类推，每个格子里放的麦子数都是前一 个格子里放的麦子数的２倍，直到第６４个 格子。请给我足够的粮食来实现上述要求。” 你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？
解：由题意得，从今年 起，每年家电厂的销售 总量组成等比数列。
a1 a(1 10%) 1.1a，q 1 10% 1.1，n 10
所以S10
1.1a(11.110 ) 11.1
1.1a (1.110 1)
答：从今年起 10年内该家电厂的销售总 量是1.1a(1.110 1)万台 .
1 2
,n 6
综上所述, n 6, q 1 或2 2
an 的前n项和为sn , 若sn 14, (2)设等比数列 s2n 126, 求s3n
解：若q 1, 则sn na1 14, s2n 2na1 126
矛盾 q 1 sn a1 1 q n 14 1 q a s2n 11q 1 q 2n 126
3： 等比数列{an}
1. a1 1, a4 216 , 则 q __, S4 __
高中数学等比数列求和
高中数学等比数列求和等比数列是数学中常见的一种数列，它的特点是每一项与前一项的比值都相等。
在高中数学中，我们经常需要计算等比数列的和，这对于我们掌握数列的性质和运算规律非常重要。
我们来回顾一下等比数列的定义和性质。
等比数列可以用以下公式来表示：a，ar，ar²，ar³，...，其中a是首项，r是公比。
公比r不等于0，否则数列将变成等差数列。
在求等比数列的和时，我们可以通过以下方法来计算：1. 等比数列求和公式等比数列求和的公式是一个重要的工具，它可以用来计算任意项数的等比数列的和。
公式如下：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项的和，a是首项，r是公比。
2. 等比数列求和的步骤求等比数列的和一般可以分为以下几个步骤：（1）确定首项a和公比r；（2）确定要求和的项数n；（3）代入公式Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)计算结果。
需要注意的是，在使用等比数列求和公式时，我们需要确保公比r 不等于1，否则公式中的分母为0，无法计算。
此外，当公比r的绝对值小于1时，等比数列的和会趋于一个有限值；当公比r的绝对值大于1时，等比数列的和会趋于无穷大。
3. 实例分析为了更好地理解等比数列求和的过程，我们来看一个实例。
例题：求等比数列1，3，9，27，...的前10项和。
解：根据题目，我们可以确定首项a=1，公比r=3，要求和的项数n=10。
将这些值代入公式Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，我们可以得到：S10 = 1 * (1 - 3^10) / (1 - 3)计算得到S10 = -29524/2 = -14762。
所以，等比数列1，3，9，27，...的前10项和为-14762。
通过这个例子，我们可以看到等比数列求和的具体步骤和计算过程。
当然，在实际应用中，我们也可以利用等比数列的性质，通过递推关系来求解等比数列的和。
高二数学等比数列求和1
第1课时
一、新课导入:2 3 63 求数列：来自1 2 2 2 2 ?
即 S 1 2 2 2 2 ，
2 3 63
2 3 63 64
①
2S 2 2 2 2 2 ，
②－①得 2S S 264 1, 即S 2 64 1 .
( x 0, x 1, y 1)
分析 : 拆项后构成两个等比数列的和的问 题, 这样问题就变得容易解决了 .
探索：
1 2 3 4 n Sn n . 求和： 2 4 8 16 2
n 1 设 an n n n 2 2
1 为等比数列，公比为 2
1 ，其中n为等差数列， n 2
….
S n = ……….
错位相减的方
另法:用等比定理推导
因为
an a2 a3 a4 q a1 a2 a3 an 1
a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a 2 a 3 a n 1 S n a1 q S n an
②
由此对于一般的等比数列，其前 n 项和
Sn a1 a1q a1q a1q ，如何化简？
2
n1
二.新课讲解:
用上面的方法推导如下: Sn = a1 + a1q + a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 q Sn = a1q + a1q2 + …+a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn 两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
na1 , ( q 1), 于是S n a1 a1q n 1 q , ( q 1).
等比数列求和(1)
.5等比数列的前n 项和（第一课时） 进山中学高中数学组 李林霞一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n 项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n 项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n 项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二.认知:三、教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维学情分析 掌握等差数列和等比数列的有关知识.能力:初步具备运用知识解决问题的能力；但对知识的整合能力、问题的探究能力及思维的严密性上还需要进一步培养和提高.情感:学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强.的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．四、教学重点和难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列的前n项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n 项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.五、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.六、教学过程教学过程设计意图创设情境【漫画演示】话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙．悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍．”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元；……哇，发财了……”心里越想越美……再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”【教师提问】(1)假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？(2)29323022221+++++=S(观察数字特征引出课题)依托市场经济背景，运用学生熟悉的人物编拟故事，以趣引思,激发学生学习热情.探究问题1.学生自主探究：29323022221+++++=S2.解决情境问题3.师生共同探讨一般等比数列前n项和：?1321=+++++=-nnn aaaaaS即?11212111=++++=--nnn qaqaqaqaaS方法1：错位相减法⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111nnqaaSq11)1(-=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=111)1(11qnaqqqaSnn方法2：提取公比q11212111--++++=nnn qaqaqaqaaS）（21111-+++=n qaqaaqa）（111--+=nn qaSqann qaaSq11)1(-=-∴方法3：利用等比定理领悟数学应用价值从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高．通过学生个别学习，互相讨论，揭示知识的内在联系. 通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的洞察力．增强学生思维=12a a =23a a =34a aq a a n n =-1nn n n na S a S q a a a a a a --==+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++-112132q a a S q n n -=-1)1(……的严谨性.通过实物展示学生解决问题的方法，破除思维定势. 辨 析 质 疑1．口答：在公比为q 的等比数列}{n a 中(1)若31,321==q a ，则=n S ________（2）若1,11==q a ，则=n S ________ 2．判断是非：(或据情况换题)①21)21(1)2(84211--⨯=-++-+--n n （ ） ②21)21(12222132--⨯=+++++n n （ ）③若0≠c 且1≠c ，则=++++ncc c c 26422221])(1[cc c n -- （ ）对公式的再认识．(1)、对公比q 的分类讨论 (2)、公式中n 的理解剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式. 巩 固 提 高例1．已知}{n a 是等比数列，请完成下表：题号1aqnn a n S(1) 21 21 8(2)27 32 8(3) 2--32-21例2．求等比数列 ,161,81,41,21的第5项到第10项的和．方法1： 观察、发现：4101065S S a a a -=+++ ． 方法2： 此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为165=a ，公比为2=q ，项数为6=n ．变式1：求 3215,1614,813,412,211的前n 项和．变式2：求 325,164,83,42,21的前n 项和．（留作达标检测后思考题）熟练公式运用，着重强调公式的选择.本例由书中的例题改编而成，一题多解及变式,有利于提高思维的灵活性和梯度.反 思 拓 广( 一)达标检测1.据下列条件求相应的等比数列 的2. 求等比数列 1，2，4，…从 第5 项到第10 项的和. （二）小结引导学生从知识、思想、方法三个方面进行总结．从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学的学习作为提高学生数学素养和文化水平的有效途径. 作业布置 作业： 必做题：课本P 129 练习3(1) 习题3.5 1 选做题：画一个边长为2cm 的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和．布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展.提供参考网站，便于学生开展自主学习.七．板书设计 （ 附 后 ）.{}n a nS ;6,2,3)1(1===n q a ;21,21,8)2(1===n a q a。
等比数列求和1(修改)
二、
引入 新课:
2 , 2 ,2 , 2
国际象 棋的棋盘 上共有8 行8列,构 成64个格 子.国际象 棋起源于 古代印度, 关于国际 象棋有这 样一个传 说……
0
1
2
3
2
63
分析：
各个格子里的麦粒数依次是:
1, 2, 2 , 2 , , 2
2 3
63
于是发明者要求的麦粒总数就是:
1 2 2 2 2
2 3
63
☆
实际上这是一个等比数列求和的问题
S64 =1+ 2 + 22 + 23+· · 62 + 263 ·+2
2S64 =
①
2 + 22 + 23+· · 62 + 263 +264 ② ·+2
由② - ①，得:
2S64 – S64=264 - 1 S64=264 - 1
☆
结果：
264-1这个数字非常大，等于:
六、课后作业
1. P145-练习A组1、2题 2.等比数列{an}中，已知a1=3,a5=48,求q和S5的值。 3 .等比数列求和在现实生活中具体有哪些应用（每 人举一例）？
1.求数列 2. 求数列
1
1 1 1 1 的前n项和 , 2 , 3 , 4 2 4 8 16 1 1 1 1 1 ,2 , 3 ,4 的前n项和。 2 4 8 16
一
a1 (1 q ) Sn 1 q
n
a q 1 a n S ( ) q 1 n 1q
二 这种把两式位置错开相减的推导方法，
称之为错位相减法。
三 通常将通项公式与前n项和公式联合应用, 由 Sn , an ,q , a1 , n 知三可求二 。 四 由具体到抽象、由特殊到一般的研究规律。
等比数列求和(1)PPT课件
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
例题 分析
例3：求和： Sn 1 a a2 a3 an1(a 0)
解： ①当a＝1时，Sn 11 1 n
n个1
②当a≠1时，
1• (1 an ) 1 an
Sn
1 a
1 a
n
(a 1)
学以
致用
Sn
1 an
1 a
(a 1)
求和：(x
1) (x2 y
1 y2
)
(
x
n
1 yn
①
上式有何特点？
求和首先就是要消去… …，如何消呢？
如果①式两边同乘以2得
2S64=2+22+23+···+263+264 ② 分析、 比较①、②两式，有什么特征?
两式有很多项完全相同
你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？
错位相减法﹗
S64 1 2 22 23 263. (1)
2S64 2(1 2 22 23 263).
⑴即-⑵2S同64 学 2们能22否给23这种求 2和63方法26取4. 一个(名2)字 S64 2S64 1 264
等比数列的公式求和
等比数列的公式求和在咱们的数学世界里，等比数列就像是一群排着整齐队伍的小精灵，而等比数列的公式求和呢，就是解开它们神秘魔法的钥匙。
先来说说啥是等比数列。
比如说有这么一组数：1，2，4，8，16……你看，后一个数跟前一个数的比值是一样的，在这个例子里比值就是 2。
这就是等比数列啦！那等比数列的求和公式是啥呢？设这个等比数列的首项是 a₁，公比是 q ，项数是 n ，当q ≠ 1 时，它的求和公式就是：Sₙ = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q) 。
记得我上学那会，刚开始学这个公式的时候，也是一头雾水。
老师在讲台上讲得唾沫横飞，我在下面听得云里雾里。
有一次做作业，遇到一道等比数列求和的题目，我盯着题目看了半天，愣是没思路。
抓耳挠腮之际，我决定从头再好好研究一下这个公式。
我把公式写在草稿纸上，一遍又一遍地看，一边看一边在脑子里想老师讲过的例子。
突然，就像黑暗的房间里突然亮起了一盏灯，我好像明白了！我赶紧按照公式一步一步地算，嘿，还真算出答案来了！那种恍然大悟、豁然开朗的感觉，真的太棒了！等比数列求和公式在生活中也有不少用处呢。
比如说，你要是想知道银行存款按照复利计算，若干年后能有多少钱，这就可以用等比数列求和来算。
还有那种细胞分裂的问题，一个细胞分裂一次变成两个，两个分裂成四个，依次类推，经过 n 次分裂后细胞的总数，也能通过等比数列求和来搞定。
再给大家举个例子加深理解。
假设一个等比数列，首项 a₁是 3 ，公比 q 是 2 ，一共 5 项。
那按照求和公式来算，S₅ = 3×(1 - 2⁵) / (1 - 2) = 3×(1 - 32) / (-1) = 3×(-31) / (-1) = 93 。
是不是很神奇？其实啊，数学里的这些公式就像是一个个神奇的工具，只要我们掌握了它们，就能解决很多看似复杂的问题。
就像等比数列的求和公式，虽然一开始可能觉得有点难，但只要我们多琢磨、多练习，就能熟练运用，让数学为我们的生活服务。